Beiträge zur Theorie

der nulldimensionalen Unterschemata

projektiver Räume

Habilitationsschrift

vorgelegt an der NWF I – Mathematik

der Universität Regensburg

von Martin Kreuzer aus Ihrlerstein im April 1997

Vorwort

Noch vor weniger als zwei Jahrzehnten trafen Mathematiker, die einen Vortrag über 0-dimensionale Schemata ankündigten, oftmals auf Verwunderung und Skepsis. “Nulldimensionale Schemata? Sind die nicht alle isomorph? Gibt es da überhaupt etwas zu erforschen?” So oder so ähnlich hieß es nicht selten. Zu frisch waren noch die Triumphe der abstrakten Methode, und die Gegenbewegung, die Besinnung auf die klassischen Probleme der algebraischen Geometrie und der Versuch, diese mit der Theorie der Schemata und den diversen Kohomologietheorien zu lösen, hatte gerade erst eingesetzt.

Dabei kann das Thema im Falle reduzierter 0-dimensionaler Unterschemata projektiver Räume auf eine lange und reichhaltige Geschichte zurückblicken. Schon im 18. Jahrhundert hatten G. Cramer und L. Euler in ihrem Briefwechsel (vgl. [Eu]) über ein Phänomen diskutiert, das man heutzutage als “Cayley-Bacharach Eigenschaft” bezeichnet, und das in der vorliegenden Arbeit eine große Rolle spielen wird. Die Formel von C.G.J. Jacobi aus dem Jahre 1835 (vgl. [J1]), die nichts anderes ist als eine konkrete Version des Residuensatzes in der projektiven Ebene, erlaubt (wie von C.G.J. Jacobi in [J2] bereits selbst angedeutet) den Beweis subtiler Eigenschaften der Hilbert-Funktionen endlicher Teilmengen von ℙ^{2}. Und die Dissertation von L.O. Hesse aus dem Jahre 1840 (vgl. [He]) würde man jetzt als eine Untersuchung von Punktemengen betrachten, die vollständige Durchschnitte vom Typ (2, 2, 2) in ℙ^{3} sind und die mit ihrer Gale-Transformierten übereinstimmen (vgl. §3 und §7). In der zweiten Hälfte des letzten Jahrhunderts wurden die verschiedenen Zusammenhänge, in denen 0-dimensionale Unterschemata projektiver Räume auftraten und untersucht wurden, bereits so zahlreich, daß es zu weit führen würde zu versuchen, sie hier alle vorzustellen.

In den letzten 20 Jahren hat das Thema, gerade unter Einschluß und Anwendung der Theorie der Schemata, wieder viel an Aktualität und Interesse gewonnen, und vor einigen Jahren fand sogar die erste internationale Konferenz mit dem Titel “Zero-Dimensional Schemes” statt. Man entdeckte eine ganze Reihe von Verbindungen mit anderen Teilen der Mathematik, z.B. mit der Theorie der gewöhnlichen Kurvensingularitäten (vgl. [O]), mit der Castelnuovo-Theorie (vgl. [HE]) oder mit der Kodierungstheorie (vgl. [Han]). Schon während meines Hauptstudiums hatte ich das Glück, im Zuge eines Auslandsaufenthalts an der Brandeis University mit Mathematikern wie D. Eisenbud, A.V. Geramita und E.D. Davis zusammenzutreffen, die mich für die algebraische Geometrie im allgemeinen und die 0-dimensionalen Unterschemata projektiver Räume im speziellen begeisterten und mich in viele der aktuellen Entwicklungen und Forschungen einführten. Seitdem hat mich diese Begeisterung nicht wieder verlassen, und meine diesbezüglichen Forschungen und Veröffentlichungen bilden die Grundlage der vorliegenden Schrift.

Wie es unsere Habilitationsordnung verlangt, habe ich versucht, meine eigenen Beiträge und Ergebnisse deutlich zu machen. Jedem Abschnitt sind kurze Einleitungen und Anmerkungen vorausgestellt, die auch die Quellen des präsentierten Materials nennen. Der Hauptteil der Arbeit basiert auf meinen Veröffentlichungen [K2] und [K3] sowie auf dem noch unveröffentlichten Manuskript [K4], für die ich alleine verantwortlich bin. Besonders in den Abschnitten über Anwendungen habe ich auch Ergebnisse verwendet, die in gemeinsamen Publikationen mit anderen Autoren enthalten sind, oder in noch unveröffentlichten solchen Werken. Ich hoffe, daß ich keinem meiner Mitautoren Unrecht zufüge, wenn ich den Leser einfach bitte, mir die Urheberschaft an diesem Material anteilig zuzurechnen.

Selbstverständlich hätte ich die dieser Arbeit zugrunde liegenden Forschungen nicht ohne die tatkräftige Hilfe einer ganzen Reihe von Menschen durchführen können. An erster Stelle möchte ich hier meinem Lehrer, Mentor und Dienstherrn Ernst Kunz danken, der mich nicht nur sehr viel kommutative Algebra und algebraische Geometrie lehrte, sondern der mir auch immer wieder die Gelegenheit verschaffte, meine Ergebnisse in Seminaren und bei Tagungen vorzutragen, und der mir über viele Jahre hinweg hervorragende Arbeitsbedingungen bot. Mein Dank gilt auch Tony Geramita, der mich vor einem Dutzend Jahren für die 0-dimensionalen Schemata begeisterte und seitdem nie mehr aufgehört hat, mir als Freund und Mitstreiter beizustehen, und an Lorenzo Robbiano, von dem ich das meiste gelernt habe, was ich über Computeralgebra weiß, und der mir in der Mathematik wie im Leben schon so manchen Freundschaftsdienst erwies. Natürlich danke ich auch meinen anderen Koautoren G. de Dominicis, J.C. Migliore, U. Nagel, C. Peterson und R. Waldi: ich hoffe, sie alle hatten an unseren gemeinsamen Forschungen genausoviel Freude und Gewinn wie ich. Noch viele weitere Mathematiker haben mich durch Ideen und Anregungen unterstützt: D. Eisenbud, S. Giuffrida, L.G. Roberts und G. Valla sind nur einige, die ich hier stellvertretend nennen möchte. Schließlich, aber eigentlich zuallererst, danke ich meiner Frau Bettina, nicht nur für die tatkräftige Unterstützung beim Korrekturlesen dieser Schrift, sondern auch dafür, daß sie mit mir jahraus, jahrein die Sorgen des Alltags teilt und mir so hilft, mich auf die Mathematik zu konzentrieren.

Ihrlerstein, im April 1997

Inhalt

Vorwort . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Inhalt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . v

I. Grundlegende Objekte

1. Der homogene Koordinatenring . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Der kanonische Modul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 3. Das kanonische Ideal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 4. Der Kählersche Differentialmodul . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

II. Uniformitätsbedingungen

5. Cayley-Bacharach Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 6. Allgemeine Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 7. Uniforme Lage . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 8. Kohomologische Uniformität . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 9. Hilbert-Funktionen kohomologisch uniformer Schemata . . . . . . . . . . 54 10. Die Hierarchie der Cayley-Bacharach Schemata . . . . . . . . . . . . . 64

III. Spezialfälle und Anwendungen

11. Level-Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71 12. Hyperebenenschnitte von Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 13. Freie Auflösungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 14. Der Syzygienmodul des kanonischen Ideals . . . . . . . . . . . . . . . 86 15. Maximale Cayley-Bacharach Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . . 93 16. Liaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 17. Nulldimensionale Unterschemata der projektiven Ebene . . . . . . . . . 103 18. Determinantielle nulldimensionale Schemata . . . . . . . . . . . . . . . 109 19. Kodierungstheorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 20. Computeralgebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117

Arbeiten des Verfassers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 Weitere Literaturhinweise . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 iv

Einleitung

Der Gegenstand der vorliegenden Schrift ist die Untersuchung der 0-dimensionalen Schemata 𝕏, die in einen projektiven Raum ℙ^{d} über einem algebraisch abgeschlossenen Körper K eingebettet sind. Bezeichnen wir den homogenen Koordinatenring von 𝕏 mit R = K[X_{0}, …, X_{d}]/I_{𝕏}, so beschäftigen wir uns u.a. mit den folgenden Fragen.

1) Welche grundlegenden algebraischen Objekte kann man der Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zuordnen?

2) Wie sind verschiedene geometrische Eigenschaften von 𝕏 ⊆ ℙ^{d} in der Struktur dieser algebraischen Objekte gespeichert?

3) Welche geometrischen Interpretationen haben ringtheoretische Eigenschaften von R (z.B. Gorenstein-Ring, vollständiger Durchschnitt) oder modultheoretische Eigenschaften ausgezeichneter R-Moduln?

4) Welche numerischen Invarianten sind der Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} in natürlicher Weise zugeordnet (z.B. Hilbert-Funktion, Betti-Zahlen) und welche Werte können diese annehmen?

5) Wie kann man 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit vorgegebenen Eigenschaften konstruieren?

6) Welche Auswirkungen hat es, wenn wir voraussetzen, daß 𝕏 reduziert ist und aus über einem endlichen Körper rationalen Punkten besteht?

7) Wie kann man geometrische Eigenschaften oder Invarianten von 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit Hilfe der Computeralgebra prüfen bzw. berechnen?

Unsere Beiträge zur Beantwortung dieser Fragen haben wir dabei in drei Kapitel unterteilt. Im ersten Kapitel führen wir einige der grundlegenden algebraischen Objekte ein, die der Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zugeordnet sind, nämlich den homogenen Koordinatenring, den kanonischen Modul bzw. das kanonische Ideal und den Kählerschen Differentialmodul. Wir besprechen die wichtigsten Eigenschaften dieser Objekte und machen uns mit ihrer Struktur vertraut. Im zweiten Kapitel charakterisieren wir verschiedene geometrische Uniformitätsbegriffe für 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit Hilfe der algebraischen Struktur der Objekte aus dem ersten Kapitel. Wir verwenden diese Charakterisierungen auch dazu, um Einschränkungen für die numerischen Invarianten, besonders für die Hilbert-Funktion von 𝕏 zu finden. Das letzte Kapitel besteht aus einer Reihe von Spezialfällen und Anwendungen der Resultate aus den ersten beiden Kapiteln. Es behandelt auch die praktischen Fragen der Konstruktion 0-dimensionaler Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit vorgegebenen Eigenschaften sowie ihre explizite Berechnung mit den Mitteln der Computeralgebra.

Nun beschreiben wir den Inhalt der einzelnen Abschnitte genauer. Im ersten Abschnitt legen wir die für das weitere gültigen Notationen und Definitionen fest. Wir studieren die algebraische Struktur des homogenen Koordinatenrings R von 𝕏, führen die Hilbert-Funktion H_{𝕏}(i) = dim_{K} R_{i} für i ∈ ℤ ein, und definieren die Invarianten α_{𝕏} = min{i ∈ ℤ | (I_{𝕏})_{i} ≠ 0}, σ_{𝕏} = max{i ∈ ℤ | H_{𝕏}(i) < deg 𝕏} sowie Δ_{𝕏} = deg 𝕏 − H_{𝕏}(σ_{𝕏}). Die wichtigste Erkenntnis in diesem Abschnitt ist, daß wir den homogenen Koordinatenring R in den Graden i ≥ σ_{𝕏} + 1 mit Hilfe der kanonischen Abbildung R ⟶ Γ_{∗}(O_{𝕏}) genau beschreiben können. Verwenden wir die jedem Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 zugeordneten Separatoren f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1}, so können wir im reduzierten Fall besonders einfache K-Vektorraumbasen der homogenen Komponenten R_{i} mit i ≥ σ_{𝕏} konstruieren (vgl. Lemma 1.10.c und Lemma 1.11), und wir beherrschen auch die multiplikative Struktur von R in diesen Graden (vgl. Lemma 1.10.d).

Der zweite Abschnitt dient der Vorstellung des kanonischen Moduls ω_{R} von R und seiner wichtigsten Eigenschaften. Es handelt sich um einen endlich erzeugten, graduierten R-Modul, der in der Kategorie aller endlich erzeugten, graduierten R-Moduln als dualisierendes Objekt fungiert (vgl. Satz 2.2) und unter unserer Generalvoraussetzung Supp (𝕏) ∩ D_{+}(X_{0}) = ∅ durch die Formel ω_{R} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])(−1) gegeben ist, wobei x_{0} = X_{0}+I_{𝕏} ∈ R_{1} einen linearen Nichtnullteiler darstellt. Auf Grund dieser Formel können wir die homogenen Elemente von ω_{R} als homogene K[x_{0}]-lineare Abbildungen φ : R ⟶ K[x_{0}] betrachten, und es ist gerade diese Betrachtungsweise, die es uns erlaubt, mit den Elementen von ω_{R} explizit zu rechnen und die Modulstruktur von ω_{R} zu studieren. Im letzten Teil des zweiten Abschnitts verallgemeinern wir den Führer von R in seinem ganzen Abschluß auf den nicht notwendig reduzierten Fall und beschreiben ihn sowohl als Ideal von R als auch als R-Untermodul von Γ_{∗}(O_{𝕏}) (vgl. Satz 2.9).

Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, so gibt es ein Ideal von R, das bis auf eine Gradverschiebung zu ω_{R} isomorph ist. Im dritten Abschnitt konstruieren wir ein solches kanonisches Ideal explizit. Das Ergebnis ℑ_{R/K[x_{0}]} ⊆ R hängt noch von der Wahl des linearen Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1} ab, aber wir können diese Abhängigkeit sehr explizit beschreiben (vgl. Satz 3.8). Das kanonische Ideal ist in den homogenen Komponenten R_{i} vom Grad i ≥ σ_{𝕏} + 1 enthalten, die wir nach dem ersten Abschnitt genauestens kennen. So können wir dann auch explizite K-Basen für seine wichtigsten homogenen Komponenten konstruieren (vgl. Korollar 3.10, Korollar 3.11 und Satz 3.15) sowie eine Multiplikationsmatrix für die weiter unten betrachtete Abbildung R_{σ_{𝕏}} ⊗_{K} (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{σ_{𝕏}+1} ⟶ (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1} aufstellen (vgl. Korollar 3.12). Es ergibt sich auch, daß wir mit Hilfe der homogenen Komponente (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}} des kanonischen Ideals die sogenannte Gale-Transformierte von 𝕏 (vgl. [EP]) beschreiben können (vgl. Lemma 3.16 und Definition 3.17).

Das nächste grundlegende Objekt, das der Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zugeordnet ist, und das wir im vierten Abschnitt betrachten, ist der Kählersche Differentialmodul Ω_{R/K}^{1}. In diesem Abschnitt verallgemeinern wir die Resultate aus [K6] so weit wie möglich auf den nicht notwendig reduzierten Fall. Dabei erweist es sich als günstig, nicht nur den Modul Ω_{R/K}^{1}, sondern auch Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} sowie Ω_{\overline{R}/K}^{1} mit \overline{R} = R/(x_{0}) zu untersuchen. Für alle drei Moduln geben wir explizite Präsentationen an (vgl. Satz 4.2 und Satz 4.3). Im reduzierten Fall steckt der wesentliche Aspekt der Modulstruktur von Ω_{R/K}^{1} bereits in seinem Torsionsuntermodul T_{R/K} (vgl. Satz 4.5), welchen wir ebenfalls explizit präsentieren (vgl. Satz 4.7). Wir beschreiben die Hilbert-Funktion des graduierten R-Moduls Ω_{R/K}^{1} (vgl. Satz 4.8) sowie seine Regularität (vgl. Satz 4.12 und Satz 4.13). Zum Schluß geben wir noch eine Beschreibung des Derivationenmoduls von R/K in unserer Situation, die uns von E. Kunz mitgeteilt wurde.

Im fünften Abschnitt beginnt die Untersuchung geometrischer Eigenschaften der Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} an Hand der Cayley-Bacharach Eigenschaft. Wir sagen dabei, ein 0dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} habe die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i ≥ 0, wenn jede Hyperfläche vom Grad i, die ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 enthält, automatisch ganz 𝕏 umfaßt. Hat 𝕏 die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom maximal möglichen Grad σ_{𝕏}, so heißt 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema. Diese Eigenschaft wird mit Hilfe der Separatoren von 𝕏 (vgl. Satz 5.6) und mit Hilfe der Modulstruktur von ω_{R} (vgl. Satz 5.15) charakterisiert. Ist 𝕏 zusätzlich lokal Gorenstein, so bedeutet sie, daß es in (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ein Element φ mit Ann_{R}(φ) = (0) gibt (vgl. Satz 5.8), was zu Einschränkungen für das Wachstum der Hilbert-Funktion H_{𝕏} führt (vgl. Korollar 5.9). Wir erhalten auch eine Charakterisierung arithmetischer Gorenstein-Schemata durch die Cayley-Bacharach Eigenschaft und die Symmetrie der Hilbert-Funktion (vgl. Korollar 5.13 und [K7]), die den ursprünglichen Satz von Cayley-Bacharach (vgl. Satz 5.1) verallgemeinert. Der zweite Teil des fünften Abschnitts ist der Frage gewidmet, welche Unterschemata von Cayley-Bacharach Schemata selbst Cayley-Bacharach Schemata sind (vgl. die Sätze 5.17 und 5.18 sowie die Korollare 5.19 und 5.20). Schließlich beweisen wir mit Hilfe der Eagon-Northcott Auflösung, daß 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, die durch die maximalen Minoren gewisser homogener Matrizen definiert sind, Beispiele von Cayley-Bacharach Schemata darstellen. Für eine weitergehende Einführung in die Geschichte der “Cayley-Bacharach Theorie” verweisen wir den Leser auf [EGH1], und für Beziehungen zu aktuellen Fragen der Castelnuovo-Theorie empfehlen wir, einen Blick auf [EGH2] zu werfen.

Im sechsten Abschnitt wenden wir uns der Bedingung der linear allgemeinen Lage zu. Im reduzierten Fall bedeutet sie gerade, daß je d+1 Punkte von 𝕏 den ganzen Raum ℙ^{d} aufspannen bzw. daß 𝕏 einen (deg 𝕏 − 1)-dimensionalen linearen Raum aufspannt, falls 𝕏 aus weniger als d + 1 Punkten besteht. Der Satz von der allgemeinen Lage besagt dann einfach, daß sich der generische Hyperebenenschnitt einer nicht ausgearteten, nicht seltsamen, integren Kurve C ⊆ ℙ^{d+1} in linear allgemeiner Lage befindet (vgl. Satz 6.1). Wie in [EH] verallgemeinern wir diesen Begriff auch auf den nicht notwendig reduzierten Fall und charakterisieren ihn mit Hilfe der Struktur des kanonischen Moduls ω_{R} (vgl. Satz 6.6), woraus sich zusammen mit dem Lemma über biinjektive Abbildungen (vgl. Lemma 6.7) dann Ungleichungen für die Werte der Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏}(i) = H_{𝕏}(i) − H_{𝕏}(i − 1) von 𝕏 ergeben. In [Y1], Thm. 3.1 wurde diese Charakterisierung verwendet, um M. Green’s starkes Castelnuovo-Lemma auf den Fall nicht notwendig reduzierter 0-dimensionaler Schemata auszudehnen, und in [Y2] wurden hieraus neue Restriktionen für die Hilbert-Funktionen graduierter Cohen-Macaulay Bereiche gewonnen. Außerdem definieren wir für jedes i ≥ 1 ein Konzept der allgemeinen Lage i-ter Ordnung, das sich im Fall i = 1 auf die linear allgemeine Lage spezialisiert, und charakterisieren dieses Konzept wiederum mit Hilfe der Modulstruktur von ω_{R} (vgl. Satz 6.10). Schließlich erklären wir noch den Zusammenhang des Begriffs der allgemeinen Lage i-ter Ordnung mit dem klassischen Begriff “𝕏 stellt unabhängige Bedingungen an das lineare System der Hyperflächen vom Grad i” (vgl. Satz 6.15).

Einen besonders wichtiger Uniformitätsbegriff ist die Bedingung der uniformen Lage eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, die wir im siebten Abschnitt unter die Lupe nehmen. Der Satz von der uniformen Lage von J. Harris (vgl. Satz 7.1) besagt, daß ein generischer Hyperebenenschnitt 𝕏 ⊆ ℙ^{d} einer integren Kurve C ⊆ ℙ^{d+1} im Fall char (K) = 0 die Eigenschaft hat, daß je zwei Teilmengen der gleichen Mächtigkeit auch die gleiche Hilbert-Funktion besitzen. Allgemeiner sagen wir für jedes i ∈ {1, …, deg 𝕏 − 1}, ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sei i-uniform, wenn alle Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕏 − i ≤ deg 𝕐 ≤ deg 𝕏 die Hilbert-Funktion H_{𝕐}(j) = min{H_{𝕏}(j), deg 𝕐} für j ∈ ℤ haben. Die uniforme Lage entspricht dann dem Fall i = deg 𝕏 − 1, und Cayley-Bacharach Schemata sind nichts anderes als 1-uniforme Schemata (vgl. Bemerkung 7.3). Für 0 ≤ i ≤ σ_{𝕏} charakterisieren wir (deg 𝕏 − H_{𝕏}(i))- uniforme Schemata durch die Struktur ihres kanonischen Moduls ω_{R} (vgl. Satz 7.6) und folgern Ungleichungen für ihre Hilbert-Funktionen (vgl. Korollar 7.7). Außerdem verallgemeinern wir diesen Begriff noch weiter und definieren ein Konzept (i, j)-uniformer Schemata, das nicht nur die i-Uniformität, sondern auch die linear allgemeine Lage umfaßt (vgl. Definition 7.12 und Bemerkung 7.13). Dieses Konzept liefert uns die richtigen Bedingungen, unter denen wir die oben erwähnte Gale-Transformierte zu einer ganzen Reihe kanonisch transformierter 0-dimensionaler Schemata κ_{i}(𝕏) ⊆ ℙ^{r−1} mit r = deg 𝕏 − H_{𝕏}(i) für 1 ≤ i ≤ σ_{𝕏} ausbauen können (vgl. Satz 7.14).

Die Ungleichungen, die sich für die Hilbert-Funktion eines reduzierten Cayley-Bacharach Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ergeben haben, sind nur geringfügig schwächer als diejenigen, die wir im Falle der Δ_{𝕏}-Uniformität erhalten. Und Beispiele reduzierter Cayley-Bacharach Schemata, die die stärkeren Ungleichungen nicht erfüllen, sind nur schwer zu finden (vgl. Beispiel 8.1). Deshalb definieren wir im achten Abschnitt für reduzierte 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} den Begriff der kohomologischen Uniformität. Anschaulich soll dieser Begriff Fälle wie Beispiel 8.1 ausschließen, wo 𝕏 aus zwei disjunkten Punktmengen 𝕐 und 𝕐′ besteht, die auf disjunkten Varietäten “kleinen” Grades liegen. Die exakte Definition besagt, daß die Restklassen der Separatoren von 𝕐 und 𝕐′ nicht in zwei Untervektorräumen von \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} liegen dürfen, deren direkte Summe der ganze Raum ist. Man kann dies auch mit Hilfe der Relationenmatrix 𝔅 dieser Restklassen formulieren (vgl. Satz 8.3) oder mit Hilfe der Struktur der homogenen Komponente vom Grad σ_{𝕏} des lokalen Kohomologiemoduls H_{𝔪}^{1}(R) (vgl. Bemerkung 8.6). Wiederum charakterisieren wir die kohomologische Uniformität an Hand der Struktur des Moduls ω_{R} (vgl. Satz 8.8) und sehen, daß sie gerade zwischen der 1-Uniformität und der Δ_{𝕏}-Uniformität anzusiedeln ist (vgl. Korollar 8.9). Im Fall σ_{𝕏} = 1 entspricht sie auch gerade dem Nicht-Zerfallen von 𝕏 in der Form 𝕏 = (𝕏 ∩ L_{1})∪· (𝕏 ∩ L_{2}) mit disjunkten linearen Teilräumen L_{1}, L_{2} ⊆ ℙ^{d} (vgl. Satz 8.13).

Einer der Hauptsätze dieser Arbeit ist nun Satz 9.1, der die stärkeren Ungleichungen H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ deg 𝕏 − Δ_{𝕏} + 1 bereits für kohomologisch uniforme, reduzierte, 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} liefert. Der Beweis dieses Satzes basiert auf einer eingehenden Untersuchung der Struktur des kanonischen Ideals kohomologisch uniformer Schemata in Abschnitt 9. Wir zeigen, daß 𝕏 genau dann kohomologisch uniform ist, wenn es Elemente r ∈ R_{σ_{𝕏}} und φ ∈ (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{σ_{𝕏}+1} gibt, so daß für jede Ergänzung von {φ} zu einer K-Basis {φ, φ_{2}, …, φ_{Δ_{𝕏}}} von (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{σ_{𝕏}+1} gilt

(ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1} = R_{σ_{𝕏}} · φ ⊕ K · rφ_{2} ⊕ ⋯ ⊕ K · rφ_{Δ_{𝕏}}

(vgl. Satz 9.9). Der Beweis von Satz 9.1 läuft dann darauf hinaus zu zeigen, daß man für r ∈ R_{σ_{𝕏}} die σ_{𝕏}-te Potenz einer generisch gewählten Linearform ℓ ∈ R_{1} wählen kann (vgl. Satz 9.12).

Im zehnten Abschnitt fassen wir die betrachteten Uniformitätsbegriffe noch einmal unter einem anderen Aspekt zusammen. Dazu betrachten wir die Multiplikationsabbildung R_{σ_{𝕏}} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{0} und die Mengen Z_{i} ⊆ R_{σ_{𝕏}} ⊕ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}}, wo die Faserprodukte F (r, φ) = {(r′, φ′) ∈ R_{σ_{𝕏}} ⊕ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} | r′φ = rφ′} mindestens die Dimension i ∈ {1, …, deg 𝕏} haben. Aus der Struktur der Kette R_{σ_{𝕏}} ⊕ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = Z_{1} ⊇ Z_{2} ⊇ ⋯ ⊇ Z_{deg 𝕏} ⊇ {(0, 0)} erkennen wir z.B., ob 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema, ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1 oder ein Δ_{𝕏}-uniformes Schema ist (vgl. die Sätze 10.3, 10.4 und 10.6). Berechnen wir im reduzierten Fall die die Mengen Z_{i} definierenden Gleichungen, so tauchen gerade diejenigen Matrizen auf, die im Beweis des Satzes 9.1 eine Rolle spielten (vgl. Bemerkung 10.8). Schließlich stellen wir eine detaillierte Hierarchie der Cayley-Bacharach Schemata auf (vgl. Satz 10.9), die die Uniformität eines Cayley-Bacharach Schemas fein abgestuft klassifiziert, und belegen an Beispielen, daß die betrachteten Abstufungen wirklich alle verschieden sind.

Das dritte Kapitel über Spezialfälle und Anwendungen beginnt mit einigen Ausführungen über 0-dimensionale Level-Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}. Diese sind dadurch definiert, daß alle Sockelelemente von \overline{R} den gleichen Grad haben bzw. daß ω_{R} von seinen homogenen Elementen kleinsten Grades erzeugt wird (vgl. Definition 11.5 und Satz 11.6). In seiner Arbeit [Hi1] hat T. Hibi gezeigt, daß die Hilbert-Funktion von 𝕏 noch stärkeren Einschränkungen als den oben erwähnten genügt, wenn das Ordnungsideal von J_{𝕏} = I_{𝕏}|_{X_{0}=1} bzgl. einer geeigneten Termordnung nur maximale Elemente vom Grad σ_{𝕏} + 1 hat (vgl. Satz 11.3). Wir zeigen, daß diese Bedingung impliziert, daß 𝕏 ein Level-Schema ist (vgl. Satz 11.7) und vermuten dieselben Einschränkungen für die Hilbert-Funktionen genügend uniformer Level-Schemata (vgl. Vermutung 11.12). Neben einigen elementaren Eigenschaften der Hilbert-Funktion von Level-Schemata (vgl. Satz 11.9) beweisen wir auch, daß diese stets Cayley-Bacharach Schemata sind (vgl. Satz 11.13), und daß aus unserer Vermutung die Unimodalität der höchsten Differenzenfunktion der Hilbert-Funktion eines standard-graduierten Gorenstein-Bereichs folgen würde (vgl. Satz 11.15). Anschließend diskutieren wir noch eine Vermutung von T. Hibi, die allerdings in ihrer allgemeinsten Form in [NR] widerlegt wurde.

Eine wichtige Motivation für die Untersuchung 0-dimensionaler Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ist die Castelnuovo-Theorie. Am Ende des letzten Jahrhunderts begann G. Castelnuovo systematisch, Ergebnisse über integre Kurven C ⊆ ℙ^{d+1} aus dem Studium der Hilbert-Funktion eines ihrer generischen Hyperebenenschnitte 𝕏 = C ∩H ⊆ H ≅ ℙ^{d} abzuleiten (vgl. [C1], [C2]). Mittlerweile stellt diese Methode neben der Brill-Noether Theorie eine der Hauptmethoden zum Studium projektiver algebraischer Kurven dar. Eine gut lesbare Einführung in die Castelnuovo-Theorie findet der Leser in [HE]. Wir haben unsere Beiträge zu diesem Thema in Abschnitt 12 zusammengefaßt. Im ersten Teil beschäftigen wir uns mit der Frage, wie viel vom Satz von der uniformen Lage richtig bleibt, wenn man die Voraussetzung char (K) = 0 wegläßt, und ob man dafür einen rein algebraischen Beweis finden kann. Der Zusammenhang zwischen den kanonischen Moduln des homogenen Koordinatenrings von C ⊆ ℙ^{d+1} und 𝕏 = C ∩ H ⊆ H ≅ ℙ^{d} wird durch eine exakte Sequenz beschrieben (vgl. Satz 12.1), und unter der Zusatzvoraussetzung σ_{𝕏} = σ_{C} + 1 zeigen wir damit, daß der generische Hyperebenenschnitt 𝕏 einer integren Kurve C stets ein Cayley-Bacharach Schema ist (vgl. Satz 12.3). Dies hat wiederum Auswirkungen für die Hilbert-Funktion von 𝕏 im speziellen und standardgraduierten Cohen-Macaulay Bereichen im allgemeinen (vgl. Korollar 12.4). Im zweiten Teil studieren wir einen Satz von R. Strano (vgl. [Str], Thm. 6), der besagt, daß eine integre Kurve C ⊆ ℙ^{3} ein vollständiger Durchschnitt ist, wenn ein generischer Hyperebenenschnitt dies ist und wenn α_{C} ≥ 3 gilt. Wir erklären, wie sich der Beweis dieses Satzes aus zwei Teilbarkeitseigenschaften des Hartshorne-Rao Moduls von C ergibt (vgl. die Sätze 12.9, 12.10 und 12.12), und wie er mit deren Hilfe später verallgemeinert wurde.

Im Abschnitt 13 wenden wir uns der minimalen graduiert-freien Auflösung von R = K[X_{0}, …, X_{d}]/I_{𝕏} = A/I_{𝕏} als A-Modul zu und erinnern daran, daß diese zu der A-Auflösung von ω_{R} dual ist. Wir charakterisieren 0-dimensionale Schemata mit linearer Auflösung, d.h. in deren Auflösung an jeder Stelle nur die kleinstmögliche Gradverschiebung vorkommt (vgl. Korollar 13.3) und mit fast linearer Auflösung, d.h. in deren Auflösung an jeder Stelle bis auf die letzte nur die kleinstmögliche Gradverschiebung vorkommt (vgl. Satz 13.4). Wieder erhalten wir Ungleichungen für die Hilbert-Funktionen solcher 0-dimensionalen Schemata (vgl. Korollar 13.5) und können auch Auflösungen, die fast von höherer Ordnung sind, mit Hilfe der Struktur des kanonischen Moduls ω_{R} charakterisieren (vgl. Satz 13.7 und [K2], 5.4).

Im 14. Abschnitt betrachten wir nur nicht ausgeartete, reduzierte, 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, die σ_{𝕏} = 1 erfüllen und kohomologisch uniform sind. Für sie kennen wir nach den Ergebnissen der Abschnitte 8 und 9 bereits ein minimales homogenes Erzeugendensystem {φ, π_{2}, …, π_{Δ}} des kanonischen Ideals ℑ_{R/K[x_{0}]}. Jetzt konstruieren wir auch ein explizites homogenes Erzeugendensystem des ersten Syzygienmoduls Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) dieses kanonischen Ideals (vgl. Korollar 14.3). Dazu analysieren wir zunächst die Beziehung dieses Syzygienmoduls zu Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) (vgl. Bemerkung 14.1) und konstruieren dann ein explizites homogenes Erzeugendensystem des letzteren A-Moduls (vgl. Satz 14.2). Als Anwendung zeigen wir, daß der R-Modul Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}) im Fall deg 𝕏 = d + 3 von seinen homogenen Elementen minimalen Grades erzeugt wird (vgl. Satz 14.4) und vergleichen dies mit den analogen Resultaten aus [CRV2] für den Modul Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}) (vgl. Satz 14.5 und Beispiel 14.6). Außerdem geben wir noch einen schnellen Algorithmus an, wie man das konstruierte Erzeugendensystem effektiv berechnen kann (vgl. Bemerkung 14.7).

Will man ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit vorgegebenen Eigenschaften konstruieren, so bieten sich mehrere Verfahren an.

1) Man startet mit einem bekannten 0-dimensionalen Schema und fügt induktiv Punkte hinzu, wobei man Acht gibt, daß die gesuchten Eigenschaften bei diesem Prozeß erhalten bleiben oder herbeigeführt werden.

2) Man startet mit einem “großen” 0-dimensionalen Schema 𝕍 ⊆ ℙ^{d}, das arithmetisch Gorenstein ist (z.B. mit einem vollständigen Durchschnitt), und versucht, das zu dem gesuchten Schema residuelle Unterschema von 𝕍 zu konstruieren, nachdem man die gesuchten Eigenschaften mit Hilfe von Eigenschaften des residuellen Schemas charakterisiert hat.

3) Man konstruiert ein Erzeugendensystem des affinen Ideals von 𝕏 ⊆ D_{+}(X_{0}) ≅ 𝔸^{d}, wie es im Gestaltlemma auftritt, und wendet dann eine Art “Galois-Theorie für Punkte” an.

Die ersten beiden Methoden werden in den Abschnitten 15 und 16 besprochen, und für die dritte verweisen wir auf [Ga] sowie [NR]. Bei der iterativen Konstruktionsmethode können wir die Cayley-Bacharach Eigenschaft von 𝕏 nicht immer beibehalten. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Cayley-Bacharach Schema mit der Eigenschaft, daß kein 0-dimensionales Schema 𝕐 ⊆ ℙ^{d} mit deg 𝕐 = deg 𝕏 + 1 und 𝕐 ⊇ 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist, so heißt 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema. Wir zeigen an Beispielen, daß man in dieser Definition auch nichtreduzierte Schemata 𝕐 zulassen muß, selbst wenn man mit einem reduzierten Schema 𝕏 startet (vgl. die Beispiele 15.2 und 15.3). Dann geben wir einen Zusammenhang zwischen der Existenz eines Cayley-Bacharach Schemas 𝕐 ⊇ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 + 1 und den Graden der minimalen homogenen Erzeuger des Verschwindungsideals I_{𝕏} an (vgl. Satz 15.4). Hieraus erhalten wir z.B., daß die meisten 0-dimensionalen vollständigen Durchschnitte maximale Cayley-Bacharach Schemata sind (vgl. Korollar 15.8). Andererseits geben wir auch Kriterien dafür an, daß ein Cayley-Bacharach Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} nicht maximal ist. Diese Kriterien hängen von der Beschaffenheit des Ideals ⟨(I_{𝕏})_{≤σ_{𝕏}}⟩ ab (vgl. Satz 15.6). Aus ihnen ergibt sich z.B., daß Cayley-Bacharach Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit generischer Hilbert-Funktion fast nie maximal sind (vgl. Korollar 15.7). Es liegt also nahe zu vermuten, daß “spezielle” Cayley-Bacharach Schemata maximal sind, während “allgemeine” dies nicht sind. In einer Reihe weiterer Situationen bestätigt sich diese Vermutung, etwa für 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, die arithmetisch Gorenstein sind und α_{𝕏} ≥ 3 erfüllen, oder für gewisse determinantielle 0-dimensionale Schemata (vgl. Satz 15.11).

Versuchen wir, 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ 𝕍 eines 0-dimensionalen arithmetischen Gorenstein-Schemas 𝕍 ⊆ ℙ^{d} mittels Liaison aus dem zu 𝕏 residuellen Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕍 zu konstruieren, so benötigen wir die Zusammenhänge zwischen den numerischen Invarianten dieser drei Schemata (vgl. Satz 16.2) sowie eine Charakterisierung der Cayley-Bacharach Schemata mittels Liaison (vgl. Satz 16.3). Die letztere Charakterisierung lautet, daß 𝕏 genau dann ein Cayley-Bacharach Schema darstellt, wenn die homogenen Elemente kleinsten Grades des Ideals I_{𝕐/𝕍} von 𝕐 im homogenen Koordinatenring von 𝕍 nicht auf einem Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕍 mit 𝕐′ ⊇ 𝕐 und deg 𝕐′ = deg 𝕐+1 verschwinden. Dies ist insbesondere der Fall, wenn I_{𝕐/𝕍} von seinen homogenen Elementen kleinsten Grades erzeugt wird (vgl. Korollar 16.5). Wir zeigen an Beispielen, wie man auf diese Weise interessante Cayley-Bacharach Schemata konstruieren kann (vgl. die Beispiele 16.6 und 16.7 sowie [K8], §4). Auch maximale Cayley-Bacharach Schemata lassen sich mit Liaison charakterisieren (vgl. Korollar 16.8). Schließlich verallgemeinern wir [K1], 4.11 auf den nicht notwendig reduzierten Fall. Wir erhalten eine Serie von Bedingungen, die unter der Liaison dazu äquivalent sind, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema darstellt, und die besonders für die effektive Prüfung dieser Eigenschaft mit Hilfe eines Computers geeignet sind (vgl. Satz 16.9 und Abschnitt 20).

In Abschnitt 17 betrachten wir 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 der projektiven Ebene ℙ^{2}. In diesem Fall haben wir gegenüber der allgemeinen Situation zusätzliche Eigenschaften der Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏} und weitere zusätzliche Techniken zur Verfügung (vgl. Lemma 17.1). Insbesondere entspricht im reduzierten Fall der Zerlegung der Castelnuovo-Funktion in Schichten (vgl. Definition 17.2) eine Zerlegung des Schemas selbst, die wir die kanonische Zerlegung nennen (vgl. Satz 17.3). Mit Hilfe der kanonischen Zerlegung beweisen wir eine obere Schranke für die Kolänge des Führers 𝔉_{_{R}/R} = {r ∈ R̃ | r · R̃ ⊆ R} ⊆ R von R in seinem ganzen Abschluß R̃ (vgl. Satz 17.8). Diese Schranke hängt nur von der Castelnuovo-Funktion von 𝕏 ab und ist scharf, wie wir dadurch nachweisen, daß wir geeignete reduzierte 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{2} konstruieren (vgl. Satz 17.10). Ebenso beweisen wir eine untere Schranke für die Kolänge des Führeres ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) und zeigen, daß diese von den sogenannten Castenuovo-Schemata angenommen wird (vgl. Definition 17.11 und Satz 17.13). Am Ende dieses Abschnitts beweisen wir auch Abschätzungen für den Singularitätengrad ℓ(R̃/R) und die Superabundanz δ_{𝕏} = ℓ(R̃/R) − ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) eines reduzierten 0-dimensionalen Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{2} (vgl. Satz 17.16), die die Ungleichungen aus der lokalen Situation in [HK], 3.7 verfeinern und auch D. Gorensteins ursprüngliche Charakterisierung der Gorenstein-Ringe (vgl. [Gor], Thm. 6) verallgemeinern.

Als wir weiter oben Beispielklassen für Cayley-Bacharach Schemata betrachteten, fanden wir, daß viele determinantielle Schemata dazugehören. Daher studieren wir im 18. Abschnitt einige Charakterisierungen determinantieller 0-dimensionaler Schemata. Dabei unterscheiden wir zwischen standard determinantiellen Schemata, d.h. solchen, die von den maximalen Minoren einer homogenen t × (t + r)-Matrix 𝔄 homogener Polynome mit r = codim(𝕏) − 1 definiert werden, und gut determinantiellen Schemata, d.h. solchen, bei denen man zusätzlich verlangen kann, daß die Matrix 𝔄 (eventuell nach einem Basiswechsel) eine (t − 1) × (t + r)-Untermatrix enthält, deren maximale Minoren ein Unterschema der Kodimension r + 2 definieren.

Für 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} bedeutet dabei die Bedingung, gut determinantiell zu sein, nichts anderes als standard determinantiell und ein lokal vollständiger Durchschnitt zu sein (vgl. Satz 18.8). Ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} ist genau dann gut determinantiell, wenn es eine Kurve C ⊆ ℙ^{3} gibt, die arithmetisch Cohen-Macaulay und ein lokal vollständiger Durchschnitt ist, so daß 𝕏 ⊆ C das zu einem subkanonischen effektiven Cartier-Divisor assoziierte abgeschlossene Unterschema darstellt (vgl. Satz 18.5). Diese Charakterisierung verallgemeinert das entsprechende Resultat für 0-dimensionale vollständige Durchschnitte 𝕏 ⊆ ℙ^{3} in [K7], 1.3. Wollen wir sie zu einer Charakterisierung gut determinantieller 0-dimensionaler Unterschemata beliebiger projektiver Räume ausbauen, so brauchen wir die Beschreibung gut determinantieller Schemata als die Nullstellenschemata regulärer globaler Schnitte der Duale von ersten Buchsbaum-Rim Garben vom Rang codim 𝕏 (vgl. Satz 18.8). Hierbei sind erste Buchsbaum-Rim Garben definiert als die Kerne generisch surjektiver Morphismen endlich erzeugter, lokal freier O_{ℙ^{d}}-Moduln, deren Kokern einen Träger der erwarteten Dimension besitzt (vgl. Definition 18.6). Nun erhalten wir, daß ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} genau dann gut determinantiell ist, wenn es auf einer gut determinantiellen Kurve C ⊆ ℙ^{d}, die ein lokal vollständiger Durchschnitt ist, das zu einem effektiven Cartier-Divisor assoziierte abgeschlossene Unterschema darstellt, und wenn es eine exakte Sequenz

0 ⟶ O_{C}(i) ⟶ M̃ ⟶ O_{𝕏} ⟶ 0

mit i, j ∈ ℤ und einem gewissen Modul M ∈ M_{C} gibt (vgl. Korollar 18.12). Wir geben auch noch Verallgemeinerungen zur Charakterisierung beliebig kodimensionaler, gut determinantieller Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sowie zur Charakterisierung vollständiger Durchschnitte an (vgl. die Sätze 18.11 und 18.13).

Im 19. Abschnitt betrachten wir den Fall, daß char (K) = p > 0 ist und 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema darstellt, das für ein q = p^{e} mit e > 0 nur aus 𝔽_{q}-rationalen Punkten besteht. In diesem Fall gibt es starke Einschränkungen an die möglichen Hilbert-Funktionen von 𝕏. Zum Beispiel kann die Invariante σ_{𝕏} nur bestimmte Werte annehmen (vgl. Satz 19.2). In den Fällen p = 2 und d = 2 geben wir diese möglichen Werte alle an (vgl. die Sätze 19.5 und 19.6), und im allgemeinen Fall bestimmen wir sie für viele Fälle im Bereich d + 1 ≤ deg 𝕏 ≤ \frac{q^{d+1}−1}{q−1} = deg ℙ^{d}(𝔽_{q}) (vgl. Satz 19.3). Derartige 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} liefern eine ganze Reihe von linearen Koden C^{r} ⊆ 𝔽_{q}^{s} mit 1 ≤ r ≤ σ_{𝕏} und s = deg 𝕏 (vgl. Bemerkung 19.8). Die Invarianten und geometrischen Eigenschaften von 𝕏 sind auf das Engste mit den in der Kodierungstheorie untersuchten Größen wie Länge, Dimension und Minimalabstand linearer Koden verbunden (vgl. die Sätze 19.9 und 19.10). Beispielsweise gibt es in der Kodierungstheorie die sogenannten MDS-Koden C ⊆ 𝔽_{q}^{s}, die dadurch definiert sind, daß sie in der Singleton-Schranke (vgl. Satz 19.7) den Maximalwert für den Minimalabstand annehmen. Für aus 0-dimensionalen Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} wie oben gewonnene Koden C^{r} ⊆ 𝔽_{q}^{s} bedeutet diese Bedingung, daß 𝕏 ein (s − H_{𝕏}(r))-uniformes Schema sein muß (vgl. Korollar 19.11). Die Matrix 𝔅 (bzw. 𝔅̃) aus den ersten beiden Kapiteln ist gerade die Parity-Check Matrix des Kode C^{σ_{𝕏}}, der damit dual ist zu dem der σ_{𝕏}-ten kanonischen Transformierten von 𝕏 zugeordneten Kode (vgl. auch [RT]). Allgemeiner kann man auf analoge Weise allen homogenen Komponenten des kanonischen Ideals von 𝕏 lineare Koden zuordnen, die zu den Koden dual sind, die den kanonischen Transformierten von 𝕏 entsprechen.

Unser 20. und letzter Abschnitt stellt die wichtigsten Methoden vor, wie man die im Verlauf der Arbeit aufgetretenen Bedingungen, Begriffe und Invarianten mit Hilfe der Computeralgebra berechnen oder prüfen kann. Für reduzierte 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, die durch die Koordinaten ihrer Punkte gegeben sind, empfiehlt sich der Buchberger-Möller Algorithmus zur Bestimmung des homogenen Verschwindungsideals, da er sehr effizient ist und zugleich weitere wertvolle Informationen liefert (vgl. Satz 20.1). Der Algorithmus zur Berechnung einer minimalen homogenen Präsentation des A-Moduls ω_{R} beruht auf der Formel ω_{R} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])(−1), mit der wir die Elemente von ω_{R} als K[x_{0}]-lineare Abbildungen auffassen können. Ist das Ordnungsideal von J_{𝕏} = I_{𝕏}|_{X_{0}=1} bzgl. einer gradkompatiblen Termordnung von K[X_{1}, …, X_{d}] gegeben durch {T_{1}, …, T_{s}} mit s = deg 𝕏, so stellen die Bilder t_{i} = T_{i} + I_{𝕏} ∈ R mit 1 ≤ i ≤ s eine K[x_{0}]-Basis von R dar, und die Projektionen p_{i}(t_{j}) = δ_{ij} für i, j = 1, …, s erzeugen ω_{R} (vgl. Satz 20.2). Man kann sich dabei sogar auf die Projektionen auf die Sockelmonome 𝔖(O_{σ}(J_{𝕏})) = {T ∈ O_{σ}(J_{𝕏}) | X_{i} · T ∉ O_{σ}(J_{𝕏}) für i = 1, …, d} beschränken und erhält eine Gröbner-Basis von ω_{R} (vgl. Satz 20.3). Nun muß man noch die Syzygien dieser Gröbner-Basis berechnen und minimalisieren.

Das kanonische Ideal eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ergibt sich aus diesem Algorithmus und dem Isomorphismus ℑ_{R/K[x_{0}]} ≅ ω_{R}(−2σ_{𝕏} − 1), und den Kählerschen Differentialmodul Ω_{R/K}^{1} haben wir im vierten Abschnitt sowieso explizit präsentiert. Will man prüfen, ob ein durch sein Verschwindungsideal I_{𝕏} ⊆ A gegebenes 0-dimensioanles Schema 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist, so kann man aus der Liaison-Technik aus Abschnitt 16 einen geeigneten Algorithmus ableiten. Die Prüfung höherer Uniformitäten läuft wegen Satz 7.6 meist darauf hinaus, daß man eine lineare Abbildung U ⊗V ⟶ W endlichdimensionaler K-Vektorräume auf Biinjektivität hin testen muß. Hierfür geben wir ebenfalls zwei geeignete Algorithmen an (vgl. die Bemerkungen 20.5 und 20.6). Ist man an den graduierten Betti-Zahlen und den Gradverschiebungen in der minimalen graduiert-freien A-Auflösung von R interessiert, so kann man diese entweder mit den Standardverfahren der Gröbner-Basis Theorie berechnen, oder – falls man z.B. nur die letzten Moduln der Auflösung wissen will – zuerst den obigen Algorithmus zur Bestimmung einer Präsentation von ω_{R} anwenden und dann diesen Modul auflösen. Besitzt ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} schließlich eine generische Hilbert-Funktion H_{𝕏}(i) = min{H_{ℙ^{d}}(i), deg 𝕏} für alle i ∈ ℤ, so genügt es, den linearen Teil der Auflösung von I_{𝕏} oder den linearen Teil der Auflösung von ω_{R} zu finden (vgl. Satz 20.7 und Definition 20.8), um alle graduierten Betti-Zahlen und alle Gradverschiebungen zu erhalten.

I. Grundlegende Objekte

1. Der homogene Koordinatenring

Zu Beginn dieser Arbeit beschreiben wir die ihr zugrunde liegende Situation. Wir führen eine Reihe von Vereinbarungen und Notationen ein, die wir im weiteren beibehalten. Die meisten Ergebnisse sind auch in den Arbeiten [K1], [K2], [K3] und [K4] erklärt. Für allgemeine Resultate der algebraischen Geometrie verweisen wir auf das Buch [H1].

In dieser Arbeit gehen wir stets von einem algebraisch abgeschlossenen Grundkörper K beliebiger Charakteristik aus. Mit ℙ^{d} bezeichnen wir den d-dimensionalen projektiven Raum über K. Unser Hauptinteresse gilt dem Studium eines 0-dimensionalen abgeschlossenen Unterschemas 𝕏 von ℙ^{d}. Da wir die Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} immer festhalten, sagen wir auch “𝕏 hat die Eigenschaft P” anstelle von “die Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} hat die Eigenschaft P”.

Der homogene Koordinatenring von ℙ^{d} ist der Polynomring A = K[X_{0}, …, X_{d}], den wir mit der Graduierung deg X_{0} = ⋯ = deg X_{d} = 1 versehen. Mit I_{𝕏} bezeichnen wir das homogene Verschwindungsideal von 𝕏, d.h. wir setzen I_{𝕏} = ⊕_{i≥0}H^{0}(ℙ^{d}, J_{𝕏}(i)), wenn J_{𝕏} ⊆ O_{ℙ^{d}} die 𝕏 definierende Idealgarbe ist. Bekanntlich ist I_{𝕏} ein saturiertes Ideal von A, d.h. aus (X_{0}, …, X_{d})^{i} · F ∈ I_{𝕏} für ein F ∈ A und ein i ≥ 0 folgt F ∈ I_{𝕏}. Der Restklassenring R = A/I_{𝕏} heißt der homogene (oder projektive) Koordinatenring von 𝕏. Der Ring R = ⊕_{i≥0}R_{i} = ⊕_{i≥0}A_{i}/(I_{𝕏})_{i} ist ein sogenannter standard-graduierter Ring, d.h. es ist R_{0} = K ein Körper, der K-Vektorraum R_{1} ist endlich-dimensional, und R wird als K-Algebra von R_{1} erzeugt. Das eindeutige homogene maximale Ideal von R bezeichnen wir mit 𝔪 = ⊕_{i>0}R_{i}, und für i = 0, …, d schreiben wir x_{i} für die Restklasse von X_{i} in R.

Als 0-dimensionales Schema besitzt 𝕏 einen Träger Supp (𝕏) = {P_{1}, …, P_{s}}, der aus endlich vielen abgeschlossenen Punkten von ℙ^{d} besteht. Der Grad von 𝕏 als projektives Unterschema von ℙ^{d} ist durch deg 𝕏 = ∑_{i=1}^{s} length(O_{𝕏,P_{i}}) = ∑_{i=1}^{s} dim_{K}(O_{𝕏,P_{i}}) gegeben und stimmt überein mit der Länge des Rings H^{0}(𝕏, O_{𝕏}). Für i = 1, …, s entspricht der Punkt P_{i} einem homogenen Primideal 𝔓_{i} von A, dessen Bild in R ein minimales homogenes Primideal 𝔭_{i} ist. Der lokale Ring O_{𝕏,P_{i}} ist dann auch die homogene Lokalisation von R im Primideal 𝔭_{i}.

1.1. Voraussetzung. Wenn nicht ausdrücklich anders erwähnt, setzen wir für den Rest dieser Arbeit stets voraus, daß das Koordinatensystem {X_{0}, …, X_{d}} von ℙ^{d} so gewählt wurde, daß kein Punkt des Trägers von 𝕏 auf der Hyperebene Z(X_{0}) liegt.

Gelegentlich werden wir Z(X_{0}) als die unendlich ferne Hyperebene bezeichnen. Das Schema 𝕏 ist ein abgeschlossenes Unterschema des zu Z(X_{0}) komplementären affinen Raums 𝔸^{d} ≅ D_{+}(X_{0}) und hat als solches den affinen Koordinatenring S = H^{0}(𝕏, O_{𝕏}) ≅ ∏_{i=1}^{s} O_{𝕏,P_{i}}.

1.2. Lemma. a) Unter der obigen Voraussetzung sind x_{0} und x_{0} − 1 Nichtnullteiler des Rings R.

b) Es gilt S ≅ R/(x_{0} − 1).

c) Der Ring R ist ein 1-dimensionaler Cohen-Macaulay Ring.

d) Der Ring \overline{R} = R/(x_{0}) ist ein 0-dimensionaler lokaler Ring mit maximalem Ideal \overline{𝔪} = (𝔪 + (x_{0}))/(x_{0}) und insbesondere ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum.

Beweis: Nach Vor. 1.1 liegt das Element x_{0} in keinem der minimalen Primideale 𝔭_{1}, …, 𝔭_{s} von R und ist daher ein Nichtnullteiler. Gilt (x_{0} −1)f = 0 für ein f ∈ R\{0}, so zerlegen wir f in seine homogenen Komponenten f = f_{0} + ⋯ + f_{δ} mit f_{i} ∈ R_{i} und f_{δ} ≠ 0 und erhalten aus x_{0}f_{δ} = 0 einen Widerspruch. Also ist auch x_{0} − 1 ein Nichtnullteiler von R. Behauptung b) folgt aus (R_{x_{0}})_{0} ≅ R/(x_{0} − 1) und [H1], II.5.11 sowie II.5.16. Teil c) ergibt sich aus a) und [H1], I.7.5, und d) ist eine Konsequenz von c). □

Die Funktion H_{𝕏} : ℤ ⟶ ℕ, die durch i ⟼ dim_{K} R_{i} gegeben ist, heißt die Hilbert-Funktion von 𝕏. Ihre erste Differenzenfunktion ΔH_{𝕏} : ℤ ⟶ ℕ mit ΔH_{𝕏}(i) = H_{𝕏}(i) − H_{𝕏}(i − 1) für i ∈ ℤ nennen wir auch die Castelnuovo-Funktion von 𝕏. Das nächste Lemma faßt einige wichtige Eigenschaften dieser Funktionen zusammen.

1.3. Lemma. a) Für i < 0 gilt H_{𝕏}(i) = 0 und H_{𝕏}(0) = 1.

b) Die Zahl H_{𝕏}(1) − 1 ist die Dimension des kleinsten linearen Teilraums von ℙ^{d}, der 𝕏 enthält.

c) Es gibt eine eindeutig bestimmte Zahl σ_{𝕏} ≥ −1 mit H_{𝕏}(σ_{𝕏}) < deg 𝕏 und H_{𝕏}(i) = deg 𝕏 für i ≥ σ_{𝕏} + 1.

d) Es gilt 1 = H_{𝕏}(0) < ⋯ < H_{𝕏}(σ_{𝕏}) < deg 𝕏.

e) Genau dann gilt ΔH_{𝕏}(i) ≠ 0, wenn i ∈ {0, …, σ_{𝕏} + 1} ist.

Beweis: Die Behauptungen a) und b) sind klar. Für i >> 0 stimmt H_{𝕏}(i) mit dem Hilbert-Polynom von 𝕏 überein, welches das konstante Polynom deg 𝕏 ist. Wegen Lemma 1.2.a ist H_{𝕏} monoton zunehmend. Aus der exakten Sequenz

0 ⟶ R(−1) ⟶^{x_{0}} R ⟶ \overline{R} ⟶ 0

ergibt sich, daß ΔH_{𝕏} auch die Hilbert-Funktion von \overline{R} ist. Da \overline{R} ebenfalls eine standardgraduierte K-Algebra darstellt, folgen die Behauptungen d) und e). □

Den letzten nichtverschwindenden Wert der Castelnuovo-Funktion bezeichnen wir mit Δ_{𝕏} = H_{𝕏}(σ_{𝕏} + 1) − H_{𝕏}(σ_{𝕏}). Außerdem werden wir gelegentlich die Zahl α_{𝕏} = min\{i ∈ ℤ | H_{𝕏}(i) < \binom{d+i}{d}\} = min\{i ∈ ℤ | (I_{𝕏})_{i} ≠ (0)\} benötigen. Aus der Tatsache, daß dim_{K} R_{i} = deg 𝕏 ist für i ≥ σ_{𝕏} + 1, und weil x_{0} ein Nichtnullteiler von R ist, folgt R_{i} = x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1}R_{σ_{𝕏}+1} für jedes i ≥ σ_{𝕏} + 1. Um den Ring R vom Grad σ_{𝕏} + 1 an zu kennen, genügt es also, die homogene Komponente R_{σ_{𝕏}+1} genauer zu beschreiben.

Der kanonische Epimorphismus R −↠ R/(x_{0} − 1) = S wirkt durch die Dehomogenisierung x_{0} ↦ 1. Setzen wir J_{𝕏} = I_{𝕏}/(I_{𝕏}∩(X_{0}−1)), so gilt S = K[X_{1}, …, X_{d}]/J_{𝕏}, und wir können S mit der durch die Gradfiltrierung von K[X_{1}, …, X_{d}] induzierten aufsteigenden Filtrierung F versehen. Das Ideal I_{𝕏} ist dann die Homogenisierung von J_{𝕏} bzgl. dieser Filtrierung, d.h. es gilt I_{𝕏} = (F^{∗})_{F ∈J_{𝕏}} mit F^{∗} = X_{0}^{deg F} · F (\frac{X_{1}}{X_{0}} , …, \frac{X_{d}}{X_{0}} ) für F ∈ K[X_{1}, …, X_{d}].

1.4. Lemma. Die Einschränkung der Dehomogenisierung R −↠ S (x_{0} ⟼ 1) auf die homogenen Elemente vom Grad σ_{𝕏} + 1 liefert einen Isomorphismus R_{σ_{𝕏}+1} ⟶^{∼} S von K-Vektorräumen.

Beweis: Da das Hauptideal (x_{0} − 1) ⊆ R keine nichttrivialen homogenen Elemente enthält, ist die angegebene Abbildung injektiv. Sie ist auch surjektiv, weil jedes Element f ∈ S wegen gr_{F}(S) ≅ \overline{R} einen Repräsentanten F vom Grad deg F ≤ σ_{𝕏} + 1 in K[X_{1}, …, X_{d}] besitzt, und da X_{0}^{σ_{𝕏}+1−deg F} · F^{∗} + I_{𝕏} auf f abgebildet wird. □

Kombinieren wir diesen mit dem kanonischen Isomorphismus S ≅ ∏_{i=1}^{s} O_{𝕏,P_{i}}, so erhalten wir einen Isomorphismus von K-Vektorräumen ı : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶^{∼} ∏_{i=1}^{s} O_{𝕏,P_{i}}, der jedes homogene Element r ∈ R_{σ_{𝕏}+1} auf das Tupel seiner Keime (r_{P_{1}}, …, r_{P_{s}}) abbildet. Insbesondere gilt hierbei ı(x_{0}^{σ_{𝕏}+1}) = (1, …, 1). Als Anwendung erhalten wir z.B. die folgende Charakterisierung der homogenen Nichtnullteiler von R.

1.5. Lemma. Sei r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 ein homogenes Element von R. Gilt i ≤ σ_{𝕏} + 1, so bilden wir r̃ = x_{0}^{σ_{𝕏}+1−i} · r, und im Falle i > σ_{𝕏} + 1 schreiben wir r = x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1} · r̃ mit r̃ ∈ R_{σ_{𝕏}+1}. Genau dann ist r ein Nichtnullteiler von R, wenn jede Komponente von ı(r̃) eine Einheit ist.

Beweis: Offenbar ist r genau dann ein Nichtnullteiler von R, wenn r̃ einer ist. Ist r̃_{P_{i}} für ein i ∈ {1, …, s} keine Einheit, so gibt es ein Element s_{i} ∈ O_{𝕏,P_{i}} \ {0} mit s_{i} · r̃_{P_{i}} = 0. Dann ist r̃ kein Nichtnullteiler, denn ı^{−1}((0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0)) ∈ R_{σ_{𝕏}+1} ist ungleich Null und annulliert r̃. Ist umgekehrt r̃ ein Nichtnullteiler, so ist für 1 ≤ i ≤ s auch r̃_{P_{i}} ein Nichtnullteiler, also eine Einheit von O_{𝕏,P_{i}}. □

Als nächstes untersuchen wir die Verbindungen zwischen den Idealen von R und den Unterschemata von 𝕏. Das folgende Lemma ist hierbei oft nützlich.

1.6. Lemma. a) Die Unterschemata von X entsprechen eineindeutig den saturierten homogenen Idealen von R, die echt in 𝔪 enthalten sind.

b) Ist J ⊆ R ein Ideal, so ist seine Saturierung J^{sat} = {r ∈ R | 𝔪^{i}·r ⊆ J für ein i ≥ 0} bereits gegeben durch

J^{sat} = {r ∈ R | x_{0}^{i} · r ∈ J für ein i ≥ 0}.

Beweis: Behauptung a) ist offenbar nur eine geeignete Version des Hilbertschen Nullstellensatzes. Zum Beweis der nichttrivialen Inklusion in b) sei r ∈ R mit x_{0}^{i} · r ∈ J für ein i ≥ 0 vorgegeben. Wegen R_{j} = x_{0}^{j−σ_{𝕏}−1} · R_{σ_{𝕏}+1} für j ≥ σ_{𝕏} + 1 gilt dann 𝔪^{σ_{𝕏}+1+i} · r = 𝔪^{σ_{𝕏}+1} · x_{0}^{i} · r ⊆ J. □

Von besonderer Bedeutung sind die Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1. Das einem solchen Unterschema gemäß Lemma 1.6.a entsprechende Ideal von R bezeichnen wir mit I_{𝕐/𝕏}, und wir setzen α_{𝕐/𝕏} = min{i ∈ ℤ | (I_{𝕐/𝕏})_{i} ≠ (0)}. Der homogene Koordinatenring von 𝕐 ist R_{𝕐} = R/I_{𝕐/𝕏}. Nach Lemma 1.2.a ist die Restklasse von x_{0} in R_{𝕐} ein Nichtnullteiler, und für den Ring \overline{R}_{𝕐} = R/(I_{𝕐/𝕏} + (x_{0})) gilt dim_{K} \overline{R}_{𝕐} = deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1. Hieraus folgt, daß das Bild von I_{𝕐/𝕏} in \overline{R} einen 1-dimensionalen K-Vektorraum darstellt und im Sockel von \overline{R} enthalten ist. Zusammenfassend können wir daher die Hilbert-Funktion von 𝕐 wie folgt beschreiben.

1.7. Lemma Sei 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1.

a) Die Hilbert-Funktion von 𝕐 ist gegeben durch

H_{𝕐}(i) = \{ \begin{matrix}H_{𝕏}(i) & für i < α_{𝕐/𝕏}, \\ H_{𝕏}(i) − 1 & für i ≥ α_{𝕐/𝕏}. \end{matrix}

b) Es gilt α_{𝕐/𝕏} ≤ σ_{𝕏} + 1.

Ein homogenes Element f_{𝕐}^{∗} ≠ 0 von I_{𝕐/𝕏} vom Grad α_{𝕐/𝕏} nennen wir einen minimalen Separator von 𝕐. Für jedes i ≥ 0 ist dann das Element x_{0}^{i} · f_{𝕐}^{∗} eine K-Basis von (I_{𝕐/𝕏})_{α_{𝕐/𝕏}+i}. Nach Lemma 1.7.b gibt es stets ein von Null verschiedenes Element in (I_{𝕐/𝕏})_{σ_{𝕏}+1}. Ein solches Element f_{𝕐} nennen wir einen Separator von 𝕐. Das folgende Beispiel zeigt, daß es nicht immer ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 geben muß, für das α_{𝕐/𝕏} = σ_{𝕏} + 1 ist (vgl. [K1], 1.11). Insbesondere entsprechen den Sockelelementen ≠ 0 von \overline{R} nicht unbedingt Unterschemata von 𝕏.

1.8. Beispiel. Das 0-dimensionale Schema 𝕏 = Z(X_{1}^{2}, X_{1}X_{2}, X_{2}^{3} − X_{0}^{2}X_{1}) ⊆ ℙ^{2} hat Grad vier, Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 3 4 ⋯ und ein einziges Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad drei mit α_{𝕐/𝕏} = 1 < 2 = σ_{𝕏} + 1.

Wenden wir den obigen Isomorphismus ı : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ ∏_{i=1}^{s} O_{𝕏,P_{i}} auf einen Separator f_{𝕐} eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 an, so erhalten wir ı(f_{𝕐}) = (0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0) mit 1 ≤ i ≤ s und einem Element s_{i} des Sockels 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}) = {r ∈ O_{𝕏,P_{i}} | 𝔪_{𝕏,P_{i}} · r = 0} von O_{𝕏,P_{i}}. Umgekehrt definiert jedes Element (0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0) ∈ ∏_{i=1}^{s} O_{𝕏,P_{i}} ≅ S mit 1 ≤ i ≤ s und s_{i} ∈ 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}) offensichtlich ein Unterschema 𝕐 von 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1, das ı^{−1}((0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0)) zum Separator hat. Diese lokale Beschreibung der Separatoren erlaubt es uns, die Multiplikation in R in den homogenen Komponenten vom Grad ≥ σ_{𝕏} + 1 noch weiter zu detaillieren.

1.9. Lemma. a) Ist f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} ein Separator eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1, und ist r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 ein homogenes Element, so gilt r · f_{𝕐} = ϱ · x_{0}^{i} · f_{𝕐} mit einem Element ϱ ∈ K.

b) Sind 𝕐 und 𝕐′ zwei Unterschemata von 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕐′ = deg 𝕏 − 1 mit Separatoren f_{𝕐}, f_{𝕐′} ∈ R_{σ_{𝕏}+1}, so gilt

f_{𝕐} · f_{𝕐′} ∈ \{ \begin{matrix}K · x_{0}^{σ_{𝕏}+1} · f_{𝕐} & falls dim_{K} O_{𝕏,P} = 1 und 𝕐 = 𝕐′ = 𝕏 \ \{P \}, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Beweis: Dies ergibt sich sofort durch Anwendung des obigen Isomorphismus ı. □

Im letzten Teil dieses Abschnitts wollen wir einige zusätzliche Eigenschaften des homogenen Koordinatenrings eines reduzierten 0-dimensionalen Schemas aufführen. Sei also Supp (𝕏) = {P_{1}, …, P_{s}} mit s = deg 𝕏, und für i = 1, …, s sei P_{i} = (1 : p_{i1} : …: p_{id}) mit p_{ij} ∈ K. Für jedes homogene Element r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 und für jeden Punkt P_{j} ∈ Supp (𝕏) mit 1 ≤ j ≤ s setzen wir r(P_{j}) = r(1, p_{j1}, …, p_{jd}). Auf diese Weise entspricht jedes Unterschema 𝕐 = 𝕏 \ {P_{i}} mit 1 ≤ i ≤ s einem eindeutigen normierten Separator f_{i} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} mit f_{i}(P_{j}) = δ_{ij} für 1 ≤ j ≤ s. Das nächste Lemma zeigt, daß ein Fall wie Beispiel 1.8 in der reduzierten Situation unmöglich ist, und daß man Lemma 1.9 hier noch weiter präzisieren kann.

1.10. Lemma. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema vom Grad s.

a) Es gibt mindestens Δ_{𝕏} + 1 verschiedene Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 der Form 𝕐 = 𝕏 \ {P_{i}} mit 1 ≤ i ≤ s, so daß α_{𝕐/𝕏} = σ_{𝕏} + 1 gilt.

b) Für jede Zahl j ∈ {1, …, s} gibt es ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = j und mit H_{𝕐}(i) = min{H_{𝕏}(i), deg 𝕐} für alle i ∈ ℤ.

c) Für jedes i ≥ σ_{𝕏} + 1 bilden die Elemente {x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1} · f_{1}, …, x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1} · f_{s}} eine K-Basis von R_{i}.

d) Für jedes Element r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 und für 1 ≤ j ≤ s gilt r · f_{j} = r(P_{j}) · x_{0}^{i} · f_{j}. Insbesondere is f_{i}f_{j} = δ_{ij} · x_{0}^{σ_{𝕏}+1} · f_{i} für i, j ∈ {1, …, s}.

Beweis: Dies ist in [K1], 1.14 und 3.2 bewiesen. □

Schließlich können wir im reduzierten Fall auch eine explizite Basis von R_{σ_{𝕏}} angeben. Dazu bezeichnen wir für i = 1, …, s das Bild von f_{i} in \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} mit Lf_{i} und nennen es die Leitform von f_{i}. Wegen Lemma 1.10.c bilden die Leitformen {Lf_{1}, …, Lf_{s}} ein Erzeugendensystem des Δ_{𝕏}-dimensionalen K-Vektorraums \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}. O.E. numerieren wir die Punkte von 𝕏 so um, daß \{Lf_{1}, …, Lf_{Δ_{𝕏}}\} eine K-Basis von \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} darstellt. Dann schreiben wir

Lf_{Δ_{𝕏}+j} = β_{j1}Lf_{1} + ⋯ + β_{jΔ_{𝕏}}Lf_{Δ_{𝕏}}

mit β_{j1}, …, β_{jΔ_{𝕏}} ∈ K für j = 1, …, s − Δ_{𝕏}, und wir bilden die Matrix 𝔅 = (β_{ji})^{transp.}.

1.11. Lemma. a) Für i = 1, …, Δ_{𝕏} gilt β_{1i} + ⋯ + β_{s−Δ_{𝕏} i} = −1.

b) Es gibt eindeutig bestimmte Elemente g_{1}, …, g_{s−Δ_{𝕏}} ∈ R_{σ_{𝕏}}, so daß für j = 1, …, s−Δ_{𝕏} gilt x_{0}·g_{j} = f_{Δ_{𝕏}+j} −β_{j1}f_{1}−⋯−β_{jΔ_{𝕏}}f_{Δ_{𝕏}}. Diese Elemente {g_{1}, …, g_{s−Δ_{𝕏}}} bilden eine K-Basis von R_{σ_{𝕏}}.

Beweis: Behauptung a) ergibt sich aus der Gleichung f_{1} + ⋯ + f_{s} = x_{0}^{σ_{𝕏}+1} durch Übergang zu \overline{R}. Die zweite Behauptung folgt aus der Tatsache, daß die Elemente f_{Δ_{𝕏}+j} − β_{j1}f_{1} − ⋯ − β_{jΔ_{𝕏}}f_{Δ_{𝕏}} mit 1 ≤ j ≤ s − Δ_{𝕏} in x_{0}R_{σ_{𝕏}} liegen und K-linear unabhängig sind. □

Die Matrix 𝔅 hängt in ersichtlicher Weise von der Numerierung von {P_{1}, …, P_{s}} ab. Ihre Abhängigkeit von der Wahl des linearen Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1} wird durch die folgende Transformationsregel geklärt.

1.12. Lemma. Sei ℓ ∈ R_{1} ein Nichtnullteiler, und seien die Konstanten β_{ji}^{ℓ} wie oben konstruiert, aber unter Verwendung von ℓ statt x_{0}. Dann gilt

β_{ji}^{ℓ} = \frac{ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}}}{ℓ(P_{i})^{σ_{𝕏}}} · β_{ji}

für i = 1, …, Δ_{𝕏} und j = 1, …, s − Δ_{𝕏}.

Beweis: Seien f_{1}^{ℓ}, …, f_{s}^{ℓ} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} die Separatoren, die bzgl. ℓ normiert sind. Dann liefert f_{1}^{ℓ} + ⋯ + f_{s}^{ℓ} = ℓ^{σ_{𝕏}+1} die Beziehungen f_{i}^{ℓ} = ℓ(P_{i})^{σ_{𝕏}+1} · f_{i} für i = 1, …, s. Nun braucht man nur noch zu beachten, daß

f_{Δ_{𝕏}+j}^{ℓ} − \frac{ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}}}{ℓ(P_{i})^{σ_{𝕏}}} · β_{j1}f_{1}^{ℓ} − ⋯ − \frac{ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}}}{ℓ(P_{i})^{σ_{𝕏}}} · β_{jΔ_{𝕏}}f_{Δ_{𝕏}}^{ℓ}

= ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}+1}f_{Δ_{𝕏}+j} − ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}}ℓ(P_{1})β_{j1}f_{1} − ⋯ − ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}}ℓ(P_{Δ_{𝕏}})β_{jΔ_{𝕏}}f_{Δ_{𝕏}} = ℓ(P_{Δ_{𝕏}+j})^{σ_{𝕏}}ℓg_{j}

für j = 1, …, s − Δ_{𝕏} ein Element von ℓR_{σ_{𝕏}} darstellt. □

2. Der kanonische Modul

Im vorangegangenen Abschnitt haben wir den homogenen Koordinatenring R = K[X_{0}, …, X_{d}]/I_{𝕏} eines 0-dimensionalen Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} studiert. Sucht man weitere, der Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zugeordnete, algebraische Objekte, so bietet sich die Kategorie der endlich erzeugten graduierten R-Moduln an. Sind M und N zwei solche Moduln, so besteht die Menge der Morphismen φ : M ⟶ N in dieser Kategorie aus den homogenen R-linearen Abbildungen φ vom Grad Null. Mit \underline{Hom}_{R}(M, N) bezeichnen wir den graduierten R-Modul, dessen homogene Komponente vom Grad i ∈ ℤ gerade die Menge der homogenen R-linearen Abbildungen φ : M ⟶ N(i) ist. Hierbei sei N(i) der um i gradverschobene Modul N, d.h. es gelte N(i)_{j} = N_{i+j} für alle j ∈ ℤ.

Der Funktor H_{𝔪}^{0}(M) = {x ∈ M | 𝔪^{i} · x = 0 für ein i ≥ 0} ist ein links-exakter kovarianter Funktor von der Kategorie der endlich erzeugten graduierten R-Moduln in sich. Für alle i ≥ 0 besitzt er rechts-abgeleitete Funktoren H_{𝔪}^{i}(M). Die Moduln H_{𝔪}^{i}(M) sind graduierte R-Moduln, die mit den üblichen lokalen Kohomologiemoduln übereinstimmen, wenn man ihre Graduierung vergißt.

2.1. Definition. Der graduierte R-Modul ω_{R} = \underline{Hom}_{K}(H_{𝔪}^{1}(R), K) heißt der kanonische Modul von R. Hierbei versehen wir K mit der trivialen Graduierung und setzen r · φ(x) = φ(r · x) für alle r ∈ R, x ∈ H_{𝔪}^{1}(R) und φ : H_{𝔪}^{1}(R) ⟶ K.

Die Bedeutung des R-Moduls ω_{R} ergibt sich aus der Dualitätstheorie. Genauer wird z.B. in [GW], 2.1.6 der folgende Satz bewiesen.

2.2. Satz. (Graduierter Dualitätssatz)

Sei M ein endlich erzeugter graduierter R-Modul. Dann gibt es einen kanonischen, in M funktoriellen Isomorphismus graduierter R-Moduln

\underline{Hom}_{R}(M, ω_{R}) ≅ \underline{Hom}_{K}(H_{𝔪}^{1}(M), K).

Im weiteren Verlauf dieser Arbeit werden wir vielfältige Beziehungen zwischen der R-Modulstruktur von ω_{R} und geometrischen Eigenschaften des Schemas 𝕏 aufzeigen. Zunächst wollen wir jedoch eine einfachere Darstellung des kanonischen Moduls finden und seine Elemente möglichst explizit beschreiben. Da das Element x_{0} ∈ R_{1} ein Nichtnullteiler ist, bildet die Inklusion K[x_{0}] ⊆ R eine Noethersche Normalisierung der K-Algebra R. Als Cohen-Macaulay Ring ist R somit ein endlich erzeugter freier K[x_{0}]- Modul vom Rang deg 𝕏. Jetzt liefert [GW], 2.2.9 die gesuchte Beschreibung von ω_{R}.

2.3. Satz. a) Es gibt einen kanonischen Isomorphismus graduierter R-Moduln

ω_{R} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])(−1).

Hierbei ist die R-Modulstruktur von \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]) definiert durch r·φ(s) = φ(r·s) für r, s ∈ R und φ : R ⟶ K[x_{0}].

b) Der graduierte R-Modul ω_{R} ist endlich erzeugt.

c) Das Element x_{0} ∈ R_{1} ist ein Nichtnullteiler für ω_{R}, d.h. aus x_{0}φ = 0 für ein φ ∈ ω_{R} folgt φ = 0.

Beweis: Behauptung a) folgt aus [GW], 2.2.8 und 2.2.9. Die Behauptungen b) sowie c) ergeben sich sofort aus ihr. □

Die Hilbert-Funktion H_{ω_{R}}(i) = dim_{K}(ω_{R})_{i} des kanonischen Moduls kann man für jedes i ∈ ℤ entweder direkt aus Satz 2.3.a ermitteln (vgl. [K1], 3.1) oder aus der Dimensionsbilanz von Grothendiecks Lokal-Global-Sequenz

0 ⟶ R ⟶ Γ_{∗}(O_{𝕏}) ⟶ H_{𝔪}^{1}(R) ⟶ 0

(vgl. [GW], 5.1.6) folgern. In jedem Falle ergibt sich

H_{ω_{R}}(i) = deg 𝕏 − H_{𝕏}(−i)

für alle i ∈ ℤ. Insbesondere ist also −σ_{𝕏} = min{i ∈ ℤ | (ω_{R})_{i} ≠ (0)} der kleinste Grad eines von Null verschiedenen homogenen Elements von ω_{R}, und es gilt

H_{ω_{R}}(−σ_{𝕏}) = Δ_{𝕏} < ⋯ < H_{ω_{R}}(0) = deg 𝕏 − 1 < H_{ω_{R}}(1) = deg 𝕏 = H_{ω_{R}}(2) = · · · .

Von nun an werden wir mit Hilfe von Satz 2.3.a die Elemente von ω_{R} stets als K[x_{0}]- lineare Abbildungen R ⟶ K[x_{0}] betrachten. Der kanonische Modul des Koordinatenrings eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 erweist sich als ein Untermodul von ω_{R}.

2.4. Satz. Sei 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema mit homogenem Koordinatenring R_{𝕐} = R/I_{𝕐/𝕏}. a) Dann gilt ω_{R_{𝕐}} ≅ {φ ∈ ω_{R} | I_{𝕐/𝕏} · φ = 0}.

b) Ferner gilt σ_{𝕐} ≤ σ_{𝕏}.

Beweis: Behauptung a) ist ein Spezialfall von [GW], 2.2.9 und impliziert b). □

Nachfolgend führen wir einige Lemmata aus [K2] auf, die es uns erleichtern werden, mit den Elementen φ : R ⟶ K[x_{0}] von ω_{R} umzugehen.

2.5. Lemma. Für ein Element φ ∈ ω_{R} gilt φ = 0 genau dann, wenn die Einschränkung φ|_{R_{σ_{𝕏}+1}} : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ K[x_{0}] die Nullabbildung ist.

Beweis: Die nichttriviale Implikation folgt daraus, daß sich jedes homogene Element von R wie in Lemma 1.5 nur durch eine Potenz von x_{0} von einem Element von R_{σ_{𝕏}+1} unterscheidet (vgl. [K2], 1.4). □

2.6. Lemma. Die Elemente φ von (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} entsprechen durch Einschränkung eineindeutig den K-linearen Abbildungen \overline{φ} : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ K mit \overline{φ}(x_{0}R_{σ_{𝕏}}) = 0.

Beweis: Ist eine K-lineare Abbildung \overline{φ} : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ K mit \overline{φ}(x_{0}R_{σ_{𝕏}}) = 0 gegeben, so definiert man eine Abbildung φ : R ⟶ K[x_{0}] durch φ(r) = 0 für r ∈ R_{i} mit i ≤ σ_{𝕏} und durch φ(r) = x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1} · \overline{φ}(r̃) für r = x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1}r̃ ∈ R_{i} mit i ≥ σ_{𝕏} + 1. Durch Nachrechnen stellt man fest, daß die so definierte Abbildung φ sogar K[x_{0}]-linear ist, und daß man auf diese Weise die gewünschte Bijektion erhält (vgl. [K2], 1.5). □

2.7. Lemma. a) Für ein Element φ ∈ ω_{R} und einen Separator f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 gilt genau dann f_{𝕐} · φ = 0, wenn φ(f_{𝕐}) = 0 ist.

b) Für ein homogenes Element φ ∈ ω_{R} gilt genau dann Ann_{R}(φ) = (0), wenn für jeden Separator f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 die Bedingung φ(f_{𝕐}) ≠ 0 erfüllt ist.

Beweis: Um Behauptung a) einzusehen, nehmen wir an, daß φ(f_{𝕐}) = 0 ist und geben uns ein Element r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 vor. Dann gibt es nach Lemma 1.9.a ein ϱ ∈ K^{∗} mit (f_{𝕐}φ)(r) = φ(rf_{𝕐}) = φ(ϱx_{0}^{i}f_{𝕐}) = ϱx_{0}^{i}φ(f_{𝕐}) = 0. Die umgekehrte Implikation ist wegen φ(f_{𝕐}) = (f_{𝕐}φ)(1) klar.

Damit ist auch bereits die eine Richtung von b) gezeigt. Gilt rφ = 0 für ein homogenes Element φ ∈ ω_{R} und ein r ∈ R_{i} \ {0} mit i ≥ 0, so gibt es ein Vielfaches von r von der Form x_{0}^{j}f_{𝕐} mit j ≥ 0 und einem Separator f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 (vgl. [K2], 2.2.a). Alsdann zeigt Satz 2.3.a, daß aus x_{0}^{i}f_{𝕐}φ = 0 auch f_{𝕐}φ = 0 folgt, was wegen a) einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt. □

Schließlich wollen wir den Führer eines 0-dimensionalen Schemas definieren und seine Beziehung zum kanonischen Modul aufzeigen. Im reduzierten Fall spezialisieren sich die nachfolgenden Ausführungen auf [K1], 3.13 und 3.15. Der ℤ-graduierte Ring

Γ_{∗}(O_{𝕏}) = ⨁_{i∈ℤ} H^{0}(𝕏, O_{𝕏}(i)) ≅ ⨁_{i∈ℤ} S ≅ ⨁_{i∈ℤ}( ∏_{j=1}^{s}O_{𝕏,P_{j}}) ≅ ∏_{j=1}^{s}O_{𝕏,P_{j}}[T_{j}, T_{j}^{−1}] ≅ R_{x_{0}}

mit unabhängigen Variablen T_{1}, …, T_{s} enthält den Koordinatenring von 𝕏 als Unterring, und zwar vermöge der Injektion ĩ: R ⟶ ∏_{j=1}^{s} O_{𝕏,P_{j}}[T_{j}, T_{j}^{−1}], die für r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 gegeben ist durch ĩ(r) = (r_{P_{1}}T_{1}^{i}, …, r_{P_{s}}T_{s}^{i}).

Der Ring Γ_{∗}(O_{𝕏}) enthält auch den Ring R̃ = ∏_{j=1}^{s} O_{𝕏,P_{j}}[T_{j}] als ℕ-graduierten Unterring, und R̃ enthält das Bild von ĩ. Im Falle eines reduzierten 0-dimensionalen Schemas 𝕏 ist R̃ gerade der ganze Abschluß von R in seinem vollen Quotientenring (vgl. [O], S. 87).

2.8. Definition. Das Ideal 𝔉_{_{R}/R} = {r ∈ R̃ | r · R̃ ⊆ R} von R̃ heißt der Führer von R in R̃.

Im reduzierten Fall ist 𝔉_{_{R}/R} offenbar gerade der übliche Führer von R in seinem ganzen Abschluß. Für jedes r ∈ 𝔉_{_{R}/R} gilt r · 1 ∈ R, so daß der Führer sowohl ein Ideal von R̃ als auch eines von R bildet. Der nächste Satz beschreibt beide Ideale explizit. Für jedes i ∈ {1, …, s} und jedes Element r ∈ O_{𝕏,P_{i}} \ {0} sei dabei μ(r) = min{j ≥ 0 | (0, …, 0, rT_{i}^{j}, 0, …, 0) ∈ ĩ(R)} sowie ν(r) = max{μ(rr′) | r′ ∈ O_{𝕏,P_{i}}, rr′ ≠ 0}.

2.9. Satz. a) In R̃ gilt 𝔉_{_{R}/R} = (rT_{1}^{ν(r)})_{r∈O_{𝕏,P_{1}} \{0}}·O_{𝕏,P_{1}}[T_{1}]×⋯×(rT_{s}^{ν(r)})_{r∈O_{𝕏,Ps} \{0}}·

O_{𝕏,P_{s}}[T_{s}].

b) In R gilt 𝔉_{_{R}/R} = ({f_{r} | 1 ≤ i ≤ s, r ∈ O_{𝕏,P_{i}} \ {0}}), wobei f_{r} das Urbild von (0, …, 0, rT_{i}^{ν(r)}, 0, …, 0) unter ĩ sei.

Beweis: Auf Grund der obigen Beschreibung der Abbildung ĩ sind beide Behauptungen äquivalent. Für jedes Element (0, …, 0, rT_{i}^{ν(r)}, 0, …, 0) ∈ R̃ mit 1 ≤ i ≤ s und r ∈ O_{𝕏,P_{i}} \ {0} sowie für 1 ≤ j ≤ s und r′ ∈ O_{𝕏,P_{j}} \ {0} gilt

(0, …, 0, r′T_{j}^{0}, 0, …, 0) · (0, …, 0, rT_{i}^{ν(r)}, 0, …, 0) = (0, …, 0, δ_{ij}rr′T_{i}^{ν(r)}, 0, …, 0)

und ν(r) ≥ μ(rr′). Also ist dieses Produkt das ĩ(x_{0})^{ν(r)−μ(rr′)}-fache eines Elements von ĩ(R). Da R̃ als K[x_{0}]-Modul von den Elementen der Form (0, …, 0, r′T_{j}^{0}, 0, …, 0) erzeugt wird, folgt die Inklusion “⊇”.

Sei umgekehrt ein Element r ∈ (𝔉_{_{R}/R})_{i} mit i ≥ 0 vorgegeben. Wir schreiben ĩ(r) = (r_{1}T_{1}^{i}, …, r_{s}T_{s}^{i}) mit r_{j} ∈ O_{𝕏,P_{j}} für 1 ≤ j ≤ s. Nach Voraussetzung ist für 1 ≤ j ≤ s und r′ ∈ O_{𝕏,P_{j}} auch das Element (0, …, 0, r′T_{j}^{0}, 0, …, 0)·ĩ(r) = (0, …, 0, r′r_{j}T_{j}^{i}, 0, …, 0) im Bild von ĩ. Ist dabei r′r_{j} ≠ 0, so folgt nach der Definition von μ(r′r_{j}) dann i ≥ μ(r′r_{j}). Da r′ ∈ O_{𝕏,P_{j}} beliebig war, erhalten wir i ≥ ν(r_{j}) und (0, …, 0, r_{j}T_{j}^{i}, 0, …, 0) erweist sich als das ĩ(x_{0})^{i−ν(r)}-fache des Elements (0, …, 0, r_{j}T_{j}^{ν(r_{j})}, 0, …, 0). Nun liefert ĩ(r) = ∑_{j=1}^{s}(0, …, 0, r_{j}T_{j}^{i}, 0, …, 0) die Behauptung. □

Im reduzierten Fall vereinfacht sich diese Beschreibung erheblich (vgl. [O], 2.5 und [K1], 3.13).

2.10. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema.

a) In R̃ gilt 𝔉_{_{R}/R} = T_{1}^{d_{1}} ·K[T_{1}]×⋯×T_{s}^{d_{s}} ·K[T_{s}] mit d_{i} = α_{𝕏\{P_{i}}/𝕏} für 1 ≤ i ≤ s.

b) In R gilt 𝔉_{_{R}/R} = (f_{1}^{∗}, …, f_{s}^{∗}), wobei f_{i}^{∗} für 1 ≤ i ≤ s einen minimalen Separator von 𝕏 \ {P_{i}} bezeichnet.

Der Ring R̃ ist ebenfalls ein 1-dimensionaler graduierter Cohen-Macaulay Ring, und ĩ(x_{0}) = (T_{1}, …, T_{s}) ∈ R̃_{1} ist ein Nichtnullteiler von R̃. Im folgenden identifizieren wir x_{0} mit seinem Bild unter ĩ. Eine analoge Anwendung von [GW], 2.2.9 wie in Satz 2.3.a zeigt, daß der kanonische Modul ω_{R} von R̃ gegeben ist durch ω_{R} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R̃, K[x_{0}])(−1). Ebenso erhalten wir z.B. aus Grothendiecks Lokal-Global-Sequenz die Hilbert-Funktion

H_{ω_{R}}(i) = deg 𝕏 − H_{R}(i) = \{ \begin{matrix}deg 𝕏 & für i ≥ 1, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Unser letzter Satz in diesem Abschnitt heißt auch Dedekinds Formel für den Führer und den Komplementärmodul.

2.11. Satz a) Für jedes 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} gilt 𝔉_{_{R}/R} · ω_{R} ⊆ ω_{R}.

b) Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, so gilt 𝔉_{_{R}/R} ·ω_{R} = ω_{R}.

Beweis: Behauptung a) folgt aus der Beobachtung, daß für r ∈ 𝔉_{_{R}/R} und φ ∈ ω_{R} gilt (rφ)(R̃) = φ(rR̃) ⊆ φ(R) ⊆ K[x_{0}], d.h. es gilt rφ ∈ ω_{R}. Für einen Beweis von b) mit Hilfe des bisher Gezeigten verweisen wir auf [K1], 3.15. Eine andere Möglichkeit ist, Behauptung b) aus [KW], 4.32 und 4.35.b abzuleiten. □

3. Das kanonische Ideal

Wenn ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} lokal die Gorenstein-Eigenschaft hat, d.h. wenn für i = 1, …, s die lokalen Ringe O_{𝕏,P_{i}} Gorenstein-Ringe sind, so gibt es bekanntlich ein Ideal des homogenen Koordinatenrings, das zum kanonischen Modul isomorph ist (vgl. [E], ex. 21.18). In diesem Abschnitt beschränken wir uns auf den Fall eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d}. Wir wollen in diesem Fall ein solches kanonisches Ideal möglichst explizit konstruieren. Dabei folgen wir der in [HK], 2. Vortrag, für den 1-dimensionalen lokalen Fall beschriebenen Vorgehensweise, jedoch mit zwei Unterschieden: zum einen liegt hier eine graduierte Situation vor und wir wollen diesen Vorteil zu keinem Zeitpunkt verlieren, und zum anderen wollen wir alle Abbildungen und Moduln vollkommen explizit beschreiben, um später in der Lage zu sein, mit den Elementen des kanonische Ideals konkret zu rechnen.

Der ganze Abschluß R̃ von R in seinem vollen Quotientenring ist bekanntlich von der Form

R̃ ≅ R/𝔭_{1} × ⋯ × R/𝔭_{s} ≅ K[T_{1}] × ⋯ × K[T_{s}]

(vgl. [O] und [K1]). Hierbei können wir T_{i} für 1 ≤ i ≤ s als das Bild von x_{0} in R/𝔭_{𝔦} wählen. Die kanonische Injektion ĩ: R ⟶ R̃ ist gegeben durch ĩ(r) = (r(P_{1})T_{1}^{i}, …, r(P_{s})T_{s}^{i}) für r ∈ R_{i} mit i ≥ 0 (vgl. 2. Abschnitt). Insbesondere gilt ĩ(x_{0}) = (T_{1}, …, T_{s}) und ĩ(f_{i}) = (0, …, 0, T_{i}^{σ_{𝕏}+1}, 0, …, 0) für 1 ≤ i ≤ s, wobei f_{1}, …, f_{s} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} hier und im folgenden die bzgl. x_{0} normierten Separatoren von 𝕏 sind (vgl. 1. Abschnitt). Versehen wir R̃ mit der durch deg T_{1} = ⋯ = deg T_{s} = 1 gegebenen Graduierung, so ist ĩ eine homogene R-lineare Abbildung vom Grad null.

Der volle Quotientenring Q(R) von R identifiziert sich bei der obigen Beschreibung mit Q(R) ≅ K(T_{1}) × ⋯ × K(T_{s}). Dieser Ring ist jedoch nicht mehr graduiert. Daher erweist es sich als günstiger, den homogenen Quotientenring

Q^{h}(R) = \{\frac{r}{r′} | r, r′ ∈ R, r′ homogener Nichtnullteiler \}

von R zu betrachten. Unser nächster Satz beschreibt Q^{h}(R) explizit.

3.1. Satz. a) Der obige Isomorphismus ĩ setzt sich fort zu einem Isomorphismus

Q^{h}(R) ≅ K[T_{1}, T_{1}^{−1}] × ⋯ × K[T_{s}, T_{s}^{−1}].

Hierbei wird ein Element \frac{r}{r′} ∈ Q^{h}(R) mit r ∈ R_{i} und einem Nichtnullteiler r′ ∈ R_{j} mit i, j ≥ 0 abgebildet auf das Tupel

(\frac{r(P_{1})}{r′(P_{1})}T_{1}^{i−j}, …, \frac{r(P_{s})}{r′(P_{s})}T_{s}^{i−j}).
b) Es gilt Q^{h}(R) ≅ R_{x_{0}}.

Beweis: Sei \frac{r}{r′} ∈ Q^{h}(R) ein wie in a) gewähltes Element. Das Bild von r in Q(R) ist (r(P_{1})T_{1}^{i}, …, r(P_{s})T_{s}^{i}), und das Bild von r′ in Q(R) ist (r′(P_{1})T_{1}^{j}, …, r′(P_{s})T_{s}^{j}). Daher wird \frac{r}{r′} auf das angegebene Tupel abgebildet, und dieses liegt in K[T_{1}, T_{1}^{−1}] × ⋯ × K[T_{s}, T_{s}^{−1}].

Sei nun umgekehrt ein Element (g_{1}, …, g_{s}) ∈ K[T_{1}, T_{1}^{−1}]×⋯×K[T_{s}, T_{s}^{−1}] gegeben. Für i >> 0 gilt dim_{K}(R_{i}) = s = dim_{K}(K[T_{1}, T_{1}^{−1}] × ⋯ × K[T_{s}, T_{s}^{−1}])_{i}. Deshalb ist (T_{1}^{i}g_{1}, …, T_{s}^{i}g_{s}) für i >> 0 von der Form ĩ(r) mit einem Element r ∈ R. Das Element (g_{1}, …, g_{s}) ist folglich das Bild von \frac{r}{x_{0}^{i}}, was sowohl den Rest von a) als auch Behauptung b) beweist. □

Im folgenden setzen wir L_{0} = K[x_{0}, x_{0}^{−1}] und L = Q^{h}(R). Aus Satz 3.1.b folgt L = L_{0} ⊗_{K[x_{0}]} R. Als Cohen-Macaulay Ring ist R ein freier K[x_{0}]-Modul vom Rang s. Daher ist L ein freier L_{0}-Modul vom Rang s. Die Standardbasis von K[T_{1}, T_{1}^{−1}] × ⋯ × K[T_{s}, T_{s}^{−1}] identifiziert sich unter dem Isomorphismus von Satz 3.1.a mit einer L_{0}-Basis {e_{1}, …, e_{s}} von L. Mit σ_{L/L_{0}} : L ⟶ L_{0} bezeichnen wir die durch e_{i} ⟼ 1 gegebene kanonische Spurabbildung.

3.2. Satz. Der Homomorphismus Σ : L ⟶ \underline{Hom}_{L_{0}}(L, L_{0}), der durch Σ(1) = σ_{L/L_{0}} gegeben ist, stellt einen Isomorphismus graduierter L-Moduln dar.

Beweis: Sei φ : L ⟶ L_{0} eine L_{0}-lineare Abbildung. Für i = 1, …, s gelte φ(e_{i}) = g_{i}(x_{0}, x_{0}^{−1}) ∈ K[x_{0}, x_{0}^{−1}]. Dann sieht man sofort, daß

φ = (g_{1}(T_{1}, T_{1}^{−1}), …, g_{s}(T_{s}, T_{s}^{−1})) · σ_{L/L_{0}}

gilt, was die Surjektivität von Σ beweist. Wir zeigen noch, daß Σ injektiv ist. Sind g_{i}(T_{i}, T_{i}^{−1}) ∈ K[T_{i} , T_{i}^{−1}] für 1 ≤ i ≤ s Laurent-Polynome mit ψ = (g_{1}(T_{1}, T_{1}^{−1}), …, g_{s}(T_{s}, T_{s}^{−1})) · σ_{L/L_{0}} = 0, so gilt 0 = ψ(e_{i}) = g_{i}(x_{0}, x_{0}^{−1}) für i = 1, …, s. Dies liefert (g_{1}(T_{1}, T_{1}^{−1}), …, g_{s}(T_{s}, T_{s}^{−1})) = 0, also die Behauptung. □

3.3. Definition. Das Bild des Homomorphismus graduierter R-Moduln

Φ : \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]) ⟶ \underline{Hom}_{L_{0}}(L, L_{0}) ⟶^{Σ^{−1}} L
φ  ⟼  φ ⊗ id_{L_{0}}

ist ein homogenes gebrochenes R-Ideal ℭ_{R/K[x_{0}]} von L, das wir den Dedekindschen Komplementärmodul von R bzgl. x_{0} nennen.

Aus der in Abschnitt 2 berechneten Hilbert-Funktion von \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]) ergibt sich die Hilbert-Funktion von ℭ = ℭ_{R/K[x_{0}]}. Für jedes i ∈ ℤ gilt

H_{ℭ}(i) = s − H_{𝕏}(−i − 1).

Um die Notation nicht zu überladen, führen wir ab sofort die folgenden Abkürzungen ein.

3.4. Vereinbarung. Solange klar ist, welches 0-dimensionale Unterschema von ℙ^{d} gemeint ist, werden wir in Zukunft den Index 𝕏 weglassen, d.h. wir schreiben σ = σ_{𝕏}, Δ = Δ_{𝕏}, α = α_{𝕏}, etc.

Als nächstes wollen wir die Wirkung des Morphismus Φ und damit sein Bild explizit angeben.

3.5. Satz. (Explizite Beschreibung von ℭ_{R/K[x_{0}]} mit Hilfe von Separatoren)

Sei i ≥ 0, und sei φ ∈ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])_{−σ−1+i}. Für j = 1, …, s schreiben wir φ(f_{j}) = c_{j}x_{0}^{i} mit c_{j} ∈ K. Dann ist das Bild von φ unter Φ gegeben durch

Φ(φ) = (c_{1}T_{1}^{−σ−1+i}, …, c_{s}T_{s}^{−σ−1+i}) ∈ L.

Beweis: Für die Injektion ĩ: R ⟶ L_{1} und für 1 ≤ j ≤ s gilt ĩ(f_{j}) = (0, …, 0, T_{j}^{σ+1}, 0, …, 0). Deshalb ist die Abbildung φ ⊗ id_{L_{0}} : L ≅ R ⊗_{K[x_{0}]} L_{0} ⟶ L_{0} gegeben durch

(φ ⊗ id_{L_{0}})(x_{0}^{σ+1}e_{j}) = (φ ⊗ id_{L_{0}})((0, …, 0, T_{j}^{σ+1}, 0, …, 0)) = φ(f_{j}) = c_{j}x_{0}^{i} für j = 1, …, s. Also gilt in \underline{Hom}_{L_{0}}(L, L_{0}) die Gleichung φ ⊗ id_{L_{0}} = x_{0}^{−σ−1+i} · (c_{1}, …, c_{s}) · σ_{L/L_{0}}. Jetzt folgt die Behauptung aus der expliziten Beschreibung der Abbildung Σ^{−1} im Beweis von Satz 3.2. □

3.6. Korollar. Die Menge x_{0}^{2σ+2} · ℭ_{R/K[x_{0}]} ⊆ L ist ein Ideal von R.

Beweis: Offensichtlich ist diese Menge ein R-Untermodul von L. Wir müssen zeigen, daß sie in ĩ(R) enthalten ist. Sei φ ∈ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])_{−σ−1+i} mit i ≥ 0, und sei φ(f_{j}) = c_{j}x_{0}^{i} mit c_{j} ∈ K für j = 1, …, s. Dann gilt

\begin{aligned}x_{0}^{2σ+2} · Φ(φ) & = x_{0}^{2σ+2} · (c_{1}T_{1}^{−σ−1+i}, …, c_{s}T_{s}^{−σ−1+i}) \\ & = (c_{1}T_{1}^{σ+1+i}, …, c_{s}T_{s}^{σ+1+i}), \end{aligned}

und dieses Element ist das Bild von x_{0}^{i}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) ∈ R in L. □

3.7. Definition. Das Ideal ℑ_{R/K[x_{0}]} = x_{0}^{2σ+2} · ℭ_{R/K[x_{0}]} von R heißt das kanonische Ideal von R (oder von 𝕏) bzgl. x_{0}. Da x_{0} ∈ R_{1} fest gewählt bleibt, schreiben wir auch ℑ = ℑ_{R/K[x_{0}]}.

Später werden wir zeigen, daß 2σ_{𝕏} + 2 im allgemeinen die kleinste Zahl i ist, so daß x_{0}^{i} · ℭ_{R/K[x_{0}]} in R enthalten ist. In Spezialfällen können jedoch kleinere Exponenten i hierfür ausreichen. Es ist auch klar, daß das Ideal ℑ_{R/K[x_{0}]} von der Wahl des Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1} abhängt. Unser nächster Satz macht diese Abhängigkeit explizit und beherrschbar.

3.8. Satz. Ist ℓ ∈ R_{1} ein weiterer Nichtnullteiler von R, so gilt

x_{0} · ℭ_{R/K[x_{0}]} = ℓ · ℭ_{R/K[ℓ]}
sowie  ℓ^{2σ+1} · ℑ_{R/K[x_{0}]} = x_{0}^{2σ+1} · ℑ_{R/K[ℓ]} ⊆ R.

Mit anderen Worten, für ein Element r = x_{0}^{i} · (c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) ∈ R_{σ+1+i} mit i ≥ 0 und c_{1}, …, c_{s} ∈ K gilt r ∈ ℑ_{R/K[ℓ]} genau dann, wenn

x_{0}^{i} · (ℓ(P_{1})^{−2σ−1}c_{1}f_{1} + ⋯ + ℓ(P_{s})^{−2σ−1}c_{s}f_{s})

ein Element von ℑ_{R/K[x_{0}]} ist.

Beweis: Angesichts Definition 3.7 genügt es, die erste Behauptung zu beweisen. Aus Symmetriegründen brauchen wir wiederum nur die Inklusion x_{0} · ℑ_{R/K[x_{0}]} ⊆ ℓ · ℑ_{R/K[ℓ]} zu zeigen. Sei φ : R ⟶ K[x_{0}] eine homogene K[x_{0}]-lineare Abbildung vom Grad −σ_{𝕏} − 1 + i mit i ≥ 0, und sei φ(f_{j}) = c_{j}x_{0}^{i} mit c_{j} ∈ K für 1 ≤ j ≤ s. Wegen φ(R_{σ−i}) ⊆ K[x_{0}]_{−1} = (0) gilt λ_{1}c_{1} + ⋯ + λ_{s}c_{s} = 0 für alle λ_{1}, …, λ_{s} ∈ K mit λ_{1}f_{1} + ⋯ + λ_{s}f_{s} = x_{0}^{i+1}g für ein g ∈ R_{σ−i}. Nach Satz 3.5 erhalten wir Φ(x_{0}φ) = (c_{1}T_{1}^{−σ+i}, …, c_{s}T_{s}^{−σ+i}) in L.

Nun sei U_{i} das Bild von ℓ in R/𝔭_{i}. Wir betrachten die Darstellung L = K[U_{1}, U_{1}^{−1}]× ⋯ × K[U_{s}, U_{s}^{−1}] und stellen fest, daß für 1 ≤ j ≤ s die Beziehung U_{j} = ℓ(P_{j})T_{j} gilt. Daher ist das Element Φ(x_{0}φ) in dieser Darstellung durch das Tupel

(c_{1}ℓ(P_{1})^{σ−i}U_{1}^{−σ+i}, …, c_{s}ℓ(P_{s})^{σ−i}U_{s}^{−σ+i})  (∗)

gegeben. Jetzt definieren wir ψ : R ⟶ K[ℓ, ℓ^{−1}] als die homogene K[ℓ]-lineare Abbildung vom Grad −σ_{𝕏} − 1 + i, für die ψ(f_{j}^{(ℓ)}) = c_{j}ℓ(P_{j})^{σ−i}ℓ^{i} für j = 1, …, s gilt. Hierbei bezeichnen f_{1}^{(ℓ)}, …, f_{s}^{(ℓ)} ∈ R_{σ+1} die bzgl. ℓ normierten Separatoren von 𝕏. Eine analoge Anwendung von Satz 3.5 wie eben liefert, daß das Tupel (∗) auch das Bild von ℓψ in L ist.

Infolgedessen genügt es zu zeigen, daß im ψ in K[ℓ] enthalten ist. Dazu müssen wir ψ(R_{σ−i}) = 0 beweisen. Sei g ∈ R_{σ−i}, und sei x_{0}^{i+1}g = λ_{1}f_{1} + ⋯ + λ_{s}f_{s} mit λ_{1}, …, λ_{s} ∈ K. Im Beweis von Lemma 1.12 haben wir gesehen, daß für 1 ≤ j ≤ s gilt f_{j}^{(ℓ)} = ℓ(P_{j})^{σ+1}f_{j}. Also folgt

\begin{aligned}ℓ^{i+1}g & = λ_{1}ℓ(P_{1})^{i+1}f_{1} + ⋯ + λ_{s}ℓ(P_{s})^{i+1}f_{s} \\ & = λ_{1}ℓ(P_{1})^{−σ+i}f_{1}^{(ℓ)} + ⋯ + λ_{s}ℓ(P_{s})^{−σ+i}f_{s}^{(ℓ)}. \end{aligned}

Hieraus erhalten wir

\begin{aligned}ℓ^{i+1}ψ(g) & = ψ(ℓ^{i+1}g) = λ_{1}ℓ(P_{1})^{−σ+i}ψ(f_{1}^{(ℓ)}) + ⋯ + λ_{s}ℓ(P_{s})^{−σ+i}ψ(f_{s}^{(ℓ)}) \\ & = ℓ^{i} · (λ_{1}c_{1} + ⋯ + λ_{s}c_{s}) = 0, \end{aligned}

also die Behauptung ψ(g) = 0. □

Die Begründung dafür, daß das Ideal ℑ_{R/K[x_{0}]} ⊆ R den Namen “kanonisches Ideal” trägt, wird von dem nun folgenden Satz geliefert.

3.9. Satz. Es gibt Isomorphismen graduierter R-Moduln

ω_{R} ≅ ℭ_{R/K[x_{0}]}(−1) ≅ ℑ_{R/K[x_{0}]}(2σ_{𝕏} + 1).

Hierbei wird ein Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ+i} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])_{−σ−1+i} mit i ≥ 0 abgebildet auf das Element φ(f_{1})f_{1} + ⋯ + φ(f_{s})f_{s} von (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{σ+1+i}.

Beweis: Die erste Behauptung folgt daraus, daß Φ ein Monomorphismus graduierter R-Moduln ist, und es gilt ℑ_{R/K[x_{0}]} = x_{0}^{2σ+2} · ℭ_{R/K[x_{0}]} ≅ ℭ_{R/K[x_{0}]}(−2σ_{𝕏} − 2). Zum Beweis der zweiten Behauptung sei ein Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ+i} mit i ≥ 0 vorgegeben. Wir schreiben φ(f_{j}) = c_{j}x_{0}^{i} mit c_{j} ∈ K für j = 1, …, s. Bei der durch die Multiplikation mit x_{0}^{2σ+2} gegebenen Abbildung ℭ_{R/K[x_{0}]}(−1) ⟶ ℑ_{R/K[x_{0}]}(2σ_{𝕏} + 1) wird das Element Φ(φ) = (c_{1}T_{1}^{−σ−1+i}, …, c_{s}T_{s}^{−σ−1+i}) abgebildet auf x_{0}^{i}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) = φ(f_{1})f_{1} + ⋯ + φ(f_{s})f_{s}. □

Da wir die Hilbert-Funktion von ℭ_{R/K[x_{0}]} bereits kennen, wissen wir auch die Hilbert-Funktion von ℑ = ℑ_{R/K[x_{0}]}, nämlich

H_{ℑ}(i) = s − H_{𝕏}(2σ_{𝕏} + 1 − i)

für alle i ∈ ℤ. Insbesondere ist ℑ enthalten in den homogenen Komponenten von R vom Grad ≥ σ_{𝕏} + 1, die wir in Lemma 1.10 genau beschrieben haben. Die erste nichttriviale homogene Komponente von ℑ ist ℑ_{σ+1}. Das nächste Korollar stellt eine explizite K-Basis dieser Komponente vor. Wir verwenden die Matrix 𝔅 = (β_{ji})^{transp.} aus § 1.

3.10. Korollar. Die Elemente π_{i} = f_{i} + β_{1i}f_{Δ+1} + ⋯ + β_{s−Δ i}f_{s} mit 1 ≤ i ≤ Δ bilden eine K-Basis von ℑ_{σ+1}.

Beweis: Da \{Lf_{1}, …, Lf_{Δ}\} eine K-Basis von \overline{R}_{σ+1} darstellt, bilden die durch π_{i}(f_{j}) = δ_{ij} für i, j = 1, …, Δ definierten Abbildungen π_{i} ∈ (ω_{R})_{−σ} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])_{−σ−1} nach Lemma 2.6 eine K-Basis dieses Vektorraums. Für i = 1, …, Δ und j = 1, …, s−Δ ergibt sich π_{i}(f_{Δ+j}) = π_{i}(β_{j1}f_{1} + ⋯ + β_{jΔ}f_{Δ}) = β_{ji}, so daß die Behauptung aus Satz 3.9 folgt. □

Aus der Hilbert-Funktion von ℑ entnehmen wir auch, daß der Grad 2σ_{𝕏} + 1 der höchste Grad i ist, in dem ℑ_{i} noch nicht den ganzen Raum R_{i} ausfüllt. Die homogene Komponente ℑ_{2σ+1} von ℑ läßt sich ebenso explizit beschreiben.

3.11. Korollar. Ein Element x_{0}^{σ}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) von R_{2σ+1} mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K liegt genau dann in ℑ_{2σ+1}, wenn gilt c_{1} + ⋯ + c_{s} = 0. Insbesondere bilden die Elemente h_{i} = x_{0}^{σ}(f_{i+1} − f_{i}) mit 1 ≤ i ≤ s − 1 eine K-Basis von ℑ_{2σ+1}.

Beweis: Ein Element φ von (ω_{R})_{0} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])_{−1} ergibt durch Einschränkung eine K-lineare Abbildung φ|_{R_{σ+1}} : R_{σ+1} ⟶ K[x_{0}]_{σ} mit (φ|_{R_{σ+1}})(x_{0}^{σ+1}) = x_{0}^{σ+1} ·φ(1) ∈ x_{0}^{σ+1} · K[x_{0}]_{−1} = (0). Umgekehrt kann man eine K-lineare Abbildung \overline{ψ} : R_{σ+1} ⟶ K[x_{0}]_{σ} genau dann zu einer K[x_{0}]-linearen homogenen Abbildung ψ : R ⟶ K[x_{0}] vom Grad −1 fortsetzen, wenn ψ(x_{0}^{σ+1}) = 0 ist, denn dim_{K}(ω_{R})_{0} = s − 1 und ψ ist nach Lemma 2.5 eindeutig durch \overline{ψ} = ψ|_{R_{σ+1}} bestimmt. Nun gilt x_{0}^{σ+1} = f_{1} +⋯+f_{s}, woraus für jede Abbildung φ ∈ (ω_{R})_{0} die Gleichung φ(f_{1}) + ⋯ + φ(f_{s}) = 0 folgt, so daß sich die Behauptung als Konsequenz von Satz 3.9 ergibt. □

Im zweiten Kapitel wird die Multiplikationsabbildung R_{σ} ⊗(ω_{R})_{−σ} ⟶ (ω_{R})_{0} bzw. R_{σ} ⊗ ℑ_{σ+1} ⟶ ℑ_{2σ+1} eine wichtige Rolle spielen. Im reduzierten Fall können wir für diese Multiplikation eine explizite Matrix angeben.

3.12. Korollar. Seien {g_{1}, …, g_{s−Δ}}, {π_{1}, …, π_{Δ}} und {h_{1}, …, h_{s−1}} die in Lemma 1.11.b, Korollar 3.10 und Korollar 3.11 definierten K-Basen. Dann ist die Multiplikationsabbildung R_{σ} ⊗ ℑ_{σ+1} ⟶ ℑ_{2σ+1} gegeben durch

g_{j} · π_{i} = \{ \begin{matrix}β_{j1}h_{Δ+j−1} & für i = 1 und j = 1, …, s − Δ, \\ β_{ji}h_{Δ+j−1} − β_{ji}h_{i−1} & für i = 2, …, Δ und j = 1, …, s − Δ. \end{matrix}

Beweis: Für i = 1, …, Δ und j = 1, …, s − Δ gilt

\begin{aligned}x_{0}g_{j}π_{i} & = (f_{Δ+j} − β_{j1}f_{1} − ⋯ − β_{jΔ}f_{Δ}) · (f_{1} + β_{Δ+1 i}f_{Δ+1} + ⋯ + β_{s−Δ i}f_{s}) \\ & = x_{0}^{σ+1} · (β_{ji}f_{Δ+j} − β_{ji}f_{i}). \end{aligned}

Hieraus folgt die Behauptung. □

Nun sind wir in der Lage, die weiter oben angekündigten Beispiele nachzuliefern. Das erste Beispiel zeigt, daß x_{0}^{2σ+2} im allgemeinen die niedrigste Potenz von x_{0} ist, mit der man ℭ_{R/K[x_{0}]} multiplizieren muß, um ein Ideal von R zu erhalten.

3.13. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2, 3, und sei 𝕏 = {(1:0:0), (1:1:0), (1:2:0)} ⊆ ℙ^{2}. Dann ist 𝕏 ein vollständiger Durchschnitt vom Typ (1, 3), d.h. das homogene Verschwindungsideal I_{𝕏} = (X_{2}, X_{1}(X_{1} − X_{0})(X_{1} − 2X_{0})) wird von zwei homogenen Formen vom Grad eins und drei erzeugt. Die Hilbert-Funktion von 𝕏 ist H_{𝕏} : 1 2 3 3 ⋯, und es gilt σ_{𝕏} = 1 sowie Δ_{𝕏} = 1. Wie man leicht nachrechnet, gilt f_{1} = \frac{1}{2}(x_{1} − x_{0})(x_{1} − 2x_{0}) sowie f_{2} = −x_{1}(x_{1} − 2x_{0}) und f_{3} = \frac{1}{2}x_{1}(x_{1} − x_{0}) (vgl. [K1], 1.15 und [K5]).

Also erhalten wir Lf_{2} = β_{11}Lf_{1} mit β_{11} = −2 und Lf_{3} = β_{21}Lf_{1} mit β_{21} = 1. Nach Korollar 3.10 bildet das Element π_{1} = f_{1} − 2f_{2} + f_{3} eine K-Basis von ℑ_{σ+1}. Da 𝕏 ein vollständiger Durchschnitt ist, stellt {π_{1}} sogar eine R-Basis von ℑ dar. Offenbar gilt π_{1} ∉ x_{0}R_{σ}, so daß wir in diesem Beispiel x_{0}^{2σ+1}ℭ_{R/K[x_{0}]} ⊈ R erhalten.

In speziellen Fällen kann sehr wohl eine niedrigere Potenz von x_{0} als x_{0}^{2σ+2} genügen, um aus ℭ_{R/K[x_{0}]} durch Multiplikation ein Ideal von R zu gewinnen.

3.14. Beispiel. Sei K = ℂ, und sei 𝕏 = \{(1:0:0), (1:2:0), (1:1+\sqrt{3}i:0)\} ⊆ ℙ^{2}. Wiederum ist 𝕏 ein vollständiger Durchschnitt vom Typ (1, 3) mit Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 2 3 3 ⋯ und σ_{𝕏} = Δ_{𝕏} = 1. Eine Rechnung wie eben liefert diesmal f_{1} = \frac{1}{2+2\sqrt{3}i}(x_{1} − 2x_{0})(x_{1} − x_{0} − \sqrt{3}ix_{0}) sowie f_{2} = \frac{1}{2−2\sqrt{3}i} x_{1}(x_{1} − x_{0} − \sqrt{3}ix_{0}) und f_{3} = −\frac{1}{4}x_{1}(x_{1} − 2x_{0}).

Also gilt Lf_{2} = β_{11}Lf_{1} mit β_{11} = \frac{1}{2}(\sqrt{3}i − 1) und Lf_{3} = β_{21}Lf_{1} mit β_{21} = −\frac{1}{2}(\sqrt{3}i + 1). Daher erfüllt die R-Basis π_{1} = f_{1} + β_{11}f_{2} + β_{21}f_{3} von ℑ_{R/K[x_{0}]} die Bedingung Lπ_{1} = Lf_{1} + β_{11}Lf_{2} + β_{21}Lf_{3} = 0, d.h. es gilt π_{1} ∈ x_{0}R_{σ}. Somit hätten wir in diesem Beispiel auch x_{0}^{2σ+1}ℭ_{R/K[x_{0}]} = x_{0}^{3}ℭ_{R/K[x_{0}]} nehmen können, um ein Ideal von R zu erhalten.

Wir zeigen noch, daß x_{0}^{2}ℭ_{R/K[x_{0}]} kein Ideal von R ist. Dieses gebrochene Ideal beginnt im Grad Null. Deshalb genügt es zu zeigen, daß π_{1} ∉ (x_{0}^{2}) gilt. Wäre nun π_{1} = λx_{0}^{2} = λf_{1} + λf_{2} + λf_{3} für ein λ ∈ ℂ, so wäre β_{11} = β_{21} = 1, was aber nicht der Fall ist.

Die übrigen nichttrivialen Komponenten des kanonischen Ideals können wir ebenfalls genau beschreiben, wenn wir auch keine expliziten Basen für sie konstruieren.

3.15. Satz. Sei i ∈ {0, …, σ_{𝕏}}. Dann besteht ℑ_{σ+1+i} aus genau den Elementen φ = x_{0}^{i}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) von R_{σ+1+i} mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K, für die für jedes Element r ∈ R_{σ−i} gilt r(P_{1})c_{1} + ⋯ + r(P_{s})c_{s} = 0.

Beweis: Fassen wir φ ∈ ℑ_{σ+1+i} ≅ (ω_{R})_{−σ+i} als homogene K[x_{0}]-lineare Abbildung φ : R ⟶ K[x_{0}] vom Grad −σ − 1 + i auf, so gilt φ(R_{σ−i}) ⊆ K[x_{0}]_{−1} = (0). Für jedes homogene Element r ∈ R_{σ−i} ergibt sich daher φ(x_{0}^{i+1}r) = x_{0}^{i+1}φ(r) = 0. Hieraus erhalten wir r(P_{1})φ(f_{1})+⋯+r(P_{s})φ(f_{s}) = φ(r(P_{1})f_{1} +⋯+r(P_{s})f_{s}) = φ(x_{0}^{i+1}r) = 0. Nach Satz 3.9 bedeutet dies gerade r(P_{1})c_{1} + ⋯ + r(P_{s})c_{s} = 0.

Umgekehrt hat der Untervektorraum von R_{σ+1+i} aller Elemente der Form x_{0}^{i}(c_{1}f_{1}+ ⋯ + c_{s}f_{s}) mit r(P_{1})c_{1} + ⋯ + r(P_{s})c_{s} = 0 für alle r ∈ R_{σ−i} die Dimension s − dim_{K}(R_{σ−i}) = s − H_{𝕏}(σ − i). Da diese mit der Dimension von ℑ_{σ+1+i} übereinstimmt, folgt die Behauptung. □

Als Anwendung dieses Satzes wollen wir eine einfache Beziehung zwischen der homogenen Komponente ℑ_{2σ} des kanonischen Ideals und der sogenannten zu 𝕏 assoziierten Punktmenge herstellen. Eine allgemeinere Version dieser Beziehung wurde in [EP], §1 beschrieben.

3.16. Lemma. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit der Eigenschaft, daß jede Teilmenge aus s − 2 Punkten von 𝕏 den ganzen Raum ℙ^{d} aufspannt. Wählt man dann eine K-Basis {t_{1}, …, t_{s−d−1}} von ℑ_{2σ} und schreibt man t_{i} = x_{0}^{σ−1}(γ_{i1}f_{1} + ⋯ + γ_{is}f_{s}) mit γ_{i1}, …, γ_{is} ∈ K für i = 1, …, s − d − 1, so sind in der Matrix Γ = (γ_{ij}) keine zwei Spalten linear abhängig.

Beweis: Angenommen, es gibt Indizes 1 ≤ ν < μ ≤ s und ein Element λ ∈ K mit γ_{iν} = λγ_{iμ} für i = 1, …, s−d−1. Sei 𝕐 = 𝕏\{P_{ν}}, und sei ℑ_{𝕐} ⊆ R_{𝕐} das kanonische Ideal vom 𝕐. Da 𝕐 den projektiven Raum ℙ^{d} aufspannt, gilt dim_{K}(ℑ_{𝕐})_{2σ_{𝕐}} = (s − 1) − d − 1. Wegen σ_{𝕏} − 1 ≤ σ_{𝕐} ≤ σ_{𝕏} unterscheiden wir zwei Fälle.

Im Fall σ_{𝕐} = σ_{𝕏} besteht (ℑ_{𝕐})_{2σ_{𝕐}} nach Satz 2.4.a gerade aus den Elementen der Form x_{0}^{σ−1}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) von ℑ_{2σ_{𝕏}} mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K und c_{ν} = 0, denn es gilt I_{𝕐/𝕏} = (f_{ν})^{sat.}. Folglich sind nicht alle Elemente γ_{1ν}, …, γ_{s−d−1 ν} gleich Null, und wir können o.E. γ_{1ν} ≠ 0 annehmen. Dann bildet {γ_{1ν}t_{2} − γ_{2ν}t_{1}, …, γ_{1ν}t_{s−d−1} − γ_{s−d−1 ν}t_{1}} eine K-Basis von (ℑ_{𝕐})_{2σ_{𝕐}}. Jedes dieser Basiselemente ist von der Form x_{0}^{σ−1}(c_{1}f_{1}+⋯+c_{s}f_{s}) mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K und c_{ν} = c_{μ} = 0 und liegt infolgedessen auch im kanonischen Ideal von 𝕐′ = 𝕐 \ {P_{μ}}. Jedoch widerspricht dim_{K}(ℑ_{𝕐′})_{2σ_{𝕏}} = (s − 2) − (d − 1) − 1 der Voraussetzung, daß die Punkte von 𝕐′ den Raum ℙ^{d} aufspannen.

Auch im Fall σ_{𝕐} = σ_{𝕏} − 1 sind die Elemente von (ℑ_{𝕐})_{2σ_{𝕐}} ≅ (ω_{R_{𝕐}})_{−1} gerade diejenigen Elemente von ℑ_{2σ_{𝕏}} ≅ (ω_{R})_{−1} von der Form x_{0}^{σ−1}(c_{1}f_{1}+⋯+c_{s}f_{s}) mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K und c_{ν} = 0, so daß wir dieselbe Argumentation wie im ersten Fall anwenden können.

□

3.17. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit der Eigenschaft, daß je s − 2 Punkte von 𝕏 den ganzen Raum ℙ^{d} aufspannen. Dann heißt die durch die Spalten der in Lemma 3.16 definierten Matrix Γ = (γ_{ij}) gegebene Menge von s Punkten in ℙ^{s−d−2} die zu 𝕏 assoziierte Punktmenge oder die Gale-Transformierte von 𝕏.

Die zu 𝕏 assoziierte Punktmenge ist offenbar bis auf eine Koordinatentransformation von ℙ^{s−d−2} eindeutig bestimmt. Aus Lemma 3.16 folgt, daß diese Definition mit der üblichen übereinstimmt (vgl. [EP], §1, oder [DO], III.1). Unser nächstes Beispiel zeigt, daß die Gale-Transformierte nicht notwendigerweise aus s verschiedenen Punkten besteht, wenn man nur voraussetzt, daß je s−1 Punkte von 𝕏 den Raum ℙ^{d} aufspannen.

3.18. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2 und 𝕏 = {(1:1:0:0), (1:0:1:0), (1:−1:0:0), (1:0:−1:0), (1:0:0:1), (1:0:0:−1)} ⊆ ℙ^{3}. Dann gilt H_{𝕏} : 1 4 6 6 ⋯, σ_{𝕏} = 1 und Δ_{𝕏} = 2. Für die 𝔅-Matrix von 𝕏 erhalten wir 𝔅 = \binom{1 0 −1 −1}{0 1 −1 −1}. Also bilden die Elemente π_{1} = f_{1} + f_{3} − f_{5} − f_{6} sowie π_{2} = f_{2} + f_{4} − f_{5} − f_{6} eine K-Basis von ℑ_{2} = ℑ_{σ+1} = ℑ_{2σ}. Offensichtlich hat 𝕏 die Eigenschaft, daß je fünf Punkte von 𝕏 den Raum ℙ^{3} aufspannen. Die assoziierte Punktmenge besteht jedoch nur aus den drei Punkten (1:0), (0:1) und (1:1) in ℙ^{1}.

Liegt wie im vorangegangenen Beispiel der Fall σ_{𝕏} = 1 vor, so vereinfacht sich die Beschreibung der assoziierten Punktmenge wie folgt.

3.19. Bemerkung. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit der Eigenschaft, daß je s − 2 Punkte von 𝕏 den Raum ℙ^{d} aufspannen, so bilden wir die erweiterte 𝔅-Matrix

𝔅̃ = ( \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} | 𝔅 )

von 𝕏. Dann ist die zu 𝕏 assoziierte Punktmenge in ℙ^{Δ−1} nach Korollar 3.10 gegeben durch die Spalten der Matrix 𝔅̃.

Außerdem weisen wir darauf hin, daß man auch die anderen Komponenten des kanonischen Ideals verwenden kann, um eine analoge Konstruktion wie in Lemma 3.16 und Definition 3.17 durchzuführen. Die genauen Bedingungen, unter denen die “höheren kanonischen Transformierten” von 𝕏 existieren, werden wir in einem späteren Abschnitt untersuchen. Schließlich bemerken wir noch, daß man in völliger Analogie zu [HK], 6.13 auch hier den folgenden Satz beweisen kann.

3.20. Satz. Der Ring R/ℑ ist ein 0-dimensionaler Gorenstein-Ring mit Hilbert-Funktion H_{R/ℑ}(i) = H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(2σ_{𝕏} + 1 − i) − s für alle i ∈ ℤ.

4. Der Kählersche Differentialmodul

Bisher haben wir das Studium der 0-dimensionalen Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} hauptsächlich mit den Mitteln der Algebra betrieben. Nun wollen wir unser Arsenal verfügbarer Strukturen erweitern, indem wir differentielle Methoden in die Betrachtung mit einbeziehen. Wir gehen dabei im wesentlichen wie in [K6] vor, setzen jedoch vorläufig nicht voraus, daß 𝕏 reduziert ist. Viele der nachstehenden Resultate basieren auf den Ergebnissen von [KD], welche wir stillschweigend als bekannt voraussetzen.

Hat man einen Homomorphismus standard-graduierter K-Algebren S ⟶ T, und bezeichnet J den Kern der Multiplikationsabbildung T ⊗_{S}T ⟶ T, so ist Ω_{T/S}^{1} = J /J^{2} ein endlich erzeugter, graduierter T -Modul und heißt der Kählersche Differentialmodul oder der Modul der Kählerschen Differentialformen von T/S. Die homogene S-lineare Abbildung d_{T/S} : T ⟶ Ω_{T/S}^{1}, die durch t ⟼ t ⊗ 1 − 1 ⊗ t + J^{2} gegeben ist, heißt die universelle Derivation von T/S.

Den graduierten R-Modul Ω_{R/K}^{1} nennen wir auch den Kählerschen Differentialmodul von 𝕏. Außerdem interessieren wir uns für die R-Moduln Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} und Ω_{\overline{R}/K}^{1}, wobei wir wie im ersten Abschnitt \overline{R} = R/(x_{0}) setzen. Mit einem einleitenden Beispiel wollen wir verdeutlichen, daß der Modul Ω_{R/K}^{1} Informationen über die Geometrie von 𝕏 enthält, die wir aus den in den ersten drei Abschnitten betrachteten Objekten nicht sehr leicht ersehen können.

4.1. Beispiel. Seien 𝕏, 𝕐 ⊆ ℙ^{2} zwei reduzierte 0-dimensionale Unterschemata vom Grad 19, wobei 𝕏 aus 19 generisch gewählten Punkten und 𝕐 aus 13 generisch gewählten Punkten sowie 6 Punkten auf einer Gerade bestehen. Dann haben die Koordinatenringe R_{𝕏} und R_{𝕐} dieselbe Hilbert-Funktion H_{𝕏} = H_{𝕐} : 1 3 6 10 15 19 19 ⋯ und sogar dieselbe minimale graduiert-freie A-Auflösung, nämlich

0 ⟶ A(−7)^{4} ⟶ A(−5)^{2} ⊕ A(−6)^{3} ⟶ A ⟶ R ⟶ 0.

Hieraus folgt, daß auch die kanonischen Moduln ω_{R_{𝕏}} und ω_{R_{𝕐}} dieselbe minimale Präsentation

A(2)^{2} ⊕ A(3)^{3} ⟶ A(4)^{4} ⟶ ω_{R} ⟶ 0

besitzen. Die Hilbert-Funktionen H_{Ω_{𝕏}} von Ω_{R_{𝕏}/K}^{1} und H_{Ω_{𝕐}} von Ω_{R_{𝕐}/K}^{1} sind

H_{Ω_{𝕏}} : 3 9 18 30 43 48 40 31 21 19 19 ⋯  sowie
H_{Ω_{𝕐}} : 3 9 18 30 43 48 40 31 21 20 19 ⋯

und unterscheiden sich in Grad 10. Die Hilbert-Funktion von Ω_{R/K}^{1} enthält also Informationen über die Geometrie von 𝕏, die aus der Hilbert-Funktion von R nicht ersichtlich sind.

Aus [KD] können wir die folgenden Präsentationen von Ω_{R/K}^{1} und Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} ableiten. Wenn klar ist, welcher Differentialmodul gemeint ist, schreiben wir dabei in Zukunft einfach d für die zugehörige universelle Derivation. Außerdem bezeichnen wir das Bild einer partiellen Ableitung \frac{∂F}{∂X_{i}} eines Polynoms F ∈ A in R mit \frac{∂F}{∂x_{i}}.

4.2. Satz. a) Es gibt eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ G(−1) ⟶ R(−1)^{d+1} ⟶^{δ} Ω_{R/K}^{1} ⟶ 0,

wobei G = ⟨(\frac{∂F}{∂x_{0}} , …, \frac{∂F}{∂x_{d}})⟩_{F ∈I_{𝕏}} ⊆ R^{d+1} ist, und es gilt δ(e_{i}) = dx_{i} für i = 0, …, d. b) Es gibt eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

R(−1) ⟶^{α} Ω_{R/K}^{1} ⟶^{β} Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} ⟶ 0,

wobei α gegeben ist durch α(r) = rdx_{0} und β durch β(rd_{R/K}(r′)) = rd_{R/K[x_{0}]}(r′).

c) Ist {b_{1}, …, b_{s}} eine K[x_{0}]-Basis von R (vgl. Lemma 1.2.c), so ist {db_{1}, …, db_{s}} ein Erzeugendensystem des K[x_{0}]-Moduls Ω_{R/K[x_{0}]}^{1}.

Beweis: Behauptung a) folgt aus [KD], 4.13 und Behauptung b) aus [KD], 3.24. Nach [KD], 1.21.b erzeugt {d_{R/K[x_{0}]}(r)}_{r∈R} den R-Modul Ω_{R/K[x_{0}]}^{1}. Schreibt man r = ϱ_{1}b_{1} + ⋯ + ϱ_{s}b_{s} mit ϱ_{1}, …, ϱ_{s} ∈ K[x_{0}], so folgt d_{R/K[x_{0}]}(r) = ϱ_{1}d_{R/K[x_{0}]}(b_{1}) + ⋯ + ϱ_{s}d_{R/K[x_{0}]}(b_{s}), und damit die Behauptung. □

Weiter unten werden wir sehen, daß die Abbildung α aus b) sogar injektiv ist. Zunächst wollen wir uns auch noch eine Präsentation von Ω_{\overline{R}/K}^{1} verschaffen.

4.3. Satz. a) Ist I ⊆ R ein homogenes Ideal, so gibt es eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

I/I^{2} ⟶^{γ} Ω_{R/K}^{1}/IΩ_{R/K}^{1} ⟶^{ϵ} Ω_{(R/I)/K}^{1} ⟶ 0,

wobei γ gegeben ist durch γ(r + I^{2}) = d(r) + IΩ_{R/K}^{1} und ϵ durch ϵ(rdr′ + IΩ_{R/K}^{1}) = (r + I)d(r′ + I).

b) Es gilt Ω_{\overline{R}/K}^{1} ≅ Ω_{R/K}^{1}/(x_{0}Ω_{R/K}^{1} + Rdx_{0}) ≅ Ω_{R/K[x_{0}]}^{1}/x_{0}Ω_{R/K[x_{0}]}^{1}.

c) Die Elemente {dx_{0}, …, dx_{d}} bilden ein homogenes Erzeugendensystem des R-Moduls Ω_{R/K}^{1}. Spannt 𝕏 den Raum ℙ^{d} auf, so ist dieses Erzeugendensystem minimal.

Beweis: Behauptung a) folgt aus [KD], 4.17 und Behauptung b) aus a) mit I = (x_{0}) sowie Satz 4.2.b. Die erste Behauptung in c) folgt aus a) mit I = 𝔪. Zum Beweis der zweiten Behauptung in c) beachte man, daß der Epimorphismus γ : 𝔪/𝔪^{2} −↠ Ω_{R/K}^{1}/𝔪Ω_{R/K}^{1} aus Dimensionsgründen ein Isomorphismus ist und wende das Lemma von Nakayama an. □

Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts untersuchen wir die Modulstruktur der betrachteten R-Moduln näher. Für den Modul G ⊆ R^{d+1}, der bis auf eine Gradverschiebung der erste Syzygienmodul von Ω_{R/K}^{1} ist, erhalten wir genau wie in [K6], 1.8 die folgende Beschreibung.

4.4. Satz. a) Für jedes i ∈ ℤ gilt G_{i} = \{(\frac{∂F}{∂x_{0}} , …, \frac{∂F}{∂x_{d}}) | F ∈ (I_{𝕏})_{i+1}\}.

b) Ist {F_{1}, …, F_{m}} ein minimales homogenes Erzeugendensystem von I_{𝕏}, und gilt char (K) > max\{deg F_{1}, …, deg F_{m}\}, so bildet die Menge \{(\frac{∂F_{i}}{∂x_{0}} , …, \frac{∂F_{i}}{∂x_{d}})\}_{i=1,...,m} ein minimales homogenes Erzeugendensystem des R-Moduls G.

Ein weiteres Hilfsmittel in der vorliegenden graduierten Situation ist die Euler-Derivation e : R ⟶ R mit e(r) = ir für r ∈ R_{i} und i ≥ 0. Sie induziert nach [KD], 1.19 eine surjektive, homogene, R-lineare Abbildung φ : Ω_{R/K}^{1} −↠ 𝔪 mit φ(dx_{i}) = x_{i} für i = 0, …, d. Der nächste Satz besagt im reduzierten Fall, daß der Kern von φ gerade der Torsionsuntermodul

T_{R/K} = {ω ∈ Ω_{R/K}^{1} | rω = 0 für einen homogenen Nichtnullteiler r ∈ R}

von Ω_{R/K}^{1} ist, daß der Hauptteil der Modulstruktur von Ω_{R/K}^{1} bereits in T_{R/K} steckt, und daß sich T_{R/K} sogar in den Restklasssenmodul Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} ≅ Ω_{R/K}^{1}/Rdx_{0} einbettet.

4.5. Satz. a) Es gilt T_{R/K} = {ω ∈ Ω_{R/K}^{1} | 𝔪^{i} · ω = 0 für ein i ≥ 0} = {ω ∈ Ω_{R/K}^{1} | x_{0}^{i} · ω = 0 für ein i ≥ 0}.

b) Es gilt T_{R/K} ⊆ ker φ. Ist 𝕏 reduziert, so hat man T_{R/K} = ker φ und damit eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ T_{R/K} ⟶ Ω_{R/K}^{1} ⟶^{φ} 𝔪 ⟶ 0.

c) Ist 𝕏 reduziert, so gilt T_{R/K} = {∑_{i=0}^{d} r_{i}dx_{i} | ∑_{i=0}^{d} r_{i}x_{i} = 0}.

d) Man hat eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ ker φ ⟶ Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} ⟶^{\overline{φ}} \overline{𝔪} ⟶ 0,

wobei \overline{𝔪} das maximale Ideal von \overline{R} bezeichnet und \overline{φ} gegeben ist durch \overline{φ}(∑_{i=0}^{d} r_{i}dx_{i}) = ∑_{i=1}^{d} r_{i}x_{i} + (x_{0}).

Beweis: Behauptung a) folgt aus der Beobachtung, daß es für jeden homogenen Nichtnullteiler r ∈ R ein j ≥ 1 gibt mit 𝔪^{j} ⊆ (r) ⊆ 𝔪.

Zum Beweis von b) beachten wir zunächst, daß für ω = ∑_{i=0}^{d} r_{i}dx_{i} ∈ Ω_{R/K}^{1} mit r_{0}, …, r_{d} ∈ R aus x_{0}^{j} · ω = 0 mit j ≥ 0 folgt, daß φ(x_{0}^{j} · ω) = ∑_{i=0}^{d} x_{0}^{j}r_{i}φ(dx_{i}) = ∑_{i=0}^{d} x_{0}^{j}r_{i}x_{i} = 0 ist. Dies liefert φ(ω) = ∑_{i=0}^{d} r_{i}x_{i} = 0, d.h. wir haben nach a) eine Inklusion T_{R/K} ⊆ ker φ. Im reduzierten Fall zeigt man die Behauptung T_{R/K} = ker φ wie in [K6], 2.1.c durch Übergang zur Lokalisation nach x_{0}, denn φ_{x_{0}} : Ω_{R_{x_{0}} /K}^{1} ⟶ 𝔪R_{x_{0}} = R_{x_{0}} ist ein Isomorphismus.

Teil c) ergibt sich sofort aus der expliziten Beschreibung von φ und aus b), und Teil d) folgt aus ker φ ∩ Rdx_{0} = (0). Letzteres wird klar, wenn man beachtet, daß φ(rdx_{0}) = rx_{0} = 0 für ein r ∈ R schon r = 0 impliziert. □

Durch Anwendung von φ erhalten wir übrigens auch Ann_{R}(dx_{0}) = (0), d.h. die Abbildung α in Satz 4.2.b ist injektiv. Wir zeigen nun an einem Beispiel, daß die zweite Aussage in Satz 4.5.b nicht richtig sein muß, wenn 𝕏 nicht reduziert ist.

4.6. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{1} das am Punkt (1:0) konzentrierte Unterschema vom Grad zwei. Dann gilt R = K[X_{0}, X_{1}]/(X_{1}^{2}) und

Ω_{R/K}^{1} ≅ (RdX_{0} ⊕ RdX_{1})/⟨(0, 2x_{1}dX_{1})⟩ ≅ Rdx_{0} ⊕ K[x_{0}]dx_{1}.

Offenbar wird kein Element von Ω_{R/K}^{1} von x_{0} annulliert, d.h. nach Satz 4.5.a ist Ω_{R/K}^{1} ein torsionsfreier R-Modul. Jedoch gilt z.B. x_{1}dx_{0} − x_{0}dx_{1} ∈ ker φ \ {0}, so daß sich T_{R/K} ⊊ ker φ ergibt.

Für den Torsionsuntermodul von Ω_{R/K}^{1} geben wir im reduzierten Fall eine genauere Beschreibung.

4.7. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema.

a) Bezeichnet Syz_{R}^{1}(x_{0}, …, x_{d}) = {(h_{0}, …, h_{d}) ∈ R^{d+1} | ∑_{i=0}^{d} h_{i}x_{i} = 0} den Syzygienmodul von 𝔪, so induziert Satz 4.2.a eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ G(−1) ⟶ Syz_{R}^{1}(x_{0}, …, x_{d})(−1) ⟶ T_{R/K} ⟶ 0.

b) Man hat eine exakte Sequenz graduierter A-Moduln

Syz_{A}^{1}(X_{0}, …, X_{d})(−1) ⟶ Syz_{R}^{1}(x_{0}, …, x_{d})(−1) ⟶^{μ} I_{𝕏}/(X_{0}, …, X_{d})I_{𝕏} ⟶ 0,

wobei μ gegeben ist durch μ((h_{0}, …, h_{d})) = H_{0}X_{0} + ⋯ + H_{d}X_{d} + (X_{0}, …, X_{d})I_{𝕏} für H_{0}, …, H_{d} ∈ A und h_{i} = H_{i} + I_{𝕏}.

c) Gilt char (K) = 0 oder char (K) > max{i ∈ ℕ | (I_{𝕏}/(X_{0}, …, X_{d})I_{𝕏})_{i} ≠ (0)}, so wird T_{R/K} als R-Modul erzeugt von den homogenen Elementen {x_{i}dx_{j} − x_{j}dx_{i} | 0 ≤ i < j ≤ d} vom Grad zwei.

Beweis: Vgl. [K6], 2.4 und 2.5. □

Aus den exakten Sequenzen der Sätze 4.2, 4.5 und 4.7 ergeben sich natürlich sofort Formeln für die Hilbert-Funktionen H_{Ω} von Ω_{R/K}^{1}, H_{Ω_{0}} von Ω_{R/K}^{1}, H_{T} von T_{R/K}, etc. Zum Beispiel gilt für alle i ∈ ℤ

H_{Ω}(i) = (n + 1)H_{𝕏}(i − 1) − H_{G}(i − 1),
H_{Ω_{0}}(i) = H_{Ω}(i) − H_{𝕏}(i − 1)

sowie, falls 𝕏 reduziert ist

H_{T} (i) = H_{Ω}(i) − H_{𝕏}(i) = H_{Ω_{0}}(i) − ΔH_{𝕏}(i).

Der nun folgende Satz faßt die wichtigsten Eigenschaften der Funktion H_{Ω} zusammen.

4.8. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein (nicht notwendig reduziertes) 0-dimensionales Unterschema. a) Für i ≤ 0 gilt H_{Ω}(i) = 0.

b) Für 1 ≤ i ≤ α_{𝕏} gilt H_{Ω}(i) = (d + 1)\binom{d+i−1}{d}.

c) Ist char (K) = 0 oder char (K) > α_{𝕏}, so gilt

H_{Ω}(α_{𝕏}) = H_{𝕏}(α_{𝕏}) + (α_{𝕏} − 1)\binom{d+α_{𝕏}−1}{d−1}.

d) Es gibt eine kleinste natürliche Zahl ϱ_{𝕏} ≥ 1, so daß für alle i ≥ ϱ_{𝕏} gilt H_{Ω}(i) = H_{Ω}(i + 1). Diese Zahl ϱ_{𝕏} heißt die Regularität von Ω_{R/K}^{1}.

e) Es gilt H_{Ω}(σ_{𝕏} + 2) ≥ H_{Ω}(σ_{𝕏} + 3) ≥ · · ·.

f) Ist ϱ_{𝕏} ≥ σ_{𝕏} + 2, so gilt sogar H_{Ω}(σ_{𝕏} + 2) > H_{Ω}(σ_{𝕏} + 3) > ⋯ > H_{Ω}(ϱ_{𝕏}) = H_{Ω}(ϱ_{𝕏} + 1) = ⋯ (= s im reduzierten Fall).

Beweis: Die Behauptungen a) und b) folgen aus der exakten Sequenz von Satz 4.2.a, denn für die betrachteten Grade gilt G_{i} = (0). Zum Beweis von c) zeigen wir die Gleichung H_{G}(α_{𝕏} − 1) = dim_{K}(I_{𝕏})_{α_{𝕏}}, woraus sich zusammen mit Satz 4.2.a die behauptete Formel nach kurzer Rechnung ergibt.

Sei \{G_{1}, …, G_{r}\} eine K-Basis von (I_{𝕏})_{α_{𝕏}}. Dann erzeugen die Elemente \{(\frac{∂G_{i}}{∂x_{0}} , …, \frac{∂G_{i}}{∂x_{d}}) | i = 1, …, r\} den K-Vektorraum G_{α_{𝕏}−1}, und wir müssen nachweisen, daß sie Klinear unabhängig sind. Sind c_{1}, …, c_{r} ∈ K mit ∑_{i=1}^{r} c_{i}(\frac{∂G_{i}}{∂x_{0}} , …, \frac{∂G_{i}}{∂x_{d}}) = 0, so gelten für das Element G = ∑_{i=1}^{r} c_{i}G_{i} ∈ (I_{𝕏})_{α_{𝕏}} die Beziehungen \frac{∂G}{∂x_{0}} = ⋯ = \frac{∂G}{∂x_{d}} = 0. Wegen (I_{𝕏})_{α_{𝕏}−1} = (0) folgt hieraus \frac{∂G}{∂X_{0}} = ⋯ = \frac{∂G}{∂X_{d}} = 0, und Eulers Relation liefert G = \frac{1}{α_{𝕏}} (\frac{∂G}{∂X_{0}} X_{0} + ⋯ + \frac{∂G}{∂X_{d}} X_{d}) = 0, also c_{1} = ⋯ = c_{r} = 0.

Nun beweisen wir Teil d). Das Element x_{0} ∈ R_{1} ist ein Nichtnullteiler auf dem R-Modul G ⊆ R^{d+1}, denn es ist einer auf R. Sei γ ≥ α_{𝕏} − 1 der größte Grad eines homogenen minimalen Erzeugers von G, d.h. sei γ = max{i ∈ ℤ | (G/𝔪G)_{i} ≠ (0)}. Für alle i > γ + σ_{𝕏} + 1 gilt G_{i} = x_{0}G_{i−1} und H_{G}(i) = H_{G}(i − 1). Nach Satz 4.2.a wird auch H_{Ω}(i) für i >> 0 konstant.

Teil e) folgt aus Satz 4.3.c, denn für i ≥ σ_{𝕏} + 3 gilt (Ω_{R/K}^{1})_{i} = ∑_{j=0}^{d} R_{i−1}dx_{j} = x_{0} · ∑_{j=0}^{d} R_{i−2}dx_{j} = x_{0} · (Ω_{R/K}^{1})_{i−1}. Um Behauptung f) zu beweisen, genügt es zu zeigen, daß aus H_{Ω}(i) = H_{Ω}(i + 1) bereits H_{Ω}(i) = H_{Ω}(j) für alle j ≥ i folgt. Nach Satz 4.2.a nehmen wir also an, daß für ein i ≥ σ_{𝕏} + 2 gilt H_{G}(i − 1) = H_{G}(i). Da x_{0} ein Nichtnullteiler auf G ist, folgt G_{i} = x_{0}G_{i−1}. Nun wird I_{𝕏} von homogenen Elementen vom Grad ≤ σ_{𝕏} + 2 erzeugt (vgl. [GM], 1.1). Daher wird G von homogenen Elementen vom Grad ≤ σ_{𝕏} + 1 erzeugt, und wir erhalten

G_{i+1} = x_{0}G_{i} + ⋯ + x_{d}G_{i} = x_{0} · (x_{0}G_{i−1} + ⋯ + x_{d}G_{i−1}) = x_{0} · G_{i}.

Aus G_{i+1} = x_{0} · G_{i} ergibt sich die Behauptung durch vollständige Induktion. □

Die folgenden Beispiele zeigen, daß die Funktion H_{Ω}(i) in dem Bereich α_{𝕏} ≤ i ≤ σ_{𝕏} + 2 nicht monoton zu sein braucht. 4.9. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} das reduzierte Unterschema, das aus den neun Punkten P_{1} = (1:0:0), P_{2} = (1:0:1), P_{3} = (1:0:2), P_{4} = (1:0:3), P_{5} = (1:0:4), P_{6} = (1:0:5), P_{7} = (1:1:0), P_{8} = (1:2:0) und P_{9} = (1:1:1) besteht. Dann gilt H_{𝕏} : 1 3 6 7 8 9 9 ⋯ sowie α_{𝕏} = 3 und σ_{𝕏} = 4. Die Hilbert-Funktion von Ω_{R/K}^{1} ist

H_{Ω} : 3 9 15 14 13 14 13 12 11 10 9 9 ⋯

und erfüllt H_{Ω}(σ_{𝕏}) = 14 > H_{Ω}(σ_{𝕏} + 1) = 13 < H_{Ω}(σ_{𝕏} + 2) = 14. In diesem Beispiel ist allerdings die Funktion H_{T} : 3 8 6 5 5 4 3 2 1 unimodal, d.h. sie steigt monoton bis zu einem Maximum an und fällt von da an monoton. 4.10. Beispiel. Ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{4} bestehe aus vier Punkten auf einer Geraden und drei weiteren, generisch gewählten Punkten. Dann gilt H_{𝕏} : 1 5 6 7 7 ⋯ sowie α_{𝕏} = σ_{𝕏} = 2. Die Hilbert-Funktion von Ω_{R/K}^{1} ist

H_{Ω} : 5 16 9 10 9 8 7 7 ⋯

und erfüllt H_{Ω}(σ_{𝕏}) = 16 > H_{Ω}(σ_{𝕏} + 1) = 9 < H_{Ω}(σ_{𝕏} + 2) = 10. Wiederum ist H_{Ω} also nicht unimodal, und diesmal ist nicht einmal H_{T} : 10 2 3 2 1 unimodal.

4.11. Beispiel. Ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} bestehe aus sieben generisch gewählten Punkten. Dann gilt H_{Ω} : 5 17 8 7 7 ⋯, und im Gegensatz zu den letzten beiden Beispielen ist diese Funktion unimodal.

Unser nächster Satz gibt eine obere Schranke für die Regularität von Ω_{R/K}^{1}. Beispiel 4.9 zeigt, daß diese Schranke scharf ist. Ein anderer Beweis des Satzes kann im Fall eines lokal vollständigen Durchschnitts aus [GGP], 2.4 und Satz 4.16 gewonnen werden.

4.12. Satz. Für die Regularität ϱ_{𝕏} von Ω_{R/K}^{1} gilt ϱ_{𝕏} ≤ 2σ_{𝕏} + 3.

Beweis: Wir müssen zeigen, daß die Multiplikationsabbildung μ_{x_{0}} : (Ω_{R/K}^{1})_{2σ+3} ⟶ (Ω_{R/K}^{1})_{2σ+4} injektiv ist, weil dann der Beweis von Satz 4.8.e und 4.8.f die Behauptung liefert. Dazu betrachten wir die nach Satz 4.2.a gegebene exakte Sequenz von K-Vektorräumen

0 ⟶ G_{2σ+2} ⟶ R_{2σ+2}^{d+1} ⟶^{δ} (Ω_{R/K}^{1})_{2σ+3} ⟶ 0

und nehmen an, es gibt ein Tupel (r_{0}, …, r_{d}) ∈ R_{2σ+2}^{d+1} mit δ((r_{0}, …, r_{d})) ≠ 0 und δ((x_{0}r_{0}, …, x_{0}r_{d})) = 0. Dies bedeutet (x_{0}r_{0}, …, x_{0}r_{d}) ∈ G_{2σ+3}. Auf Grund des Beweises von Satz 4.8.f wissen wir G_{2σ+3} = R_{σ+2}G_{σ+1} = x_{0}R_{σ+1}G_{σ+1} = x_{0}G_{2σ+2}. Folglich existiert ein Tupel (r′_{0}, …, r′_{d}) ∈ G_{2σ+2} mit (x_{0}r_{0}, …, x_{0}r_{d}) = x_{0} · (r′_{0}, …, r′_{d}). Da x_{0} ein Nichtnullteiler von R^{d+1} ist, erhalten wir (r_{0}, …, r_{d}) = (r′_{0}, …, r′_{d}) ∈ G_{2σ+2}. Doch nun stellt δ((r_{0}, …, r_{d})) = 0 einen Widerspruch zur Annahme dar. □

Im reduzierten Fall können wir den Wert von H_{Ω}(i) für i ≥ ϱ_{𝕏} angeben, und ebenso die Grade, in denen Ω_{R/K}^{1} Torsionselemente hat.

4.13. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema.

a) Für alle i ≥ ϱ_{𝕏} gilt H_{Ω}(i) = s = deg 𝕏.

b) Gilt deg 𝕏 = s ≥ 2, so ist (T_{R/K})_{2} ≠ ⟨0⟩.

c) Gilt deg 𝕏 = s ≥ 2 sowie ϱ_{𝕏} ≥ σ_{𝕏} + 2, und ist char (K) = 0 oder char (K) > σ_{𝕏} + 2, so gilt (T_{R/K})_{i} ≠ ⟨0⟩ genau dann, wenn i ∈ {2, …, ϱ_{𝕏} − 1} ist.

Beweis: Behauptung a) folgt aus der Dimensionsbilanz der exakten Sequenz von Satz 4.5.b, da (T_{R/K})_{i} für i >> 0 verschwindet. Für die Teile b) und c) verweisen wir auf [K6], 3.6. □

Die Sätze 4.8.f und 4.13.c legen eine untere Schranke für die Regularität ϱ_{𝕏} von Ω_{R/K}^{1} nahe.

4.14. Vermutung. Für jedes 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} gilt ϱ_{𝕏} ≥ σ_{𝕏} + 2.

Falls diese Vermutung stimmt, so ist die angegebene Abschätzung scharf, wie unser nächstes Beispiel zeigt.

4.15. Beispiel. Ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{5} bestehe aus neun generisch gewählten Punkten. Dann gilt H_{𝕏} : 1 6 9 9 ⋯ sowie σ_{𝕏} = 1. Die Hilbert-Funktion von Ω_{R/K}^{1} ist H_{Ω} : 6 24 9 9 ⋯, und somit gilt ϱ_{𝕏} = 3 = σ_{𝕏} + 2.

Ist 𝕏 ein lokal vollständiger Durchschnitt, d.h. sind die lokalen Ringe O_{𝕏,P_{i}} für i = 1, …, s vollständige Durschnitte, so können wir die exakte Sequenz aus Satz 4.2.a mit Hilfe der fundamentalen exakten Sequenz (vgl. [KD], 4.17) verlängern.

4.16. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionaler lokal vollständiger Durchschnitt, und sei I_{𝕏}^{(2)} = (I_{𝕏}^{2})^{sat.} das symbolische Quadrat von I_{𝕏}.

a) Man hat eine exakte Sequenz von graduierten R-Moduln

0 ⟶ I_{𝕏}^{(2)}/I_{𝕏}^{2} ⟶ I_{𝕏}/I_{𝕏}^{2} ⟶^{δ} Ω_{A/K}^{1} ⊗_{A} R ⟶ Ω_{R/K}^{1} ⟶ 0,

wobei die Abbildung δ gegeben ist durch δ(F + I_{𝕏}^{(2)}) = dF ⊗ 1 für F ∈ A.

b) Es gilt I_{𝕏}^{2} = 𝔓_{1}^{2} ∩ ⋯ ∩ 𝔓_{s}^{2}.

c) Für alle i ∈ ℤ gilt H_{Ω}(i) = (d + 1)H_{𝕏}(i − 1) + H_{𝕏}(i) − H_{𝕐}(i), wobei 𝕐 ⊆ ℙ^{d} das 0-dimensionale Unterschema 𝕐 = Z(I_{𝕏}^{(2)}) ist. Insbesondere erhalten wir σ_{𝕐} = max{σ_{𝕏} + 2, ϱ_{𝕏}} − 1.

Beweis: Der Beweis von [K6], 3.9 überträgt sich auf die hier vorliegende Situation. □

In einer Reihe von Spezialfällen können wir den R-Modul Ω_{R/K}^{1} bzw. seine Hilbert-Funktion explizit berechnen. Für die Details der nachfolgenden Beispiele verweisen wir im reduzierten Fall auf [K6], §4.

4.17. Beispiel. Ist 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{1} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema mit P_{i} = (1:p_{i}) für i = 1, …, s, so gilt

Ω_{R/K}^{1} ≅ (R^{2}/⟨(\frac{∂F}{∂x_{0}} , \frac{∂F}{∂x_{1}} )⟩)(−1),

wobei \frac{∂F}{∂x_{0}} = − ∑_{i=1}^{s} p_{i} ∏_{j≠i}(x_{1} − p_{j}x_{0}) und \frac{∂F}{∂x_{1}} = ∑_{i=1}^{s} p_{i} ∏_{j≠i}(x_{1} − p_{j}x_{0}) ist. Für die Hilbert-Funktion H_{Ω} von Ω_{R/K}^{1} gilt

H_{Ω} : 2 4 6 ⋯ (2s − 2) (2s − 1) (2s − 2) (2s − 3) ⋯ (s + 1) s s ⋯

und wir erhalten ϱ_{𝕏} = 2s − 1 = 2σ_{𝕏} + 3. Der Torsionsuntermodul T_{R/K} von Ω_{R/K}^{1} ist gegeben durch

T_{R/K} = ⟨x_{0}dx_{1} − x_{1}dx_{0}⟩ ≅ (R/(\frac{∂F}{∂x_{0}} , \frac{∂F}{∂x_{1}} ))(−2)

und hat die Hilbert-Funktion H_{T} : 1 2 ⋯ (s − 1) (s − 2) ⋯ 1.

4.18. Beispiel. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} der 0-dimensionale vollständige Durchschnitt 𝕏 = H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{d} der Hyperflächen H_{1} = Z(F_{1}), …, H_{d} = Z(F_{d}) mit F_{i} ∈ A_{ν_{i}} für i = 1, …, d, so hat man eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ I_{𝕏}/I_{𝕏}^{2} ⟶^{δ} R^{d+1}(−1) ⟶ Ω_{R/K}^{1} ⟶ 0

mit δ(F_{i} + I_{𝕏}^{2}) = (\frac{∂F_{i}}{∂x_{0}} , …, \frac{∂F_{i}}{∂x_{d}}) für i = 1, …, d. Weiter hat man einen Isomorphismus graduierter R-Moduln

ı : I_{𝕏}/I_{𝕏}^{2} ⟶^{∼} ⨁_{i=1}^{d} R(−ν_{i})

mit ı(F_{i} + I_{𝕏}^{2}) = e_{i}. Insbesondere gilt

H_{Ω}(i) = (d + 1)H_{𝕏}(i − 1) − ∑_{i=1}^{d}H_{𝕏}(i − ν_{i})

für alle i ∈ ℤ und ϱ_{𝕏} = σ_{𝕏} + 1 + max{ν_{i} | 1 ≤ i ≤ d}.

4.19. Beispiel. Besteht 𝕏 ⊆ ℙ^{d} aus s ≥ d + 1 generisch gewählten Punkten, so gilt H_{𝕏}(i) = min\{s, \binom{d+i}{d}\} sowie

H_{Ω}(i) = (d + 1)H_{𝕏}(i − 1) + H_{𝕏}(i) − min\{(d + 1)s, \binom{d+i}{d}\}

für alle i ∈ ℤ, außer in den Fällen (d, s) ∈ {(2, 5), (3, 9), (4, 7), (4, 14)}, in denen man H_{Ω} ebenfalls explizit angeben kann.

Im letzten Teil dieses Abschnitts wollen wir noch den Derivationenmodul von R einführen, der ja bekanntlich der Dualmodul von Ω_{R/K}^{1} ist.

4.20. Definition. a) Eine Derivation von R/K ist eine K-lineare Abbildung d : R → R mit d(rr′) = rd(r′) + r′d(r) für alle r, r′ ∈ R.

b) Die Menge aller Derivationen von R/K bildet einen R-Modul, den wir den Derivationenmodul von R/K nennen und mit Der_{K}(R) bezeichnen.

Nach [KD], 1.23 stellt die R-lineare Abbildung Hom_{R}(Ω_{R/K}^{1}, R) ⟶ Der_{K}(R), die durch ℓ ⟼ ℓ ∘ d_{R/K} gegeben ist, einen Isomorphismus dar. Im reduzierten Fall können wir den R-Modul Der_{K}(R) näher beschreiben.

4.21. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema.

a) Es gilt Der_{K}(R) = 𝔪^{−1} · e, wobei e : R ⟶ R die Euler-Derivation und 𝔪^{−1} = {q ∈ Q(R) | q · 𝔪 ⊆ R} das zu 𝔪 inverse gebrochene Ideal ist.

b) Sei γ der Cohen-Macaulay Typ γ = dim_{K} 𝔖(\overline{R}) von R, und seien s_{1}, …, s_{γ} ∈ R homogene Elemente, deren Restklassen \{\overline{s}_{1}, …, \overline{s}_{γ}\} eine K-Basis des Sockels 𝔖(\overline{R}) von \overline{R} darstellen. Dann gilt

𝔪^{−1} = R + ⟨\frac{s_{1}}{x_{0}} , …, \frac{s_{γ}}{x_{0}} ⟩ ⊆ Q(R),

und somit wird Der_{K}(R) als R-Modul erzeugt von \{e, \frac{s_{1}}{x_{0}} · e, …, \frac{s_{γ}}{x_{0}} · e\}.

Beweis: Nach [KD], 4.24.b ist die R-lineare Abbildung α : 𝔪^{−1} ⟶ Der_{K}(R) mit α(q) = q · e injektiv. Dualisiert man die exakte Sequenz von Satz 4.5.b, so sieht man, daß es für Behauptung a) genügt, Hom_{R}(T_{R/K}, R) = 0 zu beweisen. Dies ist klar, denn für alle φ ∈ Hom_{R}(T_{R/K}, R), alle ω ∈ T_{R/K} und alle i >> 0 gilt x_{0}^{i} · φ(ω) = φ(x_{0}^{i}ω) = φ(0) = 0, also φ(ω) = 0.

Zum Beweis von b) gehen wir wie in [HK], S. 16 vor. In Q(R) ist die R-lineare Abbildung μ_{1/x_{0}} : (x_{0}) :_{R} 𝔪 ⟶ 𝔪^{−1} mit q ⟼ \frac{q}{x_{0}} surjektiv, denn für q ∈ 𝔪^{−1} ist r = x_{0}q ∈ R, also q = \frac{r}{x_{0}} . Für den zusammengesetzten Epimorphismus

φ: (x_{0}) :_{R} 𝔪 ⟶^{μ_{1/x_{0}}} 𝔪^{−1} −↠ 𝔪^{−1}/R

gilt ker ψ = (x_{0}), denn aus μ_{1/x_{0}}(q) ∈ R folgt q ∈ (x_{0}) und die andere Inklusion ist klar. Komponieren wir den Isomorphismus (\overline{ψ})^{−1} : 𝔪^{−1}/R ⟶^{∼} ((x_{0}) :_{R} 𝔪)/(x_{0}) mit den homogenen Isomorphismen

((x_{0}) :_{R} 𝔪)/(x_{0}) ⟶^{∼} Hom_{R/(x_{0})}(R/𝔪, R/(x_{0})) ⟶^{∼} 𝔖(R/(x_{0})),

so erhalten wir 𝔪^{−1}/R ≅ 𝔖(\overline{R}), wobei die Restklassen der Elemente \frac{s_{1}}{x_{0}} , …, \frac{s_{γ}}{x_{0}} offenbar gerade auf eine K-Basis von 𝔖(\overline{R}) abgebildet werden. □

II. Uniformitätsbedingungen

5. Cayley-Bacharach Schemata

Auch in diesem Abschnitt sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema. Wir verwenden weiterhin die Definitionen und Notationen aus dem ersten Kapitel. Die nachfolgenden Ausführungen basieren hauptsächlich auf [K2], §2. Nachdem wir eine Reihe von algebraischen Objekten eingeführt haben mit deren Hilfe wir die Einbettung 𝕏 ⊆ ℙ^{d} studieren können, wollen wir nun verschiedene geometrische Eigenschaften dieser Einbettung algebraisch charakterisieren. Dabei beginnen wir mit dem folgenden klassischen Resultat.

5.1. Satz. (Satz von Cayley-Bacharach)

Seien a, b ≥ 0, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} eine Menge von a · b Punkten, die den vollständigen Durchschnitt zweier ebener algebraischer Kurven C_{1} vom Grad a und C_{2} vom Grad b darstellt. Dann geht jede ebene algebraische Kurve vom Grad a + b − 3, die a · b − 1 Punkte von 𝕏 enthält, automatisch auch durch den letzten Punkt.

In seiner Arbeit [C] hatte A. Cayley nicht nur eine stärkere (und falsche) Formulierung dieses Satzes angegeben, auch sein Beweis enthielt eine Lücke. Beides wurde 1886 von I. Bacharach mit Hilfe des “AΦ + BΨ”-Theorems von M. Noether korrigiert (vgl. [B]). Für uns ist Satz 5.1 eine einfache Folgerung aus dem untenstehenden Beispiel 5.14, denn für 0-dimensionale Schemata der betrachteten Art gilt a + b − 3 = σ_{𝕏}. Er gibt aber Anlaß zu der folgenden, wesentlich allgemeineren Definition.

5.2. Definition. a) Sei i ≥ 0. Wir sagen, ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} habe die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i, wenn jede Hyperfläche vom Grad i, die ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 enthält, automatisch das ganze Schema 𝕏 umfaßt.

b) Ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt ein Cayley-Bacharach Schema, wenn 𝕏 die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad σ_{𝕏} hat.

Es ist klar, daß jedes 0-dimensionale Schema 𝕏 mit der Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i ≥ 1 auch die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i − 1 hat. Aus Lemma 1.7.b folgt, daß die Zahl σ_{𝕏} der maximale Grad i ≥ 0 ist, für den 𝕏 die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i haben kann. Wir geben nun einige Beispiele für Cayley-Bacharach Schemata an.

5.3. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{8}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0dimensionale Unterschema mit P_{1} = (1:0:0), P_{2} = (1:0:1), P_{3} = (1:0:2), P_{4} = (1:1:0), P_{5} = (1:1:1), P_{6} = (1:1:2), P_{7} = (1:2:0) und P_{8} = (1:2:2). Dann gilt H_{𝕏} : 1 3 6 8 8 ⋯ und σ_{𝕏} = 2. Jede Kurve vom Grad zwei, die sieben Punkte von 𝕏 enthält, hat nach dem Satz von Bezout entweder die Gerade Z(X_{1}) oder die Gerade Z(X_{1} − X_{0}) zur Komponente. Hieraus wird ersichtlich, daß es überhaupt keine Kurve vom Grad zwei durch sieben der Punkte von 𝕏 gibt. Also ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema.

5.4. Beispiel. Das reduzierte 0-dimensionale Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} vom Grad sechs aus Beispiel 3.18 ist ein Cayley-Bacharach Schema, denn es gilt H_{𝕏} : 1 4 6 6 ⋯, σ_{𝕏} = 1, und je fünf Punkte von 𝕏 spannen ℙ^{3} auf, d.h. keine fünf Punkte von 𝕏 liegen auf einer Hyperebene.

5.5. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2. Das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 = {(1:0:0), (1:1:0), (1:2:0), (1:0:1)} ⊆ ℙ^{2} ist kein Cayley-Bacharach Schema, denn es gilt H_{𝕏} : 1 3 4 4 ⋯, σ_{𝕏} = 1, und die Gerade Z(X_{2}) enthält genau drei Punkte von 𝕏.

Die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i kann man sehr leicht mit Hilfe der Separatoren bzw. der Hilbert-Funktionen der Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 charakterisieren.

5.6. Satz. Sei i ≥ 0. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 hat die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad i.

b) Für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 gilt α_{𝕐/𝕏} > i.

c) Ist 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 und ist f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} ein Separator von 𝕐, so gilt x_{0}^{σ_{𝕏}+1−i} ∤ f_{𝕐}.

Beweis: Die Äquivalenz von a) und b) folgt unmittelbar aus Definition 5.2.a, und die Äquivalenz von b) und c) ergibt sich aus I_{𝕐/𝕏} = (f_{𝕐})^{sat.} = ⊕_{j≥0}{r ∈ R_{j} | x_{0}^{σ_{𝕏}+1−j} · r ∈ K · f_{𝕐}}. □

5.7. Beispiel. Besteht ein 0-dimensionales reduziertes Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} aus s generisch gewählten Punkten, so ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema, denn es gilt H_{𝕏}(j) = min{H_{ℙ^{d}}(j), s} für alle j ∈ ℤ, und für alle Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad s − 1 gilt H_{𝕐}(j) = min{H_{ℙ^{d}}(j), s − 1} für alle j ∈ ℤ, also α_{𝕐/𝕏} = σ_{𝕏} + 1.

Ein 0-dimensionales Schema 𝕏 heißt lokal Gorenstein, wenn die lokalen Ringe O_{𝕏,P_{i}} für i = 1, …, s Gorenstein-Ringe sind. Ist 𝕏 lokal Gorenstein, so spiegelt sich die Eigenschaft, ein Cayley-Bacharach Schema zu sein, in der Struktur des kanonischen Moduls ω_{R} wieder.

5.8. Satz. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist lokal Gorenstein und ein Cayley-Bacharach Schema.

b) Für ein generisch gewähltes Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} gilt Ann_{R}(φ) = (0).

c) Es gibt ein Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} mit Ann_{R}(φ) = (0).

Beweis: Wir zeigen zuerst, daß Bedingung b) aus a) folgt. Da 𝕏 lokal Gorenstein ist, gibt es für jedes i ∈ {1, …, s} ein eindeutiges Unterschema 𝕐_{i} ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐_{i} = deg 𝕏 − 1 und O_{𝕐_{i},P_{i}} = O_{𝕏,P_{i}}/𝔖(O_{𝕏,P_{i}}), und da 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist, gilt f_{𝕐_{i}} ∉ x_{0}R_{σ_{𝕏}}. Also erfüllt eine generisch gewählte K-lineare Abbildung \overline{φ} : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ K mit \overline{φ}(x_{0}R_{σ_{𝕏}}) = 0 die Bedingungen \overline{φ}(f_{𝕐_{i}}) ≠ 0 für i = 1, …, s. Jetzt ist die Behauptung eine Konsequenz der Lemmata 2.6 und 2.7.b.

Da Bedingung c) offensichtlich aus b) folgt, bleibt nur noch der Schluß von c) auf a) zu beweisen. Aus der Injektion R(σ_{𝕏}) ≅ R · φ ⊆ ω_{R} und aus dim_{K} R(σ_{𝕏})_{j} = deg 𝕏 = dim_{K}(ω_{R})_{j} für j >> 0 erhalten wir, daß für i = 1, …, s die homogenen Lokalisationen R_{(𝔭_{i})} und (ω_{R})_{(𝔭_{i})} isomorph sind. Nun ist aber (ω_{R})_{(𝔭_{i})} gerade der kanonische Modul von O_{𝕏,P_{i}} ≅ R_{(𝔭_{i})}, d.h. der Ring O_{𝕏,P_{i}} ist ein Gorenstein-Ring und 𝕏 ist lokal Gorenstein. Sei für i = 1, …, s wieder 𝕐_{i} ⊆ 𝕏 das Unterschema mit deg 𝕐_{i} = deg 𝕏−1 und O_{𝕐_{i},P_{i}} = O_{𝕏,P_{i}}/𝔖(O_{𝕏,P_{i}}), und sei f_{𝕐_{i}} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} ein Separator von 𝕐_{i}. Nach Lemma 2.7.b gilt φ(f_{𝕐_{i}}) ≠ 0, was wegen φ(x_{0}R_{σ_{𝕏}}) = (0) nur geht, wenn f_{𝕐_{i}} ∉ x_{0}R_{σ_{𝕏}} ist. Nach Satz 5.6 ist 𝕏 also ein Cayley-Bacharach Schema. □

Dieser Satz liefert Abschätzungen für die Werte der Hilbert-Funktion eines Cayley-Bacharach Schemas, das lokal Gorenstein ist.

5.9. Korollar. Ist ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} lokal Gorenstein und ein Cayley-Bacharach Schema, so gilt

H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ deg 𝕏

für alle i ∈ ℤ.

Beweis: Wegen R(σ_{𝕏}) ≅ R · φ ⊆ ω_{R} gilt H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) = dim_{K} R(σ_{𝕏})_{−i} ≤ dim_{K}(ω_{R})_{−i} = deg 𝕏 − H_{𝕏}(i) für alle i ∈ ℤ. □

Unser nächstes Beispiel zeigt, daß ein Cayley-Bacharach Schema nicht lokal Gorenstein zu sein braucht.

5.10. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} der am Punkt P_{1} = (1:0:0) konzentrierte “Doppelpunkt”, d.h. es sei I_{𝕏} = (X_{1}^{2}, X_{1}X_{2}, X_{2}^{2}). Dann gilt H_{𝕏} : 1 3 3 ⋯ und σ_{𝕏} = 0. Der lokale Ring O_{𝕏,P_{1}} = O_{ℙ^{2},P_{1}}/(𝔪_{ℙ^{2},P_{1}})^{2} ist offensichtlich kein Gorenstein-Ring. Doch jedes der unendlich vielen Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = 2 = deg 𝕏 − 1 hat die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 2 2 ⋯, d.h. das Schema 𝕏 ist nach Satz 5.6 ein Cayley-Bacharach Schema.

Im Fall Δ_{𝕏} = H_{𝕏}(σ_{𝕏}+1)−H_{𝕏}(σ_{𝕏}) = 1 kann es ein Beispiel wie das eben betrachtete nicht geben.

5.11. Korollar. Ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1, so ist 𝕏 lokal Gorenstein.

Beweis: Angenommen, es gibt ein i ∈ {1, …, s} mit dim_{K} 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}) ≥ 2. Seien s_{1}, s_{2} ∈ 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}) zwei K-linear unabhängige Elemente, und seien 𝕐_{i} ⊆ 𝕏 für i = 1, 2 die durch (0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0) definierten Unterschemata vom Grad deg 𝕏 − 1. Nach dem im ersten Abschnitt Gezeigten ist f_{i} = f_{𝕐_{i}} = ı^{−1}((0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0)) ∈ R_{σ_{𝕏}+1} ein Separator von 𝕐_{i}. Wegen Δ_{𝕏} = dim_{K} \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} sind die Leitformen Lf_{1} = f_{1} + (x_{0}) ∈ \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} und Lf_{2} = f_{2}+(x_{0}) ∈ \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} K-linear abhängig, d.h. es gibt Elemente λ_{1}, λ_{2} ∈ K mit λ_{1}Lf_{1} + λ_{2}Lf_{2} = 0. Dann wird das Unterschema 𝕐 = Z(λ_{1}f_{1} + λ_{2}f_{2}) ⊆ 𝕏 von dem Sockelelement λ_{1}s_{1} + λ_{2}s_{2} ∈ 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}) definiert und hat Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1. Jedoch liefert λ_{1}f_{1} + λ_{2}f_{2} ∈ x_{0}R_{σ_{𝕏}} die Ungleichung α_{𝕐/𝕏} ≤ σ_{𝕏}, was wegen Satz 5.6 der Voraussetzung widerspricht. □

Das vorstehende Korollar kann man manchmal anwenden, um zu zeigen, daß ein 0-dimensionales Schema kein Cayley-Bacharach Schema ist.

5.12. Beispiel. Ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{2} bestehe aus zwei Doppelpunkten, d.h. es sei Supp (𝕏) = {P_{1}, P_{2}} und O_{𝕏,P_{i}} = O_{ℙ^{2},P_{i}}/(𝔪_{ℙ^{2},P_{i}})^{2} für i = 1, 2. Dann gilt H_{𝕏} : 1 3 5 6 6 ⋯ und Δ_{𝕏} = 1. Da 𝕏 nicht lokal Gorenstein ist, kann 𝕏 kein Cayley-Bacharach Schema sein.

Ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt arithmetisch Gorenstein, wenn der Ring R ein Gorenstein-Ring ist. In diesem Fall ist 𝕏 auch lokal Gorenstein, da für i = 1, …, s die lokalen Ringe O_{𝕏,P_{i}} ≅ R_{(𝔭_{i})} ebenfalls Gorenstein-Ringe sind. Aus Satz 5.8 erhält man sofort die folgende, bereits in [K7] bewiesene Charakterisierung 0-dimensionaler arithmetischer Gorenstein-Schemata.

5.13. Korollar. Für ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist arithmetisch Gorenstein.

b) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema und die Hilbert-Funktion von 𝕏 ist symmetrisch, d.h. für alle i ∈ ℤ gilt

H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) = deg 𝕏.

Beweis: Bedingung b) ist nach Satz 5.8 äquivalent damit, daß man eine Injektion R(σ_{𝕏}) ≅ R · φ ⊆ ω_{R} hat, die aus Dimensionsgründen bijektiv ist. Nun ist 𝕏 genau dann arithmetisch Gorenstein, wenn ω_{R} ein graduiert-freier R-Modul vom Rang eins ist (vgl. z.B. [GW], 2.1.3). □

5.14. Beispiel. Sei 𝕏 = H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{d} ⊆ ℙ^{d} der vollständige Durchschnitt der Hyperebenen H_{i} = Z(F_{i}) mit F_{i} ∈ A_{ν_{i}} und ν_{i} ≥ 0 für i = 1, …, d. Dann ist der homogene Koordinatenring R = A/(F_{1}, …, F_{d}) von 𝕏 ein vollständiger Durchschnitt, also insbesondere ein Gorenstein-Ring. Daher ist jeder vollständige Durchschnitt ein Cayley-Bacharach Schema. Wegen der Formel σ_{𝕏} = ν_{1} + ⋯ + ν_{d} − d − 1 (vgl. z.B. [GW], 2.2.8 und 2.2.10) hat 𝕏 also die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad ν_{1} +⋯+ν_{d} −d−1. Dies ist die d-dimensionale Version der Satzes von Cayley-Bacharach (vgl. 5.1).

Auch wenn wir von einem 0-dimensionalen Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ausgehen, das nicht notwendig lokal Gorenstein ist, können wir die Eigenschaft, ein Cayley-Bacharach Schema zu sein, mit Hilfe der Struktur des kanonischen Moduls ω_{R} charakterisieren.

5.15. Satz. Für ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema.

b) Die Multiplikationsabbildung R_{σ_{𝕏}+1} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{1} ist nicht ausgeartet.

c) Für alle i, j ≥ 0 ist die Multiplikation R_{i} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+j} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i+j} nicht ausgeartet.

d) Die Multiplikationsabbildung R_{σ_{𝕏}} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{0} ist nicht ausgeartet.

Beweis: Sind i, j ≥ 0, und ist φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i} mit R_{j} · φ = (0), so folgt aus x_{0}^{j} · φ = 0 und Satz 2.3.c schon φ = 0. Die betrachteten Multiplikationsabbildungen sind also alle nicht ausgeartet im zweiten Argument.

Zuerst zeigen wir, daß jedes Cayley-Bacharach Schema die Bedingung b) erfüllt. Angenommen, wir haben ein Element r ∈ R_{σ_{𝕏}+1} \{0} mit r ·(ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0. Dann gibt es ein Vielfaches von r der Form x_{0}^{i}·f_{𝕐} mit einem Separator f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1, und aus Satz 2.3.c folgt f_{𝕐} · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0. Nach Satz 5.6.c gilt Lf_{𝕐} ∈ \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} \\{0\}. Wähle einen zu K ·Lf_{𝕐} in \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} komplementären K-Untervektorraum V ⊆ \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} und betrachte die Projektion π : \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} ⟶ K längs V auf Lf_{𝕐}. Sie liftet zu einer K-linearen Abbildung φ : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ K mit φ(x_{0}R_{σ_{𝕏}}) = 0 und φ(f_{𝕐}) ≠ 0, und diese ergibt nach Lemma 2.6 und Lemma 2.7.a ein Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} mit f_{𝕐} · φ ≠ 0. Dies widerspricht der Annahme.

Um Bedingung c) aus b) zu folgern, nehmen wir an, wir haben Zahlen i, j ≥ 0 und ein homogenes Element r ∈ R_{i} mit r · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+j} = 0. Insbesondere gilt dann r · x_{0}^{j} · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0, also auch r · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0. Ist i ≤ σ_{𝕏} + 1, so folgt aus r · x_{0}^{σ_{𝕏}+1−i} · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0 nach b) die Behauptung r = 0, und ist i > σ_{𝕏} + 1, so schreiben wir r = x^{i−σ_{𝕏}−1} · r′ mit r′ ∈ R_{σ_{𝕏}+1} und folgern aus x_{0}^{i−σ_{𝕏}−1} · r′ · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0 und b) die Behauptung.

Da Bedingung d) ein Spezialfall von c) ist, bleibt noch zu zeigen, daß sie Bedingung a) impliziert. Angenommen, 𝕏 wäre kein Cayley-Bacharach Schema, d.h. nach Satz 5.6 es gäbe ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1 und einem Separator f_{𝕐} ∈ x_{0}R_{σ_{𝕏}} \ {0}. Für jedes φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} gilt dann φ(f_{𝕐}) ∈ x_{0} · φ(R_{σ_{𝕏}}) = (0), also f_{𝕐} · φ = 0 nach Lemma 2.7.a. Schreibt man f_{𝕐} = x_{0} · g mit g ∈ R_{σ_{𝕏}} \ {0}, so ist g · (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} = 0 nun ein Widerspruch zur Voraussetzung. □

Im reduzierten Fall besagt dies nach Satz 3.9, daß 𝕏 genau dann ein Cayley-Bacharach Schema ist, wenn die Multiplikationsabbildung R_{σ} ⊗_{K} ℑ_{σ+1} ⟶ ℑ_{2σ+1} nicht ausgeartet ist. Hier sehen wir bereits einen ersten Hinweis, warum es nützlich war, in Lemma 1.11.b, Korollar 3.10, Korollar 3.11 und Korollar 3.12 explizite Basen der beteiligten Vektorräume sowie die Matrix dieser Multiplikationsabbildung auszuarbeiten. Auch Satz 5.15 liefert Abschätzungen für die Hilbert-Funktion eines Cayley-Bacharach Schemas, jedoch weit schwächere als diejenigen von Korollar 5.9.

5.16. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Cayley-Bacharach Schema. Dann gilt für alle i ≥ 0 die Ungleichung

H_{𝕏}(i) ≤ Δ_{𝕏} · (deg 𝕏 − H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i)).

Beweis: Da für jedes i ≥ 0 die Multiplikationsabbildung R_{i} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i} nicht ausgeartet ist, haben wir Injektionen R_{i} ⟶ Hom_{K}((ω_{R})_{−σ_{𝕏}}, (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i}) und brauchen nur noch die Dimensionen zu vergleichen. □

Der nächste Teil dieses Abschnitts ist der Frage gewidmet, welche Unterschemata von Cayley-Bacharach Schemata selbst Cayley-Bacharach Schemata sind. Unser folgender Satz zeigt insbesondere die bekannte Tatsache, daß man durch Entfernen eines Punktes aus einem reduzierten 0-dimensionalen vollständigen Durchschnitt eine Punktmenge erhält, die immer noch ein Cayley-Bacharach Schema ist.

5.17. Satz. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1, und ist 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1, so ist 𝕐 wieder ein Cayley-Bacharach Schema.

Insbesondere ist jedes Unterschema vom Grad deg 𝕏−1 eines arithmetischen Gorenstein-Schemas 𝕏 wieder ein Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Sei 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1, sei f_{𝕐} ∈ R_{σ_{𝕏}+1} ein Separator von 𝕐, und sei R_{𝕐} = R/(f_{𝕐}) der homogene Koordinatenring von 𝕐 (vgl. Lemma 1.7). Dann gilt σ_{𝕐} = σ_{𝕏} − 1 und (R_{𝕐})_{σ_{𝕐}} ≅ R_{σ_{𝕏}−1}. Sei r ∈ R_{σ_{𝕏}−1} ein Element mit r · (ω_{R_{𝕐}})_{−σ_{𝕐}} = 0. Hierbei identifizieren wir ω_{R_{𝕐}} mit {φ ∈ ω_{R} | f_{𝕐} · φ = 0} gemäß Satz 2.4.a. Nach Satz 5.15 genügt es zu zeigen, daß r = 0 sein muß. Dazu können wir voraussetzen, daß 𝕏 in keiner Hyperebene von ℙ^{d} enthalten ist.

Wegen Korollar 5.11 ist 𝕏 lokal Gorenstein. Daher zeigt Satz 5.8, daß es ein Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} gibt mit Ann_{R}(φ) = 0. Dann enthält (ω_{R_{𝕐}})_{−σ_{𝕏}+1} alle Elemente der Form ℓ · φ mit ℓ ∈ R_{1} und f_{𝕐} · ℓ · φ = 0. Wegen Ann_{R}(φ) = (0) bedeutet dies ℓr = 0 für alle Elemente ℓ ∈ R_{1} mit f_{𝕐} · ℓ = 0.

Nun verwenden wir den Isomorphismus ı : R_{σ_{𝕏}+1} ⟶ ∏_{i=1}^{s} O_{𝕏,P_{i}} aus dem ersten Abschnitt und schreiben ı(x_{0}^{2}r) = (r_{1}, …, r_{s}), ı(x_{0}^{σ_{𝕏}} · ℓ) = (ℓ_{1}, …, ℓ_{s}) sowie ı(f_{𝕐}) = (0, …, 0, s_{i}, 0, …, 0) mit r_{j}, ℓ_{j} ∈ O_{𝕏,P_{j}} und s_{i} ∈ 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}). Enthält die Hyperebene Z(ℓ) für ein ℓ ∈ R_{1} = A_{1} den Punkt P_{i}, so gilt f_{𝕐} · ℓ = ı^{−1}((0, …, 0, ℓ_{i}s_{i}, 0, …, 0)) = 0, also ℓr = 0 und ℓ_{i}r_{i} = 0. Da die diese Hyperebenen definierenden Elemente ℓ das maximale Ideal 𝔪_{ℙ^{d},P_{i}} von O_{ℙ^{d},P_{i}} erzeugen, gilt r_{i} ∈ 𝔖(O_{𝕏,P_{i}}), und da 𝕏 lokal Gorenstein ist, gibt es ein λ ∈ K mit r_{i} = λs_{i}. Andererseits kann man ℓ ∈ R_{1} so wählen, daß P_{i} ∈ Z(ℓ) gilt sowie P_{j} ∉ Z(ℓ) für j ≠ i. Dann ist ℓ_{j} eine Einheit von O_{𝕏,P_{j}} für j ≠ i und ℓ · f_{𝕐} = 0 liefert ℓr = 0 sowie r_{j} = 0. Insgesamt ergibt sich also, daß x_{0}^{2} · r = λf_{𝕐} ist, was wegen f_{𝕐} ∉ x_{0}R_{σ_{𝕏}} nur für r = 0 der Fall sein kann. □

Im reduzierten Fall können wir auch für Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 kleinerer Grade deg 𝕏 − Δ_{𝕏} ≤ deg 𝕐 ≤ deg 𝕏 Aussagen darüber machen, wann 𝕐 wieder ein Cayley-Bacharach Schema ist. Für die Beweise der nachstehenden Resultate verweisen wir auf [K1], §2.

5.18. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Schema, sei 1 ≤ r ≤ Δ_{𝕏}, und sei 𝕐 = 𝕏 \ {P_{1}, …, P_{r}}. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) Die Leitformen \{Lf_{1}, …, Lf_{r}\} sind K-linear unabhängig in \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}.

b) Es gilt I_{𝕐/𝕏} = (f_{1}, …, f_{r}).

c) Für alle i ∈ ℤ gilt H_{𝕐}(i) = min{H_{𝕏}(i), s − r}.

Außerdem kann man die Punkte von 𝕏 so umnumerieren, daß die Bedingungen a),

b) und c) erfüllt sind.

5.19. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit Δ_{𝕏} ≥ 2, sei 1 ≤ r < Δ_{𝕏}, und sei 𝕐 = 𝕏 \ {P_{1}, …, P_{r}}. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕐 ist ein Cayley-Bacharach Schema mit H_{𝕐}(i) = min{H_{𝕏}(i), s − r} für alle i ∈ ℤ.

b) Für alle i ∈ \{r + 1, …, s\} sind die Leitformen \{Lf_{1}, …, Lf_{r}, Lf_{i}\} in \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} K-linear unabhängig.

5.20. Korollar. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes, 0-dimensionales Cayley-Bacharach Schema, und numeriert man die Punkte von 𝕏 so, daß \{Lf_{1}, …, Lf_{Δ_{𝕏}}\} eine K-Basis von \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} darstellt (vgl. §1), so ist 𝕐 = 𝕏\{P_{1}, …, P_{Δ_{𝕏}}} ebenfalls ein Cayley-Bacharach Schema.

Zum Schluß dieses Abschnitts geben wir noch eine Klasse von Beispielen für Cayley-Bacharach Schemata an (vgl. [K8], 3.6). Genauer zeigen wir, daß 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, deren homogenes Verschwindungsideal I_{𝕏} von den 2 × 2-Minoren einer homogenen 2 × (d+1)-Matrix erzeugt wird, lokal Gorenstein und Cayley-Bacharach Schemata sind. Das folgende Lemma kann man leicht mit vollständiger Induktion beweisen. Es stellt nur eine Umformulierung der bekannten Tatsache dar, daß der Relationenmodul einer schwach regulären Folge von den Koszulrelationen erzeugt wird (vgl. [E], 19.3).

5.21. Lemma. Sei A ein Ring, sei r ≥ 1, und sei {F_{1}, …, F_{r}} eine schwach reguläre Folge in A, d.h. für i = 1, …, r seien die Abbildungen μ_{F_{i}} : A/(F_{1}, …, F_{i−1}) ⟶ A/(F_{1}, …, F_{i−1}) injektiv. Wir schreiben F⃗^{t} für den Zeilenvektor (F_{1}, …, F_{r}) und F⃗ für den zugehörigen Spaltenvektor.

a) Ist G⃗ ∈ A^{r} mit G⃗^{t} · F⃗ = 0, so gibt es eine antisymmetrische Matrix 𝔄 = (a_{ij}) ∈ Mat_{r}(A) (d.h. a_{ii} = 0 für 1 ≤ i ≤ r und a_{ij} = −a_{ji} für 1 ≤ i < j ≤ r) mit G⃗ = 𝔄 · F⃗.

b) Ist 𝔄 ∈ Mat_{r}(A) eine antisymmetrische Matrix und G⃗ ∈ A^{r}, so gilt G⃗^{t}·𝔄·G⃗ = 0.

5.22. Satz. Seien a_{0}, …, a_{d}, b ≥ 0, und seien F_{i} ∈ A_{a_{i}} sowie G_{i} ∈ A_{a_{i}+b} für i = 0, …, d. Angenommen, die Folge {F_{0}, …, F_{d}} ist eine reguläre Folge in A und das Ideal, das erzeugt wird von den 2 × 2-Minoren der Matrix

𝔐 = ( \begin{matrix}F_{0} & ⋯ & F_{d} \\ G_{0} & ⋯ & G_{d} \end{matrix} )

definiert ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d}. Dann ist 𝕏 lokal Gorenstein und ein Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Wegen dim 𝕏 = 0 hat das Ideal (F_{i}G_{j} − G_{i}F_{j})_{0≤i<j≤d} ⊆ A die Höhe d. Nach [BV], 2.7 ist es damit saturiert und stimmt mit I_{𝕏} überein. Da {F_{0}, …, F_{d}} eine reguläre Folge bildet, gilt a_{i} > 0 für i = 0, …, d. Die minimale freie Auflösung des A-Moduls R = A/I_{𝕏} ist gegeben durch die Eagon-Northcott Auflösung (vgl. [BV], 2.16)

0 ⟶ (Λ^{0}M ⊗ Sym_{d−1}(N))ˇ ⟶^{∂}ˇ (Λ^{1}M ⊗ Sym_{d−2}(N))ˇ ⟶^{∂}ˇ ⋯

⋯ ⟶^{∂}ˇ (Λ^{d−1}M ⊗ Sym_{0}(N))ˇ ⟶^{ν_{0}} Λ^{0}M ⊗ Sym_{0}(N) ⟶ R ⟶ 0,

wobei 𝔐 eine homogene A-lineare Abbildung M = ⨁_{i=0}^{d} A(−a_{i}) ⟶ N = A ⊕ A(b) vom Grad null definiert, und wobei (−)ˇ für \underline{Hom}_{A}(−, A) steht.

Man beachte, daß die Abbildungen ∂ˇ homogen vom Grad null sind, während ν_{0} homogen vom Grad −a_{0} −⋯−a_{d} −b ist. Indem wir diese Sequenz dualisieren, erhalten wir (bis auf Gradverschiebungen) die minimale graduiert-freie Auflösung des A-Moduls ω_{R} (vgl. [GW], 2.2.9). Insbesondere ergibt sich eine minimale homogene Präsentation von ω_{R} der Form

⨁_{i=0}^{d} ⨁_{j=0}^{d−2} A(jb − a_{i}) ⟶^{Ψ} ⨁_{j=0}^{d−1} A(jb) ⟶^{Φ} ω_{R}(−a_{0} − ⋯ − a_{d} − b + d + 1) ⟶ 0.

Seien e_{ij} bzw. ϵ_{j} die Standardbasiselemente des ersten bzw. zweiten Moduls dieser Sequenz. Die Abbildung Ψ ist gegeben durch Ψ(e_{ij}) = F_{i}ϵ_{j} + G_{i}ϵ_{j+1}. Ferner setzen wir φ_{j} = Φ(ϵ_{j}) für j = 0, …, d − 1. Aus der Sequenz ersehen wir, daß σ_{𝕏} = a_{0} + ⋯ + a_{d} + db − d − 1 ist und für j = 0, …, d − 1 gilt deg φ_{j} = −σ_{𝕏} + (d − 1 − j)b.

Nach Satz 5.8 genügt es zu beweisen, daß Ann_{R}(φ_{d−1}) = (0) ist. Sei r ∈ R ein homogenes Element mit r · φ_{d−1} = 0. Schreibe r = H + I_{𝕏} mit einem homogenen Polynom H ∈ A. Die Bedingung H · ϵ_{d−1} ∈ ker Ψ bedeutet, daß es Polynome c_{ij} ∈ A gibt mit

H · ϵ_{d−1} = ∑_{i=0}^{d} ∑_{j=0}^{d−2} c_{ij}(F_{i}ϵ_{j} + G_{i}ϵ_{j+1}).

Hieraus erhalten wir das folgende Gleichungssystem.

H = c_{0 d−2}G_{0} + ⋯ + c_{d d−2}G_{d}
0 = c_{0 d−3}G_{0} + ⋯ + c_{d d−3}G_{d} + c_{0 d−2}F_{0} + ⋯ + c_{d d−2}F_{d}
⋮
0 = c_{0 0}G_{0} + ⋯ + c_{d 0}G_{d} + c_{0 1}F_{0} + ⋯ + c_{d 1}F_{d}
0 = c_{0 0}F_{0} + ⋯ + c_{d 0}F_{d}

Jetzt schreiben wir c_{i}^{t} = (c_{0 i}, …, c_{d i}), F⃗^{t} = (F_{0}, …, F_{d}) und G⃗^{t} = (G_{0}, …, G_{d}). Nach Lemma 5.21 folgt aus c_{0}^{t} · F⃗ = 0, daß es eine antisymmetrische Matrix 𝔄_{0} ∈ Mat_{d+1}(A) gibt mit c⃗_{0} = 𝔄_{0} · F⃗. Also folgt

0 = G⃗^{t} · c⃗_{0} + c_{1}^{t} · F⃗ = (G⃗^{t} · 𝔄_{0} + c_{1}^{t}) · F⃗ = (c⃗_{1} − 𝔄_{0} · G⃗)^{t} · F⃗

und eine nochmalige Anwendung von Lemma 5.21 liefert c⃗_{1} − 𝔄_{0} · G⃗ = 𝔄_{1} · F⃗ mit einer antisymmetrischen Matrix 𝔄_{1} ∈ Mat_{d+1}(A). Als nächstes erhalten wir

\begin{aligned}0 & = G⃗^{t} · c⃗_{1} + c_{2}^{t} · F⃗ = G⃗^{t} · 𝔄_{0} · G⃗ + G⃗^{t} · 𝔄_{1} · F⃗ + c_{2}^{t} · F⃗ \\ & = (G⃗^{t} · 𝔄_{1} + c_{2}^{t}) · F⃗ = (c⃗_{2} − 𝔄_{1} · G⃗)^{t} · F⃗ , \end{aligned}

also c⃗_{2} − 𝔄_{1} · G⃗ = 𝔄_{2} · F⃗ mit einer antisymmetrischen Matrix 𝔄_{2} ∈ Mat_{d+1}(A).

Indem wir so fortfahren, erreichen wir schließlich Darstellungen c⃗_{d−2} = 𝔄_{d−3} · G⃗ + 𝔄_{d−2}·F⃗ sowie H = G⃗^{t}·c⃗_{d−2} = G⃗^{t}·𝔄_{d−2}·F⃗ mit antisymmetrischen Matrizen 𝔄_{d−3}, 𝔄_{d−2} ∈ Mat_{d+1}(A). Schreiben wir 𝔄_{d−2} = (a_{ij}), so folgt H = ∑_{0≤i<j≤d} a_{i+1 j+1}(G_{i}F_{j} − F_{i}G_{j}) ∈ I_{𝕏}, also r = H + I_{𝕏} = 0. □

Ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt fast vollständiger Durchschnitt, wenn sein homogenes Verschwindungsideal I_{𝕏} ein minimales homogenes Erzeugendensystem aus d+1 Polynomen besitzt. Für 0-dimensionale Unterschemata von ℙ^{2} bedeutet dies nach dem Satz von Hilbert-Burch, daß das Ideal I_{𝕏} von den drei 2 × 2-Minoren einer 2 × 3-Matrix homogener Polynome erzeugt wird.

5.23. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein 0-dimensionaler fast vollständiger Durchschnitt, dessen homogenes Verschwindungsideal von der Form I_{𝕏} = (F_{1}G_{2}−G_{1}F_{2}, F_{1}G_{3}−G_{1}F_{3}, F_{2}G_{3}− G_{2}F_{3}) ist mit F_{i} ∈ A_{a_{i}} und G_{i} ∈ A_{a_{i}+b} für i = 1, 2, 3, und so daß {F_{1}, F_{2}, F_{3}} eine Areguläre Folge darstellt. Dann ist 𝕏 lokal Gorenstein und ein Cayley-Bacharach Schema.

6. Allgemeine Lage

Eine Motivation für die Untersuchungen in diesem Abschnitt ist der klassische Satz von der allgemeinen Lage für generische Hyperebenschnitte von Kurven. Eine integre Kurve C ⊆ ℙ^{d+1} heißt dabei ausgeartet, wenn C in einer Hyperebene enthalten ist, und seltsam, wenn alle Tangenten an regulären Punkten von C durch einen Punkt in ℙ^{d+1} gehen. (Letzteres kann nur in positiver Charakteristik vorkommen.)

6.1. Satz. (Satz von der allgemeinen Lage)

Sei C ⊆ ℙ^{d+1} eine nicht ausgeartete, nicht seltsame, integre Kurve, und sei H ⊆ ℙ^{d+1} eine generisch gewählte Hyperebene. Dann ist 𝕏 = C∩H ⊆ H ≅ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema vom Grad deg 𝕏 = deg C mit der Eigenschaft, daß je d+1 Punkte von 𝕏 den Raum H ≅ ℙ^{d} aufspannen.

Beweis: Einen Beweis im Fall beliebiger Charakteristik des Grundkörpers findet der Leser z.B. in [R], 1.1. □

Die Bedingung, daß je d + 1 Punkte eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} den ganzen Raum aufspannen, kann man folgendermaßen auf den nicht notwendig reduzierten Fall verallgemeinern (vgl. [EH]).

6.2. Definition. Wir sagen, ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} befinde sich in linear allgemeiner Lage, wenn für jeden echten linearen Teilraum L ⊊ ℙ^{d} gilt

deg(𝕏 ∩ L) ≤ 1 + dim L.

Als erstes wollen wir diesen Begriff mit Hilfe der Hilbert-Funktionen verschiedener Unterschemata von 𝕏 charakterisieren und zeigen, daß er im reduzierten Fall mit der Bedingung aus Satz 6.1 übereinstimmt. Die Ausführungen in diesem Abschnitt basieren auf [K2], §4.

6.3. Satz. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist in linear allgemeiner Lage.

b) Ist 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema vom Grad deg 𝕐 ≤ d + 1, so gilt H_{𝕐}(1) = deg 𝕐.

c) Ist 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema vom Grad deg 𝕐 ≤ d + 1, so gilt σ_{𝕐} ≤ σ_{𝕏}.

Im Fall deg 𝕏 ≥ d + 1 sind die Bedingungen a) – c) auch äquivalent damit, daß für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = d + 1 gilt H_{𝕐}(1) = d + 1, und im Fall deg 𝕏 ≤ d bedeuten sie einfach H_{𝕏}(1) = deg 𝕏.

Beweis: Zunächst zeigen wir, daß Bedingung b) aus a) folgt. Dazu sei ⟨𝕏⟩ der kleinste lineare Teilraum von ℙ^{d}, der 𝕏 enthält. Nach Lemma 1.3.b gilt dim⟨𝕏⟩ = H_{𝕏}(1) − 1. Im Fall dim⟨𝕏⟩ < d können wir in Definition 6.2 L = ⟨𝕏⟩ verwenden und erhalten deg 𝕏 ≤ H_{𝕏}(1), also die Behauptung. Im Fall dim⟨𝕏⟩ = d gilt H_{𝕏}(1) = d + 1 ≤ deg 𝕏. In diesem Fall wählen wir ein Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕏 mit 𝕐 ⊆ 𝕐′ und deg 𝕐′ = d + 1. Wegen σ_{𝕐} ≤ σ_{𝕐′} (vgl. Satz 2.4.b) genügt es, H_{𝕐′}(1) = d + 1 zu beweisen. Angenommen, es gibt eine Hyperebene L ⊊ ℙ^{d} mit 𝕐′ ⊆ L. Dann gilt 𝕐′ ⊆ L∩𝕏, und d+1 = deg 𝕐′ ≤ deg(L ∩ 𝕏) ≤ 1 + dim L = d stellt einen Widerspruch dar.

Da die Bedingungen b) und c) offensichtlich äquivalent sind, zeigen wir jetzt, daß Bedingung a) aus c) folgt. Im Fall deg 𝕏 ≤ d gilt σ_{L∩𝕏} ≤ σ_{𝕏} ≤ 0 für jeden echten linearen Teilraum L ⊊ ℙ^{d}, also deg(L ∩ 𝕏) = H_{L∩𝕏}(1) ≤ H_{L}(1) = 1 + dim L. Es bleibt noch der Fall deg 𝕏 ≥ d + 1. Sei L ⊊ ℙ^{d} ein echter linearer Teilraum, und sei 𝕐 = 𝕏 ∩ L. Wäre deg 𝕐 ≥ d + 1, so gäbe es ein Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕐 mit deg 𝕐′ = d + 1 und H_{𝕐′}(1) = d + 1, was aber Y′ ⊆ 𝕐 ⊆ L widerspräche. Also muß deg 𝕐 ≤ d sein, und wir erhalten

deg(L ∩ 𝕏) = deg 𝕐 = H_{𝕐}(1) ≤ H_{L}(1) = 1 + dim L.

Von den beiden Zusatzbehauptungen stellt man leicht fest, daß sie jeweils zu Bedingung b) äquivalent sind. □

6.4. Beispiel. Besteht ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} aus s generisch gewählten Punkten, so befindet sich 𝕏 in linear allgemeiner Lage, denn jede Teilmenge 𝕐 ⊆ 𝕏 aus d + 1 Punkten hat die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 d+1 d+1 · · ·.

6.5. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2. Das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{6}} ⊆ ℙ^{3} mit P_{1} = (1:1:0:0), P_{2} = (1:0:1:0), P_{3} = (1:−1:0:0), P_{4} = (1:0:−1:0), P_{5} = (1:0:0:1) und P_{6} = (1:0:0:−1) aus Beispiel 3.18 befindet sich nicht in linear allgemeiner Lage, denn z.B. die vier Punkte 𝕐 = {P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}} liegen auf der Hyperebene Z(X_{3}) und erfüllen H_{𝕐}(1) = 3 < deg 𝕐.

Ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt nicht ausgeartet, wenn 𝕏 in keiner Hyperebene enthalten ist. Befindet sich 𝕏 in linear allgemeiner Lage, und ist deg 𝕏 ≥ d+1, so ist 𝕏 automatisch nicht ausgeartet. Umgekehrt erfüllt jedes nicht ausgeartete 0-dimen-sionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} die Bedingung deg 𝕏 ≥ d + 1.

Für nicht ausgeartete 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} können wir die Bedingung, sich in linear allgemeiner Lage zu befinden, mit Hilfe der Modulstruktur des kanonischen Moduls ω_{R} charakterisieren. Sind U, V, W drei endlich-dimensionale K-Vektorräume, so nennen wir eine K-lineare Abbildung Φ : U ⊗_{K} V ⟶ W biinjektiv (oder 1-generisch), wenn für u ∈ U und v ∈ V aus Φ(u ⊗ v) = 0 schon folgt, daß u = 0 oder v = 0 ist.

6.6. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes 0-dimensionales Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist in linear allgemeiner Lage.

b) Die Multiplikationsabbildung R_{1} ⊗_{K} (ω_{R})_{−1} ⟶ (ω_{R})_{0} ist biinjektiv.

c) Für jedes i ∈ {1, …, σ_{𝕏}} ist die Abbildung R_{1}⊗_{K}(ω_{R})_{−i} ⟶ (ω_{R})_{−i+1} biinjektiv.

Beweis: Sei 𝕏 in linear allgemeiner Lage, und seien ℓ ∈ R_{1} \ {0} sowie φ ∈ (ω_{R})_{−1} mit ℓ · φ = 0. Nach Definition 6.2 gilt deg(𝕏 ∩ Z(ℓ)) ≤ d. Also gibt es ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = d + 1 und 𝕏 ∩ Z(ℓ) ⊆ 𝕐. Dann folgt I_{𝕐/𝕏} ⊆ (ℓ)^{sat.}, und nach Lemma 1.6.b gibt es für jedes homogene Element r ∈ I_{𝕐/𝕏} ein i ≥ 0 mit x_{0}^{i} · r ∈ (ℓ). Insbesondere folgt x_{0}^{i} · r · φ = 0, also I_{𝕐/𝕏} · φ = (0). Nach Satz 2.4.a erhalten wir φ ∈ (ω_{R_{𝕐}})_{−1}, was aber wegen σ_{𝕐} = 0 (vgl. Satz 6.3.c) nur für φ = 0 möglich ist. Also ist Bedingung b) eine Konsequenz von a).

Da die Bedingungen b) und c) wegen (ω_{R})_{−i} ≅ x_{0}^{i−1} · (ω_{R})_{−i} ⊆ (ω_{R})_{−1} äquivalent sind, brauchen wir nur noch den Schluß von b) auf a) zu beweisen. Befindet sich 𝕏 nicht in allgemeiner Lage, so gibt es nach Satz 6.3 ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = d + 1 und H_{𝕐}(1) ≤ d. Dann existiert ein Element ℓ ∈ (I_{𝕐/𝕏})_{1} \ {0} und wegen dim_{K}(ω_{R_{𝕐}})_{−1} = deg 𝕐 − H_{𝕐}(1) ≥ 1 auch ein Element φ ∈ (ω_{R_{𝕐}})_{−1} \ {0}. Nun liefert ℓ · φ ∈ I_{𝕐/𝕏} · φ = (0) einen Widerspruch zur Voraussetzung. □

Auch dieser Satz hat als Anwendung eine Reihe von Ungleichungen, die das Wachstum der Hilbert-Funktion eines 0-dimensionalen Schemas in linear allgemeiner Lage kontrollieren. In [EH], 3.2 wurden diese Ungleichungen auf eine andere Art bewiesen. Hier verwenden wir das Lemma über biinjektive Abbildungen, für das man z.B. in [Go], S. 86 einen einfachen Beweis finden kann.

6.7. Lemma (Lemma über biinjektive Abbildungen)

Sind U, V, W drei endlich-dimensionale K-Vektorräume, und ist Φ : U ⊗_{K} V ⟶ W eine K-lineare, biinjektive Abbildung, so gilt

dim_{K}(W) ≥ dim_{K}(U) + dim_{K}(V) − 1.

6.8. Korollar. Befindet sich ein nicht ausgeartetes 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} in linear allgemeiner Lage, so gilt

ΔH_{𝕏}(i) = H_{𝕏}(i) − H_{𝕏}(i − 1) ≥ d

für alle i ∈ {1, …, σ_{𝕏}}. Insbesondere gilt H_{𝕏}(i) ≥ min{1 + id, deg 𝕏} für alle i ≥ 0.

Beweis: Wendet man für i ∈ {1, …, σ_{𝕏}} das Lemma über biinjektive Abbildungen auf die Multiplikationsabbildung R_{1} ⊗_{K} (ω_{R})_{−i} ⟶ (ω_{R})_{−i+1} an, so folgt dim_{K}(ω_{R})_{−i+1} = deg 𝕏 − H_{𝕏}(i − 1) ≥ dim_{K}(R_{1}) + dim_{K}(ω_{R})_{−i} − 1 = d + deg 𝕏 − H_{𝕏}(i). Die zweite Behauptung ergibt sich durch Aufsummieren aus der ersten. □

Im Falle eines nicht ausgearteten 0-dimensionalen Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} kann man die Charakterisierung des Begriffs “lineare allgemeine Lage” in Satz 6.3 auch so formulieren, daß verlangt wird, daß die Hilbert-Funktion jedes Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 ≤ d + 1 = H_{ℙ^{d}}(1) so lange wie möglich mit der Hilbert-Funktion von ℙ^{d} übereinstimmt. Diese Formulierung weist den Weg, wie man auch eine “allgemeine Lage höherer Ordnung” definieren kann.

6.9. Definition. Sei i ≥ 1. Wir sagen, ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} befinde sich in allgemeiner Lage i-ter Ordnung, wenn für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 ≤ H_{ℙ^{d}}(i) und für jedes j ∈ ℤ gilt H_{𝕐}(j) = min{H_{ℙ^{d}}(j), deg 𝕐}.

Nach Satz 6.3 ist 𝕏 genau dann in linear allgemeiner Lage, wenn sich 𝕏 in allgemeiner Lage erster Ordnung befindet. Die Bedingung, daß 𝕏 in allgemeiner Lage (σ_{𝕏}+1)-ter Ordnung ist, erweist sich als äquivalent damit, daß die Hilbert-Funktion von 𝕏 gegeben ist durch H_{𝕏}(j) = min{H_{ℙ^{d}}(j), deg 𝕏} für alle j ∈ ℤ, und 𝕏 erfüllt die im nächsten Abschnitt studierte Bedingung der uniformen Lage. In [CJ], 3.3 wurde kürzlich auch gezeigt, daß diese Bedingungen äquivalent sind mit der Bedingung, daß sich 𝕏 in allgemeiner Lage σ_{𝕏}-ter Ordnung befindet. Der Begriff der allgemeinen Lage i-ter Ordnung ist also genau für die Ordnungen i ∈ {1, …, σ_{𝕏}} nicht trivial. Unser nächster Satz charakterisiert ihn wieder mit Hilfe der Modulstruktur von ω_{R}.

6.10. Satz. Sei i ≥ 0, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit α_{𝕏} ≥ i+1. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist in allgemeiner Lage i-ter Ordnung.

b) Für alle j ∈ {1, …, i} ist die Multiplikationsabbildung R_{j} ⊗_{K} (ω_{R})_{−j} ⟶ (ω_{R})_{0} biinjektiv.

c) Für alle j ∈ {1, …, i} und alle k ∈ {0, …, σ_{𝕏}−j} ist die Multiplikationsabbildung R_{j} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+k} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+j+k} biinjektiv.

Der Beweis dieses Satzes erfolgt mit vollständiger Induktion und Satz 6.6 (vgl. [K2], 4.4). Wendet man Lemma 6.7 auf c) an, so erhält man wieder Ungleichungen für die Hilbert-Funktionen von 0-dimensionalen Schemata in allgemeiner Lage i-ter Ordnung.

6.11. Korollar. Sei i ≥ 0, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit α_{𝕏} ≥ i + 1. Dann ist für jedes j ∈ {1, …, i} die Summe von j aufeinanderfolgenden Elementen der Folge \{ΔH_{𝕏}(1), …, ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏})\} mindestens gleich \binom{j+d}{d} − 1.

6.12. Beispiel. Sei char (K) = 0 oder char (K) > 7. Wir betrachten das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{11}} ⊆ ℙ^{2} mit P_{1} = (1:2:1), P_{2} = (1:1:2), P_{3} = (1:2:−1), P_{4} = (1:1:−2), P_{5} = (1:−2:1), P_{6} = (1:−2:−1), P_{7} = (1:3:2), P_{8} = (1:3:3), P_{9} = (1:4:0), P_{10} = (1:5:0) und P_{11} = (1:0:6). Dann gilt H_{𝕏} : 1 3 6 10 11 11 ⋯ und α_{𝕏} = 4. Da keine drei Punkte von 𝕏 auf einer Geraden liegen, befindet sich 𝕏 in linear allgemeiner Lage. Jedoch ist 𝕏 nicht in allgemeiner Lage zweiter Ordnung, denn die sechs Punkte 𝕐 = {P_{1}, …, P_{6}} von 𝕏 liegen auf einem Kreis und haben die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 3 5 6 6 · · ·.

6.13. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{3} ein 0-dimensionales Unterschema vom Grad deg 𝕏 ≥ 10. Hat 𝕏 die Eigenschaft, daß kein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = 10 in einer Quadrikenfläche enthalten ist, so kann nicht ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏} −1) = 4 und ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏}) ≤ 4 gelten. Dies folgt aus Korollar 6.11, denn 𝕏 befindet sich in allgemeiner Lage zweiter Ordnung und

ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏} − 1) + ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏}) ≤ 8 < 9 = \binom{5}{3} − 1.

Schließlich erklären wir noch den Zusammenhang des Begriffs der allgemeinen Lage i-ter Ordnung mit dem klassischen Begriff “𝕏 stellt unabhängige Bedingungen and das lineare System der Hyperflächen vom Grad i”. Wir verallgemeinern dazu die Definition aus [EK], S. 157 auf den nicht notwendig reduzierten Fall.

6.14. Definition. Sei i ≥ 1. Ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} stellt unabhängige Bedingungen an das lineare System der Hyperflächen vom Grad i, wenn aus deg 𝕏 ≤ H_{ℙ^{d}}(i) folgt, daß H_{𝕏}(i) = deg 𝕏 gilt, und wenn aus deg 𝕏 > H_{ℙ^{d}}(i) für alle Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = H_{ℙ^{d}}(i) folgt, daß H_{𝕐}(i) = H_{ℙ^{d}}(i) ist.

Nun erhalten wir eine einfache Beziehung zwischen den Definitionen 6.9 und 6.14.

6.15. Satz. Sei i ≥ 0, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist in allgemeiner Lage i-ter Ordnung.

b) Für jedes j ∈ {1, …, i} stellt 𝕏 unabhängige Bedingungen an das lineare System der Hyperflächen vom Grad j.

Beweis: Zuerst zeigen wir, daß Bedingung b) aus a) folgt. Sei j ∈ {1, …, i}. Im Fall deg 𝕏 ≤ H_{ℙ^{d}}(j) wählen wir 𝕐 = 𝕏 in Definition 6.9 und erhalten H_{𝕏}(k) = min{H_{ℙ^{d}}(k), deg 𝕏} für alle k ≥ 0, also insbesondere H_{𝕏}(j) = deg 𝕏. Im Fall deg 𝕏 > H_{ℙ^{d}}(j) wählen wir ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = H_{ℙ^{d}}(j) und erhalten aus Definition 6.9 die gesuchte Beziehung H_{𝕐}(j) = min{H_{ℙ^{d}}(j), deg 𝕐} = H_{ℙ^{d}}(j). In beiden Fällen stellt 𝕏 also unabhängige Bedingungen an das lineare System der Hyperflächen vom Grad j.

Sei nun umgekehrt die Bedingung b) vorausgesetzt, und sei 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema vom Grad deg 𝕐 ≤ H_{ℙ^{d}}(i), wobei wir o.E. den trivialen Fall deg 𝕐 = 1 ausschließen. Dann gibt es ein j ∈ {1, …, i} mit H_{ℙ^{d}}(j − 1) < deg 𝕐 ≤ H_{ℙ^{d}}(j). Wir wählen Unterschemata 𝕐′, 𝕐′′ ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐′ = H_{ℙ^{d}}(j − 1), mit deg 𝕐′′ = H_{ℙ^{d}}(j) und mit Y′ ⊆ 𝕐 ⊆ 𝕐′′ ⊆ 𝕏. Da 𝕏 unabhängige Bedingungen an das lineare System der Hyperflächen vom Grad j stellt, gilt H_{𝕐′′}(j) = H_{ℙ^{d}}(j) = deg 𝕐′′, woraus sich σ_{𝕐} ≤ σ_{𝕐′′} = j − 1 und H_{𝕐}(k) = deg 𝕐 = min{H_{ℙ^{d}}(k), deg 𝕐} für k ≥ j ergibt. Da 𝕏 unabhängige Bedingungen an das lineare System der Hyperflächen vom Grad j − 1 stellt, gilt H_{𝕐′}(j − 1) = H_{ℙ^{d}}(j − 1). Dies liefert H_{𝕐}(j − 1) = H_{ℙ^{d}}(j − 1), und somit H_{𝕐}(k) = min{H_{ℙ^{d}}(k), deg 𝕐} für 0 ≤ k ≤ j − 1.

Insgesamt haben wir gezeigt, daß für alle k ≥ 0 gilt H_{𝕐}(k) = min{H_{ℙ^{d}}(k), deg 𝕐}. Da 𝕐 beliebig war, heißt dies, daß sich 𝕏 in allgemeiner Lage i-ter Ordnung befindet.

□

7. Uniforme Lage

In diesem Abschnitt, der sich hauptsächlich auf [K2], §3 stützt, diskutieren wir das Konzept 0-dimensionaler Schemata in uniformer Lage und seine Verallgemeinerungen. Dieses Konzept basierte ursprünglich auf dem Satz von der uniformen Lage, den J. Harris 1980 bewies (vgl. [Ha], S. 197).

7.1. Satz. (Satz von der uniformen Lage)

Sei char (K) = 0, sei C ⊆ ℙ^{d+1} eine integre Kurve, und sei H ⊆ ℙ^{d+1} eine generisch gewählte Hyperebene. Dann ist 𝕏 = C ∩ H ⊆ H ≅ ℙ^{d} ein reduziertes 0dimenionales Schema mit der Eigenschaft, daß je zwei Unterschemata 𝕐, 𝕐′ ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕐′ dieselbe Hilbert-Funktion H_{𝕐} = H_{𝕐′} haben.

Einen Beweis dieses Satzes in der angegebenen Situation findet der Leser in [ACGH], S. 112. Verschiedene Voraussetzungen, unter denen er auch im Fall char (K) > 0 gültig bleibt, werden in [R] untersucht. Wir verallgemeinern die obige Eigenschaft wie folgt.

7.2. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei 1 ≤ i ≤ deg 𝕏 − 1. Das Schema 𝕏 heißt i-uniform, wenn für alle Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕏 − i ≤ deg 𝕐 ≤ deg 𝕏 gilt, daß ihre Hilbert-Funktion für alle j ∈ ℤ gegeben ist durch H_{𝕐}(j) = min{H_{𝕏}(j), deg 𝕐}.

Insbesondere sagen wir, das Schema 𝕏 befinde sich in uniformer Lage, wenn es (deg 𝕏−1)-uniform ist.

7.3. Bemerkungen. a) Ist 𝕏 reduziert und 1 ≤ i ≤ deg 𝕏 − 1, so ist das Schema 𝕏 genau dann i-uniform, wenn alle Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 eines festen Grades deg 𝕐 ≥ deg 𝕏−i dieselbe Hilbert-Funktion haben, wie sich aus Lemma 1.10.b und vollständiger Induktion ergibt. Insbesondere ist die in Definition 7.2 formulierte “uniforme Lage” im reduzierten Fall äquivalent mit der Bedingung in Satz 7.1.

b) Aus Satz 5.6 folgt, daß ein Schema 𝕏 genau dann ein Cayley-Bacharach Schema ist, wenn es 1-uniform ist.

c) Satz 5.17 besagt, daß jedes Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1 sogar 2-uni-form ist.

d) Ist 𝕏 nicht ausgeartet und in uniformer Lage, so ist 𝕏 nach Satz 6.3 auch in linear allgemeiner Lage.

Nun veranschaulichen wir Definition 7.2 an zwei Beispielen.

7.4. Beispiel. Sei char (K) ∉ {2, 3}. Das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 = {(1:0:0), (1:1:0), (1:2:0), (1:0:1), (1:1:1), (1:2:1)} ⊆ ℙ^{2} ist ein vollständiger Durchschnitt mit I_{𝕏} = (X_{1}(X_{1}−X_{0})(X_{1}−2X_{0}), X_{2}(X_{2}−X_{0})). Nach Bemerkung 7.3.c ist 𝕏 also 2-uni-form. Jedoch ist 𝕏 nicht 3-uniform, denn das Unterschema 𝕐 = {(1:0:0), (1:1:0), (1:2:0) erfüllt H_{𝕐}(1) = 2 < 3 = min{H_{𝕏}(1), deg 𝕐}.

7.5. Beispiel. Sei char (K) = 0 oder char (K) > 7, und sei 𝕏 das reduzierte 0-dimen-sionale Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{11}} ⊆ ℙ^{2} aus Beispiel 6.12. Zuerst zeigt man mit den in [K1], 2.20 oder [K5] beschriebenen Methoden, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist. Wegen Δ_{𝕏} = 1 und Bemerkung 7.3.c ist 𝕏 somit 2-uniform, d.h. jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = 9 hat die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 3 6 9 9 ⋯, also die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕐} : 1 2 3 3. Die einzige mögliche Castelnuovo-Funktion eines Unterschemas 𝕐′ ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐′ = 8 ist dann ΔH_{𝕐′} : 1 2 3 2 (vgl. [GMR]), und 𝕏 ist 3-uniform. Das Unterschema 𝕐′′ = {P_{1}, …, P_{7}} ⊆ 𝕏 hat deg 𝕐′′ = 7 sowie H_{𝕐′′} : 1 3 5 7 7 ⋯ und zeigt, daß 𝕏 nicht 4-uniform ist.

Für manche Zahlen 1 ≤ i ≤ deg 𝕏 − 1 kann man die Frage, ob ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} i-uniform ist, an Hand der Modulstruktur des kanonischen Moduls ω_{R} entscheiden. Im Fall i = deg 𝕏 − 1 erhalten wir damit ein algebraisches Kriterium für die uniforme Lage.

7.6. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei 0 ≤ i ≤ σ_{𝕏}. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist (deg 𝕏 − H_{𝕏}(i))-uniform.

b) Für jede Zahl j ∈ {i, …, σ_{𝕏}} ist die Multiplikationsabbildung R_{j} ⊗_{K} (ω_{R})_{−j} ⟶ (ω_{R})_{0} biinjektiv.

c) Für alle j ∈ {0, …, σ_{𝕏}−i} und alle k ∈ {0, …, σ_{𝕏} − j} ist die Multiplikationsabbildung R_{k} ⊗_{K} (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+j} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+j+k} biinjektiv.

Insbesondere ist 𝕏 genau dann in uniformer Lage, wenn für j = 1, …, σ_{𝕏} die Multiplikationsabbildungen R_{j} ⊗_{K} (ω_{R})_{−j} ⟶ (ω_{R})_{0} biinjektiv sind.

Beweis: Wir beweisen die Behauptung nur im Fall i = σ_{𝕏}. Der allgemeine Fall folgt hieraus durch absteigende Induktion nach i (vgl. [K2], 3.2). Um zu beweisen, daß Bedingung b) aus a) folgt, wählen wir ein Element r ∈ R_{σ_{𝕏}} \ {0} und betrachten das von (r)^{sat.} ⊆ R definierte Unterschema 𝕐 = Z((r)) ⊆ 𝕏. Wegen r ∈ (I_{𝕐/𝕏})_{σ_{𝕏}} gilt dann H_{𝕐}(σ_{𝕏}) < H_{𝕏}(σ_{𝕏}), und da 𝕏 nach Voraussetzung Δ_{𝕏}-uniform ist, bedeutet dies deg 𝕐 < H_{𝕏}(σ_{𝕏}) = deg 𝕏 − Δ_{𝕏}. Dann gibt es ein Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐′ = deg 𝕏−Δ_{𝕏} und 𝕐 ⊊ 𝕐′ (vgl. [K2], 2.2.b). Mit Satz 2.4.b und der Voraussetzung erhalten wir σ_{𝕐} ≤ σ_{𝕐′} = σ_{𝕏} − 1, also (ω_{R_{𝕐}})_{−σ_{𝕏}} = {φ ∈ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} | (I_{𝕐/𝕏}) · φ = 0} = ⟨0⟩. Wegen I_{𝕐/𝕏} = (r)^{sat.} und Lemma 1.6.b wird daher kein Element von (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} \ {0} von r annulliert.

Da die Behauptungen b) und c) wegen R_{k} ≅ x_{0}^{σ_{𝕏}−k}R_{k} ⊆ R_{σ_{𝕏}} und Satz 2.3.c äquivalent sind, bleibt nur noch zu zeigen, daß Bedingung a) aus b) folgt. Dazu ist für ein vorgegebenes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕏 − Δ_{𝕏} ≤ deg 𝕐 ≤ deg 𝕏 nur nachzuweisen, daß H_{𝕐}(σ_{𝕏}) = H_{𝕏}(σ_{𝕏}) gilt. Andernfalls wäre H_{𝕐}(σ_{𝕏}) < H_{𝕏}(σ_{𝕏}) ≤ deg 𝕐, und es gäbe ein Element r ∈ (I_{𝕐/𝕏})_{σ_{𝕏}} \ {0}. Außerdem hätten wir σ_{𝕐} = σ_{𝕏}, d.h. jedes von Null verschiedene Element von (ω_{R_{𝕐}})_{−σ_{𝕐}} ⊆ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} würde im Widerspruch zur Voraussetzung von r annulliert. □

Durch Anwendung des Satzes über biinjektive Abbildungen erhalten wir wiederum Ungleichungen, die das Wachstum der Hilbert-Funktionen i-uniformer 0-dimensionaler Schemata begrenzen.

7.7. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei 0 ≤ i ≤ σ_{𝕏}. Ist 𝕏 mindestens (deg 𝕏−H_{𝕏}(i))-uniform, so gilt

H_{𝕏}(j) ≥ H_{𝕏}(k) + H_{𝕏}(j − k) − 1

für alle j = i, …, σ_{𝕏} und alle k = 0, …, j. Insbesondere erfüllt die Hilbert-Funktion jedes Δ_{𝕏}-uniformen Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} die Ungleichungen

H_{𝕏}(j) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − j) ≤ deg 𝕏 − Δ_{𝕏} + 1

für j = 0, …, σ_{𝕏}.

Beweis: Wendet man den Satz über biinjektive Abbildungen auf die Bedingung 7.6.c an, so folgt deg 𝕏−H_{𝕏}(σ_{𝕏} −j −k) ≥ H_{𝕏}(k)+deg 𝕏−H_{𝕏}(σ_{𝕏} −j)−1 für j = 0, …, σ_{𝕏}−i und k = 0, …, σ_{𝕏}−j. Jetzt ersetze j durch σ_{𝕏} − j und erhalte die Behauptung. □

Falls ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} lokal Gorenstein und mindestens 1uniform ist, so existiert nach Satz 5.8 eine Injektion R(σ_{𝕏}) ⟶ ω_{R}. Hat 𝕏 in diesem Fall sogar eine noch höhere Uniformität, so erhalten wir aus Satz 7.6 auch die Biinjektivität gewisser Multiplikationsabbildungen in R.

7.8. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei 0 ≤ i ≤ σ_{𝕏}. Ist 𝕏 lokal Gorenstein und (deg 𝕏−H_{𝕏}(i))-uniform, so sind die Multiplikationsabbildungen R_{j} ⊗_{K} R_{k} ⟶ R_{j+k} für alle j = 0, …, σ_{𝕏}−i und alle k = 0, …, σ_{𝕏}−j biinjektiv.

Im Falle eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} können wir mit Hilfe von Satz 5.18 auch im Bereich 1 ≤ i ≤ Δ_{𝕏} eine Charakterisierung dafür angeben, ob 𝕏 ein i-uniformes Schema ist (s.a. [K2], 3.4).

7.9. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema und 1 ≤ i ≤ Δ_{𝕏}. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist i-uniform.

b) Jede Teilmenge aus i Elementen von {Lf_{1}, …, Lf_{s}} ist K-linear unabhängig in \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}.

Beweis: Dies folgt sofort aus Satz 5.18 und Definition 7.2. □

7.10. Beispiel. Sei char (K) = p > 0, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, das aus s ≥ p + 2 𝔽_{p}-rationalen Punkten besteht und Δ_{𝕏} = 2 erfüllt. Dann ist 𝕏 nicht 2-uniform.

Andernfalls sind die Elemente {Lf_{1}, …, Lf_{s}} paarweise K-linear unabhängig in \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}. Wenn z.B. \{Lf_{1}, Lf_{2}\} eine Basis dieses 2-dimensionalen Vektorraums darstellt, so kann man für i = 1, …, s Darstellungen Lf_{i} = λ_{i}Lf_{1} + μ_{i}Lf_{2} finden mit λ_{i}, μ_{i} ∈ K. Da alle Operationen bei der Berechnung der Separatoren und ihrer Leitformen über 𝔽_{p} definiert sind (vgl. [K5]), hat man sogar λ_{i}, μ_{i} ∈ 𝔽_{p}. Nun bildet {(λ_{1}:μ_{1}), …, (λ_{s}:μ_{s})} eine Menge von s ≥ p + 2 paarweise verschiedenen 𝔽_{p}-rationalen Punkten in ℙ^{1}, was offenbar unmöglich ist.

Dieses Beispiel bringt uns bereits zum Thema des letzten Teils dieses Abschnitts, nämlich zur Verallgemeinerung der im dritten Abschnitt beschriebenen Gale-Transfor-mierten von 𝕏. In diesem Teil sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Wir verwenden die in den Abschnitten 1 und 3 für diesen Fall eingeführten Notationen.

7.11. Definition. Sei 1 ≤ i ≤ σ_{𝕏}, sei r = s − H_{𝕏}(i), und sei {t_{1}, …, t_{r}} eine K-Basis von (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1−i}. Für j = 1, …, r schreibe

t_{j} = x_{0}^{σ_{𝕏}−i} · (γ_{j1}f_{1} + ⋯ + γ_{js}f_{s})

mit γ_{j1}, …, γ_{js} ∈ K und bilde die Matrix Γ_{i} = (γ_{jk}) ∈ Mat_{r×s}(K). Dann heißt die durch die von Null verschiedenen Spalten der Matrix Γ_{i} definierte Punktmenge in ℙ^{r−1} die i-te kanonische Transformierte von 𝕏 und wird mit κ_{i}(𝕏) ⊆ ℙ^{r−1} bezeichnet.

Die i-te kanonische Transformierte von 𝕏 ist offenbar bis auf eine Koordinatentransformation in ℙ^{r−1}, die der Wahl einer anderen Basis {t′_{1}, …, t′_{r}} von (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1−i} entspricht, eindeutig bestimmt. Die erste kanonische Transformierte von 𝕏 ist in der Situation von Definition 3.17 mit der Gale-Transformierten von 𝕏 identisch. Zunächst beschäftigen wir uns mit der Frage, wann die i-te kanonische Transformierte von 𝕏 wieder aus s = deg 𝕏 verschiedenen Punkten besteht. Dazu verallgemeinern wir den in Definition 7.2 eingeführten Begriff der i-Uniformität wie folgt.

7.12. Definition. Sei 1 ≤ i ≤ deg 𝕏 − 1, und sei 1 ≤ j ≤ σ_{𝕏}. Das reduzierte 0-dimen-sionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt (i, j)-uniform, wenn für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = deg 𝕏 − i gilt H_{𝕐}(j) = H_{𝕏}(j).

7.13. Bemerkungen. a) Genau dann ist 𝕏 ein (i, σ_{𝕏})-uniformes Schema, wenn 𝕏 im Sinne von Definition 7.2 ein i-uniformes Schema ist, denn aus H_{𝕐}(σ_{𝕏}) = H_{𝕏}(σ_{𝕏}) folgt H_{𝕐}(k) = min{H_{𝕏}(k), deg 𝕐} für alle k ∈ ℤ.

b) Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} nicht ausgeartet, so ist 𝕏 nach Satz 6.3 genau dann (s−d−1, 1)-uni-form, wenn sich 𝕏 in linear allgemeiner Lage befindet.

c) Allgemeiner gilt für 1 ≤ i ≤ σ_{𝕏} und α_{𝕏} ≥ i + 1, daß 𝕏 genau dann (s − \binom{d+i}{d})- uniform ist, wenn sich 𝕏 in linear allgemeiner Lage i-ter Ordnung befindet, denn aus H_{𝕐}(i) = H_{𝕏}(i) = H_{ℙ^{d}}(i) für 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = s − (s − \binom{d+i}{i}) = H_{ℙ^{d}}(i) folgt H_{𝕐}(j) = min{H_{ℙ^{d}}(j), deg 𝕐} für alle j ∈ ℤ.

Jetzt können wir die gestellte Frage beantworten und in Verallgemeinerung von Lemma 3.16 genau charakterisieren, wann die i-te kanonische Transformierte eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit deg 𝕏 = s wieder aus s verschiedenen Punkten besteht.

7.14. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema und 1 ≤ i ≤ σ_{𝕏}. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist (2, i)-uniform.

b) Die i-te kanonische Transformierte κ_{i}(𝕏) ⊆ ℙ^{r−1} mit r = s − H_{𝕏}(i) besteht aus s verschiedenen Punkten.

Beweis: Bedingung b) ist damit äquivalent, daß für alle 1 ≤ j < k ≤ s die j-te und die k-te Spalte der Matrix Γ_{i} über K linear unabhängig sind. Bei geeigneter Wahl der Basis {t_{1}, …, t_{r}} von (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1−i} bedeutet dies, daß (γ_{1j}, …, γ_{rj}) = (1, 0, …, 0) und (γ_{1k}, …, γ_{rk}) = (0, 1, 0, …, 0) gilt. Äquivalent hiermit ist wiederum die Bedingung

\begin{aligned}dim_{K}\{x_{0}^{σ_{𝕏}−i} · (c_{1}f_{1} & + ⋯ + c_{s}f_{s}) ∈ (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1−i} | c_{j} = c_{k} = 0\} \\ & = dim_{K}(ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}+1−i} − 2 = r − 2, \end{aligned}

also dim_{K}(ω_{R_{𝕐}})_{−i} = dim_{K}(ω_{R})_{−i} − 2 für alle Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = s − 2. Letzteres stimmt wegen H_{𝕐}(i) = deg 𝕐 − dim_{K}(ω_{R_{𝕐}})_{−i} = (s − 2) − (dim_{K}(ω_{R})_{−i} − 2) = H_{𝕏}(i) mit Bedingung a) überein. □

Es ist ein interessantes, und außer im Fall der Gale-Transformierten anscheinend noch weitgehend unerforschtes Fragengebiet, wie geometrische Eigenschaften von 𝕏 (bzw. algebraische Eigenschaften von R, ω_{R}, Ω_{R/K}^{1} etc.) mit denen von κ_{i}(𝕏) zusammenhängen. Wir schließen mit einem einfachen Beispiel in dieser Richtung.

7.15. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit σ_{𝕏} = 1. Genau dann ist 𝕏 ein Δ_{𝕏}-uniformes Schema, wenn κ_{σ_{𝕏}}(𝕏) ⊆ ℙ^{Δ_{𝕏}−1} aus s Punkten in linear allgemeiner Lage besteht.

Beweis: Bilden wir die Matrix Γ_{σ_{𝕏}} = ({1 \atop 0} ... {0 \atop 1} | 𝔅) mit 𝔅 = (β_{ji})^{transp.} wie im ersten Abschnitt, so sind ihre Spalten gerade die Koordinatenvektoren der Leitformen \{Lf_{1}, …, Lf_{s}\} in der Basis \{Lf_{1}, …, Lf_{Δ_{𝕏}}\} von \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}. Nun folgt die Behauptung aus Satz 7.9. □

8. Kohomologische Uniformität

Für diesen und den nächsten Abschnitt setzen wir voraus, daß 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema ist. Wir verwenden die im ersten und dritten Abschnitt eingeführten Notationen, insbesondere Vereinbarung 3.4. Außerdem weisen wir darauf hin, daß die nachfolgenden Ausführungen im Fall Δ_{𝕏} = 1 weitgehend trivial sind, so daß wir uns o.E. auf den Fall Δ_{𝕏} ≥ 2 beschränken könnten. Das kanonische Ideal von 𝕏 bezeichnen wir mit ℑ ⊆ R, und 𝔅 = (β_{ji})^{transp.} ist die Matrix aus dem letzten Teil des ersten Abschnitts, wobei wir die Punkte {P_{1}, …, P_{s}} von 𝕏 so numeriert haben, daß \{Lf_{1}, …, Lf_{Δ}\} eine K-Basis von \overline{R}_{σ+1} darstellt. Das Material dieses Abschnitts basiert auf [K3], §3 und [K4], §2.

Aus Satz 5.15 folgt einerseits, daß 𝕏 genau dann ein Cayley-Bacharach Schema (also 1-uniform) ist, wenn die Multiplikationsabbildung R_{σ} ⊗ ℑ_{σ+1} ⟶ ℑ_{2σ+1} nicht ausgeartet ist. Andererseits besagt Satz 7.6, daß 𝕏 genau dann Δ_{𝕏}-uniform ist, wenn diese Multiplikationsabbildung biinjektiv ist. Im ersten Fall haben wir nach Korollar 5.9 die Ungleichungen

H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ s

für i = 0, …, σ_{𝕏}, und im zweiten Fall nach Korollar 7.7 die Ungleichungen

H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ s − Δ_{𝕏} + 1  (∗)

für i = 0, …, σ_{𝕏}. Das nächste Beispiel zeigt, daß letztere Ungleichungen für Cayley-Bacharach Schemata mit Δ_{𝕏} ≥ 2 nicht immer zu gelten brauchen.

8.1. Beispiel. Sei char (K) ∉ {2, 3}, und seien L_{1}, L_{2} ⊆ ℙ^{3} zwei windschiefe Geraden, z.B. L_{1} = Z(X_{2}, X_{3}) und L_{2} = Z(X_{3} − X_{0}, X_{1}). Nun wähle ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{8}} ⊆ ℙ^{3}, das aus vier Punkten P_{1}, …, P_{4} von L_{1} und aus vier Punkten P_{5}, …, P_{8} von L_{2} besteht, z.B. sei P_{1} = (1:0:0:0), P_{2} = (1:1:0:0), P_{3} = (1:2:0:0), P_{4} = (1:3:0:0), P_{5} = (1:0:0:1), P_{6} = (1:0:1:1), P_{7} = (1:0:2:1) und P_{8} = (1:0:3:1). Dann gilt H_{𝕏} : 1 4 6 8 8 ⋯, σ_{𝕏} = Δ_{𝕏} = 2, und 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema (vgl. [K1], 2.20 oder [K5]). Jedoch erfüllt 𝕏 wegen

H_{𝕏}(1) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − 1) = 8 > 7 = s − Δ_{𝕏} + 1

nicht die Ungleichungen (∗).

Allerdings erweist es sich als nicht leicht, Beispiele wie das vorstehende zu finden. Alle bisher bekannten haben die Eigenschaft, daß 𝕏 die Vereinigung zweier echter Teilmengen ist, die jeweils auf Varietäten “niedrigen” Grades liegen. Um für dieses Verhalten eine formale Definition anzugeben, scheint die Einführung des folgenden Uniformitätsbegriffs nützlich zu sein.

8.2. Definition. Wir sagen, ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zerfällt kohomologisch, wenn man 𝕏 so in zwei nichtleere, disjunkte Teilmengen 𝕏 = 𝕐∪· 𝕐′ zerlegen kann, daß in \overline{R}_{σ+1} gilt

∑_{P_{i}∈𝕐}K · Lf_{i} ∩ ∑_{P_{i}∈𝕐′}K · Lf_{i} = {0}.

Zerfällt 𝕏 nicht kohomologisch, so heißt 𝕏 kohomologisch uniform.

Als erstes begründen wir nun die Verwendung des Wortes “zerfällt” in dieser Definition und weisen ihre Unabhängigkeit von der Wahl des Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1} nach.

8.3. Satz. Die folgenden Bedingungen sind äquivalent.

a) 𝕏 zerfällt kohomologisch.

b) Man kann die Punkte {P_{1}, …, P_{Δ}} bzw. {P_{Δ+1}, …, P_{s}} so umnumerieren, daß die Matrix 𝔅 von der Form 𝔅 = \binom{∗ 0}{0 ∗} ist, wobei jeder Block null Zeilen oder Spalten haben kann und echt kleiner als 𝔅 ist.

Beweis: Sei zunächst Bedingung a) vorausgesetzt. Gilt Lf_{i} = 0 für ein i ∈ {1, …, s}, so ist eine Spalte von 𝔅 gleich dem Nullvektor, d.h. die Matrix 𝔅 ist nach einer Umnumerierung von der Form 𝔅 = (0 ∗). Im folgenden nehmen wir daher an, daß alle Elemente Lf_{i} mit 1 ≤ i ≤ s ungleich null sind. Sei 𝕏 = 𝕐∪· 𝕐′ die Darstellung von 𝕏 gemäß Definition 8.2. O.E. numerieren wir {P_{1}, …, P_{Δ}} bzw. {P_{Δ+1}, …, P_{s}} so um, daß 𝕐 gegeben ist durch 𝕐 = {P_{1}, …, P_{δ}, P_{Δ+1}, …, P_{Δ+ϵ}} mit 0 ≤ δ ≤ Δ und 0 ≤ ϵ ≤ s − Δ.

Hierbei kann nicht δ = 0 gelten, weil sonst \overline{R}_{σ+1} mit ∑_{P_{i}∈𝕐′} K·Lf_{i} übereinstimmen würde, und für alle Punkte P_{j} ∈ 𝕐 wäre Lf_{j} = 0. Analog sehen wir, daß δ < Δ sein muß. Im Fall ϵ = 0 gilt Lf_{j} ∈ ∑_{P_{i}∈𝕐′} K ·Lf_{i} für j = Δ+1, …, s, weshalb die Matrix 𝔅 von der Form 𝔅 = \binom{0}{∗} ist. Ebenso ergibt sich, daß die Matrix 𝔅 im Fall ϵ = s − Δ von der Form 𝔅 = \binom{∗}{0} ist. Somit können wir im weiteren voraussetzen, daß 1 ≤ ϵ < s − Δ gilt.

Nun folgt für j = 1, …, ϵ aus

\begin{aligned}β_{j δ+1}Lf_{δ+1} + ⋯ + β_{j Δ}Lf_{Δ} & = Lf_{Δ+j} − β_{j 1}Lf_{1} ⋯ − β_{j δ}Lf_{δ} \\ & ∈ ∑_{P_{i}∈𝕐}K · Lf_{i} ∩ ∑_{P_{i}∈𝕐′}K · Lf_{i} = \{0\}, \end{aligned}

daß β_{j δ+1} = ⋯ = β_{j Δ} = 0 ist. Ebenso folgt für j = ϵ + 1, …, s − Δ aus

\begin{aligned}β_{j 1}Lf_{1} + ⋯ + β_{j δ}Lf_{δ} & = Lf_{Δ+j} − β_{j δ+1}Lf_{δ+1} − ⋯ − β_{j Δ}Lf_{Δ} \\ & ∈ ∑_{P_{i}∈𝕐}K · Lf_{i} ∩ ∑_{P_{i}∈𝕐′}K · Lf_{i} = \{0\}, \end{aligned}

daß β_{j 1} = ⋯ = β_{j δ} = 0 ist. Also ist die Matrix 𝔅 von der behaupteten Form.

Umgekehrt sei nun Bedingung b) vorausgesetzt. Gilt β_{j 1} = ⋯ = β_{j Δ} = 0 für ein j ∈ {1, …, s − Δ}, so können wir 𝕐 = {P_{j}} und 𝕐′ = 𝕏 \ {P_{j}} wählen und erhalten die gewünschte Zerlegung von \overline{R}_{σ+1}. Ist die Matrix 𝔅 jedoch von der Form 𝔅 = \binom{∗ 0}{0 ∗} oder 𝔅 = \binom{∗}{0} oder 𝔅 = \binom{0}{∗}, so sei δ ∈ \{1, …, Δ − 1\} die Anzahl der Zeilen der oberen Blöcke und ϵ ∈ {1, …, s − Δ − 1} die Anzahl der Spalten der linken Blöcke. Dann wählen wir 𝕐 = {P_{1}, …, P_{δ}, P_{Δ+1}, …, P_{Δ+ϵ}} sowie 𝕐′ = 𝕏 \ 𝕐 und erhalten wiederum die gewünschte Zerlegung von \overline{R}_{σ+1}. □

8.4. Korollar. Die Bedingungen “𝕏 zerfällt kohomologisch” bzw. “𝕏 ist kohomologisch uniform” aus Definition 8.2 hängen nicht von der Wahl des Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1} ab.

Beweis: Wegen Lemma 1.12 ist die Bedingung 8.3.b unabhängig von der Wahl des Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1}. □

Mit Hilfe von Satz 8.3 können wir uns leicht davon überzeugen, daß das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} aus Beispiel 8.1 tatsächlich kohomologisch zerfällt.

8.5. Beispiel. Sei char (K) ∉ {2, 3}, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{8}} ⊆ ℙ^{3} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema aus Beispiel 8.1. Mit den in [K5] beschriebenen Methoden berechnen wir die Separatoren f_{1}, …, f_{8} ∈ R_{3}. Es stellt sich heraus, daß {Lf_{1}, Lf_{5}} eine K-Basis von \overline{R}_{3} ist, und bzgl. dieser Basis hat die Matrix 𝔅 die Gestalt

𝔅 = ( \begin{matrix}−3 & 3 & −1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & −3 & 3 & −1 \end{matrix} )

woraus wir sehen, daß 𝕏 in der Form 𝕏 = {P_{1}, …, P_{4}}∪· {P_{5}, …, P_{8}} kohomologisch zerfällt.

Auch für die Wahl des Wortes “kohomologisch” in Definition 8.2 gibt es eine Begründung.

8.6. Bemerkung. Wie wir im zweiten Abschnitt bereits gesehen haben, hat der lokale Kohomologiemodul H_{𝔪}^{1}(R) die Hilbert-Funktion dim_{K} H_{𝔪}^{1}(R)_{i} = s − H_{𝕏}(i) für alle i ∈ ℤ. Insbesondere gilt σ_{𝕏} = max{i ∈ ℤ | H_{𝔪}^{1}(R)_{i} ≠ {0}}. Für jedes Unterschema 𝕐_{i} = 𝕏 \ \{P_{i}\} mit 1 ≤ i ≤ s können wir den verallgemeinerten Bruch \left[{f_{i} \atop x_{0}}\right] ∈ H_{𝔪}^{1}(R)_{σ_{𝕏}} bilden (vgl. [Ku], S. 51). Aus dem Beweis von Lemma 1.12 folgt, daß der 1-dimensionale K-Vektorraum c(𝕐_{i}) = K · \left[{f_{i} \atop x_{0}}\right] ⊆ H_{𝔪}^{1}(R)_{σ_{𝕏}} nicht von der Wahl des Nichtnullteilers x_{0} ∈ R_{1} abhängt. Wir nennen ihn die Kohomologieklasse von 𝕐_{i} (vgl. auch [H1], ex. III.7.4). Mit dieser Bezeichnung und den Regeln für das Rechnen mit verallgemeinerten Brüchen (vgl. [Ku], 4.13 und 4.14) können wir Definition 8.2 auch so aussprechen:

Ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zerfällt genau dann kohomologisch, wenn es eine Zerlegung 𝕏 = 𝕐∪· 𝕐′ gibt mit 𝕐, 𝕐′ ≠ ∅ und ∑_{P_{i}∈𝕐} c(𝕐_{i}) ∩ ∑_{P_{i}∈𝕐′} c(𝕐_{i}) = {0}.

Auch die kohomologische Uniformität eines reduzierten 0-dimensionalen Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ist an der Modulstruktur von ω_{R} bzw. ℑ erkennbar. Bevor wir jedoch zu dieser Charakterisierung schreiten können, brauchen wir noch eine weitere Kohärenzeigenschaft der Matrix 𝔅 kohomologisch uniformer Schemata.

8.7. Lemma. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} kohomologisch uniform, und sei ∼ eine Äquivalenzrelation auf der Menge {1, …, s} mit der Eigenschaft, daß i ∼ j gilt für alle i ∈ {1, …, Δ} und j ∈ {Δ+1, …, s} mit β_{j−Δ i} ≠ 0. Dann gilt 1 ∼ 2 ∼ ⋯ ∼ s.

Beweis: O.B.d.A. seien {Δ+1, …, Δ+t_{1}} für ein t_{1} ≥ 1 diejenigen Zahlen j ∈ {Δ+1, …, s} mit β_{j−Δ 1} ≠ 0. Hierbei gilt t_{1} ≠ 0 wegen Lemma 1.11.a. Nach Voraussetzung haben wir 1 ∼ Δ+1 ∼ ⋯ ∼ Δ+t_{1}, und für j ∈ {Δ+t_{1}+1, …, s} gilt β_{j−Δ 1} = 0. Da 𝕏 kohomologisch uniform ist, zeigt Satz 8.3, daß es eine Zahl i ∈ {2, …, Δ} gibt, so daß nicht alle Elemente der Menge {β_{1 i}, …, β_{t_{1} i}} gleich null sind. O.B.d.A. sei i = 2 und β_{ν_{1} 2} ≠ 0 mit einem ν_{1} ∈ {1, …, t_{1}}. Dann gilt 2 ∼ Δ+ν_{1} ∼ 1.

Nun seien o.E. {Δ+t_{1}+1, …, Δ+t_{2}} mit t_{2} ≥ t_{1} diejenigen Zahlen j ∈ {Δ+t_{1}+1, …, s} mit β_{j−Δ 2} ≠ 0. (Hierbei erlauben wir auch den Fall t_{2} = t_{1}.) Dann gilt 2 ∼ Δ+t_{1}+1 ∼ ⋯ ∼ Δ+t_{2} sowie β_{j−Δ 2} = 0 für j = Δ+t_{1}+2, …, s. Da 𝕏 kohomologisch uniform ist, liefert Satz 8.3 wieder eine Zahl i ∈ {3, …, Δ}, so daß nicht alle Elemente der Menge {β_{1 i}, …, β_{t_{2} i}} gleich null sind. O.B.d.A. sei i = 3 und β_{ν_{2} 3} ≠ 0 mit ν_{2} ∈ {1, …, t_{2}}. Dann folgt 3 ∼ Δ+ν_{2} ∼ 2 ∼ 1.

Indem wir so fortfahren, erhalten wir schließlich t_{Δ} = s − Δ, da nicht alle Zahlen der Menge {β_{s−Δ 1}, …, β_{s−Δ Δ}} verschwinden, und es gilt Δ ∼ Δ−1 ∼ ⋯ ∼ 1. Weil jede Spalte von 𝔅 einen von null verschiedenen Eintrag hat, ergibt sich die Behauptung.

□

8.8. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist kohomologisch uniform.

b) Die Multiplikationsabbildung μ : R_{σ} ⊗ ℑ_{σ+1} ⟶ ℑ_{2σ+1} ist nicht ausgeartet und surjektiv.

c) Die Multiplikationsabbildung μ̃ : R_{σ} ⊗(ω_{R})_{−σ} ⟶ (ω_{R})_{0} ist nicht ausgeartet und surjektiv.

Beweis: Wegen Satz 3.9 sind die Bedingungen b) und c) äquivalent. Sei 𝕏 nun kohomologisch uniform. Nach Satz 8.3 ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema, so daß aus Satz 5.15 folgt, daß die Multiplikationsabbildungen μ und μ̃ nicht ausgeartet sind. In Anbetracht von Korollar 3.11 müssen wir also noch zeigen, daß die Elemente h_{i} = x_{0}^{σ}(f_{i+1} − f_{i}) für 1 ≤ i ≤ s − 1 im Bild von μ liegen. Wir definieren eine Relation ∼ auf der Menge {1, …, s} durch

i ∼ j  ⟺  x_{0}^{σ}(f_{i} − f_{j}) ∈ im μ.

Offenbar ist ∼ eine Äquivalenzrelation. Für 1 ≤ i ≤ Δ und Δ + 1 ≤ j ≤ s gilt g_{j−Δ} · π_{i} = β_{j−Δ i} · x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i}) ∈ im μ nach Korollar 3.12. Also folgt i ∼ j aus β_{j−Δ i} ≠ 0. Darum können wir das Lemma 8.7 anwenden und erhalten 1 ∼ ⋯ ∼ s, also x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i}) ∈ im μ für i, j ∈ {1, …, s}. Insbesondere liegen die Elemente h_{1}, …, h_{s−1} im Bild von μ.

Schließlich zeigen wir, daß Bedingung a) aus b) folgt. Angenommen, 𝕏 zerfällt kohomologisch in der Form 𝕏 = 𝕐∪· 𝕐′. Dann gilt Δ ≥ 2, und wir können {P_{1}, …, P_{s}} so umnumerieren, daß 𝕐 = {P_{1}, …, P_{δ}, P_{Δ+1}, …, P_{Δ+ϵ}} ist mit 1 ≤ δ ≤ Δ − 1 und 0 ≤ ϵ ≤ s − Δ (vgl. Satz 8.3). Da das Bild von μ von den Elementen g_{j−Δ} · π_{i} = β_{j−Δ i} · x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i}) mit 1 ≤ i ≤ Δ und Δ + 1 ≤ j ≤ s erzeugt wird, können wir uns auch auf diejenigen dieser Elemente beschränken, für die β_{j−Δ i} ≠ 0 ist. Da 𝕏 kohomologisch zerfällt, ist diese Teilmenge enthalten in

M = {x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i}) | i = 1, …, δ und j = Δ + 1, …, Δ + ϵ}
∪ {x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i}) | i = δ + 1, …, Δ und j = Δ + ϵ + 1, …, s}.

Nun sei r = x_{0}^{σ}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) ∈ im μ mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K. Wir stellen r als Linearkombination der Elemente von M dar und erhalten

r = ∑_{i=1}^{δ} ∑_{j=Δ+1}^{Δ+ϵ} ζ_{ij} x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i}) + ∑_{i=δ+1}^{Δ} ∑_{j=Δ+ϵ+1}^{s} ζ_{ij} x_{0}^{σ}(f_{j} − f_{i})

mit ζ_{ij} ∈ K. Durch Vergleich der beiden Darstellungen von r folgt

c_{i} = \{ \begin{matrix}−ζ_{iΔ+1} − … − ζ_{iΔ+ϵ} & für i = 1, …, δ, \\ −ζ_{iΔ+ϵ+1} − … − ζ_{is} & für i = δ + 1, …, Δ, \\ ζ_{1i} + … + ζ_{δi} & für i = Δ + 1, …, Δ + ϵ, \\ ζ_{δ+1i} + … + ζ_{Δi} & für i = Δ + ϵ + 1, …, s. \end{matrix}

Hieraus schließen wir ∑_{P_{i}∈𝕐} c_{i} = 0 und ∑_{P_{i}∈𝕐′} c_{i} = 0. Insbesondere liegt das Element x_{0}^{σ}(f_{Δ} − f_{1}) nicht im Bild von μ, was einen Widerspruch zur Voraussetzung darstellt.

□

Wie in den vorhergehenden Abschnitten stellt sich natürlich die Frage, welche Auswirkungen diese Charakterisierung kohomologisch uniformer 0-dimensionaler Schemata für ihre Hilbert-Funktionen hat. Im nächsten Abschnitt werden wir zeigen, daß ein Uniformitätsbegriff vorliegt, der es uns erlaubt, die Ungleichungen (∗) zu beweisen. Auf jeden Fall liegt er zwischen der 1-Uniformität und der Δ_{𝕏}-Uniformität.

8.9. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Dann gilt:

𝕏 ist Δ_{𝕏}-uniform ⇓ 𝕏 ist kohomologisch uniform ⇓ 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema (also 1-uniform).

Beweis: Die erste Implikation folgt aus 7.6 und 8.8, die zweite aus Satz 8.3. □

Für den Rest dieses Abschnitts spezialisieren wir die Situation noch weiter und nehmen an, daß 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} nicht ausgeartet ist und σ_{𝕏} = 1 erfüllt. Dann besteht 𝕏 aus d + 2 ≤ s ≤ \binom{d+2}{2} Punkten, die den Raum ℙ^{d} aufspannen, und 𝕏 hat die Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 d+1 s s ⋯ sowie Δ_{𝕏} = s − d − 1. In diesem Fall stimmen zwei der bisher betrachteten Uniformitätsbedingungen überein.

8.10. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensionales Unterschema mit σ_{𝕏} = 1. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist in linear allgemeiner Lage.

b) 𝕏 ist Δ_{𝕏}-uniform.

c) Die Multiplikationsabbildung R_{1} ⊗ ℑ_{2} ⟶ ℑ_{3} ist biinjektiv.

Beweis: Die Behauptung folgt aus den Sätzen 6.6 und 7.6. □

Für i = 1, …, s schreiben wir P_{i} = (1 : p_{i1} : …: p_{id}) mit p_{i1}, …, p_{id} ∈ K. In geeigneten Koordinaten können wir die Matrix 𝔅 explizit angeben.

8.11. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensionales Unterschema mit σ_{𝕏} = 1. Wir können die Koordinaten von ℙ^{d} so wählen, daß P_{Δ+1} = (1 : 0 : …: 0), P_{Δ+2} = (1 : 1 : 0 : …: 0), ..., P_{s} = (1 : 0 : …: 0 : 1) gilt. Dann ist die Matrix 𝔅 gegeben durch

𝔅 = ( \begin{matrix}−1 + p_{11} + ⋯ + p_{1d} & −p_{11} & ⋯ & −p_{1d} \\ ⋮ & ⋮ & & ⋮ \\ −1 + p_{Δ1} + ⋯ + p_{Δd} & −p_{Δ1} & ⋯ & −p_{Δd} \end{matrix} )

Beweis: Nach Satz 5.18 spannen die d + 1 Punkte {P_{Δ+1}, …, P_{s}} den Raum ℙ^{d} auf, weshalb ein geeigneter Koordinatenwechsel sie in die Punkte {(1 : 0 : …: 0), (1 : 1 : 0 : …: 0), …, (1 : 0 : …: 0 : 1)} überführt. Außer {x_{0} − x_{1} − ⋯ − x_{d}, x_{1}, …, x_{d}} ist nach Lemma 1.11.b auch {g_{1}, …, g_{d+1}} eine K-Basis von R_{1}. Für 0 ≤ i ≤ d und 1 ≤ j ≤ d nehmen beide Basen an den Punkten P_{s−d+i} die gleichen Funktionswerte

(x_{0} − x_{1} − ⋯ − x_{d})(P_{s−d+i}) = δ_{i0} = g_{1}(P_{s−d+i})
bzw.  x_{j}(P_{s−d+i}) = δ_{ij} = g_{j+1}(P_{s−d+i})

an, d.h. es gilt g_{1} = x_{0}−x_{1}−⋯−x_{d}, g_{2} = x_{1}, ..., g_{d+1} = x_{d}. Jetzt folgt die Behauptung aus β_{i j} = −g_{i}(P_{j}) für 1 ≤ i ≤ d + 1 und 1 ≤ j ≤ Δ (vgl. Lemma 1.11.b). □

Auf Grund von Beispiel 8.5 kann man bereits vermuten, daß (zumindest im Fall σ_{𝕏} = 1) auch eine geometrische Interpretation für das kohomologische Zerfallen eines reduzierten 0-dimensionalen Schemas existiert.

8.12. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Wir sagen, 𝕏 zerfalle linear, wenn es (echte) lineare Teilräume L_{1}, L_{2} ⊆ ℙ^{d} gibt mit 𝕏 ⊆ L_{1} ∪ L_{2} und L_{1} ∩ L_{2} = ∅.

Das 0-dimensionale Schema aus Beispiel 8.1 zerfällt offenbar linear. Unser nächster Satz stellt eine geometrische Charakterisierung der kohomologischen Uniformität im Fall σ_{𝕏} = 1 dar. Die Äquivalenz der Bedingungen a) und d) kann man auch aus [CRV1], 1.2 und 1.5 ableiten.

8.13. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensionales Unterschema mit σ_{𝕏} = 1. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 zerfällt nicht linear.

b) 𝕏 ist kohomologisch uniform.

c) Die Multiplikationsabbildung μ : R_{1}⊗ℑ_{2} ⟶ ℑ_{3} ist nicht ausgeartet und surjektiv.

d) 𝕏 ist ein Level-Schema (oder rein), d.h. sein kanonisches Ideal ℑ wird von den Elementen von ℑ_{2} erzeugt.

Beweis: Zuerst zeigen wir, daß Bedingung b) aus a) folgt. Das Schema 𝕏 hat die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad σ_{𝕏} = 1, denn jede Hyperebene L_{1}, die genau s − 1 Punkte von 𝕏 enthält, liefert zusammen mit dem 0-dimensionalen linearen Raum, der aus dem verbleibenden Punkt besteht, eine Inklusion 𝕏 ⊆ L_{1} ∪ L_{2}, die bedeutet, daß 𝕏 linear zerfällt.

Angenommen, 𝕏 zerfällt kohomologisch und wir haben die Punkte {P_{1}, …, P_{s}} so umnumeriert, daß Bedingung 8.3.b erfüllt ist. Dann gilt g_{i}(P_{j}) = 0 für j ∈ {1, …, ϵ} und i ∈ {δ+1, …, Δ} ∪ {Δ+ϵ+1, …, s}. Daher enthält der lineare Teilraum L_{1} = Z(g_{1}, …, g_{ϵ}) ⊆ ℙ^{d} die Punkte {P_{δ+1}, …, P_{Δ}, P_{Δ+ϵ+1}, …, P_{s}}. Analog sehen wir, daß der lineare Teilraum L_{2} = Z(g_{ϵ+1}, …, g_{s−Δ}) ⊆ ℙ^{d} die Punkte {P_{1}, …, P_{δ}, P_{Δ+1}, …, P_{Δ+ϵ}} enthält. Insgesamt gilt 𝕏 ⊆ L_{1} ∪ L_{2} und L_{1} ∩ L_{2} = Z(g_{1}, …, g_{s}) = ∅, im Widerspruch zu a).

Da die Äquivalenz der Bedingungen b) und c) aus Satz 8.8 folgt, zeigen wir nun den Schluß von c) auf d). Dazu bemerken wir, daß ℑ_{3} wegen der Surjektivität von μ keinen minimalen Erzeuger von ℑ enthält. Wegen x_{0}ℑ_{3} ⊆ ℑ_{4} und dim_{K} ℑ_{3} = s − 1 genügt es nach Korollar 3.11, ein einziges Element r = x_{0}^{2}(c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s}) ∈ ℑ_{4} = R_{4} mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K und c_{1} + ⋯ + c_{s} ≠ 0 anzugeben. Dazu nehmen wir ein Element r′ = c′_{1}f_{1} + ⋯ + c′_{s}f_{s} ∈ ℑ_{2} \ {0} mit c′_{1}, …, c′_{s} ∈ K und c′_{i} ≠ 0 für ein i ∈ {1, …, s} und erhalten f_{i} · r′ = c′_{i} · x_{0}^{2} · f_{i} ∈ ℑ_{4} \ {0}.

Bedingung c) folgt aus d), denn wie wir im 11. Abschnitt sehen werden, ist jedes Level-Schema ein Cayley-Bacharach Schema, d.h. die Abbildung μ ist nach Satz 5.15 nicht ausgeartet, und surjektiv ist sie nach Voraussetzung.

Schließlich zeigen wir noch die Richtung von b) nach a). Angenommen, es gibt lineare Teilräume L_{1}, L_{2} ⊆ ℙ^{d} mit 𝕏 ⊆ L_{1} ∪ L_{2} und L_{1} ∩ L_{2} = ∅. O.E. können wir annehmen, daß dim L_{1} + dim L_{2} = d − 1 ist. Wir setzen ϵ = d − dim L_{1} = dim L_{2} + 1 und wählen ein Koordinatensystem {Y_{0}, …, Y_{d}} von ℙ^{d}, so daß L_{1} = Z(Y_{0}, …, Y_{ϵ−1}) sowie L_{2} = Z(Y_{ϵ}, …, Y_{d}) gilt. Die Bilder der Polynome Y_{i} ∈ A_{1} in R bezeichnen wir für i = 0, …, d mit y_{i}. Außerdem numerieren wir die Punkte von 𝕏 so um, daß es ein r ∈ {1, …, s − 1} gibt mit 𝕏 ∩ L_{1} = {P_{1}, …, P_{r}} und 𝕏 ∩ L_{2} = {P_{r+1}, …, P_{s}}.

Aus 𝕏 ⊆ L_{1} ∪ L_{2} folgt y_{i}y_{j} = 0 für 0 ≤ i ≤ ϵ − 1 und ϵ ≤ j ≤ d. Daher hat f_{i} für jedes i ∈ {1, …, s} eine Zerlegung f_{i} = f′_{i} + f′′_{i} mit f′_{i} ∈ K[y_{0}, …, y_{ϵ−1}] ⊆ R sowie f′′_{i} ∈ K[y_{ϵ}, …, y_{d}] ⊆ R. Hieraus folgt f′_{i}(P_{j}) = 0 für 1 ≤ j ≤ r sowie f′′_{i}(P_{j}) = 0 für r + 1 ≤ j ≤ s. Da aber für 1 ≤ i ≤ r und r + 1 ≤ j ≤ s sowieso f′_{i}(P_{j}) = f_{i}(P_{j}) = 0 ist, ergibt sich f′_{i} = 0. Analog erhalten wir f′′_{i} = 0 für r + 1 ≤ i ≤ s. Insgesamt liefert dies f_{i} ∈ K[y_{ϵ}, …, y_{d}] für 1 ≤ i ≤ r und f_{i} ∈ K[y_{0}, …, y_{ϵ−1}] für r + 1 ≤ i ≤ s. Wir folgern, daß x_{0}(Ky_{ϵ} + ⋯ + Ky_{d}) ⊆ Kf_{1} ⊕ ⋯ ⊕ Kf_{r} und x_{0}(Ky_{0} + ⋯ + Ky_{ϵ−1}) ⊆ Kf_{r+1} ⊕ ⋯ ⊕ Kf_{s} gilt. Sind somit c_{1}, …, c_{s} ∈ K mit c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s} ∈ x_{0}R_{1}, dann ergibt sich c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{r}f_{r} ∈ x_{0}R_{1} sowie c_{r+1}f_{r+1} + ⋯ + c_{s}f_{s} ∈ x_{0}R_{1}, d.h. wir haben eine Darstellung \overline{R}_{2} = ∑_{i=1}^{r} K · Lf_{i} ⊕ ∑_{i=r+1}^{s} K · Lf_{i}, die der Voraussetzung widerspricht. □

Wir beschließen diesen Abschnitt mit einem Beispiel, das beweist, daß nicht jedes kohomologisch zerfallende Schema auch linear zerfällt. Es zeigt sich auch, daß die Frage, ob ein Cayley-Bacharach Schema kohomologisch zerfällt oder kohomologisch uniform ist, von recht subtilen geometrischen Eigenschaften der Konstellation der Punkte abhängen kann. Man könnte aber die Frage stellen, ob für jedes kohomologisch zerfallende Schema 𝕏 zwei irreduzible Varietäten V_{1}, V_{2} ⊆ ℙ^{d} “kleinen” Grades existieren mit 𝕏 ⊆ V_{1} ∪ V_{2} und V_{1} ∩ V_{2} = ∅. Die dem nachfolgenden Beispiel zugrunde liegenden Berechnungen wurden mit dem Programm COP ausgeführt, das auf den in [MR] und [K5] dargestellten Methoden basiert.

8.14. Beispiel. a) Sei char (K) = 0, seien C_{1}, C_{2} ⊆ ℙ^{3} zwei nicht ausgeartete, windschiefe (d.h. punktfremde), kubische Raumkurven, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{40}} ⊆ ℙ^{3} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit P_{1}, …, P_{20} ∈ C_{1} und P_{21}, …, P_{40} ∈ C_{2}. Z.B. können wir C_{1} = {(u^{3}:u^{2}v:uv^{2}:v^{3}) | (u:v) ∈ ℙ^{1}} und C_{2} = {(2uv^{2}:u^{3}:v^{3}:u^{2}v) | (u:v) ∈ ℙ^{1}} wählen, und dann jeweils die Punkte von C_{1} bzw. C_{2} nehmen, die für i = 1, …, 20 den Punkten (u:v) = (1:i) entsprechen.

Die Hilbert-Funktion von 𝕏 ist gegeben durch H_{𝕏} : 1 4 10 20 26 32 38 40 40 ⋯, und es gilt σ_{𝕏} = 6 sowie Δ_{𝕏} = 2. Das Schema 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema, und die Matrix 𝔅 von 𝕏 ist von der Form 𝔅 = \binom{∗···∗ 0···0}{0···0 ∗···∗}. Daher zerfällt 𝕏 kohomologisch in 𝕏 = {P_{1}, …, P_{20}}∪· {P_{21}, …, P_{40}}. Offenbar zerfällt 𝕏 aber nicht linear. Wir bemerken noch, daß die Hilbert-Funktion von 𝕏 wegen H_{𝕏}(3)+H_{𝕏}(σ_{𝕏} −3) = 40 > 39 = s−Δ_{𝕏} +1 nicht die Ungleichungen (∗) erfüllt.

b) Ersetzen wir C_{2} durch die Kurve C_{3} = {(u^{3}:uv^{2}:v^{3}:2u^{2}v) | (u:v) ∈ ℙ^{1}}, so gilt C_{1} ∩ C_{3} = {(1:0:0:0)}, und das analog definierte Schema 𝕏 hat die Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 4 10 19 25 31 37 40 40 ⋯ sowie σ_{𝕏} = 6 und Δ_{𝕏} = 3. Es stellt sich heraus, daß die Matrix 𝔅 in diesem Fall nicht zerfällt, d.h. 𝕏 ist kohomologisch uniform. Die Hilbert-Funktion von 𝕏 erfüllt die Ungleichungen (∗).

9. Hilbert-Funktionen kohomologisch uniformer Schemata

Das Ziel dieses Abschnitts, der auf [K4], §3 basiert, ist der Beweis des folgenden Satzes.

9.1. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, das kohomologisch uniform ist. Dann gilt für alle i ∈ {0, …, σ_{𝕏}} die Ungleichung

H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ s − Δ_{𝕏} + 1.

Wir verwenden weiterhin die Vereinbarungen und Notationen aus den Abschnitten 1, 3 und 8. Besteht 𝕏 nur aus einem Punkt, so gilt σ_{𝕏} = −1 und die Behauptung von Satz 9.1 ist leer. Im Fall σ_{𝕏} = 0 ist die Behauptung von Satz 9.1 ebenfalls trivialerweise wahr, so daß wir im folgenden stets s ≥ 3 und σ_{𝕏} ≥ 1 voraussetzen. Da die Behauptung von Satz 9.1 im Fall Δ_{𝕏} = 1 aus Satz 8.3 und Korollar 5.9 folgt, können wir außerdem annehmen, daß Δ_{𝕏} ≥ 2 ist.

Der Beweis von Satz 9.1 gründet sich auf ein detailliertes Studium der Struktur des kanonischen Ideals eines kohomologisch uniformen Schemas. Der nächste Satz und sein Korollar liefern uns die notwendige Verbindung.

9.2. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, sei r ∈ R_{σ}, und sei φ ∈ ℑ_{σ+1}. Dann sind die folgenden Behauptungen äquivalent.

a) Es gibt Elemente φ_{2}, …, φ_{Δ} ∈ ℑ_{σ+1}, so daß gilt

ℑ_{2σ+1} = R_{σ} · φ ⊕ K · rφ_{2} ⊕ ⋯ ⊕ K · rφ_{Δ}.

b) Sind Elemente φ_{2}, …, φ_{Δ} ∈ ℑ_{σ+1} gegeben, so daß {φ, φ_{2}, …, φ_{Δ}} eine K-Basis von ℑ_{σ+1} darstellt, dann gilt

ℑ_{2σ+1} = R_{σ} · φ ⊕ K · rφ_{2} ⊕ ⋯ ⊕ K · rφ_{Δ}.

c) Es gilt φ ≠ 0, und für alle Elemente r′ ∈ R_{σ} sowie φ′ ∈ ℑ_{σ+1} mit r′φ = rφ′ existiert ein λ ∈ K, so daß r′ = λr und φ′ = λφ erfüllt ist.

Beweis: Zuerst zeigen wir, daß Bedingung c) aus a) folgt. Wegen s − 1 = dim_{K} ℑ_{2σ+1} > Δ−1 = dim_{K}(K·rφ_{2}⊕⋯⊕K·rφ_{Δ}) muß φ ≠ 0 sein. Angenommen, es gilt rφ′ = r′φ für gewisse Elemente r′ ∈ R_{σ} und φ′ ∈ ℑ_{σ+1}. Aus der Voraussetzung ergibt sich offenbar, daß die Elemente {φ, φ_{2}, …, φ_{Δ}} K-linear unabhängig sind und folglich eine K-Basis von ℑ_{σ+1} bilden. Also können wir eine Darstellung φ′ = λ_{1}φ + λ_{2}φ_{2} + ⋯ + λ_{Δ}φ_{Δ} mit λ_{1}, …, λ_{Δ} ∈ K finden. Hieraus erhalten wir

r (λ_{2}φ_{2} + ⋯ + λ_{Δ}φ_{Δ}) = (r′ − λ_{1}r) φ ∈ R_{σ} · φ ∩ (K · rφ_{2} ⊕ ⋯ ⊕ K · rφ_{Δ}) = {0},

also λ_{2} = ⋯ = λ_{Δ} = 0 und φ′ = λ_{1}φ. Weil die Voraussetzung auch dim_{K}(R_{σ}·φ) = s−Δ impliziert, haben wir r′ − λ_{1}r = 0, also r′ = λ_{1}r.

Da Bedingung a) offensichtlich aus b) folgt, bleibt noch der Schluß von c) nach b) zu beweisen. Wir behaupten, daß dim_{K}(R_{σ} · φ) = s − Δ ist, d.h. daß kein Element r′ ∈ R_{σ} \{0} das Element φ annulliert. Andernfalls könnten wir φ′ = 0 wählen, und aus r′φ = 0 = rφ′ würde φ′ = λφ sowie r′ = λr mit λ ∈ K folgen, was r′ ≠ 0 widerspräche. Weiter behaupten wir, daß wir annehmen können, daß r ≠ 0 ist. Andernfalls würde r′φ = 0 mit r′ ∈ R_{σ} nach c) stets r′ = 0 implizieren, d.h. nach Satz 5.15, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema wäre. Weil sich aus 0 · φ = 0 · φ′ auch φ′ ∈ K · φ ergäbe, würde 𝕏 dann Δ_{𝕏} = 1 erfüllen, und die Behauptung wäre trivialerweise wahr.

Angenommen, ein Element φ′ = λ_{2}φ_{2} + ⋯ + λ_{Δ}φ_{Δ} mit λ_{2}, …, λ_{Δ} ∈ K erfüllt nun rφ′ = 0. Dann gilt rφ′ = r′φ für r′ = 0, also r′ = λr und φ′ = λφ mit λ ∈ K, und somit φ′ = 0. Dies zeigt dim_{K}(K · rφ_{2} + ⋯ + K · rφ_{Δ}) = Δ − 1. Schließlich ist es auf Grund der Voraussetzung klar, daß R_{σ} ·φ∩(K ·rφ_{2} ⊕⋯⊕K ·rφ_{Δ}) = {0} ist, woraus wir wegen dim_{K}(R_{σ} ·φ)+dim_{K}(K ·rφ_{2} ⊕⋯⊕K ·rφ_{Δ}) = (s−Δ)+(Δ−1) = s−1 = dim_{K} ℑ_{2σ+1} die Behauptung erhalten. □

9.3. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema.

a) Gibt es ein Element ℓ ∈ R_{1}, so daß die Bedingungen 9.2.a) – c) für r = ℓ^{σ} ∈ R_{σ} und ein φ ∈ ℑ_{σ+1} erfüllt sind, dann gilt für alle i ∈ {0, …, σ_{𝕏}} die Ungleichung

H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ s − Δ_{𝕏} + 1.

b) Gibt es Elemente r ∈ R_{σ} und φ ∈ ℑ_{σ+1}, so daß die Bedingungen 9.2.a) – c) erfüllt sind, dann ist 𝕏 kohomologisch uniform.

Beweis: Zum Beweis von Teil a) wählen wir Elemente φ_{2}, …, φ_{Δ} ∈ ℑ_{σ+1} wie in Satz 9.2.b. Im Beweis dieses Satzes haben wir bereits gesehen, daß Ann_{R}(φ) ∩ R_{σ} = {0} ist. Nun beachten wir, daß aus ℓ^{i} (λ_{2}φ_{2} + ⋯ + λ_{Δ}φ_{Δ}) ∈ R_{i} · φ für ein i ∈ {0, …, σ} und gewisse Elemente λ_{2}, …, λ_{Δ} ∈ K bereits ℓ^{σ} (λ_{2}φ_{2} + ⋯ + λ_{Δ}φ_{Δ}) ∈ R_{σ} · φ, also λ_{2} = ⋯ = λ_{Δ} = 0 folgt. Deshalb gilt s − H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) = dim_{K} ℑ_{σ+1+i} ≥ dim_{K}(R_{i} · φ) + Δ_{𝕏} − 1 = H_{𝕏}(i) + Δ_{𝕏} − 1 wie behauptet.

Teil b) folgt daraus, daß Ann_{R}(φ) ∩ R_{σ} = {0} zusammen mit Satz 5.15 beweist, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist, so daß Satz 8.8 die Behauptung liefert. □

Aus dem vorstehenden Korollar ersehen wir, daß es für den Beweis von Satz 9.1 genügt, für jedes kohomologisch uniforme Schema 𝕏 Elemente ℓ ∈ R_{1} und φ ∈ ℑ_{σ+1} zu finden, so daß die Bedingungen 9.2.a) – c) für r = ℓ^{σ} und φ erfüllt sind. Diese Aufgabe reduzieren wir im weiteren Verlauf auf ein Problem der linearen Algebra. An dieser Stelle erinnern wir noch einmal an Lemma 1.11.b und Korollar 3.10, wo wir explizite Basen {g_{1}, …, g_{s−Δ}} von R_{σ} und {π_{1}, …, π_{Δ}} von ℑ_{σ+1} konstruiert haben.

9.4. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, sei r ∈ R_{σ}, und sei φ ∈ ℑ_{σ+1}. Wir schreiben r = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s−Δ}g_{s−Δ} mit a_{1}, …, a_{s−Δ} ∈ K sowie φ = c_{1}π_{1}+⋯+c_{Δ}π_{Δ} mit c_{1}, …, c_{Δ} ∈ K. Jetzt setzen wir b_{i} = a_{1}β_{1 i}+⋯+a_{s−Δ}β_{s−Δ i} für i = 1, …, Δ sowie d_{j} = c_{1}β_{j 1} + ⋯ + c_{Δ}β_{j Δ} für j = 1, …, s − Δ. Ferner definieren wir die Matrix

M(r, φ) = ( \begin{matrix}−b_{1} & & 0 & c_{1}β_{11} & ⋯ & c_{1}β_{s−Δ 1} \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & & −b_{Δ} & c_{Δ}β_{1Δ} & ⋯ & c_{Δ}β_{s−Δ Δ} \\ a_{1}β_{11} & ⋯ & a_{1}β_{1Δ} & −d_{1} & & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... \\ a_{s−Δ}β_{s−Δ 1} & ⋯ & a_{s−Δ}β_{s−Δ Δ} & 0 & & −d_{s−Δ} \end{matrix} )

Dann sind die Bedingungen 9.2.a) – c) äquivalent mit rk M(r, φ) = s − 1.

Beweis: Mit Hilfe von Korollar 3.12 berechnen wir

rπ_{i} = a_{1}g_{1}π_{i} + ⋯ + a_{s−Δ}g_{s−Δ}π_{i}
= a_{1}x_{0}^{σ} (β_{1 i}f_{Δ+1} − β_{1 i}f_{i}) + ⋯ + a_{s−Δ}x_{0}^{σ} (β_{s−Δ i}f_{s} − β_{s−Δ i}f_{i})
= x_{0}^{σ} (−b_{i}f_{i} + a_{1}β_{1 i}f_{Δ+1} + ⋯ + a_{s−Δ}β_{s−Δ i}f_{s})

für i = 1, …, Δ sowie

g_{j}φ = c_{1}g_{j}π_{1} + ⋯ + c_{Δ}g_{j}π_{Δ}
= c_{1}x_{0}^{σ} (β_{j 1}f_{Δ+j} − β_{j 1}f_{1}) + ⋯ + c_{Δ}x_{0}^{σ} (β_{j Δ}f_{Δ+j} − β_{j Δ}f_{Δ})
= x_{0}^{σ} (−c_{1}β_{j 1}f_{1} − ⋯ − c_{Δ}β_{j Δ}f_{Δ} + d_{j}f_{Δ+j})

für j = 1, …, s − Δ. Also repräsentieren die Spalten der Matrix

( \begin{matrix}T_{1}^{2σ+1} & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & T_{s}^{2σ+1} \end{matrix} ) · M(r, φ)

die Bilder von rπ_{1}, …, rπ_{Δ}, −g_{1}φ, …, −g_{s−Δ}φ unter der Injektion ı : R ⟶ K[T_{1}] × ⋯ × K[T_{s}] aus dem ersten Abschnitt. Somit ist die Bedingung rk M(r, φ) = s − 1 äquivalent damit, daß der K-Vektorraum r · ℑ_{σ+1} + R_{σ} · φ die Dimension s − 1 hat. Dies ist wiederum äquivalent mit dim_{K}(r · ℑ_{σ+1} ∩ R_{σ} · φ) = 1, also mit den Bedingungen 9.2.a) – c). □

9.5. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, und sei r = a_{1}g_{1}+ ⋯ + a_{s−Δ}g_{s−Δ} ∈ R_{σ} mit a_{1}, …, a_{s−Δ} ∈ K. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) Es gibt ein Element φ ∈ ℑ_{σ+1}, so daß die Bedingungen 9.2.a) – c) erfüllt sind.

b) Die Matrix

𝔐(r) = ( \begin{matrix}−b_{1} & & 0 & a_{1}β_{11} & ⋯ & a_{s−Δ}β_{s−Δ 1} \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & & −b_{Δ} & a_{1}β_{1Δ} & ⋯ & a_{s−Δ}β_{s−Δ Δ} \\ β_{11}Y_{1} & ⋯ & β_{1Δ}Y_{Δ} & −D_{1} & & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... \\ β_{s−Δ 1}Y_{1} & ⋯ & β_{s−Δ Δ}Y_{Δ} & 0 & & −D_{s−Δ} \end{matrix} )

hat den Rang s − 1.

Hierbei sei b_{i} = a_{1}β_{1 i} + ⋯ + a_{s−Δ}β_{s−Δ i} für i = 1, …, Δ, die Symbole Y_{1}, …, Y_{Δ} bedeuten unabhängige Variable über K, und für j = 1, …, s − Δ sei D_{j} = β_{j 1}Y_{1} + ⋯ + β_{j Δ}Y_{Δ}.

Beweis: Dies folgt aus Satz 9.4, denn die Matrix 𝔐(r) hat genau dann den Rang s − 1, wenn eine ihrer Spezialisierungen M(r, φ)^{transp.} den Rang s − 1 hat. □

Unser Ziel ist es also nun zu zeigen, daß es zu jedem kohomologisch uniformen Schema 𝕏 ein Element ℓ ∈ R_{1} gibt mit rk 𝔐(ℓ^{σ}) = s − 1. Unter einer zusätzlichen Voraussetzung ist dies jetzt bereits möglich.

9.6. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema.

a) Gibt es in der Matrix 𝔅 eine Zeile (β_{1 i}, …, β_{s−Δ i}), in der alle Einträge ungleich null sind, so gilt rk 𝔐(x_{0}^{σ}) = s − 1 und die Hilbert-Funktion von 𝕏 erfüllt die Ungleichungen von Satz 9.1.

b) Ist 𝕏 ein Δ_{𝕏}-uniformes Schema, so gilt rk 𝔐(x_{0}^{σ}) = s − 1.

Beweis: Um Behauptung a) zu beweisen, nehmen wir o.E. an, daß β_{1 1} ≠ 0, …, β_{s−Δ 1} ≠ 0 gilt. Dann streichen wir die erste Zeile und die erste Spalte aus der Matrix 𝔐(x_{0}^{σ}). Der Koeffizient von Y_{1}^{s−Δ} in der Determinante der restlichen Matrix ist (−β_{1 1}) ⋯ (−β_{s−Δ 1}) ≠ 0. Für den Beweis von Teil b) erinnern wir an Korollar 3.12, wo gezeigt wurde, daß für alle i = 1, …, Δ und j = 1, …, s − Δ die Gleichung g_{j}π_{i} = β_{j i}(h_{Δ+j−1} −δ_{i 1}h_{i−1}) gilt. Da die Multiplikationsabbildung R_{σ} ⊗ℑ_{σ+1} ⟶ ℑ_{2σ+1} nach Satz 7.6 biinjektiv ist, müssen alle Einträge β_{j i} von 𝔅 ungleich null sein, und Teil a) liefert die Behauptung. □

In Anbetracht dieses Korollars stellt sich natürlich die Frage, ob der Rang von 𝔐(x_{0}^{σ}) für alle kohomologisch uniformen Schemata gleich s−1 ist. Das folgende Beispiel belegt, daß dem nicht so ist, und daß wir rk 𝔐(ℓ^{σ}) = s − 1 allenfalls für ein generisch gewähltes Element ℓ ∈ R_{1} erhoffen können.

9.7. Beispiel. Sei char (K) ∉ {2, 3}. Das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} bestehe aus den sechs Punkten P_{1} = (1:1:1:0), P_{2} = (1:2:0:1), P_{3} = (1:0:0:0), P_{4} = (1:1:0:0), P_{5} = (1:0:1:0) und P_{6} = (1:0:0:1). Dann gilt H_{𝕏} : 1 4 6 6 ⋯ sowie σ_{𝕏} = 1 und Δ_{𝕏} = 2. Wir berechnen auch die Matrix 𝔅 und erhalten

𝔅 = ( \begin{matrix}1 & −1 & −1 & 0 \\ 2 & −2 & 0 & −1 \end{matrix} ) .

Da die Einträge der ersten beiden Spalten ungleich null sind, zeigt Satz 8.3, daß 𝕏 kohomologisch uniform ist. Es gilt jedoch

rk 𝔐(x_{0}^{σ}) = rk ( \begin{matrix}1 & 0 & 1 & −1 & −1 & 0 \\ 0 & 1 & 2 & −2 & 0 & −1 \\ Y_{1} & 2Y_{2} & −Y_{1} − 2Y_{2} & 0 & 0 & 0 \\ −Y_{1} & −2Y_{2} & 0 & Y_{1} + 2Y_{2} & 0 & 0 \\ −Y_{1} & 0 & 0 & 0 & Y_{1} & 0 \\ 0 & −Y_{2} & 0 & 0 & 0 & Y_{2} \end{matrix} ) = 4 = s − 2.

Unser nächstes Ziel ist es zu zeigen, daß die Umkehrung von Korollar 9.3.b ebenfalls richtig ist. Auf diese Weise erhalten wir eine Charakterisierung der kohomologischen Uniformität mit deren Hilfe wir Satz 9.1 in allgemeineren Situationen beweisen können.

Für den Rest dieses Abschnitts seien Y_{1}, …, Y_{Δ} und Z_{1}, …, Z_{s−Δ} unabhängige Variable über K, und wir setzen B_{i} = β_{1 i}Z_{1} + ⋯ + β_{s−Δ i}Z_{s−Δ} für i = 1, …, Δ sowie D_{j} = β_{j 1}Y_{1} + ⋯ + β_{j Δ}Y_{Δ} für j = 1, …, s − Δ.

9.8. Lemma. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, sei 1 ≤ u < Δ, sei 1 ≤ v < s − Δ, und sei M_{u,v} die Matrix

M_{u,v} = ( \begin{matrix}−B_{1} & & 0 & β_{11}Z_{1} & ⋯ & β_{v1}Z_{v} \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & & −B_{u} & β_{1u}Z_{1} & ⋯ & β_{vu}Z_{v} \\ β_{11}Y_{1} & ⋯ & β_{1u}Y_{u} & −D_{1} & & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... \\ β_{v1}Y_{1} & ⋯ & β_{vu}Y_{u} & 0 & & −D_{v} \end{matrix} )

Gilt dann det M_{u,v} = 0, so zerfällt 𝕏 kohomologisch.

Beweis: Wir schließen mit vollständiger Induktion nach u+v. Im Fall u+v = 2 müssen wir die Matrix M_{1,1} = ( \begin{matrix}−B_{1} & β_{11}Z_{1} \\ β_{11}Y_{1} & −D_{1} \end{matrix} ) betrachten. Wegen det M_{1,1} = 0 kann keine der Variablen Y_{2}, …, Y_{Δ} bzw. Z_{2}, …, Z_{s−Δ} in B_{1} bzw. D_{1} vorkommen, d.h. es gilt β_{1 2} = ⋯ = β_{1 Δ} = 0 sowie β_{2 1} = ⋯ = β_{s−Δ 1} = 0, und die Matrix 𝔅 zerfällt.

Um den Induktionsschritt zu beweisen, führen wir auf dem Polynomring K[Y_{1}, …, Y_{Δ}, Z_{1}, …, Z_{s−Δ}] die Graduierung deg Y_{1} = ⋯ = deg Y_{Δ} = deg Z_{1} = ⋯ = deg Z_{v} = 0 und deg Z_{v+1} = ⋯ = deg Z_{s−Δ} = 1 ein. Wir betrachten die Terme höchsten Grades in der Entwicklung des Polynoms det M_{u,v} bzgl. dieser Graduierung. Offenbar kommen die Variablen Z_{v+1}, …, Z_{s−Δ} nur in B_{1}, …, B_{u} vor. O.B.d.A. können wir die Punkte {P_{1}, …, P_{u}} so umnumerieren, daß {1, …, u′} mit 1 ≤ u′ ≤ u gerade diejenigen Indizes i aus der Menge {1, …, u} sind, für die β_{v+1 i} = ⋯ = β_{s−Δ i} = 0 gilt. Hierbei muß u′ ≥ 1 sein, denn u′ = 0 würde bedeuten, daß die Leitform von det M_{u,v} gegeben ist durch

±(β_{v+1 1}Z_{v+1} + ⋯ + β_{s−Δ 1}Z_{s−Δ}) ⋯ (β_{v+1 u}Z_{v+1} + ⋯ + β_{s−Δ u}Z_{s−Δ}) · D_{1} ⋯ D_{v} ≠ 0,

im Widerspruch zu det M_{u,v} = 0. Ist nun u′ ≥ 1, so sind die Terme höchsten Grades in der Entwicklung von det M_{u,v} gegeben durch

±(β_{v+1 u′+1}Z_{v+1} + ⋯ + β_{s−Δ u′+1}Z_{s−Δ}) ⋯ (β_{v+1 u}Z_{v+1} + ⋯ + β_{s−Δ u}Z_{s−Δ}) · det M_{u′,v}.

Insbesondere folgt die Behauptung im Fall u′ < u aus der Induktionsvoraussetzung, so daß wir nur noch den Fall u′ = u betrachten müssen, also den Fall β_{v+1 i} = ⋯ = β_{s−Δ i} = 0 für i = 1, …, u.

In diesem Fall graduieren wir den Polynomring K[Y_{1}, …, Y_{Δ}, Z_{1}, …, Z_{s−Δ}] durch deg Y_{1} = ⋯ = deg Y_{u} = deg Z_{1} = ⋯ = deg Z_{s−Δ} = 0 und deg Y_{u+1} = ⋯ = deg Y_{Δ} = 1. Wiederum betrachten wir die Terme höchsten Grades in der Entwicklung von det M_{u,v} bzgl. dieser Graduierung und stellen fest, daß die Variablen Y_{u+1}, …, Y_{Δ} nur in D_{1}, …, D_{v} vorkommen. O.E. numerieren wir dann {P_{Δ+1}, …, P_{Δ+v}} so um, daß {1, …, v′} mit 1 ≤ v′ ≤ v genau diejenigen Indizes j aus der Menge {1, …, v} sind, für die β_{j u+1} = ⋯ = β_{j Δ} = 0 gilt. Auch hier muß v′ ≥ 1 gelten, weil im Fall v′ = 0 die Leitform von det M_{u,v} gegeben wäre durch

±(β_{1 u+1}Y_{u+1} + ⋯ + β_{1Δ}Y_{Δ}) ⋯ (β_{v u+1}Y_{u+1} + ⋯ + β_{vΔ}Y_{Δ}) · B_{1} ⋯ B_{u} ≠ 0,

was der Voraussetzung det M_{u,v} ≠ 0 widerspräche. Gilt v′ ≥ 1, so ist die Summe der Terme höchsten Grades in der Entwicklung von det M_{u,v} gegeben durch

±(β_{v′+1 u+1}Y_{u+1} + ⋯ + β_{v′+1 Δ}Y_{Δ}) ⋯ (β_{v u+1}Y_{u+1} + ⋯ + β_{vΔ}Y_{Δ}) · det M_{u,v′},

d.h. die Behauptung folgt für v′ < v wieder aus der Induktionsvoraussetzung.

Schließlich bleibt nur noch der Fall u′ = u und v′ = v zu betrachten. In diesem Fall gilt β_{v+1 i} = ⋯ = β_{s−Δ i} = 0 für i = 1, …, u sowie β_{j u+1} = ⋯ = β_{j Δ} = 0 für j = 1, …, v. Offensichtlich zerfällt die Matrix 𝔅 wiederum. □

9.9. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Dann sind die folgenden Behauptungen äquivalent.

a) 𝕏 ist kohomologisch uniform.

b) Es gibt Elemente r ∈ R_{σ} und φ ∈ ℑ_{σ+1}, so daß die Bedingungen 9.2.a) – c) erfüllt sind.

Beweis: Wegen Korollar 9.3.b genügt es zu zeigen, daß Bedingung b) aus a) folgt. Nach Satz 9.5 müssen wir also ein Element r = a_{1}g_{1} + ⋯ + a_{s−Δ}g_{s−Δ} ∈ R_{σ} mit a_{1}, …, a_{s−Δ} ∈ K finden, so daß rk 𝔐(r) = s − 1 gilt. Dazu brauchen wir nur zu zeigen, daß die Matrix

𝔐 = ( \begin{matrix}−B_{1} & & 0 & β_{11}Z_{1} & ⋯ & β_{s−Δ 1}Z_{s−Δ} \\ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & & −B_{Δ} & β_{1Δ}Z_{1} & ⋯ & β_{s−Δ Δ}Z_{s−Δ} \\ β_{11}Y_{1} & ⋯ & β_{1Δ}Y_{Δ} & −D_{1} & & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... \\ β_{s−Δ 1}Y_{1} & ⋯ & β_{s−Δ Δ}Y_{Δ} & 0 & & −D_{s−Δ} \end{matrix} )

den Rang s − 1 besitzt. Sei 𝔐′ die Matrix, die man erhält, wenn man in 𝔐 die letzte Zeile und die letzte Spalte streicht. Wir zeigen nun, daß 𝕏 kohomologisch zerfällt, wenn det 𝔐′ = 0 ist. Dazu bemerken wir, daß die Variable Z_{s−Δ} nur in den Einträgen −B_{1}, …, −B_{Δ} von 𝔐′ vorkommt. O.E. sei 1 ≤ u ≤ Δ so, daß β_{s−Δ 1} = ⋯ = β_{s−Δ u} = 0 und β_{s−Δ u+1} ≠ 0, …, β_{s−Δ Δ} ≠ 0 gilt. Da 𝕏 1-uniform ist, gilt Lf_{s} ≠ 0 und u < Δ. Dann ist die Summe der Terme höchsten Grades in Z_{s−Δ} in der Entwicklung von det 𝔐′ gegeben durch

(−β_{s−Δ u+1}) ⋯ (−β_{s−Δ Δ}) · det M_{u,s−Δ−1},

und eine Anwendung von Lemma 9.8 liefert die Behauptung. □

Mit diesem Satz haben wir also eine weitere Charakterisierung kohomologisch uniformer Schemata gefunden. Im Fall σ_{𝕏} = 1 können wir mit seiner Hilfe bereits den Rang von 𝔐(ℓ^{σ}) für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1} bestimmen.

9.10. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit σ_{𝕏} = 1. Für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1} gilt dann rk 𝔐(ℓ) = s − 1.

Beweis: Die Bedingung rk 𝔐(ℓ) > s − 2 definiert eine Zariski-offene Teilmenge des affinen Raums 𝔸(R_{1}), und diese Teilmenge ist nach den Sätzen 9.5 sowie 9.9 nicht leer.

□

Um nun Satz 9.1 in voller Allgemeinheit zu beweisen, müssen wir den Rang von 𝔐(ℓ) für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1} auch im Fall σ_{𝕏} ≥ 2 bestimmen. Das nächste Lemma und der darauffolgende Satz bilden daher den Kern des Beweises von Satz 9.1.

9.11. Lemma Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, 0-dimensionales Unterschema mit σ_{𝕏} ≥ 2, und sei char (K) = 0 oder char (K) > σ_{𝕏}. Angenommen, es gibt Zahlen i ∈ {1, …, Δ} und j ∈ {1, …, s−Δ} sowie paarweise verschiedene Zahlen ν_{1}, …, ν_{j} ∈ {1, …, s−Δ}, so daß für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1} die Beziehung

ℓ(P_{Δ+ν_{1}})^{σ}β_{ν_{1} i} + ⋯ + ℓ(P_{Δ+ν_{j}})^{σ}β_{ν_{j} i} = 0

erfüllt ist. Dann gilt β_{ν_{1} i} = ⋯ = β_{ν_{j} i} = 0.

Beweis: Sei ℙ^{N} = ℙ(A_{σ}) mit N = \binom{d+σ}{d}−1 der zu A_{σ} = K[X_{0}, …, X_{d}]_{σ} assoziierte projektive Raum. Verwenden wir als K-Basis von A_{σ} die lexikographisch geordnete Menge {X_{0}^{σ}, X_{0}^{σ−1}X_{1}, …, X_{d}^{σ}} aller Monome vom Grad σ, und ist L = λ_{0}X_{0} +⋯+λ_{d}X_{d} ∈ A_{1} mit λ_{0}, …, λ_{d} ∈ K eine Linearform, so ist L^{σ} ∈ A_{σ} in dieser Basis gegeben durch das Tupel (λ_{0}^{σ}, σλ_{0}^{σ−1}λ_{1}, …, λ_{d}^{σ}), wobei der Koeffizient von λ_{0}^{ν_{0}} ⋯ λ_{d}^{ν_{d}} der Polynomialkoeffizient \binom{σ}{ν_{0},...,ν_{d}} ist. Wegen char (K) ∉ \{2, …, σ\} sind diese Koeffizienten alle ungleich null. In der lexikographisch geordneten Basis \{\binom{σ}{ν_{0},...,ν_{d}}X_{0}^{ν_{0}} ⋯ X_{d}^{ν_{d}} | ν_{0} + ⋯ + ν_{d} = σ\} ist L^{σ} dann gegeben durch das Tupel (λ_{0}^{σ}, λ_{0}^{σ−1}λ_{1}, …, λ_{d}^{σ}). Die Menge aller Elemente der Form L^{σ} mit L ∈ A_{1} bildet also gerade die Menge aller abgeschlossenen Punkte einer Veronese-Varietät V, nämlich der σ-ten Veronese Einbettung von ℙ^{d} in ℙ^{N} (vgl. auch [Ge], S. 34).

Nun betrachten wir den linearen Teilraum Λ = ℙ((I_{𝕏})_{σ}) von ℙ^{N}. Er hat die Kodimension codim(Λ, ℙ^{N}) = s − Δ. Da I_{𝕏} ein Radikalideal ist, folgt aus L^{σ} ∈ (I_{𝕏})_{σ} für ein L ∈ A_{1} schon L ∈ I_{𝕏}. Dies ist jedoch nur für L = 0 möglich, da 𝕏 nicht ausgeartet ist. Insgesamt erhalten wir Λ ∩ V = ∅.

Jetzt sei π : ℙ^{N} \ Λ ⟶ ℙ^{s−Δ−1} = ℙ(R_{σ}) der für F ∈ A_{σ} \ (I_{𝕏})_{σ} durch ⟨F ⟩ ⟼ ⟨F + I_{𝕏}⟩ gegebene Morphismus. Wegen Λ ∩ V = ∅ ist \overline{V} = π(V) ⊆ ℙ^{s−Δ−1} ein abgeschlossenes Unterschema (vgl. [E], 14.2), und da V bekanntlich irreduzibel und nicht ausgeartet ist, gilt dies auch für \overline{V}. Mithin ist die Menge aller abgeschlossenen Punkte von ℙ(R_{σ}) der Form ℓ^{σ} mit ℓ ∈ R_{1} in keiner Hyperebene von ℙ(R_{σ}) enthalten.

Nun betrachten wir das Koordinatensystem von ℙ(R_{σ}), das zu der K-Basis {g_{1}, …, g_{s−Δ}} von R_{σ} gehört. Wegen ℓ^{σ} = ℓ(P_{Δ+1})^{σ}g_{1} + ⋯ + ℓ(P_{s})^{σ}g_{s−Δ} ist der zu ℓ^{σ} ∈ R_{σ} assoziierte abgeschlossene Punkt von ℙ(R_{σ}) in diesem Koordinatensystem gegeben durch P = (ℓ(P_{Δ+1})^{σ} : …: ℓ(P_{s})^{σ}). Nach Voraussetzung liegt er für generisch gewählte ℓ ∈ R_{1} auf der Varietät H = Z(β_{ν_{1} i}X_{ν_{1}} + ⋯ + β_{ν_{j} i}X_{ν_{j}}) ⊆ ℙ(R_{σ}). Daher kann H keine Hyperebene von ℙ(R_{σ}) sein, d.h. es muß H = ℙ(R_{σ}) und β_{ν_{1} i} = ⋯ = β_{ν_{j} i} = 0 gelten.

□

9.12. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, und sei ℓ ∈ R_{1} ein generisch gewähltes Element. Dann gilt rk 𝔐(ℓ^{σ}) = s − 1.

Beweis: Wegen Korollar 9.10 können wir uns auf den Fall σ_{𝕏} ≥ 2 beschränken. Wir numerieren die Punkte {P_{Δ+1}, …, P_{s}} so, daß für eine Zahl t_{1} ∈ {1, …, s − Δ} gilt β_{1 1} ≠ 0, …, β_{t_{1} 1} ≠ 0 sowie β_{t_{1}+1 1} = ⋯ = β_{s−Δ 1} = 0. Hierbei muß t_{1} ≥ 1 sein, denn nach Lemma 1.11.a haben wir β_{1 1} + ⋯ + β_{s−Δ 1} = −1. Nun numerieren wir die Punkte {P_{2}, …, P_{Δ}} so, daß eines der Elemente β_{1 2}, …, β_{t_{1} 2} ungleich null ist. Dies ist möglich, weil die Matrix 𝔅 nicht zerfällt. Als nächstes numerieren wir die Punkte {P_{Δ+t_{1}+1}, …, P_{s}} so, daß für eine Zahl t_{1} ≤ t_{2} ≤ s−Δ gilt β_{t_{1}+1 2} ≠ 0, …, β_{t_{2} 2} ≠ 0 sowie β_{t_{2}+1 2} = ⋯ = β_{s−Δ 2} = 0, und wir numerieren {P_{3}, …, P_{Δ}} so, daß eines der Elemente β_{1 3}, …, β_{t_{2} 3} ungleich null ist. Indem wir so fortfahren, erhalten wir schließlich Zahlen 1 ≤ t_{1} ≤ t_{2} ≤ ⋯ ≤ s−Δ, so daß die Matrix 𝔅 die folgende Gestalt hat:

𝔅=( \begin{matrix}β_{11} & ⋯ & β_{t_{1}1} & 0 & ⋯ & 0 & 0 & ⋯ & 0 & ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ β_{12} & ⋯ & β_{t_{1}2} & β_{t_{1}+1 2} & ⋯ & β_{t_{2}2} & 0 & ⋯ & 0 & ⋯ & 0 & ⋯ & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & β_{t_{2}+1 3} & ⋯ & β_{t_{3}3} & ⋯ & ⋮ & & ⋮ \\ ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & ⋮ & & ⋮ & & 0 & ⋯ & 0 \\ β_{1Δ} & ⋯ & β_{t_{1}Δ} & β_{t_{1}+1 Δ} & ⋯ & β_{t_{2}Δ} & β_{t_{2}+1 Δ} & ⋯ & β_{t_{3}Δ} & ⋯ & β_{t_{Δ−1}+1 Δ} & ⋯ & β_{s−Δ Δ} \end{matrix} )

Dabei beachten wir, daß t_{Δ} = s − Δ sein muß, da nach Satz 8.3 keine der Spalten von 𝔅 gleich dem Nullvektor ist. Für j = 1, …, s − Δ setzen wir λ_{j} = ℓ(P_{Δ+j})^{σ}. Dann gelten für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1} nach Lemma 9.11 die Ungleichungen γ_{2} = λ_{1}β_{1 2} + ⋯ + λ_{t_{1}}β_{t_{1} 2} ≠ 0, …, γ_{Δ} = λ_{1}β_{1 Δ} + ⋯ + λ_{t_{Δ−1}}β_{t_{Δ−1} Δ} ≠ 0.

Nach diesen Vorbereitungen addieren wir jetzt in der Matrix 𝔐(ℓ^{σ}) die Spalten 2, …, Δ+t_{1} zur ersten Spalte und erhalten die Matrix 𝔐_{0} =

0  0  ⋯  0  λ_{1}β_{11} ⋯ λ_{t_{1}}β_{t_{1}1}  0  ⋯  0
δ_{2}  −b_{2}  0  λ_{1}β_{12} ⋯ λ_{t_{1}}β_{t_{1}2} λ_{t_{1}+1}β_{t_{1}+1 2} ⋯ λ_{s−Δ}β_{s−Δ 2}
⋮  ...  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
δ_{Δ}  0  −b_{Δ}  λ_{1}β_{1Δ} ⋯ λ_{t_{1}}β_{t_{1}Δ} λ_{t_{1}+1}β_{t_{1}+1 Δ} ⋯ λ_{s−Δ}β_{s−Δ Δ}
0  β_{12}Y_{2} ⋯ β_{1Δ}Y_{Δ} −D_{1}  0  0  ⋯  0
⋮  ⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮
0  β_{t_{1}2}Y_{2} ⋯ β_{t_{1}Δ}Y_{Δ}  0  −D_{t_{1}}  0  ⋯  0
D_{t_{1}+1} β_{t_{1}+1 2}Y_{2} ⋯ β_{t_{1}+1 Δ}Y_{Δ} 0 ⋯ 0  −D_{t_{1}+1}  0
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ...
D_{s−Δ} β_{s−Δ 2}Y_{2} ⋯ β_{s−Δ Δ}Y_{Δ}  0 ⋯ 0  0  −D_{s−Δ}

Gilt Δ_{𝕏} = 1, so ist t_{1} = s − Δ, und die Behauptung rk 𝔐(ℓ^{σ}) = rk 𝔐_{0} = s − 1 folgt aus (−D_{1}) ⋯ (−D_{s−Δ}) ≠ 0. Also nehmen wir ab sofort an, daß Δ_{𝕏} ≥ 2 gilt. Sei 𝔐_{1} die Matrix, die wir aus 𝔐_{0} erhalten, wenn wir die erste Zeile und die erste Spalte streichen. Wir zeigen die Behauptung rk 𝔐(ℓ^{σ}) = rk 𝔐_{0} = s − 1, indem wir det 𝔐_{1} ≠ 0 beweisen. Dazu bemerken wir, daß die Variable Y_{1} nur in den Einträgen −D_{1}, …, −D_{t_{1}} von 𝔐_{1} vorkommt. Sei 𝔐_{2} die Matrix, die aus 𝔐_{1} entsteht, wenn wir die Zeilen und Spalten streichen, die diese Einträge enthalten. Der Koeffizient von Y_{1}^{t_{1}} in dem Polynom det 𝔐_{1} ist

(−β_{1 1}) ⋯ (−β_{t_{1} 1}) · det 𝔐_{2}.

Also folgt det 𝔐_{1} ≠ 0 aus det 𝔐_{2} ≠ 0.

Allgemeiner definieren wir für jedes i ∈ {2, …, Δ} eine Teilmatrix 𝔐_{i} von 𝔐_{1} durch 𝔐_{i} =

−b_{i}  0  λ_{t_{i−1}+1}β_{t_{i−1}+1 i} ⋯ λ_{t_{i}}β_{t_{i}i}  0  ⋯  0
...  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
0  −b_{Δ} λ_{t_{i−1}+1}β_{t_{i−1}+1 Δ} ⋯ λ_{t_{i}}β_{t_{i}Δ} λ_{t_{i}+1}β_{t_{i}+1 Δ} ⋯ λ_{s−Δ}β_{s−Δ Δ}
β_{t_{i−1}+1 i}Y_{i} ⋯ β_{t_{i−1}+1 Δ}Y_{Δ} −D_{t_{i−1}+1}  0  0  ⋯  0
⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮
β_{t_{i}i}Y_{i} ⋯ β_{t_{i}Δ}Y_{Δ}  0  −D_{t_{i}}  0  ⋯  0
0  ⋯ β_{t_{i}+1 Δ}Y_{Δ}  0  ⋯ 0  −D_{t_{i}+1}  0
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ...
0  ⋯ β_{s−Δ Δ}Y_{Δ}  0  ⋯ 0  0  −D_{s−Δ}

Mit absteigender Induktion nach i ∈ {2, …, Δ} werden wir zeigen, daß det 𝔐_{i} = 0 nur möglich ist, wenn die Matrix 𝔅 zerfällt. Da 𝕏 kohomologisch uniform ist, liefert dies det 𝔐_{2} ≠ 0.

Der Induktionsanfang ist der Fall i = Δ. Gilt det 𝔐_{Δ} = 0, so folgt t_{Δ−1} < s − Δ, denn aus t_{Δ−1} = s − Δ ergibt sich det 𝔐_{Δ} = −b_{Δ} ≠ 0 für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1}. Wir addieren ab der zweiten Spalte alle Spalten von 𝔐_{Δ} zur ersten Spalte und erhalten die Matrix

𝔐′_{Δ} = ( \begin{matrix}−γ_{Δ} & λ_{t_{Δ−1}+1}β_{t_{Δ−1}+1 Δ} & ⋯ & λ_{s−Δ}β_{s−Δ Δ} \\ 0 & −D_{t_{Δ−1}+1} & & 0 \\ ⋮ & & ... \\ 0 & 0 & & −D_{s−Δ} \end{matrix} )

für die det 𝔐′_{Δ} = det 𝔐_{Δ} ≠ 0 gilt, denn −γ_{Δ} = −λ_{1}β_{1 Δ} − ⋯ − λ_{t_{Δ−1}}β_{t_{Δ−1} Δ} ≠ 0.

Schließlich beweisen wir den Induktionsschritt. Sei i < Δ und det 𝔐_{i} = 0. Gilt t_{i−1} = t_{i}, so ist der einzige von null verschiedene Eintrag in der ersten Spalte von 𝔐_{i} das Element −b_{i}, und wegen det 𝔐_{i} = (−b_{i}) · det 𝔐_{i+1} sowie wegen b_{i} ≠ 0 für generisch gewählte Elemente ℓ ∈ R_{1} folgt die Behauptung aus der Induktionsvoraussetzung. Also bleibt noch der Fall t_{i−1} < t_{i} zu betrachten. Wir addieren die Spalten 2, …, Δ−i+1+t_{i}−t_{i−1} von 𝔐_{i} zur ersten und erhalten die Matrix 𝔐′_{i} =

−γ_{i}  0  ⋯  0  λ_{t_{i−1}+1}β_{t_{i−1}+1 i} ⋯ λ_{t_{i}}β_{t_{i}i} 0 ⋯ 0
η_{i+1}  −b_{i+1}  0 λ_{t_{i−1}+1}β_{t_{i−1}+1 i+1} ⋯ λ_{t_{i}}β_{t_{i} i+1} ∗ ⋯ ∗
⋮  ...  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮
η_{Δ}  0  −b_{Δ} λ_{t_{i−1}+1}β_{t_{i−1}+1 Δ} ⋯ λ_{t_{i}}β_{t_{i}Δ} ∗ ⋯ ∗
0 β_{t_{i−1}+1 i+1}Y_{i+1} ⋯ β_{t_{i} Δ}Y_{Δ}  −D_{t_{i−1}+1}  0  0 ⋯ 0
⋮  ⋮  ⋮  ...  ⋮  ⋮
0  β_{t_{i} i+1}Y_{i+1} ⋯ β_{t_{i} Δ}Y_{Δ}  0  −D_{t_{i}}  0 ⋯ 0
D_{t_{i}+1} β_{t_{i}+1 i+1}Y_{i+1} ⋯ β_{t_{i}+1 Δ}Y_{Δ}  0  ⋯ 0 −D_{t_{i}+1}  0
⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ⋮  ...
D_{s−Δ} β_{s−Δ i+1}Y_{i+1} ⋯ β_{s−Δ Δ}Y_{Δ}  0  ⋯ 0  0  −D_{s−Δ}

Hierbei stehen die Einträge “∗” für die entsprechenden Einträge der Matrix 𝔐_{i}. Die einzigen Einträge der Matrix 𝔐′_{i}, die die Variable Y_{i} enthalten, sind −D_{t_{i−1}+1}, …, −D_{t_{i}}. Wenn wir die Zeilen und Spalten aus 𝔐′_{i} streichen, in denen diese Einträge stehen, entsteht eine Matrix 𝔐′′_{i}, für die der Koeffizient von Y_{i}^{t_{i}−t_{i−1}} im Polynom det 𝔐′_{i} gegeben ist durch

(−β_{t_{i−1}+1 i}) ⋯ (−β_{t_{i}i}) · det 𝔐′′_{i}.

Also folgt det 𝔐′_{i} = 0 aus det 𝔐′′_{i} = 0. Nun ist jedoch das Element −γ_{i} = −λ_{1}β_{1 i} − ⋯ − λ_{t_{i−1}}β_{t_{i−1} i} ≠ 0 der einzige von null verschiedene Eintrag in der ersten Zeile von 𝔐′′_{i}, d.h. es gilt det 𝔐′′_{i} = (−γ_{i}) · det 𝔐_{i+1}, und die Behauptung folgt aus der Induktionsvoraussetzung. □

Beweis von Satz 9.1: Die gesuchten Ungleichungen gelten auf Grund der Sätze 9.3.a, 9.5 und 9.12. □

10. Die Hierarchie der Cayley-Bacharach Schemata

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir verschiedene Uniformitätsbegriffe für 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit Hilfe von Eigenschaften der Multiplikationsabbildung μ : R_{σ_{𝕏}} ⊗ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{0} charakterisiert. Im folgenden wollen wir versuchen, diese auf den ersten Blick recht unterschiedlichen Eigenschaften einem einheitlichen Konzept unterzuordnen. Als Anwendung erhalten wir dann eine “Hierarchie der Cayley-Bacharach Schemata”, mit deren Hilfe wir den Grad der Uniformität eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} fein abgestuft klassifizieren können. Abkürzend schreiben wir in diesem Abschnitt wieder σ = σ_{𝕏}, Δ = Δ_{𝕏}, etc.

10.1. Definition. a) Für alle Elemente r ∈ R_{σ} und φ ∈ (ω_{R})_{−σ} sei F (r, φ) ⊆ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} das Faserprodukt

\begin{matrix}F (r, φ) & ⟶ & R_{σ} \\ ↓ & □ & ↓^{μ(–,φ)} \\ (ω_{R})_{−σ} & ⟶_{μ(r,–)} & (ω_{R})_{0} \end{matrix}

d.h. es gilt F (r, φ) = {(r′, φ′) ∈ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} | r′φ = rφ′}.

b) Für alle i = 1, …, deg 𝕏 definieren wir

Z_{i} = {(r, φ) ∈ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} | dim_{K} F (r, φ) ≥ i}.

10.2. Bemerkungen. a) Es gilt R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} = Z_{1} ⊇ Z_{2} ⊇ ⋯ ⊇ Z_{deg 𝕏} ⊇ {(0, 0)}.

b) Die Mengen Z_{1}, …, Z_{deg 𝕏} entsprechen Zariski-abgeschlossenen Teilmengen des zu R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} assoziierten (deg 𝕏)-dimensionalen affinen Raums über K.

c) Satz 9.5 besagt, daß ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} genau dann kohomologisch uniform ist, wenn Z_{2} ⊊ Z_{1} gilt.

d) Es gilt R_{σ} ⊕ {0} ⊆ Z_{deg 𝕏−Δ}, denn für alle Elemente r ∈ R_{σ} ist dim_{K} F (r, 0) ≥ dim_{K}(R_{σ} ⊕ {0}) = s − Δ.

e) Ebenso gilt {0} ⊕ (ω_{R})_{−σ} ⊆ Z_{Δ}, denn für alle Elemente φ ∈ (ω_{R})_{−σ} ist dim_{K} F (0, φ) ≥ dim_{K}({0} ⊕ (ω_{R})_{−σ}) = Δ.

Verschiedene Uniformitätseigenschaften eines 0-dimensionalen Schemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind in der Struktur der Mengen Z_{2}, …, Z_{deg 𝕏} gespeichert.

10.3. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema.

a) Es gilt Z_{deg 𝕏} = {r ∈ R_{σ} | r · (ω_{R})_{−σ} = 0} ⊕ {0}.

b) Genau dann ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema, wenn Z_{deg 𝕏} = {(0, 0)} ist.

Beweis: Es genügt, Teil a) zu beweisen, da Satz 5.15 dann auch Aussage b) liefert. Offenbar liegen alle Elemente (r, 0) ∈ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} mit r ∈ R_{σ} und r · (ω_{R})_{−σ} = 0 in Z_{deg 𝕏}. Sei also ein Element (r, φ) ∈ Z_{deg 𝕏} vorgegeben. Dann gilt rφ′ = r′φ für alle r′ ∈ R_{σ} und alle φ′ ∈ (ω_{R})_{−σ}. Insbesondere folgt aus x_{0}^{σ} · φ = r · 0 = 0 und Satz 2.3.c, daß φ = 0 sein muß. Nun ergibt sich rφ′ = r′ · 0 = 0 für alle φ′ ∈ (ω_{R})_{−σ}, also die Behauptung. □

10.4. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit deg 𝕏 ≥ 3.

a) Ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1, so gilt Z_{2} = ⋯ = Z_{deg 𝕏−1} = R_{σ} ⊕ {0} und Z_{deg 𝕏} = {(0, 0)}.

b) Genau dann ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1, wenn Z_{2} = R_{σ} ⊕ {0} gilt.

Beweis: Zuerst beweisen wir Behauptung a). Nach Bemerkung 10.2.a und 10.2.d gilt R_{σ} ⊕ {0} ⊆ Z_{deg 𝕏−1} ⊆ Z_{2}, so daß es genügt, die Inklusion Z_{2} ⊆ R_{σ} ⊕ {0} zu zeigen. Angenommen, es gibt ein Element (r, φ) ∈ Z_{2} mit φ ≠ 0. Dann ist dim_{K} F (r, φ) ≥ 2, d.h. wir finden zwei K-linear unabhängige Paare (r_{1}, φ_{1}), (r_{2}, φ_{2}) ∈ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} mit r_{i}φ = rφ_{i} für i = 1, 2. Wegen Δ = 1 gibt es dann λ_{1}, λ_{2} ∈ K mit φ_{i} = λ_{i}φ, und wir erhalten r_{i}φ = λ_{i}rφ für i = 1, 2. Nach Korollar 5.11 ist 𝕏 lokal Gorenstein, so daß Satz 5.8 zeigt, daß für i = 1, 2 sogar r_{i} − λ_{i}r = 0 gelten muß. Doch nun stellt (r_{i}, φ_{i}) = λ_{i} · (r, φ) für i = 1, 2 einen Widerspruch zur linearen Unabhängigkeit der beiden Paare dar.

Zum Beweis von Teil b) setzen wir voraus, daß Z_{2} = R_{σ} ⊕ {0} gilt. Wegen Bemerkung 3.2.a und 3.2.e haben wir {0} ⊕ (ω_{R})_{−σ} ⊆ Z_{Δ} ⊆ Z_{2} für Δ ≥ 2, so daß in unserem Fall nur Δ = 1 in Frage kommt. Wir wollen mit Hilfe von Satz 5.15 noch zeigen, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist. Dazu wählen wir ein Element φ ∈ (ω_{R})_{−σ} \ {0} und nehmen an, es gibt ein Element r′ ∈ R_{σ} mit r′φ = 0. Dann hat K · r′ ⊕ (ω_{R})_{−σ} ⊆ F (0, φ) die K-Vektorraumdimension zwei, was der Voraussetzung widerspricht. □

Auch die Frage, ob 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Δ_{𝕏}-uniformes Schema ist, läßt sich – sogar auf mehrere Arten – an Hand der Struktur der Mengen Z_{2}, …, Z_{deg 𝕏} entscheiden.

10.5. Lemma. Für jedes 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist Δ_{𝕏}-uniform.

b) Die Multiplikationsabbildung μ : R_{σ} ⊗ (ω_{R})_{−σ} ⟶ (ω_{R})_{0} ist biinjektiv.

c) Für alle r ∈ R_{σ} \ {0} gilt F (r, 0) = R_{σ} ⊕ {0}.

d) Für alle φ ∈ (ω_{R})_{−σ} \ {0} gilt F (0, φ) = {0} ⊕ (ω_{R})_{−σ}.

e) Es gilt Z_{deg 𝕏−Δ+1} ∩ (R_{σ} ⊕ {0}) = {(0, 0)}.

f) Es gilt Z_{Δ+1} ∩ ({0} ⊕ (ω_{R})_{−σ}) = {(0, 0)}.

Beweis: Die Äquivalenz von a) und b) ist ein Spezialfall von Satz 7.6. Bedingungen c) und d) sind offensichtlich nur Umformulierungen von b). Bedingung e) ist äquivalent mit dim_{K} F (r, 0) ≤ deg 𝕏 − Δ für alle r ∈ R_{σ} \ {0}, also wegen R_{σ} ⊕ {0} ⊆ F (r, 0) mit Bedingung c). Analog ergibt sich die Äquivalenz von Bedingung f) mit d). □

Unser nächster Satz verallgemeinert Satz 10.4.b auf den Fall Δ_{𝕏} ≥ 1. Die Voraussetzung deg 𝕏 ≥ 2·Δ_{𝕏} +1 ist natürlich fast immer erfüllt und schließt nur einige triviale Fälle aus, deren direkte Betrachtung wir dem Leser überlassen.

10.6. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit deg 𝕏 ≥ 2·Δ_{𝕏} +1. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent. a) 𝕏 ist Δ_{𝕏}-uniform.

b) Es gilt Z_{Δ+1} = R_{σ} ⊕ {0}.

Beweis: Auf Grund des Lemmas brauchen wir nur zu zeigen, daß Bedingung b) aus a) folgt. Nach Bemerkung 10.2.a und 10.2.d gilt R_{σ} ⊕ {0} ⊆ Z_{deg 𝕏−Δ} ⊆ Z_{Δ+1}. Angenommen, es gibt ein Paar (r, φ) ∈ Z_{Δ+1} mit φ ≠ 0. Seien dann (r_{i}, φ_{i}) ∈ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} linear unabhängige Paare mit r_{i}φ = rφ_{i} für i = 1, …, Δ + 1. Wegen dim_{K} (ω_{R})_{−σ} = Δ gibt es Elemente λ_{1}, …, λ_{Δ+1} ∈ K mit ∑_{i=1}^{Δ+1} λ_{i}φ_{i} = 0, und aus ∑_{i=1}^{Δ+1} λ_{i}r_{i}φ = r · ∑_{i=1}^{Δ+1} λ_{i}φ_{i} = 0 folgt ∑_{i=1}^{Δ+1} λ_{i}r_{i} = 0. Dann stellt ∑_{i=1}^{Δ+1} λ_{i} · (r_{i}, φ_{i}) = 0 einen Widerspruch zur Wahl der Paare (r_{i}, φ_{i}) dar. □

Für Δ_{𝕏}-uniforme 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} kann man wiederum die Mengen Z_{2}, …, Z_{deg 𝕏} genauer angeben.

10.7. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Δ_{𝕏}-uniformes 0-dimensionales Unterschema mit deg 𝕏 ≥ 2 · Δ_{𝕏} + 1 ≥ 5. Dann gilt

Z_{Δ} = R_{σ} ⊕ {0} ∪ {0} ⊕ (ω_{R})_{−σ}

sowie Z_{Δ+1} = ⋯ = Z_{deg 𝕏−Δ} = R_{σ} ⊕ {0} und Z_{deg 𝕏−Δ+1} = ⋯ = Z_{deg 𝕏} = {(0, 0)}.

Beweis: Wegen Bemerkung 10.2 brauchen wir nur die folgenden drei Behauptungen zu beweisen:

1) Z_{Δ} ⊆ R_{σ} ⊕ {0} ∪ {0} ⊕ (ω_{R})_{−σ}

2) Z_{Δ+1} ⊆ R_{σ} ⊕ {0}

3) Z_{deg 𝕏−Δ+1} = {(0, 0)}

Hierbei folgt Behauptung 2) wegen Lemma 10.5 aus 1), und Behauptung 3) ergibt sich auf Grund desselben Lemmas aus 2). Um Behauptung 1) zu zeigen, nehmen wir an, es gibt ein Paar (r, φ) ∈ Z_{Δ} mit r ∈ R_{σ} \{0} und φ ∈ (ω_{R})_{−σ} \{0}. Dann existieren K-linear unabhängige Paare (r_{1}, φ_{1}), …, (r_{Δ}, φ_{Δ}) ∈ R_{σ} ⊕ (ω_{R})_{−σ} mit r_{i}φ = rφ_{i} für i = 1, …, Δ. Wären {φ_{1}, …, φ_{Δ}} linear abhängig, d.h. gäbe es λ_{1}, …, λ_{Δ} ∈ K mit

0 = r · 0 = r · (∑_{i=1}^{Δ}λ_{i}φ_{i}) = (∑_{i=1}^{Δ}λ_{i}r_{i}) · φ,

so würde aus der Voraussetzung und Satz 7.6 folgen, daß ∑_{i=1}^{Δ} λ_{i}r_{i} = 0 ist, und ∑_{i=1}^{Δ} λ_{i}· (r_{i}, φ_{i}) = 0 wäre ein Widerspruch zur Wahl der Paare (r_{i}, φ_{i}). Also stellt {φ_{1}, …, φ_{Δ}} eine K-Basis von (ω_{R})_{−σ} dar, und wir finden λ_{1}, …, λ_{Δ} ∈ K mit φ = λ_{1}φ_{1}+⋯+λ_{Δ}φ_{Δ}.

Nun ergibt sich aus r · φ = r · (∑_{i=1}^{Δ} λ_{i}φ_{i}) = (∑_{i=1}^{Δ} λ_{i}r_{i}) · φ und Satz 7.6, daß r = ∑_{i=1}^{Δ} λ_{i}r_{i} gilt. Setzen wir diese Darstellungen in die Gleichungen r_{i}φ = rφ_{i} ein, so erhalten wir ∑_{j≠i} λ_{j}r_{i}φ_{j} = ∑_{j≠i} λ_{j}r_{j}φ_{i} für i = 1, …, Δ. Wegen der linearen Unabhängigkeit der Elemente {φ_{1}, …, φ_{Δ}} liefert dies λ_{i}r_{j} = 0 für i, j ∈ {1, …, Δ} mit i ≠ j sowie ∑_{j≠i} λ_{j}r_{j} = 0 für i = 1, …, Δ. O.E. sei 1 ≤ δ ≤ Δ so, daß λ_{1} ≠ 0, …, λ_{δ} ≠ 0 und λ_{δ+1} = ⋯ = λ_{Δ} = 0 gilt.

Im Fall δ = 1 folgt nun r_{2} = ⋯ = r_{Δ} = 0 aus λ_{1}r_{j} = 0 für j ≠ 1 und r_{1} = 0 aus ∑_{j≠2} λ_{j}r_{j} = 0, und im Fall δ ≥ 2 folgt r_{2} = ⋯ = r_{Δ} = 0 aus λ_{1}r_{j} = 0 für j ≠ 1 sowie r_{1} = 0 aus λ_{2}r_{j} = 0 für j ≠ 2. In beiden Fällen erhalten wir r = ∑_{i=1}^{Δ} λ_{i}r_{i} = 0, was unserer Annahme widerspricht. □

Jetzt weisen wir noch auf die praktische Berechenbarkeit der Mengen Z_{2}, …, Z_{deg 𝕏} hin. Insbesondere kann man die Bedingungen 10.2.c, 10.3.b, 10.4.b, 10.5.e, 10.5.f und 10.6.b mit den Mitteln der Computeralgebra effektiv prüfen.

10.8. Bemerkung. Wie in [K5] gezeigt wurde, kann man eine minimale Präsentation des kanonischen Moduls ω_{R} effektiv berechnen, wenn 𝕏 reduziert ist und die Koordinaten der Punkte von 𝕏 gegeben sind. Auch im nichtreduzierten Fall kann man eine solche Präsentation bestimmen, wenn das Verschwindungsideal I_{𝕏} von 𝕏 ⊆ ℙ^{d} gegeben ist. Mit Hilfe des Satzes von Macaulay (vgl. z.B. [E], 15.3) findet man dann Monome, deren Restklassen Basen {g_{1}, …, g_{deg 𝕏−Δ}} von R_{σ} bzw. {φ_{1}, …, φ_{Δ}} von (ω_{R})_{−σ} bzw. {h_{1}, …, h_{deg 𝕏−1}} von (ω_{R})_{0} darstellen. Als nächstes berechnet man die Repräsentationen

g_{i} · φ_{j} = γ_{i j}^{(1)}h_{1} + ⋯ + γ_{i j}^{(deg 𝕏−1)}h_{deg 𝕏−1}

der Produkte g_{i} · φ_{j} in der Basis {h_{1}, …, h_{deg 𝕏−1}}. Nachdem man Unbestimmte {X_{1}, …, X_{Δ}} für die Koordinaten von r, Unbestimmte {Y_{1}, …, Y_{deg 𝕏−Δ}} für die Koordinaten von φ, Unbestimmte {X′_{1}, …, X′_{Δ}} für die Koordinaten von r′ sowie Unbestimmte {Y′_{1}, …, Y′_{deg 𝕏−Δ}} für die Koordinaten von φ′ eingeführt hat, übersetzt sich die Bedingung r′φ = rφ′ in ein lineares Gleichungssystem

∑_{i,j}γ_{i j}^{(1)}X_{i}Y′_{j} − ∑_{i,j}γ_{i j}^{(1)}Y_{j}X′_{i} = 0
⋮
∑_{i,j}γ_{i j}^{(s−1)}X_{i}Y′_{j} − ∑_{i,j}γ_{i j}^{(s−1)}Y_{j}X′_{i} = 0

in den Variablen {X′_{1}, …, X′_{Δ}, Y′_{1}, …, Y′_{deg 𝕏−Δ}}. Die Mengen Z_{2}, …, Z_{deg 𝕏} werden dann als Unterschemata des affinen Raums 𝔸(KX_{1}⊕⋯⊕KX_{Δ}⊕KY_{1}⊕⋯⊕KY_{deg 𝕏−Δ}) durch die entsprechenden Ideale von Minoren der Koeffizientenmatrix dieses Gleichungssystems definiert.

Diese Berechnungen vereinfachen sich im Fall reduzierter 0-dimensionaler Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} außerordentlich. Wie in [MR] bzw. [K5] bestimmen wir bei der Ausführung des Buchberger-Möller Algorithmus auch gleich Polynome F_{1}, …, F_{s} ∈ A_{σ+1}, deren Restklassen in R die bzgl. x_{0} normierten Separatoren sind. Dann werden die Leitformen Lf_{1}, …, Lf_{s} durch die Polynome F_{1}(0, X_{1}, …, X_{d}), …, F_{s}(0, X_{1}, …, X_{d}) repräsentiert, und wir können die Matrix 𝔅 von 𝕏 bestimmen, indem wir in \overline{R} = A/I_{𝕏} + (X_{0}) die K-linearen Relationen zwischen diesen Leitformen ausrechnen. Wegen Korollar 3.12 sind die Konstanten γ_{i j}^{(k)} gegeben durch

γ_{i j}^{(k)} = \{ \begin{matrix}δ_{k Δ+j−1}β_{j 1} & für i = 1 \\ δ_{k Δ+j−1}β_{j i} − δ_{k i−1}β_{j i} & für i = 2, …, Δ \end{matrix}

und für j = 1, …, s−Δ sowie für k = 1, …, s−1. Bilden wir dann die Matrix, deren Minoren die Mengen Z_{2}, …, Z_{s} definieren, so erhalten wir

𝔐̃ = ( \begin{matrix}0 & ∑_{j=1}^{s−Δ}β_{j 2}Y_{j} & 0 & −β_{1 2}X_{2} & ⋯ & −β_{s−Δ 2}X_{2} \\ ⋮ & ... & & ⋮ & & ⋮ \\ 0 & 0 & ∑_{j=1}^{s−Δ}β_{j Δ}Y_{j} & −β_{1 Δ}X_{Δ} & ⋯ & −β_{s−Δ Δ}X_{Δ} \\ −β_{1 1}Y_{1} & ⋯ & ⋯ & −β_{1 Δ}Y_{Δ} & ∑_{i=1}^{Δ}β_{1 i}X_{i} & 0 \\ ⋮ & & ⋮ & & ... \\ −β_{s−Δ 1}Y_{1} & ⋯ & ⋯ & −β_{s−Δ Δ}Y_{Δ} & 0 & ∑_{i=1}^{Δ}β_{s−Δ i}X_{i} \end{matrix} )

also gerade das Negative der unteren s − 1 Zeilen der Matrix 𝔐 aus dem Beweis von Satz 9.9.

Wie im Beweis dieses Satzes sieht man dann z.B., daß die Matrix 𝔐̃ genau dann den maximalen Rang hat, wenn 𝕏 kohomologisch uniform ist. Andererseits definieren die maximalen Minoren von 𝔐̃ gerade die Menge Z_{2}, so daß wir Bemerkung 10.2.c zurückerhalten.

Unser letzter Satz in diesem Kapitel faßt einige der vorgestellten Resultate zusammen.

10.9. Satz. (Die Hierarchie der Cayley-Bacharach Schemata)

Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema. Wir betrachten die folgenden Bedingungen.

1) 𝕏 ist arithmetisch Gorenstein.

2) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 1. 2’) Es gibt eine K-Basis {φ} von (ω_{R})_{−σ} mit Ann_{R}(φ) = (0). 2”) Es gilt Z_{2} = R_{σ} ⊕ {0}.

3) 𝕏 ist Δ_{𝕏}-uniform. 3’) Die Multiplikationsabbildung μ : R_{σ} ⊗ (ω_{R})_{−σ} ⟶ (ω_{R})_{0} ist biinjektiv. 3”) Es gilt Z_{Δ+1} = R_{σ} ⊕ {0}.

4) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema. 4’) Die Multiplikationsabbildung μ : R_{σ} ⊗ (ω_{R})_{−σ} ⟶ (ω_{R})_{0} ist nicht ausgeartet. 4”) Es gilt Z_{deg 𝕏} = {(0, 0)}.

Wir stellen die folgenden Behauptungen auf.

a) Es gilt 1) ⇒ 2) ⟺ 2′) ⇒ 3) ⟺ 3′) ⇒ 4) ⟺ 4′) ⟺ 4′′).

b) Ist deg 𝕏 ≥ 2 · Δ_{𝕏} + 1, so gilt auch 2) ⟺ 2′′) sowie 3) ⟺ 3′′). Ist 𝕏 reduziert, so betrachten wir ferner die folgenden Bedingungen.

5) Alle Einträge der Matrix 𝔅 sind ungleich null.

6) Es gibt eine Zeile in der Matrix 𝔅, in der alle Einträge ungleich null sind.

7) 𝕏 ist kohomologisch uniform. 7’) Die Abbildung μ : R_{σ} ⊗ (ω_{R})_{−σ} ⟶ (ω_{R})_{0} ist nicht ausgeartet und surjektiv. 7”) Es gibt Elemente ℓ ∈ R_{1} und φ ∈ (ω_{R})_{−σ} mit dim_{K} F (ℓ^{σ}, φ) = 1. 7”’) Es gilt Z_{2} ⊊ Z_{1}, d.h. es gibt r ∈ R_{σ} und φ ∈ (ω_{R})_{−σ} mit dim_{K} F (r, φ) = 1.

Wir stellen in diesem Fall die folgenden zusätzlichen Behauptungen auf.

c) Es gilt 3) ⇒ 5) ⇒ 6) ⇒ 7) ⟺ 7′) ⟺ 7′′) ⟺ 7′′′) ⇒ 4).

d) Alle in a) und c) nicht behaupteten Implikationen “⇐” gelten nicht.

Beweis: Zuerst beweisen wir Behauptung a). Die Implikation 1) ⇒ 2) folgt aus Korollar 5.13, die Äquivalenz 2) ⟺ 2′) folgt aus Satz 5.8, die Implikation 2) ⇒ 3) ist klar, die Äquivalenz 3) ⟺ 3′) ist ein Spezialfall von Satz 7.6, die Implikation 3) ⇒ 4) folgt aus Bemerkung 7.3.b, die Äquivalenz 4) ⟺ 4′) ist eine Aussage von Satz 5.15, und die Äquivalenz 4) ⟺ 4′′) wurde in Satz 10.3.b gezeigt. Die Behauptung b) ergibt sich aus Satz 10.4.b und Satz 10.6.

Nun zeigen wir Behauptung c). Die Implikation 3) ⇒ 5) folgt wegen 3) ⟺ 3′) aus Korollar 3.12, die Implikation 5) ⇒ 6) ist klar, die Implikation 6) ⇒ 7) folgt aus Satz 8.3, die Äquivalenz 7) ⟺ 7′) ist die Aussage von Satz 8.8, die Äquivalenz 7) ⟺ 7′′) gilt wegen Satz 9.9 und Bedingung 9.2.c, die Äquivalenz 7) ⟺ 7′′′) folgt aus Satz 9.5, und die Implikation 7) ⇒ 4) ist eine Konsequenz von Satz 8.3. Den Beweis von Behauptung d) erbringen wir mit Hilfe der nachstehenden Beispiele. □

10.10. Beispiel. Besteht ein reduziertes 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{2} aus sieben generisch gewählten Punkten, so hat es die Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 3 6 7 7 ⋯, erfüllt also Δ_{𝕏} = 1, und ist nach Beispiel 5.7 ein Cayley-Bacharach Schema. Jedoch kann 𝕏 in Anbetracht von Korollar 5.13 nicht arithmetisch Gorenstein sein. Daher gilt die Implikation 2) ⇒ 1) in Satz 10.9 nicht.

10.11. Beispiel. Besteht ein reduziertes 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{2} aus acht generisch gewählten Punkten, so hat es die Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 3 6 8 8 ⋯ und erfüllt somit Δ_{𝕏} = 2. Da jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = 6 die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 3 6 6 ⋯ besitzt, ist 𝕏 ein Δ_{𝕏}-uniformes Schema. Also gilt die Implikation 3) ⇒ 2) in Satz 10.9 nicht.

10.12. Beispiel. Sei char (K) = 3, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{5}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema mit P_{1} = (1:0:0), P_{2} = (1:0:1), P_{3} = (1:1:0), P_{4} = (1:1:1) und P_{5} = (1:2:0). Dann ist die Hilbert-Funktion von 𝕏 gegeben durch H_{𝕏} : 1 3 5 5 ⋯, und für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = 4 gilt H_{𝕐} : 1 3 4 4 · · ·. Somit ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏} = 2. Jedoch ist 𝕏 nach Beispiel 7.10 nicht Δ_{𝕏}- uniform. In der Tat hat 𝕐_{1} = {P_{1}, P_{2}, P_{3}} ⊆ 𝕏 die Hilbert-Funktion H_{𝕐_{1}} : 1 3 3 ⋯, während 𝕐_{2} = {P_{1}, P_{3}, P_{5}} ⊆ 𝕏 die Hilbert-Funktion H_{𝕐_{2}} : 1 2 3 3 ⋯ besitzt. Also gilt die Implikation 4) ⇒ 3) in Satz 10.9 nicht.

10.13. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{3} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, das aus den vier Punkten P_{1} = (1:0:0:0), P_{2} = (1:1:0:0), P_{3} = (1:0:1:0), P_{4} = (1:1:1:0) und vier weiteren, generisch gewählten Punkten P_{5}, …, P_{8} bestehe. Z.B. sei char (K) = 101 und P_{5} = (1:−46:−41:8), P_{6} = (1:8:35:7), P_{7} = (1:−4:3:5) sowie P_{8} = (1:−28:2:46). Dann ist die Hilbert-Funktion von 𝕏 gegeben durch H_{𝕏} : 1 4 8 8 ⋯, es gilt Δ_{𝕏} = 4, und 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema. Für die Matrix 𝔅 errechnet sich (etwa mit Hilfe von COP)

𝔅 = ( \begin{matrix}43 & 3 & 35 & 19 \\ 36 & 21 & 49 & −6 \\ −15 & 39 & −12 & −13 \\ −22 & −44 & 2 & −38 \end{matrix} )

d.h. kein Eintrag von 𝔅 ist gleich null. Jedoch ist 𝕏 nicht Δ_{𝕏}-uniform, denn das Unterschema 𝕐 = {P_{1}, …, P_{4}} ⊆ 𝕏 hat die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 3 4 4 ⋯, für die H_{𝕐}(1) = 3 < 4 = min{H_{𝕏}(1), deg 𝕐} ist. Also gilt die Implikation 5) ⇒ 3) in Satz 10.9 nicht.

10.14. Beispiel. Sei char (K) = 11, und das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{7}} ⊆ ℙ^{3} bestehe aus den sieben Punkten P_{1} = (1:0:0:0), P_{2} = (1:1:0:0), P_{3} = (1:0:1:0), P_{4} = (1:1:1:0), P_{5} = (1:2:3:4), P_{6} = (1:2:4:−3) sowie P_{7} = (1:−1:1:−1). Dann hat 𝕏 die Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 4 7 7 ⋯, und es gilt Δ_{𝕏} = 3. Für die Matrix 𝔅 errechnet sich

𝔅 = ( \begin{matrix}−2 & 2 & −1 & 0 \\ 5 & −2 & −2 & −2 \\ 3 & 4 & 1 & 2 \end{matrix} )

d.h. die zweite und dritte Zeile haben alle Einträge ungleich null, nicht jedoch die erste Zeile. Also gilt die Implikation 6) ⇒ 5) in Satz 10.9 nicht.

10.15. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{3} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema vom Grad sechs aus Beispiel 3.18. Wegen 𝔅 = \binom{1 0 −1 −1}{0 1 −1 −1} und Satz 8.3 ist 𝕏 kohomologisch uniform. Jedoch enthält jede Zeile von 𝔅 den Eintrag null. Also gilt die Implikation 7) ⇒ 6) in Satz 10.9 nicht.

Schließlich bemerken wir noch, daß jedes kohomologisch zerfallende 0-dimensionale Schema (z.B. die Schemata aus Beispiel 8.1 oder 8.14.a) zeigt, daß die Implikation 4) ⇒ 7) in Satz 10.9 nicht gilt.

III. Spezialfälle und Anwendungen

11. Level-Schemata

In Korollar 5.16, Satz 9.1 und Korollar 7.7 haben wir Ungleichungen für die Hilbert-Funktionen uniformer 0-dimensionaler Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} bewiesen, die umso stärkere Einschränkungen darstellten, je höher der Grad der Uniformität von 𝕏 war. Suchen wir nach noch strengeren Bedingungen, so stoßen wir auf den folgenden, von T. Hibi eingeführten Begriff.

11.1. Definition. Die Hilbert-Funktion H_{𝕏} eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt makellos, wenn für alle i ∈ ℤ mit 0 ≤ 2i ≤ σ_{𝕏} + 1 gilt

ΔH_{𝕏}(i − 1) ≤ ΔH_{𝕏}(i) ≤ ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏} + 1 − i).

Mit anderen Worten verlangen wir, daß die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 bis zur Mitte des Intervalls [0, σ_{𝕏} + 1] ansteigt und in der zweiten Hälfte spiegelbildlich punktweise mindestens so große Werte annimmt wie in der ersten Hälfte.

In der Arbeit [Hi1] bewies T. Hibi in einer bestimmten kombinatorischen Situation, daß die Hilbert-Funktionen gewisser Ringe makellos sind. Wir wollen dieses Ergebnis – für unseren Fall adaptiert – nun erklären. Das Material für diesen Abschnitt stammt hauptsächlich aus [K3], §5.

Aus der Präsentation R = A/I_{𝕏} erhalten wir \overline{R} = K[X_{1}, …, X_{d}]/J_{𝕏} mit J_{𝕏} = (F (0, X_{1}, …, X_{d}))_{F ∈I_{𝕏}}. Wir wählen eine gradkompatible Termordnung ≤_{τ} auf dem Polynomring K[X_{1}, …, X_{d}] und betrachten das Leittermideal Lt_{τ} (J_{𝕏}) = (Lt_{τ} (F))_{F ∈J_{𝕏}} sowie das Ordnungsideal

O_{τ} (J_{𝕏}) = {m ∈ K[X_{1}, …, X_{d}] Monom | m ∉ Lt_{τ} (J_{𝕏})}.

Die Menge O_{τ} (J_{𝕏}) ist ein Ordnungsideal von Monomen, d.h. für jedes Monom aus O_{τ} (J_{𝕏}) sind auch alle seine Teiler in O_{τ} (J_{𝕏}). (Für eine nähere Untersuchung dieser Begriffe verweisen wir z.B. auf [E], §15 oder [K9], Kap. 1.)

11.2. Definition. Ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt kombinatorisch rein, wenn man einen Nichtnullteiler x_{0} ∈ R_{1} und eine gradkompatible Termordnung ≤_{τ} auf K[X_{1}, …, X_{d}] so wählen kann, daß alle maximalen Elemente von O_{τ} (J_{𝕏}) denselben Grad σ_{𝕏} + 1 haben.

Mit diesen Definitionen lautet der Satz von T. Hibi (vgl. [Hi1], 1.1 und 1.3) folgendermaßen.

11.3. Satz. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein kombinatorisch reines, 0-dimensionales Unterschema, so ist die Hilbert-Funktion von 𝕏 makellos.

Jedoch wäre es wünschenswert, eine Versions dieses Satzes zu finden, die von den in Definition 11.2 getroffenen Wahlen unabhängig ist. Unser nächstes Beispiel zeigt, daß es nämlich in der Praxis schwierig sein kann nachzuprüfen, ob ein gegebenes 0dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} kombinatorisch rein ist.

11.4. Beispiel. a) Sei char (K) ≠ 2, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{4}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0dimensionale Unterschema mit P_{1} = (1:0:1), P_{2} = (1:0:2), P_{3} = (1:1:0) und P_{4} = (1:2:0). Dann gilt J_{𝕏} = (X_{1}X_{2}, X_{1}^{2}+X_{2}^{2}, X_{1}^{3}, X_{2}^{3}), und egal wie wir die Termordnung ≤_{τ} wählen, stets besitzt O_{τ} (J_{𝕏}) ein maximales Element vom Grad 1 < 2 = σ_{𝕏} + 1.

b) Führen wir an dem angegebenen Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{2} die durch die Matrix

( \begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} )

definierte Koordinatentransformation durch, so erhalten wir 𝕏′ = {P′_{1}, …, P′_{4}} ⊆ ℙ^{2} mit P′_{1} = P_{1}, P′_{2} = P_{2}, P′_{3} = (1:1:1) und P′_{4} = (1:2:2). In diesem Fall ergibt sich J_{𝕏′} = (X_{1}^{2}, X_{1}X_{2} − X_{2}^{2}, X_{1}X_{2}^{2}, X_{2}^{3}), und wenn wir die gradkompatible Termordnung ≤_{τ} mit X_{1} <_{τ} X_{2} wählen, so haben alle maximalen Elemente von O_{τ} (J_{𝕏′}) = {1, X_{1}, X_{2}, X_{1}X_{2}} den Grad 2 = σ_{𝕏} + 1.

Auf Grund dieser Einwände erscheint es nützlich, die folgende algebraische Bedingung zu studieren.

11.5. Definition. Ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt ein Level-Schema oder rein, wenn der kanonische Modul ω_{R} als R-Modul von seinen homogenen Elementen (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} kleinsten Grades erzeugt wird.

Bevor wir den Zusammenhang dieses Begriffs mit der kombinatorischen Reinheit angeben, charakterisieren wir ihn auf verschiedene Weisen.

11.6. Satz. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein Level-Schema.

b) Der kanonische Modul ω\overline{R} = \underline{Hom}_{K}(\overline{R}, K) von \overline{R} wird als \overline{R}-Modul von seinen homogenen Elementen (ω\overline{R})_{−σ_{𝕏}−1} kleinsten Grades erzeugt.

c) Für alle i, j ≥ 0 mit i + j ≤ σ_{𝕏} + 1 ist die Multiplikationsabbildung \overline{R}_{i} ⊗ \overline{R}_{j} ⟶ \overline{R}_{i+j} nicht ausgeartet.

d) Der Sockel 𝔖(\overline{R}) = \{r ∈ \overline{R} | \overline{𝔪} · r = 0\} von \overline{R} ist gegeben durch 𝔖(\overline{R}) = \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}.

Beweis: Die Äquivalenz von a) und b) folgt daraus, daß x_{0} nach Satz 2.3.b ein Nichtnullteiler auf ω_{R} ist, daß nach [GW], 2.2.10 gilt ω\overline{R} ≅ (ω_{R}/x_{0} · ω_{R})(1), und aus der graduierten Version des Lemmas von Nakayama. Offenbar ist b) damit äquivalent, daß die Multiplikationsabbildungen \overline{R}_{i} ⊗ (ω\overline{R})_{−σ_{𝕏}−1} ⟶ (ω\overline{R})_{−σ_{𝕏}−1+i} für i = 0, …, σ_{𝕏} + 1 surjektiv sind. Wegen ω\overline{R} ≅ \underline{Hom}_{K}(\overline{R}, K) ist dies äquivalent mit den Behauptungen c) und d). □

Jetzt können wir zeigen, daß der Begriff der Level-Schemata eine Verallgemeinerung des Begriffs der kombinatorischen Reinheit darstellt. Der Beweis des folgenden Satzes beruht auf einer Idee von L. Robbiano.

11.7. Satz. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein kombinatorisch reines, 0-dimensionales Unterschema, so ist 𝕏 ein Level-Schema.

Beweis: Sei r ∈ 𝔖(\overline{R})\\{0\} ein homogenes Sockelelement von \overline{R}, und sei r = F +J_{𝕏} mit einem homogenen Polynom F ∈ K[X_{1}, …, X_{d}] vom Grad ϱ = deg r. Für i = 1, …, d gilt dann X_{i}·Lt_{τ} (F) = Lt_{τ} (X_{i}·F) ∈ Lt_{τ} (J_{𝕏}), d.h. das Monom Lt_{τ} (F) ist ein maximales Element des Ordnungsideals O_{τ} (J_{𝕏}). Nach Voraussetzung ist dann ϱ = σ_{𝕏} + 1, also r ∈ \overline{R}_{σ_{𝕏}+1}. Die umgekehrte Inklusion \overline{R}_{σ_{𝕏}+1} ⊆ 𝔖(\overline{R}) ist ohnehin klar, so daß wir die Behauptung erhalten. □

An einem Beispiel zeigen wir nun, daß die Umkehrung von Satz 11.7 nicht gilt.

11.8. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2. Das reduzierte 0-dimensionales Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{5}} ⊆ ℙ^{3} bestehe aus den fünf Punkten P_{1} = (1:0:0:0), P_{2} = (1:1:0:0), P_{3} = (1:0:1:0), P_{4} = (1:0:0:1) und P_{5} = (1:1:2:2). Dann gilt J_{𝕏} = (X_{1}^{2}, X_{1}X_{2} − X_{3}^{2}, X_{1}X_{3} − X_{3}^{2}, X_{2}^{2} − X_{3}^{2}, X_{2}X_{3} − 2X_{3}^{2}) und \overline{R} = K ⊕ K\overline{X}_{1} ⊕ K\overline{X}_{2} ⊕ K\overline{X}_{3} ⊕ K\overline{X}_{1}\overline{X}_{2} mit \overline{X}_{1}\overline{X}_{2} = \frac{1}{2} \overline{X}_{2}\overline{X}_{3}. Also folgt 𝔖(\overline{R}) = K · \overline{X}_{1}\overline{X}_{2}, d.h. das Schema 𝕏 ist arithmetisch Gorenstein und insbesondere ein Level-Schema.

Jedoch besteht O_{τ} (J_{𝕏}) für jede Wahl des Koordinatensystems und jede gradkompatible Termordnung ≤_{τ} aus den Monomen {1, X_{1}, X_{2}, X_{3}} sowie einem Monom vom Grad zwei. Da dieses Monom nicht durch alle drei Variablen teilbar sein kann, ist 𝕏 nicht kombinatorisch rein.

Wenn man die Aussagen von Satz 11.6 betrachtet, so wird sofort klar, daß für Level-Schemata starke Einschränkungen bzgl. der möglichen Hilbert-Funktionen existieren. Die Behauptungen des folgenden Satzes wurden erstmals (ohne Beweis) in [S1] aufgestellt.

11.9. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Level-Schema.

a) Für alle i, j ≥ 0 mit i + j ≤ σ_{𝕏} + 1 gilt

ΔH_{𝕏}(i) ≤ ΔH_{𝕏}(j) · ΔH_{𝕏}(i + j).

b) Die Funktion ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏}+1−i) mit i ∈ ℤ ist die Summe von Δ_{𝕏} Hilbert-Funktionen von Restklassenringen von \overline{R}.

c) Ist 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema mit deg 𝕐 = H_{𝕏}(i) für ein 0 ≤ i ≤ σ_{𝕏} + 1 und gilt H_{𝕐}(j) = min{H_{𝕏}(j), deg 𝕐} für alle j ∈ ℤ, so ist 𝕐 wiederum ein Level-Schema und H_{𝕐} genügt den Bedingungen a) und b).

Beweis: Behauptung a) folgt aus Satz 11.6.c, denn jene Bedingung liefert eine Injektion \overline{R}_{i} ⟶ Hom_{K}(\overline{R}_{j}, \overline{R}_{i+j}). Behauptung b) folgt aus Satz 11.6.b mit vollständiger Induktion nach Δ_{𝕏}. Ist \{φ_{1}, …, φ_{Δ_{𝕏}}\} ⊆ (ω\overline{R})_{−σ_{𝕏}−1} ein minimales Erzeugendensystem des \overline{R}-Moduls ω\overline{R}, so wird ω\overline{R} / \overline{R} · φ_{1} erzeugt von den Bildern \{\overline{φ}_{2}, … \overline{φ}_{Δ_{𝕏}}\}, während \overline{R} · φ_{1} ≅ (\overline{R}/Ann\overline{R}(φ_{1}))(σ_{𝕏} + 1) bis auf eine Gradverschiebung um σ_{𝕏} + 1 die Hilbert-Funktion eines Restklassenrings von \overline{R} besitzt. Nun ist die Funktion ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏} + 1 − i) aber bis auf eine Gradverschiebung um σ_{𝕏} + 1 gerade die Hilbert-Funktion von ω\overline{R}. Behauptung c) folgt schließlich aus Satz 11.6.c und 11.6.d, denn der Sockel von \overline{R}_{𝕐} = R/(I_{𝕐/𝕏} + (x_{0})) = ⊕_{j=0}^{i}\overline{R}_{j} ist gerade die homogene Komponente vom Grad i dieses Rings. □

Das nächste Beispiel stammt aus [S1] und zeigt, wie man mit Hilfe des vorhergehenden Satzes beweisen kann, daß gewisse Hilbert-Funktionen für Level-Schemata unmöglich sind.

11.10. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{4} ein 0-dimensionales Unterschema mit Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 5 7 9 9 · · ·. Dann ist 𝕏 kein Level-Schema. Nach Satz 11.9.b müßte die Funktion ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏} + 1 − i) : 1 2 4 1 nämlich die Summe zweier Hilbert-Funktionen von Restklassenringen \overline{R}′ und \overline{R}′′ von \overline{R} sein. Dabei gäbe es nur die folgenden fünf Möglichkeiten. Die Zerlegung H_{\overline{R}_{′}} : 1 0 0 0 und H_{\overline{R}_{′′}} : 1 2 4 1 geht nicht, da die zweite Folge keine O-Sequenz darstellt. Die Zerlegungen H_{\overline{R}_{′}} : 1 1 0 0 und H_{\overline{R}_{′′}} : 1 1 4 1 bzw. H_{\overline{R}_{′}} : 1 1 1 0 und H_{\overline{R}_{′′}} : 1 1 3 1 bzw. H_{\overline{R}_{′}} : 1 1 1 1 und H_{\overline{R}_{′′}} : 1 1 3 0 bzw. H_{\overline{R}_{′}} : 1 1 2 1 und H_{\overline{R}_{′′}} : 1 1 2 0 scheitern aus demselben Grund.

Andererseits belegt das folgende Beispiel, daß die Hilbert-Funktionen von Level-Schemata durch die bisherigen Bedingungen noch nicht vollständig charakterisiert sind.

11.11. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{3} ein 0-dimensionales Unterschema mit Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏} : 1 3 5 4 5 3 1. Dann kann 𝕏 kein Level-Schema sein, weil es gemäß [S2], 4.2 keinen 0-dimensionalen standard-graduierten Gorenstein-Ring \overline{R} mit dieser Hilbert-Funktion gibt. Diese Castelnuovo-Funktion ist aber durch die Bedingungen von Satz 11.9 nicht ausgeschlossen.

Angesichts von Satz 11.7 könnte man vermuten, daß jedes Level-Schema eine makellose Hilbert-Funktion hat. Es gibt aber 0-dimensionale standard-graduierte Gorenstein-Ringe, deren Hilbert-Funktionen nicht makellos sind (vgl. z.B. [S2]). Obwohl nicht klar ist, ob einer dieser Ringe von der Form \overline{R} = R/(x_{0}) mit einem 1-dimensionalen standard-graduierten Cohen-Macaulay Ring ist, möchten wir uns mit der folgenden bescheideneren Vermutung zufriedengeben.

11.12. Vermutung. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Level-Schema und genügend uniform (z.B. in uniformer Lage), so ist die Hilbert-Funktion von 𝕏 makellos.

Die Uniformitätsvoraussetzung in dieser Vermutung erscheint uns natürlich, weil jedes Level-Schema mindestens 1-uniform ist, wie der nachfolgende Satz zeigt.

11.13. Satz. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Level-Schema, so ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Sei 𝕐 ⊆ 𝕏 ein Unterschema vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 − 1, und sei f_{𝕐}^{∗} ∈ (I_{𝕐/𝕏})_{α_{𝕐/𝕏}} \ {0} ein minimaler Separator von 𝕐. Wegen (I_{𝕐/𝕏})_{α_{𝕐/𝕏}+1} = K · x_{0} · f_{𝕐}^{∗} ist die Leitform Lf_{𝕐}^{∗} dann ein Sockelelement von \overline{R}, d.h. es gilt α_{𝕐/𝕏} = σ_{𝕏} + 1 für jedes solche Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏. □

Man kann die Behauptung von Vermutung 11.12 bereits aus einer schwächeren Bedingung folgern.

11.14. Satz. Angenommen, jedes Δ_{𝕏}-uniforme, 0-dimensionale Level-Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} erfüllt

ΔH_{𝕏}(i) ≤ ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏} + 1 − i)

für i = 0, …, ⌊\frac{1}{2}(σ_{𝕏}+1)⌋. Dann gilt Vermutung 11.12, d.h. jedes 0-dimensionale Level-Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} in uniformer Lage hat eine makellose Hilbert-Funktion.

Beweis: Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Level-Schema in uniformer Lage. Da 𝕏 auch Δ_{𝕏}-uniform ist, brauchen wir nur noch zu zeigen, daß für i = 0, …, ⌊\frac{1}{2}(σ_{𝕏}+1)⌋ gilt H_{𝕏}(i − 1) ≤ H_{𝕏}(i). Dazu wählen wir ein Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = H_{𝕏}(2i). Weil 𝕏 in uniformer Lage ist, gilt H_{𝕐}(j) = min{H_{𝕏}(j), deg 𝕐} für alle j ∈ ℤ. Also ist 𝕐 nach Satz 11.9.c ein Δ_{𝕏}-uniformes Level-Schema mit σ_{𝕐} = 2i − 1, und die Voraussetzung liefert die gesuchte Ungleichung. □

Könnte man die obige Vermutung beweisen, so hätte sie eine interessante Anwendung für die Hilbert-Funktionen von standard-graduierten Gorenstein-Bereichen.

11.15. Satz. Sei char (K) = 0. Angenommen, jedes 0-dimensionale Level-Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} in uniformer Lage hat eine makellose Hilbert-Funktion. Für jedes n ≥ 1 und jeden n-dimensionalen, über K standard-graduierten Gorenstein-Bereich S ist dann die n-te Differenzenfunktion Δ^{n}H_{S} der Hilbert-Funktion H_{S}(i) = dim_{K} S_{i} von S eine unimodale symmetrische Funktion, d.h. es gilt Δ^{n}H_{S}(i − 1) ≤ Δ^{n}H_{S}(i) = Δ^{n}H_{S}(m − i) für 0 ≤ 2i ≤ m = max{j ∈ ℤ | Δ^{n}H_{S}(j) ≠ 0}.

Beweis: Da im Fall n = 1 nur der Polynomring S = K[X] die Voraussetzung erfüllt, können wir o.E. n ≥ 2 annehmen. Sei e = embdim(S) − 1, und sei V ⊆ ℙ^{e} die projektive Varietät mit homogenem Koordinatenring S. Wegen dim V = n − 1 können wir V mit einem generisch gewählten linearen Teilraum L ⊆ ℙ^{e} der Kodimension n − 1 schneiden und erhalten nach dem Satz von der uniformen Lage (vgl. Satz 7.1) ein 0dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{e−n−1}, welches arithmetisch Gorenstein und in uniformer Lage ist. Hierbei gilt ΔH_{𝕏} = Δ^{n}H_{S}. Nach Voraussetzung ist H_{𝕏} makellos, und weil 𝕏 arithmetisch Gorenstein ist, haben wir nach Korollar 5.13 auch die Symmetrie von ΔH_{𝕏}. Zusammengenommen erhalten wir die gesuchte Unimodalität. □

Im letzten Teil dieses Abschnitts erklären wir noch eine Vermutung von T. Hibi (vgl. [Hi2], 1.4) und leiten damit gleichzeitig zum nächsten Abschnitt über. Ein Spezialfall dieser Vermutung lautet in unserer Situation folgendermaßen.

11.16. Vermutung. (T.Hibi) Sei char (K) = 0, und sei C ⊆ ℙ^{d+1} eine integre Kurve, deren homogener Koordinatenring ein Cohen-Macaulay Ring ist. Ferner sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein generischer Hyperebenenschnitt von C, d.h. es sei 𝕏 = C ∩ H ⊆ H ≅ ℙ^{d} mit einer generisch gewählten Hyperebene H ⊆ ℙ^{d+1}. Dann ist die Hilbert-Funktion von 𝕏 makellos.

Ausgehend von unserem Beispiel 8.1 gelang es G. Niesi und L. Robbiano in [NR], 2.3 jedoch, diese Vermutung wie folgt zu widerlegen.

11.17. Beispiel. Sei char (K) = 0. Wir betrachten die Kurve

\begin{matrix}C = & Z(X_{1}X_{2} − X_{3}X_{4}, X_{1}^{3} − X_{2}X_{4}^{2}, X_{1}^{2}X_{3} − X_{2}^{2}X_{4}, X_{2}^{3} − X_{1}X_{3}^{2}, X_{1}^{2}X_{3}^{3} + X_{1}X_{4}^{4} \\ + X_{0}X_{4}^{4} + X_{4}^{5}, X_{2}X_{3}^{4} + X_{1}^{2}X_{4}^{3} + X_{1}X_{4}^{4}, X_{3}^{5} + X_{0}X_{1}^{2}X_{4}^{2} + X_{1}^{2}X_{4}^{3} + X_{2}X_{4}^{4}) ⊆ ℙ^{4}. \end{matrix}

Wie man z.B. mit Hilfe von CoCoA (vgl. [CNR]) nachweisen kann, ist C eine integre Kurve, deren homogener Koordinatenring S ein Cohen-Macaulay Ring ist. Ferner gilt H_{S} : 1 5 14 27 44 62 80 ⋯, und somit ΔH_{𝕏} : 1 3 5 4 4 1 für jeden generischen Hyperebenenschnitt 𝕏 = C ∩ H von C. Also ist H_{𝕏} nicht makellos und die Vermutung 11.16 ist falsch.

Wenn man in der Vermutung 11.16 zusätzlich voraussetzt, daß die Kurve C arithmetisch Gorenstein sein soll, so stellt sie wegen Satz 11.15 offenbar eine Folgerung aus unserer Vermutung 11.12 dar. Wir schließen mit einem positiven Ergebnis in dieser Richtung. In [RRR] haben L. Reid, L.G. Roberts und M. Roitman nämlich gezeigt, daß die Vermutung 11.16 richtig ist, wenn man zusätzlich voraussetzt, daß die Kurve C ein vollständiger Durchschnitt in ℙ^{d+1} ist. Allgemeiner beweisen sie den folgenden Satz.

11.18. Satz. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionaler vollständiger Durchschnitt, so ist die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏} von 𝕏 unimodal und symmetrisch.

12. Hyperebenenschnitte von Kurven

In diesem Abschnitt sei C ⊆ ℙ^{d+1} eine integre Kurve, und 𝕏 = C ∩ H ⊆ H ≅ ℙ^{d} sei ein generischer Hyperebenenschnitt von C. Der Satz von der uniformen Lage (vgl. Satz 7.1) besagt, daß 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Schema in uniformer Lage darstellt, wenn char (K) = 0 ist. Der Beweis dieses Satzes verwendet topologische Argumente (vgl. [ACGH], S. 111) und kann ohne Einschränkungen nicht auf den Fall char (K) > 0 verallgemeinert werden (vgl. [R]). Wir vermuten aber, daß 𝕏 stets ein Cayley-Bacharach Schema ist und wollen dies nun in einer möglichst allgemeinen Situation beweisen. Das zugrunde liegende Material stammt im reduzierten Fall aus [K1], §5 und im nicht notwendig reduzierten Fall aus [K3], §2.

Der homogene Koordinatenring von C ⊆ ℙ^{d+1} sei S = K[Y_{0}, …, Y_{d+1}]/I_{C}, und ℓ ∈ S_{1} sei das Bild der Gleichung von H in S. Dann ist der homogene Koordinatenring von 𝕏 gegeben durch R = (S/ℓS)/H_{𝔫}^{0}(S/ℓS), wobei 𝔫 das Bild von (Y_{0}, …, Y_{d+1}) in S ist. Der graduierte S-Modul

M = H_{𝔫}^{1}(S) ≅ H_{∗}^{1}(ℙ^{d+1}, J_{C})

heißt der Hartshorne-Rao Modul von C, und der endlich erzeugte graduierte S-Modul

ω_{S} = \underline{Hom}_{K}(H_{𝔫}^{2}(S), K) ≅ \underline{Ext}_{K[Y_{0},...,Y_{d+1}]}^{d}(S, K[Y_{0}, …, Y_{d+1}])(−d − 2)

heißt der kanonische Modul von S. In Analogie zur Invariante σ_{𝕏} definieren wir auch die Zahl

σ_{C} = max{i ∈ ℤ | H^{1}(C, O_{C}(i) ≠ 0} = max{i ∈ ℤ | H_{𝔫}^{2}(S)_{i} ≠ 0}
= − min{i ∈ ℤ | (ω_{S})_{i} ≠ 0}.

Der Zusammenhang zwischen den kanonischen Moduln ω_{R} und ω_{S} wird durch den folgenden Satz beschrieben.

12.1. Satz. (Die fundamentale exakte Sequenz)

Es gibt eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ (ω_{S}/ℓ · ω_{S})(1) ⟶ ω_{R} ⟶ (M/ℓ · M)^{∗} ⟶ 0.

Hierbei bezeichnet (–)^{∗} den Funktor \underline{Hom}_{K}(–, K).

Beweis: Sei T = S/ℓ · S. Wegen R = T/H_{𝔫}^{0}(T) gilt dann H_{𝔪}^{1}(R) ≅ H_{𝔫}^{1}(T), und folglich ω_{R} ≅ ω_{T} (vgl. [GW]). Wenden wir auf die lange exakte Sequenz lokaler Kohomologiemoduln

0 ⟶ H_{𝔫}^{0}(T) ⟶ H_{𝔫}^{1}(S)(−1) ⟶^{ℓ} H_{𝔫}^{1}(S) ⟶ H_{𝔫}^{1}(T) ⟶ H_{𝔫}^{2}(S)(−1) ⟶^{ℓ} H_{𝔫}^{2}(S) ⟶ 0

den Funktor (–)^{∗} an, so erhalten wir eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ ω_{S} ⟶^{ℓ} ω_{S}(1) ⟶ ω_{R} ⟶ M^{∗} ⟶^{ℓ} M^{∗}(1) ⟶ H_{𝔫}^{0}(T)^{∗} ⟶ 0.

Beachten wir nun (M/ℓ · M)^{∗} ≅ ker(M^{∗} ⟶^{ℓ} M^{∗}(1)), so brauchen wir letztere Sequenz nur noch aufzuspalten. □

Nach einigen Vorbereitungen können wir jetzt zum Beweis unserer Vermutung im Fall σ_{𝕏} = σ_{C} + 1 schreiten.

12.2. Lemma. a) Für jeden endlich erzeugten graduierten S-Modul N gilt {x ∈ N | ℓ · x = 0} ⊆ H_{𝔫}^{0}(N).

b) Es gilt Ass (ω_{S}) = {(0)}.

Beweis: Vgl. [K3], 2.2 und 2.3. □

12.3. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein generischer Hyperebenenschnitt einer integren Kurve C ⊆ ℙ^{d+1}, und es gelte σ_{𝕏} = σ_{C} + 1. Dann ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Wir wählen ein Element Φ ∈ (ω_{S})_{−σ_{C}} \{0}. Nach Lemma 12.2.b gilt Ass (S·Φ) ⊆ Ass (ω_{S}) = {(0)}, und daher

dim(S/Ann_{S}(Φ)) = max{dim S/𝔭 | 𝔭 ∈ Ass (S · Φ)} = 2.

Hieraus folgt Ann_{S}(Φ) = (0). Nun konstruieren wir das folgende kommutative Diagramm homogener R-linearer Abbildungen mit exakten Zeilen und Spalten.

0 ⟶  S(σ_{C})  ⟶^{Φ}  ω_{S}  ⟶  ω_{S}/S · Φ  ⟶ 0
↓^{μ_{ℓ}}  ↓^{μ′_{ℓ}}  ↓^{μ′′_{ℓ}}
0 ⟶ S(σ_{C} + 1) ⟶^{Φ}  ω_{S}(1)  ⟶  (ω_{S}/S · Φ)(1)  ⟶ 0
↓  ↓  ↓
(S/ℓ · S)(σ_{𝕏}) ⟶^{μ_{φ}} (ω_{S}/ℓ · ω_{S})(1) ⟶ ω_{S}/(S · Φ + ℓω_{S})(1) ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0  0  0

Sei φ das Bild von Φ in (ω_{S}/ℓ·ω_{S})(1). Wegen Lemma 12.2.a gilt ker μ′′_{ℓ} = {x ∈ ω_{S}/S·Φ | ℓ · x = 0} ⊆ H_{𝔫}^{0}(ω_{S}/S · Φ). Wenden wir das Schlangenlemma auf das obige Diagramm an und beachten wir, daß μ′_{ℓ} injektiv ist, so folgt ker μ_{ℓ} ⊆ H_{𝔫}^{0}(S/ℓ · S). Betrachten wir φ also via der fundamentalen exakten Sequenz 12.1 als Element von (ω_{R})_{−σ_{𝕏}}, so gilt Ann_{R}(φ) = (0). Nach Satz 5.8 ist 𝕏 damit ein Cayley-Bacharach Schema. □

Ist die Kurve C ⊆ ℙ^{d+1} zusätzlich arithmetisch Cohen-Macaulay, so vereinfacht sich die fundamentale exakte Sequenz 12.1 zu einem Isomorphismus ω_{R} ≅ (ω_{S}/ℓ · ω_{S})(1), und Satz 12.3 spezialisiert sich zu [K1], 5.1. Wegen Korollar 5.9 hat der vorstehende Satz Auswirkungen auf das Wachstum der Hilbert-Funktionen von generischen Hyperebenenschnitten von Kurven und von standard-graduierten Cohen-Macaulay Bereichen.

12.4. Korollar. a) Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein generischer Hyperebenenschnitt einer integren Kurve C ⊆ ℙ^{d+1}, und gilt σ_{𝕏} = σ_{C} + 1, so erfüllt die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 die Ungleichungen

ΔH_{𝕏}(0) + ⋯ + ΔH_{𝕏}(i) ≤ ΔH_{𝕏}(j − i) + ⋯ + ΔH_{𝕏}(j)

für alle 0 ≤ i ≤ j ≤ σ_{𝕏}+1. Insbesondere gelten diese Ungleichungen für die Castelnuovo-Funktionen generischer Hyperebenenschnitte integrer Kurven, die arithmetisch Cohen-Macaulay sind.

b) Ist k ein Körper mit unendlich vielen Elementen und R = ⊕_{i≥0}R_{i} ein standardgraduierter Cohen-Macaulay Bereich mit R_{0} = k, so erfüllt der h-Vektor (h_{0}, …, h_{m}) mit h_{i} = Δ^{dim R}H_{R}(i) und m = max{i ∈ ℤ | Δ^{dim R}H_{R}(i) ≠ 0} die Ungleichungen

h_{0} + ⋯ + h_{i} ≤ h_{j−i} + ⋯ + h_{j}

für alle 0 ≤ i ≤ j ≤ m.

Beweis: Teil a) folgt aus Korollar 5.9 bzw. [K1], 3.7 und Teil b) ist [K1], 5.3. □

Die Ungleichungen 12.4.b verallgemeinern diejenigen aus [S3], 2.1, allerdings unter der zusätzlichen Voraussetzung, daß R standard-graduiert ist. Wir veranschaulichen nun Satz 12.3 und Korollar 12.4 an einigen Beispielen.

12.5. Beispiel. Sei char (K) = p > 0, sei q = p^{e} mit e ≥ 1, und sei C ⊆ ℙ^{d+1} die durch

C = Z(Y_{0}^{q} − Y_{1}Y_{d+1}^{q−1}, Y_{1}^{q} − Y_{2}Y_{d+1}^{q−1}, …, Y_{d−1}^{q} − Y_{d}Y_{d+1}^{q−1})

definierte Varietät. Dann ist C eine integre Kurve, die den vollständigen Durschnitt von d Hyperflächen darstellt. Jeder generische Hyperebenenschnitt 𝕏 ⊆ ℙ^{d} von C ist isomorph zur Menge der 𝔽_{q}-rationalen Punkte eines d-dimensionalen affinen Raumes über 𝔽_{q} (vgl. [R], 1.2). Nach Satz 12.3 ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕏}= 1 (insbesondere kohomologisch uniform), und seine Castelnuovo-Funktion erfüllt die Ungleichungen von Korollar 12.4.a. Jedoch ist 𝕏 offensichtlich nicht in uniformer Lage.

12.6. Beispiel. Sei C ⊆ ℙ^{d+1} eine integre Kurve, deren homogener Koordinatenring ein Buchsbaum-Ring ist, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein generischer Hyperebenenschnitt von C. Bekanntlich wird der Hartshorne-Rao Modul M von C von seinen homogenen Elementen vom Grad ≤ σ_{C} + 2 erzeugt. Wegen 𝔫 · M = 0 bedeutet dies M_{i} = 0 für alle i > σ_{C} + 2. Angenommen, es gilt auch M_{σ_{C}+2} = 0. Dann haben wir (M/ℓ · M)_{−σ_{C}−2}^{∗} = 0 in der fundamentalen exakten Sequenz 12.1, und folglich

−σ_{𝕏} = min{i ∈ ℤ | (ω_{R})_{i} ≠ 0} = min{i ∈ ℤ | (ω_{S}/ℓ · ω_{S})(1)_{i} ≠ 0} = −σ_{C} − 1.

Also können wir Satz 12.3 anwenden und erhalten, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist und H_{𝕏} die Ungleichungen 12.4.a erfüllt.

Das nun folgende Beispiel zeigt, daß nicht jeder Hyperebenenschnitt einer integren Kurve ein Cayley-Bacharach Schema zu sein braucht, selbst wenn diese Kurve arithmetisch Cohen-Macaulay ist. Ist eine integre Kurve aber sogar arithmetisch Gorenstein, so sind selbstverständlich alle Hyperebenenschnitte wieder arithmetisch Gorenstein und insbesondere Cayley-Bacharach Schemata.

12.7. Beispiel. Sei char (K) = 0, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{7}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0dimensionale Unterschema mit P_{1} = (1:0:0), P_{2} = (1:0:1), P_{3} = (1:0:2), P_{4} = (1:1:0), P_{5} = (1:1:1), P_{6} = (1:1:2) und P_{7} = (1:2:0). Dann kann man leicht nachrechnen, daß 𝕏 kein Cayley-Bacharach Schema ist, denn es gilt H_{𝕏} : 1 3 6 7 7 ⋯, und für 𝕐 = 𝕏 \ {P_{7}} ist H_{𝕐} : 1 3 5 6 6 ⋯ mit H_{𝕐}(2) = 5 < 6 = min{H_{𝕏}(2), deg 𝕐}.

Andererseits wurde in [K1], 5.5 gezeigt, daß es eine integre Kurve C ⊆ ℙ^{3} gibt, die arithmetisch Cohen-Macaulay ist und 𝕏 als Hyperebenenschnitt besitzt.

Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts wollen wir noch einige Ergebnisse aus [K10] anführen, bei denen es um die Frage geht, welche Eigenschaften einer integren Kurve C ⊆ ℙ^{d+1} aus einem ihrer generischen Hyperebenenschnitte 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ablesbar sind. Genauer wurde in [K10] der folgende Satz von R. Strano (vgl. [Str], Thm. 6) analysiert und für den Fall positiver Grundkörpercharakteristik verallgemeinert.

12.8. Satz. Sei char (K) = 0, und sei C ⊆ ℙ^{3} eine integre Kurve, die nicht auf einer Quadrikenfläche liegt, und deren generischer Hyperebenenschnitt 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein vollständiger Durchschnitt ist. Dann ist C selbst ein vollständiger Durchschnitt.

Den Kern unserer Version des Beweises dieses Satzes bilden mehrere Teilbarkeitseigenschaften des Hartshorne-Rao Moduls M einer integren, nicht ausgearteten Raumkurve C ⊆ ℙ^{3}, deren erste wir sogleich beschreiben. Wir erinnern an die bekannte Tatsache, daß M ein endlich-dimensionaler K-Vektorraum ist (vgl. [K10], 2.1).

12.9. Satz (Erste Teilbarkeitseigenschaft des Hartshorne-Rao Moduls)

Sei M der Hartshorne-Rao Modul einer integren, nicht ausgearteten Raumkurve C ⊆ ℙ^{3}, und sei ℓ ∈ S_{1} eine generisch gewählte Linearform. Für alle i ≥ 1, alle j ∈ {1, …, i}, alle Elemente m ∈ M_{j−i} mit ℓ^{i} · m = 0 und alle Linearformen ℓ′ ∈ S_{1} gilt dann (ℓ′)^{j} · m ∈ ℓ · M.

Insbesondere liegt also die Restklasse jedes Elements m ∈ M_{i} mit ℓ · m = 0 im Sockel des S-Moduls M/ℓ · M.

Beweis: Vgl. [K10], 2.2. □

Im Beweis der zweiten Teilbarkeitseigenschaft tritt ein Punkt auf, an dem wir eine (allerdings schwache) Voraussetzung über die Charakteristik des Grundkörpers brauchen. Bei vorgegebenem i ≥ 1 erzeugen nämlich die Potenzen ℓ^{j} von Linearformen ℓ ∈ K[X_{1}, X_{2}, X_{3}]_{1} genau dann für jedes j ∈ {1, …, i} den K-Vektorraum K[X_{1}, X_{2}, X_{3}]_{j}, wenn char (K) = 0 oder char (K) > i gilt (vgl. [K10], 2.5).

12.10. Satz. (Zweite Teilbarkeitseigenschaft des Hartshorne-Rao Moduls)

Sei M der Hartshorne-Rao Modul einer integren, nicht ausgearteten Raumkurve C ⊆ ℙ^{3}, und sei ℓ ∈ S_{1} eine generisch gewählte Linearform. Ferner sei i ≥ 1, sei j ∈ {1, …, i}, sei char (K) = 0 oder char (K) > j, und der kanonische Modul ω_{R} des generischen Hyperebenenschnitts 𝕏 = C ∩ H ⊆ H ≅ ℙ^{2} habe keine minimalen Erzeuger in den Graden −i + 1, …, −i + j. Dann ist jedes Element m ∈ M_{i−j} mit ℓ^{j} · m = 0 von der Form m = ℓ · m′ mit m′ ∈ M_{i−j−1}.

Beweis: Vgl. [K10], 2.6. □

12.11. Korollar. Gelten die Voraussetzungen des Satzes mit j = i − 1, so ist die Multiplikationsabbildung M_{i−1} ⟶^{ℓ} M_{i} injektiv.

Beweis: Man braucht Satz 12.10 nur nacheinander mit j = 1, …, i − 1 anzuwenden und erhält m = ℓ^{i−1} · m′ mit m′ ∈ M_{0} = {0}. □

Die beiden Teilbarkeitseigenschaften des Hartshorne-Rao Moduls wurden unabhängig auch von C. Huneke und B. Ulrich formuliert, verallgemeinert und als Sockellemma bezeichnet (vgl. [HU], 3.11). Sie ermöglichen den folgenden kurzen Beweis des Satzes von Strano.

12.12. Satz. Sei C ⊆ ℙ^{3} eine integre, nicht ausgeartete Kurve, seien 3 ≤ s ≤ t, sei char (K) = 0 oder char (K) ≥ t, und ein generischer Hyperebenenschnitt 𝕏 = C ∩ H ⊆ H ≅ ℙ^{2} von C sei der vollständige Durchschnitt einer Kurve vom Grad s und einer Kurve vom Grad t. Dann ist C selbst der vollständige Durchschnitt einer Fläche vom Grad s und einer Fläche vom Grad t.

Beweis: Wegen ω_{R} ≅ R(s+t−3) hat der kanonische Modul ω_{R} von 𝕏 keinen minimalen Erzeuger vom Grad ≥ −s − t + 4, so daß die Multiplikationsabbildungen M_{i−1} ⟶^{ℓ} M_{i} nach Korollar 12.11 für i ≤ t injektiv sind. Daher sind die kanonischen Abbildungen H^{0}J_{C}(i) ⟶ H^{0}J_{𝕏}(i) für i ≤ t surjektiv, und wir erhalten aus den Liftungen der Gleichungen der beiden Kurven zwei Gleichungen von Flächen in ℙ^{3}, die einen vollständigen Durchschnitt definieren, der C enthält. Wegen deg C = deg X = st ist C dann gleich diesem vollständigen Durchschnitt. □

Die Version 12.8 dieses Satzes erhält man nun durch eine leichte Fallunterscheidung (vgl. [K10], 3.2). Strano’s Resultat wurde inzwischen – hauptsächlich mit Hilfe des Sockellemmas – auf eine Reihe von Arten verallgemeinert:

1) für höherdimensionale Varietäten, deren generischer Hyperebenenschnitt ein vollständiger Durchschnitt ist, von R. Re (vgl. [Re], Thm. 2),

2) für Kurven, deren generischer Hyperebenenschnitt arithmetisch Gorenstein ist, von C. Huneke und B. Ulrich (vgl. [HU], 3.20),

3) für Kurven, deren generische Hyperflächenschnitte vollständige Durchschnitte oder arithmetisch Gorenstein sind, von C. Migliore (vgl. [M], 2.4 und 3.5),

4) und für Kurven, deren generischer Hyperebenenschnitt ein Level-Schema ist, von J. Migliore und U. Nagel (vgl. [MN], 2.3).

Schließlich erwähnen wir noch die nachstehende Folgerung aus Korollar 5.13, Satz 12.3 und Satz 12.12.

12.13. Korollar. Sei C ⊆ ℙ^{3} eine integre, nicht ausgeartete Kurve, die nicht in einer Quadrikenfläche enthalten ist, und sei char (K) = 0 oder char (K) > \frac{1}{3} deg C. Ein generischer Hyperebenenschnitt X von C erfülle σ_{𝕏} = σ_{C} + 1 und habe eine symmetrische Hilbert-Funktion. Dann ist die Kurve C ein vollständiger Durchschnitt.

13. Freie Auflösungen

In diesem Abschnitt sei weiterhin 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit homogenem Koordinatenring R und kanonischem Modul ω_{R}. Betrachtet man R = A/I_{𝕏} als graduierten Modul über A = K[X_{0}, …, X_{d}], so kann man die minimale graduiertfreie Auflösung

(∗) 0 → ⨁_{i=1}^{β_{d}} A(−α_{di}) ⟶^{Φ_{d}} ⨁_{i=1}^{β_{d−1}} A(−α_{d−1 i}) → ⋯ → ⨁_{i=1}^{β_{1}} A(−α_{1i}) ⟶^{Φ_{1}} A → R → 0

bilden. Diese Auflösung bricht nach d Schritten ab, weil R ein 1-dimensionaler Cohen-Macaulay Ring ist. Die Zahlen β_{1}, …, β_{d} ∈ ℕ heißen dabei die graduierten Betti-Zahlen von 𝕏, und die Zahlen α_{ij} nennen wir die Gradverschiebungen von 𝕏. In jedem graduiert-freien A-Modul dieser Auflösung numerieren wir die Gradverschiebungen so, daß für i = 1, …, d gilt α_{i1} ≤ ⋯ ≤ α_{iβ_{i}}. Die zu Φ_{i} gehörige Matrix homogener Polynome bezeichen wir für i = 1, …, d mit 𝔄_{i}.

Da die Auflösung (∗) minimal ist, haben für i = 1, …, d alle Einträge von 𝔄_{i} einen positiven Grad. Insbesondere gilt α_{11} < α_{21} < ⋯ < α_{d1}, wobei α_{11} = α_{𝕏} = min{i ∈ ℕ | (I_{𝕏})_{i} ≠ {0}} ist. Nun dualisieren wir die Auflösung (∗) durch Anwendung des Funktors \underline{Hom}_{A}(–, A) und beachten

\underline{Ext}_{A}^{i}(R, A) ≅ \{ \begin{matrix}0 & für i = 0, …, d−1, \\ ω_{R}(d+1) & für i = d. \end{matrix}

(vgl. [GW], 2.1.6 und 2.2.9). Folglich erhalten wir eine exakte Sequenz graduierter A-Moduln und homogener A-linearer Abbildungen

(∗∗) 0 → A ⟶^{Φ_{ˇ 1}} ⨁_{i=1}^{β_{1}} A(α_{1i}) → ⋯ → ⨁_{i=1}^{β_{d−1}} A(α_{d−1 i}) ⟶^{Φ_{ď}} ⨁_{i=1}^{β_{d}} A(α_{di}) → ω_{R}(d + 1) → 0,

die eine minimale graduiert-freie Auflösung von ω_{R}(d+1) darstellt, da in den Matrizen 𝔄_{i}^{transp.} der Abbildungen Φ_{ǐ} für i = 1, …, d nur homogene Polynome positiven Grades stehen. Es ergibt sich α_{1β_{1}} < ⋯ < α_{dβ_{d}} = σ_{𝕏} + d + 1.

Unser Ziel ist es nun, mit Hilfe der Modulstruktur von ω_{R} zu charakterisieren, wann die Auflösungen (∗) bzw. (∗∗) eine besonders einfache Gestalt haben. Dazu wollen wir Bedingungen untersuchen, die besagen, daß an jeder Stelle der Auflösung nur sehr wenige Gradverschiebungen α_{ij} auftreten. Als Anwendung finden wir wieder Ungleichungen für die Hilbert-Funktionen gewisser 0-dimensionaler Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}. Das Material für diese Ausführungen stammt aus [K2], §5.

13.1. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei n ≥ 1.

a) Wir sagen, 𝕏 habe eine Auflösung von der Ordnung n, wenn für i = 1, …, d gilt α_{iβ_{i}} ≤ α_{𝕏} + i + n − 2. Im Fall n = 1 sagen wir insbesondere, 𝕏 habe eine lineare Auflösung.

b) Wir sagen, die Auflösung von 𝕏 sei fast von der Ordnung n, wenn für i = 1, …, d − 1 gilt α_{iβ_{i}} ≤ α_{𝕏} + i + n − 2. Im Fall n = 1 sagen wir dabei, 𝕏 habe eine fast lineare Auflösung.

Der nachfolgende Satz charakterisiert diese Bedingungen jeweils durch eine einzige Ungleichung.

13.2. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei n ≥ 1.

a) Genau dann hat 𝕏 eine Auflösung von der Ordnung n, wenn σ_{𝕏} ≤ α_{𝕏} + n − 3 gilt.

b) Genau dann ist die Auflösung von 𝕏 fast von der Ordnung n, wenn α_{d−1 β_{d−1}} ≤ α_{𝕏} + n + d − 3 gilt.

Beweis: Wir brauchen offenbar jeweils nur die Richtung “⇐” zu beweisen. Aus α_{dβ_{d}} = σ_{𝕏} + d + 1 ≤ α_{𝕏} + d + n − 2 und α_{dβ_{d}} ≥ α_{d−1 β_{d−1}} + 1 ≥ ⋯ ≥ α_{1β_{1}} + d − 1 erhalten wir Behauptung a), und Behauptung b) folgt aus α_{1β_{1}} < ⋯ < α_{d−1 β_{d−1}} ≤ α_{𝕏} + n + d − 3.

□

Im Fall n = 1 ergibt sich hieraus ein Resultat von P. Schenzel (vgl. [Sch], Thm. A).

13.3. Korollar. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 hat eine lineare Auflösung.

b) Es gilt σ_{𝕏} = α_{𝕏} − 2.

c) Für alle i ∈ ℕ gilt H_{𝕏}(i) = min\{\binom{i+d}{d}, \binom{α_{𝕏}+d−1}{d}\}.

Insbesondere gilt in diesem Fall deg 𝕏 = \binom{α_{𝕏}+d−1}{d} = \binom{σ_{𝕏}+d+1}{d}.

Beweis: Zum Beweis der Äquivalenz von a) und b) brauchen wir auf Grund des Satzes nur σ_{𝕏} ≥ α_{𝕏} − 2 zu beweisen. Dies folgt aus

σ_{𝕏} = α_{dβ_{d}} − d − 1 ≥ α_{d 1} − d − 1 ≥ α_{d−1 1} − d ≥ ⋯ ≥ α_{1 1} − 2 = α_{𝕏} − 2.

Da Bedingung c) offensichtlich b) impliziert, müssen wir noch zeigen, daß sie aus a) und b) folgt. Aus der Präsentation

A(−α_{𝕏})^{β_{1}} ⟶ A ⟶ R ⟶ 0

erhalten wir H_{𝕏}(i) = \binom{i+d}{d} für 0 ≤ i ≤ α_{𝕏} − 1. Dies liefert zusammen mit deg 𝕏 = H_{𝕏}(σ_{𝕏} + 1) = H_{𝕏}(α_{𝕏} − 1) = \binom{α_{𝕏}+d−1}{d} die Behauptung. □

Für 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit linearer Auflösung ist durch dieses Korollar eine zufriedenstellende Beschreibung gefunden. Unser nächster Satz charakterisiert nun die Schemata 𝕏, die eine fast lineare Auflösung haben, an Hand der Struktur ihres kanonischen Moduls ω_{R}.

13.4. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei {φ_{1}, …, φ_{β_{d}}} mit φ_{i} ∈ (ω_{R})_{−α_{di}+d+1} für i = 1, …, β_{d} ein minimales Erzeugendensystem des kanonischen Moduls ω_{R} von 𝕏. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 hat eine fast lineare Auflösung.

b) Sind für i = 1, …, β_{d} Elemente r_{i} ∈ R_{α_{di}−α_{𝕏}−d+1} gegeben mit r_{1}φ_{1} + ⋯ + r_{β_{d}}φ_{β_{d}} = 0, so folgt r_{1} = ⋯ = r_{β_{d}} = 0.

Insbesondere sind in diesem Fall für i = 0, …, σ_{𝕏} − α_{𝕏} + 2 die Multiplikationsabbildungen R_{i} ⊗ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i} injektiv.

Beweis: Zuerst zeigen wir, daß Bedingung b) aus a) folgt. Der letzte Teil der Auflösung (∗∗) hat in der vorliegenden Situation die Gestalt

⨁_{i=1}^{β_{d−1}} A(α_{𝕏} − 3) ⟶ ⨁_{i=1}^{β_{d}} A(α_{d i} − d − 1) ⟶^{ϵ} ω_{R} ⟶ 0.

Für K = ker ϵ ⊆ ⊕_{i=1}^{β_{d−1}}A(α_{𝕏} − 3) gilt K_{−α_{𝕏}+2} = 0, und dies bedeutet nichts anderes als Bedingung b) aussagt. Zum Beweis der umgekehrten Richtung betrachten wir wiederum die aus (∗∗) abgeleitete Präsentation

⨁_{i=1}^{β_{d−1}} A(α_{d−1 i} − d − 1) ⟶ ⨁_{i=1}^{β_{d}} A(α_{d i} − d − 1) ⟶^{ϵ} ω_{R} ⟶ 0

von ω_{R} und setzen K = ker ϵ. Die Voraussetzung liefert K_{−α_{𝕏}+2} = 0. Also gilt −α_{d−1 i}+ d+1 > −α_{𝕏}+2 für i = 1, …, β_{d−1}, und insbesondere ist α_{d−1 β_{d−1}} ≤ α_{𝕏}+d−2. Nun folgt die Behauptung aus Satz 13.2.b. Die Zusatzbehauptung ist eine einfache Konsequenz von Bedingung b). □

Der A-Modul K = ker ϵ, der in diesem Beweis auftritt, ist der erste Syzygienmodul des kanonischen Moduls, den wir im nächsten Abschnitt im reduzierten Fall genauer analysieren werden. Eine analoge Charakterisierung mit Hilfe der Modulstruktur von ω_{R} hat man auch für Auflösungen, die fast von höherer Ordnung sind (vgl. [K2], 5.4). In allen Fällen ergeben sich wieder Ungleichungen, die das Wachstum der Hilbert-Funktion von 𝕏 kontrollieren (vgl. [K2], 5.5), und die im Fall fast linearer Auflösungen folgendermaßen lauten.

13.5. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit fast linearer Auflösung. Dann gilt

Δ_{𝕏} · H_{𝕏}(i) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) ≤ deg 𝕏

für i = 1, …, σ_{𝕏} − α_{𝕏} + 2.

Beweis: Aus der Injektivität der Abbildungen R_{i} ⊗ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i} für i = 1, …, σ_{𝕏} − α_{𝕏} + 2 folgt deg 𝕏 − H_{𝕏}(σ_{𝕏} − i) = dim_{K}(ω_{R})_{−σ_{𝕏}+i} ≥ H_{𝕏}(i) · Δ_{𝕏}, also die Behauptung. □

Wir betrachten noch einmal das reduzierte 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{2} aus den Beispielen 6.12 und 7.5.

13.6. Beispiel. Sei char (K) = 0 oder char (K) > 7, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema aus Beispiel 6.12. Dann ist die minimale graduiert-freie Auflösung von R gegeben durch

0 ⟶ A^{2}(−5) ⊕ A(−6) ⟶ A^{4}(−4) ⟶ A ⟶ R ⟶ 0.

Also hat 𝕏 eine fast lineare Auflösung, und die Multiplikationsabbildung R_{1}⊗(ω_{R})_{−3} ⟶ (ω_{R})_{−2} ist nach Satz 13.4 injektiv. Die Hilbert-Funktion H_{𝕏} von 𝕏 erfüllt auch die Ungleichung von Korollar 13.5, denn es gilt

Δ_{𝕏} · H_{𝕏}(1) + H_{𝕏}(σ_{𝕏} − 1) = 9 ≤ 11 = deg 𝕏.

Fassen wir alle Informationen, die wir über dieses Schema gewonnen haben, zusammen, so erhalten wir ein klares Bild von der Modulstruktur des kanonischen Moduls ω_{R} in den nichtpositiven Graden:

1) Für i = 1, 2, 3 ist die Multiplikationsabbildung R_{i} ⊗ (ω_{R})_{−3} ⟶ (ω_{R})_{−3+i} injektiv.

2) Für i = 1, 2 ist die Multiplikationsabbildung R_{1} ⊗ (ω_{R})_{−i} ⟶ (ω_{R})_{−i+1} biinjektiv, aber nicht injektiv.

3) Die Multiplikationsabbildung R_{2} ⊗ (ω_{R})_{−2} ⟶ (ω_{R})_{0} ist nicht ausgeartet, aber weder biinjektiv noch injektiv.

Zum Schluß betrachten wir noch einen Fall von 0-dimensionalen Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, deren Auflösung fast von höherer Ordnung ist. Da die Auflösung von 𝕏 stets fast von der Ordnung σ_{𝕏} − α_{𝕏} + 3 ist, stellt die nächst niedrigere Ordnung den letzten nichttrivialen Fall dar.

13.7. Satz. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 hat eine Auflösung, die fast von der Ordnung σ_{𝕏} − α_{𝕏} + 2 ist.

b) Es gilt α_{d−1 β_{d−1}} ≤ σ_{𝕏} + d − 1.

c) Die Multiplikationsabbildung R_{1} ⊗ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} ⟶ (ω_{R})_{−σ_{𝕏}+1} ist injektiv.

Beweis: Die Äquivalenz der Bedingungen a) und b) folgt aus Satz 13.2.b. Übersetzt man Bedingung b) wie im Beweis von Satz 13.4 in eine Eigenschaft des Syzygienmoduls von ω_{R}, so besagt sie, daß die Elemente von (ω_{R})_{−σ_{𝕏}} keine nichttrivialen linearen Syzygien besitzen. Dies ist offenbar äquivalent mit Bedingung c). □

Noch einmal erhalten wir Folgerungen für die Hilbert-Funktionen solcher 0-dimen-sionaler Schemata.

13.8. Korollar. a) Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes 0-dimensionales Unterschema, dessen Auflösung fast von der Ordnung σ_{𝕏} − α_{𝕏} + 2 ist, so gilt ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏}) ≥ d · Δ_{𝕏}.

b) Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein nicht ausgeartetes 0-dimensionales Unterschema, dessen homogenes Verschwindungsideal I_{𝕏} von homogenen Elementen vom Grad ≤ σ_{𝕏} + 1 erzeugt wird, so gilt ΔH_{𝕏}(σ_{𝕏}) ≥ 2 · Δ_{𝕏}.

Beweis: Behauptung a) folgt aus [K2], 5.5, und Behauptung b) ist eine Konsequenz von a), wenn man beachtet, daß für Unterschemata von ℙ^{2} die freie Auflösung besonders kurz ist. □

14. Der Syzygienmodul des kanonischen Ideals

Wenn wir von einem nicht ausgearteten, reduzierten, 0-dimensionalen Schema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} ausgehen, das σ_{𝕏} = 1 erfüllt und kohomologisch uniform ist, so haben wir auf Grund der Korollare 3.10 und 3.11 explizite Basen der beiden nichttrivialen homogenen Komponenten ℑ_{2} sowie ℑ_{3} des kanonischen Ideals ℑ = ℑ_{R/K[x_{0}]} ⊆ R, deren erstere nach Satz 8.13 sogar ein minimales Erzeugendensystem des R-Moduls ℑ darstellt. Diese Situation wollen wir im folgenden stets voraussetzen, und ebenso die Notationen, die in den Abschnitten 1, 3 und 8 eingeführt wurden. Unser Ziel ist, ein explizites homogenes Erzeugendensystem des ersten Syzygienmoduls des R-Moduls ℑ zu finden. Als Anwendung geben wir im Fall s = d + 3 ein Kriterium dafür an, wann dieser Syzygienmodul von seinen homogenen Elementen kleinsten Grades erzeugt wird und vergleichen dieses mit den analogen Resultaten von M.P. Cavaliere, M.E. Rossi und G. Valla für den Syzygienmodul des A-Moduls ℑ (vgl. [CRV2]). Außerdem beschreiben wir einen effektiven Weg, wie man den Syzygienmodul von ℑ mit einem Computer berechnen kann. Die Ausführungen dieses Abschnitts beruhen auf [K4], §4.

Die Hilbert-Funktion von 𝕏 ist gegeben durch H_{𝕏} : 1 d+1 s s ⋯, und die Hilbert-Funktion von ℑ ist H_{ℑ} : 0 0 s−d−1 s−1 s s · · ·. Gemäß Korollar 3.10 ist {π_{1}, …, π_{Δ}} eine K-Basis von ℑ_{2}, wobei Δ = s−d−1 gilt. Da 𝕏 kohomologisch uniform ist, folgt aus Satz 8.13, daß die Elemente {π_{1}, …, π_{Δ}} sogar ein minimales Erzeugendensystem des R-Moduls ℑ bilden. Nun wählen wir ein generisches Element φ = c_{1}π_{1} +⋯+c_{Δ}π_{Δ} ∈ ℑ_{2} mit c_{1}, …, c_{Δ} ∈ K. Dann gilt φ = c_{1}f_{1} + ⋯ + c_{s}f_{s} mit c_{Δ+j} = c_{1}β_{j 1} + ⋯ + c_{Δ}β_{j Δ} für j = 1, …, s−Δ. Hierbei können wir o.E. annehmen, daß c_{1} ≠ 0, …, c_{s} ≠ 0 gilt. Nach einem generischen Koordinatenwechsel haben wir nach Satz 9.9 auch

ℑ_{3} = R_{1} · φ ⊕ K · x_{0}π_{2} ⊕ ⋯ ⊕ K · x_{0}π_{Δ}.

Also existieren eindeutige Elemente ℓ_{ij} ∈ R_{1} und λ_{ij}^{(2)}, …, λ_{ij}^{(Δ)} ∈ K, so daß für i = 1, …, d und j = 2, …, Δ gilt

x_{i}π_{j} = ℓ_{ij}φ + λ_{ij}^{(2)}x_{0}π_{2} + ⋯ + λ_{ij}^{(Δ)}x_{0}π_{Δ}.

Da {φ, π_{2}, …, π_{Δ}} ebenfalls ein minimales Erzeugendensystem des R-Moduls ℑ darstellt, können wir diese Gleichungen benützen, um den ersten Syzygienmodul

Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) = {(r_{1}, …, r_{Δ}) ∈ R(−2)^{Δ} | r_{1}φ + r_{2}π_{2} + ⋯ + r_{Δ}π_{Δ} = 0}

von ℑ explizit zu beschreiben. Abkürzend setzen wir S_{R} = Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}).

14.1. Bemerkungen. a) Aus der exakten Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) ⟶ R(−2)^{Δ} ⟶^{ϵ} ℑ ⟶ 0

mit ϵ(e_{1}) = φ und ϵ(e_{i}) = π_{i} für i = 2, …, Δ erhalten wir die Hilbert-Funktion H_{S_{R}} des Syzygienmoduls Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}). Es gilt

H_{S_{R}} : 0 0 0 (Δ−1)d (Δ−1)s (Δ−1)s · · · .

b) Die Elemente

σ_{ij} = (ℓ_{ij}, λ_{ij}^{(2)}x_{0}, …, λ_{ij}^{(j−1)}x_{0}, λ_{ij}^{(j)}x_{0} − x_{i}, λ_{ij}^{(j+1)}x_{0}, …, λ_{ij}^{(Δ)}x_{0}) ∈ R(−2)^{Δ}

mit 1 ≤ i ≤ d und 2 ≤ j ≤ Δ bilden eine K-Basis von (S_{R})_{3}, denn sie sind offenbar K-linear unabhängig, und es gilt H_{S_{R}}(3) = (Δ−1)d.

c) Wir betrachten auch den Syzygienmodul

S_{A} = Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) = {(F_{1}, …, F_{Δ}) ∈ A(−2)^{Δ} | F_{1}φ + F_{2}π_{2} + ⋯ + F_{Δ}π_{Δ} = 0}.

Tensorieren wir die exakte Sequenz graduierter A-Moduln

0 ⟶ Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) ⟶ A(−2)^{Δ} ⟶ ℑ ⟶ 0

mit R, so liefert dies eine exakte Sequenz graduierter R-Moduln

0 ⟶ Tor_{A}^{1}(ℑ, R) ⟶ Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) ⊗_{A} R ⟶ Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) ⟶ 0.

Insbesondere gilt H_{S_{A}}(3) = (Δ−1)d = H_{S_{R}}(3), so daß die Urbilder

Σ_{ij} = (L_{ij}, λ_{ij}^{(2)}X_{0}, …, λ_{ij}^{(j)}X_{0} − X_{i}, …, λ_{ij}^{(Δ)}X_{0}) ∈ A(−2)^{Δ}

mit L_{ij} ∈ A_{1} für 1 ≤ i ≤ d und 2 ≤ j ≤ Δ der Elemente σ_{ij} ∈ R(−2)^{Δ} eine K-Basis von (S_{A})_{3} bilden.

d) Aus der kurzen exakten Sequenz 0 ⟶ I_{𝕏} ⟶ A ⟶ R ⟶ 0 erhalten wir eine lange exakte Sequenz graduierter A-Moduln

0 ⟶ Tor_{A}^{1}(ℑ, R) ⟶ I_{𝕏} ⊗_{A} ℑ ⟶ ℑ ⟶^{id} ℑ ⟶ 0,

mit deren Hilfe wir Tor_{A}^{1}(ℑ, R) ≅ I_{𝕏} ⊗_{A} R ⊗_{R} ℑ ≅ I_{𝕏}/I_{𝕏}^{2} ⊗_{R} ℑ berechnen. Folglich liefert die exakte Sequenz aus c) im Grad vier eine kurze exakte Sequenz endlich-dimensionaler K-Vektorräume

0 ⟶ (I_{𝕏})_{2} ⊗ ℑ_{2} ⟶^{ı} Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ})_{4} ⟶ Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ})_{4} ⟶ 0,

wobei ı gegeben ist durch ı(F_{1} ⊗ φ + F_{2} ⊗ π_{2} + ⋯ + F_{Δ} ⊗ π_{Δ}) = (F_{1}, …, F_{Δ}) für F_{1}, …, F_{Δ} ∈ (I_{𝕏})_{2}.

Unser nächstes Ziel ist es herauszufinden, wie groß der Teil von Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ})_{4} ist, der von den Elementen Σ_{ij} mit 1 ≤ i ≤ d und 2 ≤ j ≤ Δ erzeugt wird.

14.2. Satz. a) Die Menge {Σ_{ij} | 1 ≤ i ≤ d, 2 ≤ j ≤ Δ} erzeugt einen K-Untervektorraum von Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ})_{4}, der mindestens (Δ − 1)(\frac{1}{2}d^{2} + \frac{3}{2}d)-dimen-sional ist.

b) Der A-Modul Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) wird erzeugt von den Elementen

{Σ_{ij} | 1 ≤ i ≤ d, 2 ≤ j ≤ Δ} ∪ {(F, 0, …, 0) | F ∈ (I_{𝕏})_{2}} ∪ {Θ_{j} | 2 ≤ j ≤ Δ},

wobei Θ_{j} = (Q_{j}, 0, …, 0, −X_{0}^{2}, 0, …, 0) ∈ A(−2)^{Δ} ist mit einem Urbild Q_{j} ∈ A_{2} des eindeutig bestimmten Elements q_{j} ∈ R_{2}, für das x_{0}^{2}π_{j} = q_{j}φ gilt.

Beweis: Zuerst beweisen wir Behauptung a). Dazu sei ≤_{σ} die anti-lexikographische Termordnung auf A, bei der X_{0} <_{σ} X_{1} <_{σ} ⋯ <_{σ} X_{d} gilt. Dann definieren wir auf A(−2)^{Δ} eine Modultermordnung ≤_{τ} wie folgt. Sind Monome t_{1}, t_{2} ∈ A und Zahlen i, j ∈ {1, …, Δ} gegeben, so setzen wir t_{1}e_{i} ≤_{τ} t_{2}e_{j} genau dann, wenn eine von vier Bedingungen erfüllt ist:

1) i = j = 1 und t_{1} ≤_{σ} t_{2},

2) i = 1 und j > 1,
3) i > 1, j > 1 und t_{1} <_{σ} t_{2},
4) 1 < i ≤ j und t_{1} = t_{2}.

Wie man leicht nachprüft, stellt ≤_{τ} in der Tat eine Modultermordnung dar (vgl. [E], S. 324 oder [K9], §3). Die Leitterme der Elemente Σ_{ij} sind für 1 ≤ i ≤ d und 2 ≤ j ≤ Δ gegeben durch Lt_{τ} (Σ_{ij}) = (0, …, 0, −X_{i}, 0, …, 0). Bekanntlich gilt für den von diesen Elementen erzeugten A-Untermodul U = ⟨{Σ_{ij} | 1 ≤ i ≤ d, 2 ≤ j ≤ Δ}⟩ von A(−2)^{Δ} dann

dim_{K}(U_{4}) = dim_{K}(Lt_{τ} (U))_{4} ≥ dim_{K}⟨{Lt_{τ} (Σ_{ij}) | 1 ≤ i ≤ d, 2 ≤ j ≤ Δ}⟩_{4}

(vgl. z.B. [E], 15.26). Die letzte Zahl ist offenbar gerade (Δ − 1)(\frac{1}{2}d^{2} + \frac{3}{2}d).

Zum Beweis von Behauptung b) subtrahieren wir geeignete Vielfache der Syzygien Σ_{ij} von einer gegebenen Syzygie aus Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ})_{4} und sehen, daß sie auf die Form (F, γ_{2}X_{0}^{2}, …, γ_{Δ}X_{0}^{2}) mit F ∈ A_{2} und γ_{2}, …, γ_{Δ} ∈ K gebracht werden kann. Alsdann addieren wir ∑_{j=2}^{Δ} γ_{j}Θ_{j} und erhalten eine Syzygie der Form (G, 0, …, 0) mit G ∈ A_{2}. Wegen Ann_{R}(φ) = (0) muß dabei G ∈ (I_{𝕏})_{2} gelten. Also erzeugen die angegebenen Elemente den K-Vektorraum Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ})_{4}. Zusammen mit Bemerkung 14.1.c liefert dies die Behauptung, wenn wir beachten, daß der A-Modul Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) wegen σ_{𝕏} = 1 = α_{𝕏} − 1 und Satz 13.2.a von seinen homogenen Elementen vom Grad drei und vier erzeugt wird. □

Wenden wir den Epimorphismus aus der exakten Sequenz von Bemerkung 14.1.c auf Teil b) dieses Satzes an, so finden wir das gesuchte explizite homogene Erzeugendensystem von Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}). Für j = 2, …, Δ sei θ_{j} = (q_{j}, 0, …, 0, −x_{0}^{2}, 0, …, 0) das Bild der Syzygie Θ_{j} in R(−2)^{Δ} (vgl. Satz 14.2.b), also die der Relation x_{0}^{2}π_{j} = q_{j}φ entsprechende Syzygie.

14.3. Korollar. Der graduierte R-Modul Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) wird von den homogenen Elementen {σ_{ij} | 1 ≤ i ≤ d, 2 ≤ j ≤ Δ} vom Grad drei und den homogenen Elementen {θ_{j} | 2 ≤ j ≤ Δ} vom Grad vier erzeugt.

Offenbar sind die Elemente σ_{ij} hierbei minimale Erzeuger von Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}), während unklar ist, wie viele der Elemente θ_{2}, …, θ_{Δ} wirklich benötigt werden. Im Fall Δ = 2, d.h. im Fall von s = d + 3 Punkten in ℙ^{d} kommen wir in Wirklichkeit ohne die Elemente θ_{2}, …, θ_{Δ} aus.

14.4. Satz. Sei d ≥ 3 und 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensionales Unterschema vom Grad d + 3, das kohomologisch uniform ist und σ_{𝕏} = 1 erfüllt. Dann wird der R-Modul Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}) von seinen homogenen Elementen vom Grad drei erzeugt.

Beweis: Zur Vereinfachung der Notation schreiben wir x_{i}π_{2} = ℓ_{i}φ + λ_{i}x_{0}π_{2} mit ℓ_{i} ∈ R_{1} und λ_{i} ∈ K für i = 1, …, d. Ferner setzen wir σ_{i} = (ℓ_{i}, λ_{i}x_{0} − x_{i}) und bezeichnen mit q ∈ R_{2} das eindeutig bestimmte Element mit x_{0}^{2}π_{2} = qφ. Nach Korollar 14.3 müssen wir zeigen, daß (q, −x_{0}^{2}) ∈ ∑_{i=1}^{d} R_{1} · σ_{i} gilt. Wegen Ann_{R}(φ) = (0) bedeutet dies, daß wir beweisen müssen, daß x_{0}^{2} ein Element des Ideals J = (λ_{1}x_{0} − x_{1}, …, λ_{d}x_{0} − x_{d}) von R ist.

Als ersten Schritt weisen wir nach, daß nicht alle Elemente ℓ_{1}, …, ℓ_{d} ∈ R_{1} gleich null sein können. Andernfalls gilt (λ_{i}x_{0} − x_{i})π_{2} = 0 für i = 1, …, d, und aus der Gleichung π_{2} = f_{2} + β_{1 2}f_{3} + ⋯ + β_{d+1 2}f_{d+3} ersehen wir, daß J gleich dem Ideal 𝔭_{2} von P_{2} in R ist. Da 𝕏 nicht kohomologisch zerfällt, folgern wir aus Lemma 8.7, daß eines der Elemente β_{j 2} mit 1 ≤ j ≤ d+1 ungleich null sein muß. Da nicht alle Linearformen aus 𝔭_{2} am Punkt P_{j+2} verschwinden, gibt es ein k ∈ {1, …, d+1} mit (λ_{k}x_{0}−x_{k})(P_{j+2}) ≠ 0. Nun liefert (λ_{k}x_{0} − x_{k})π_{2}(P_{j+2}) = (λ_{k}x_{0} − x_{k})(P_{j+2})β_{j 2} = 0 aber einen Widerspruch.

Sei Q = (1:λ_{1}: …:λ_{d}) ∈ ℙ^{d}. Im nächsten Schritt zeigen wir, daß Q kein Punkt von 𝕏 sein kann. Angenommen, es wäre Q = P_{1}. Sei 𝔭_{1} ⊆ R das Ideal von P_{1} in R. Aus den drei Gleichungen ℓ_{i}φ + (λ_{i}x_{0} − x_{i})π_{2} = 0 und λ_{i}x_{0} − x_{i} ∈ J = 𝔭_{1} sowie π_{2} = f_{2} + β_{1 2}f_{3} + ⋯ + β_{d+1 2}f_{d+3} erhalten wir, daß im Ring R/𝔭_{1}^{2} gilt ℓ_{i}φ + 𝔭_{1}^{2} = 0. Weil nun die Restklasse von φ ∉ 𝔭_{1} in diesem Ring ein Nichtnullteiler ist, erhalten wir ℓ_{i} ∈ 𝔭_{1}^{2}. Dies kann aber nur für ℓ_{i} = 0 der Fall sein, denn ℓ_{i} hat Grad eins und 𝔭_{1}^{2} wird von homogenen Elementen vom Grad zwei erzeugt. Doch wie wir im ersten Schritt gesehen haben, kann nicht für alle i = 1, …, d gelten, daß ℓ_{i} = 0 ist.

Angenommen, es gilt nun Q ∈ {P_{2}, …, P_{s}}. Dann zeigt die Gleichung ℓ_{i}φ+(λ_{i}x_{0}− x_{i})π_{2} = 0, daß ℓ_{i} an den Punkten P_{1} und Q verschwindet, d.h. daß es Elemente c_{ij} ∈ K gibt mit ℓ_{i} = ∑_{j=1}^{d} c_{ij}(λ_{j}x_{0} − x_{j}) für i = 1, …, d. Indem wir nun zum Restklassenring R/J^{2} übergehen und wie eben argumentieren, sehen wir, daß π_{2}(Q) ≠ 0 sein muß, d.h. daß Q entweder gleich P_{2} ist oder gleich einem der Punkte P_{j} mit 3 ≤ j ≤ d + 3 und β_{j−2 2} ≠ 0. Wenn wir die Darstellung von ℓ_{i} als Element von J ausnützen, erhalten wir Gleichungen ∑_{j=1}^{d} c_{ij}ℓ_{j}φ + ℓ_{i}π_{2} = 0. Wiederum können die Bedingungen ℓ_{i} ∈ 𝔭_{1}, π_{2} ∈ 𝔭_{1} und φ ∉ 𝔭_{1} nur gleichzeitig gelten, wenn ∑_{j=1}^{d} c_{ij}ℓ_{j} = 0 und ℓ_{i}π_{2} = 0 ist. Aus ℓ_{i}φ + (λ_{i}x_{0} − x_{i})π_{2} = 0 folgt jetzt ℓ_{i}(P_{ν}) = 0 für alle ν ∈ {1, …, d+3} mit π_{2}(P_{ν}) = 0, während ℓ_{i}π_{2} = 0 bedeutet, daß ℓ_{i}(P_{ν}) = 0 für alle ν ∈ {1, …, d+3} mit π_{2}(P_{ν}) ≠ 0 gilt. Also erhalten wir ℓ_{i} = 0 für i = 1, …, d, was wiederum dem ersten Schritt widerspricht.

Insgesamt haben wir somit gezeigt, daß Q ∉ 𝕏 gilt. Wir bilden das Schema 𝕐 = 𝕏 ∪ {Q} und betrachten seine Hilbert-Funktion. Wir behaupten, diese Hilbert-Funktion sei H_{𝕐} : 1 d+1 d+4 d+4 · · ·. Die einzige andere Möglichkeit ist H_{𝕐} : 1 d+1 d+3 d+4 d+4 · · ·. In diesem Fall ist die erste nichttriviale homogene Komponente des kanonischen Ideals ℑ_{𝕐} von 𝕐 diejenige vom Grad drei, und es gilt H_{ℑ_{𝕐}}(3) = 1 sowie H_{ℑ_{𝕐}}(4) = 3. Folglich hat jedes Element von (ℑ_{𝕐})_{3} \ {0} einen nichttrivialen Annihilator, d.h. 𝕐 ist kein Cayley-Bacharach Schema. Also gibt es ein i ∈ {1, …, s} mit H_{𝕐\{P_{i}}} : 1 d+1 d+2 d+3 d+3 ⋯ und H_{𝕏\{P_{i}}} : 1 d+1 d+2 d+2 · · ·. Nach [GMR], 5.2 liegen dann Q und drei weitere Punkte von 𝕏 auf einer Geraden in ℙ^{d}. Da die restlichen d Punkte von 𝕏 höchstens einen linearen Raum der Dimension d−1 aufspannen, zerfällt 𝕏 linear, und wir haben einen Widerspruch zur Voraussetzung.

Alsdann muß H_{𝕐} : 1 d+1 d+4 d+4 ⋯ gelten. Aus der exakten Sequenz graduierter A-Moduln

0 ⟶ A/(I_{𝕏} ∩ I_{Q}) ⟶ A/I_{𝕏} ⊕ A/I_{Q} ⟶ A/(I_{𝕏} + I_{Q}) ⟶ 0

und den Isomorphismen A/(I_{𝕏} ∩ I_{Q}) ≅ A/I_{𝕐} sowie A/(I_{𝕏} + I_{Q}) ≅ R/J erhalten wir die Formel H_{R/J}(i) = H_{𝕏}(i) + H_{{Q}}(i) − H_{𝕐}(i) für i ∈ ℤ. Insbesondere gilt H_{R/J}(2) = 0, also x_{0}^{2} ∈ J, was zu zeigen war. □

Wir versuchen nun, diesen Satz mit dem analogen Resultat für den A-Modul Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}) zu vergleichen. Aus den Ergebnissen von [CRV2] erhält man in unserer Notation den folgenden Satz.

14.5. Satz. Sei d ≥ 3, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensio-nales Unterschema vom Grad d + 3. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist kohomologisch uniform, erfüllt σ_{𝕏} = 1, und Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}) wird von (Δ−1)d homogenen Elementen vom Grad drei sowie von d−1 homogenen Elementen vom Grad vier erzeugt.

b) Keine d + 2 Punkte von 𝕏 liegen auf einer Hyperebene, und keine d Punkte von 𝕏 liegen auf einem (d−2)-dimensionalen linearen Teilraum von ℙ^{d}.

Beweis: Der Schluß von Bedingung a) auf Bedingung b) folgt aus Satz 8.13 und aus [CRV2], 4.3. Umgekehrt zeigt [CRV2], 1.3, daß 𝕏 die Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 d+1 d+3 d+3 ⋯ hat und daher σ_{𝕏} = 1 erfüllt. Ferner ergibt sich aus [CRV2], 4.1 und Satz 8.13, daß 𝕏 kohomologisch uniform ist. Schließlich liefert [CRV2], 4.3 den Rest der Behauptung. □

Es ist eine elementare Übungsaufgabe, die wir dem interessierten Leser überlassen, direkt nachzuweisen, daß aus Bedingung 14.5.b folgt, daß 𝕏 nicht linear zerfällt. Unser nächstes Beispiel belegt, daß Bedingung 14.5.b eine echt stärkere Forderung als die kohomologische Uniformität darstellt.

14.6. Beispiel. Ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{6}} ⊆ ℙ^{3} bestehe aus drei Punkten P_{1}, P_{2}, P_{3} auf einer Geraden und drei weiteren, generisch gewählten Punkten P_{4}, P_{5}, P_{6}. Dann gilt H_{𝕏} : 1 4 6 6 ⋯, und 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema, da je fünf Punkte 𝕐 von 𝕏 den Raum ℙ^{3} aufspannen und folglich die Hilbert-Funktion H_{𝕐} : 1 4 5 5 ⋯ besitzen. Aus demselben Grund, und weil die Punkte P_{4}, P_{5}, P_{6} nicht auf einer Geraden liegen, ist 𝕏 sogar kohomologisch uniform. Nach Satz 14.4 wird Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}) dann von drei homogenen Elementen vom Grad drei erzeugt.

Andererseits erfüllt 𝕏 die Bedingung 14.5.b nicht, und in der Tat prüft man leicht nach, daß der A-Modul Syz_{A}^{1}(φ, π_{2}) außer seinen drei homogenen Erzeugern vom Grad drei noch 3 > d − 1 weitere homogene Erzeuger vom Grad vier benötigt.

Den Abschluß unserer Untersuchung des Syzygienmoduls Syz_{R}^{1}(φ, π_{2}, …, π_{Δ}) bildet ein Verfahren, das zeigt, wie man seine Erzeuger σ_{ij} und θ_{j} effektiv berechnen kann, wenn man die Koordinaten der Punkte, die Separatoren f_{1}, …, f_{s} ∈ R_{2} und die Konstanten β_{ij} kennt. Dazu bemerken wir noch, daß man die Separatoren und die Konstanten β_{ij} leicht als Nebenprodukt des Buchberger-Möller Algorithmus bestimmen kann (vgl. [MR], §1.2).

14.7. Bemerkung. Die Punkte von 𝕏 seien gegeben durch P_{i} = (1:p_{i1}: …:p_{id}) mit p_{i1}, …, p_{id} ∈ K für i = 1, …, s. Wir schreiben x_{0}ℓ_{ij} = ℓ_{ij}^{(1)}f_{1} + ⋯ + ℓ_{ij}^{(s)}f_{s} mit ℓ_{ij}^{(1)}, …, ℓ_{ij}^{(s)} ∈ K für 1 ≤ i ≤ d und 2 ≤ j ≤ Δ. Dann drücken wir beide Seiten der Gleichung x_{i}π_{j} = ℓ_{ij}φ + λ_{ij}^{(2)}x_{0}π_{2} + ⋯ + λ_{ij}^{(Δ)}x_{0}π_{Δ} in der K-Basis {x_{0}f_{1}, …, x_{0}f_{s}} von R_{3} aus (vgl. Lemma 1.10.c) und erhalten

\begin{aligned}x_{i}π_{j} & = x_{0}^{−1}(p_{1i}f_{1} + ⋯ + p_{si}f_{s})(f_{j} + β_{1j}f_{Δ+1} + ⋯ + β_{s−Δ j}f_{s}) \\ & = p_{ji}x_{0}f_{j} + p_{Δ+1 i}β_{1j}x_{0}f_{Δ+1} + ⋯ + p_{si}β_{s−Δ j}x_{0}f_{s} \end{aligned}

sowie

ℓ_{ij}φ + λ_{ij}^{(2)}x_{0}π_{2} + ⋯ +λ_{ij}^{(Δ)}x_{0}π_{Δ} = ℓ_{ij}^{(1)}c_{1}x_{0}f_{1} + ⋯ + ℓ_{ij}^{(s)}c_{s}x_{0}f_{s}
+ (λ_{ij}^{(2)}x_{0}f_{2} + λ_{ij}^{(2)}β_{12}x_{0}f_{Δ+1} + ⋯ + λ_{ij}^{(2)}β_{s−Δ 2}x_{0}f_{s}) + ⋯
+ (λ_{ij}^{(Δ)}x_{0}f_{Δ} + λ_{ij}^{(Δ)}β_{1Δ}x_{0}f_{Δ+1} + ⋯ + λ_{ij}^{(Δ)}β_{s−Δ Δ}x_{0}f_{s})
= ℓ_{ij}^{(1)}c_{1}x_{0}f_{1} + (ℓ_{ij}^{(2)}c_{2} + λ_{ij}^{(2)})x_{0}f_{2} + ⋯ + (ℓ_{ij}^{(Δ)}c_{Δ} + λ_{ij}^{(Δ)})x_{0}f_{Δ}
+ (ℓ_{ij}^{(Δ+1)}c_{Δ+1} + λ_{ij}^{(2)}β_{12} + ⋯ + λ_{ij}^{(Δ)}β_{1Δ})x_{0}f_{Δ+1} + ⋯
+ (ℓ_{ij}^{(s)}c_{s} + λ_{ij}^{(2)}β_{s−Δ 2} + ⋯ + λ_{ij}^{(Δ)}β_{s−Δ Δ})x_{0}f_{s}

Ein Koeffizientenvergleich liefert jetzt ℓ_{ij}^{(1)} = 0, λ_{ij}^{(k)} = −ℓ_{ij}^{(k)}c_{j} für k ∈ {2, …, Δ} \ {j} und λ_{ij}^{(j)} = p_{ji} − ℓ_{ij}^{(j)}c_{j}. Setzt man dies in die verbleibenden Gleichungen ein, so ergibt sich

(∗)  (p_{Δ+k i} − p_{ji})β_{kj} = ℓ_{ij}^{(Δ+k)}c_{Δ+k} − ℓ_{ij}^{(2)}c_{2}β_{k2} − ⋯ − ℓ_{ij}^{(Δ)}c_{Δ}β_{kΔ}

für k = 1, …, s−Δ. Also sind die Elemente λ_{ij}^{(2)}, …, λ_{ij}^{(Δ)} durch die Konstanten ℓ_{ij}^{(2)}, …, ℓ_{ij}^{(s)} eindeutig bestimmt und wir müssen letztere berechnen. Die Bedingung ℓ_{ij}^{(1)} = 0 bedeutet, daß die Hyperebene Z(ℓ_{ij}) den Punkt P_{1} enthält, und daß es Konstanten m_{1}, …, m_{d} ∈ K gibt, so daß

ℓ_{ij} = m_{1}(x_{1} − p_{11}x_{0}) + ⋯ + m_{d}(x_{d} − p_{1d}x_{0})

gilt. Darum erhalten wir ℓ_{ij}^{(k)} = m_{1}(p_{k1} − p_{11}) + ⋯ + m_{d}(p_{kd} − p_{1d}) für k = 2, …, s. Nun liefern die Gleichungen (∗) ein System von s−Δ = d+1 linearen Gleichungen (∗∗) für m_{1}, …, m_{d}. Die Gleichungen dieses Systems sind jedoch nicht unabhängig, denn ihre Summe ergibt

\begin{aligned}∑_{k=1}^{s−Δ}p_{Δ+k i}β_{kj} + p_{ji} & = ∑_{k=1}^{s−Δ}ℓ_{ij}^{(Δ+k)}c_{Δ+k} + ℓ_{ij}^{(2)}c_{2} + ⋯ + ℓ_{ij}^{(Δ)}c_{Δ} \\ & = ∑_{k=1}^{s}(x_{i}π_{j})(P_{k}) + ∑_{k=1}^{s}ℓ_{ij}^{(k)}c_{k} = 0 \end{aligned}

wegen x_{i}π_{j}, ℓ_{ij}φ ∈ ℑ_{3} und Korollar 3.11. Insgesamt schließen wir aus Satz 9.9, daß das lineare Gleichungssytem

(∗∗) (p_{Δ+k i} − p_{ji})β_{jk} = [m_{1}(p_{Δ+k 1} − p_{11}) + ⋯ + m_{d}(p_{Δ+k d} − p_{1d})]c_{Δ+k}
− [m_{1}(p_{21} − p_{11}) + ⋯ + m_{d}(p_{2d} − p_{1d})]c_{2}β_{k2} − ⋯
− [m_{1}(p_{Δ1} − p_{11}) + ⋯ + m_{d}(p_{Δd} − p_{1d})]c_{Δ}β_{kΔ}
= (p_{Δ+k 1}c_{Δ+k} − p_{11}c_{1}β_{k1} − ⋯ − p_{Δ1}c_{Δ}β_{kΔ})m_{1} + ⋯
+ (p_{Δ+k d}c_{Δ+k} − p_{1d}c_{1}β_{k1} − ⋯ − p_{Δd}c_{Δ}β_{kΔ})m_{d}

für k = 1, …, s−Δ die Konstanten m_{1}, …, m_{d} ∈ K, und dadurch auch die Elemente ℓ_{ij} ∈ R_{1} sowie λ_{ij}^{(2)}, …, λ_{ij}^{(Δ)} ∈ K eindeutig bestimmt. Wir brauchen demnach nur das lineare Gleichungssystem (∗∗) zu lösen, um die Syzygien σ_{ij} zu berechnen.

Wenn wir außerdem für j = 2, …, Δ die Elemente q_{j} ∈ R_{2} bestimmen wollen, für die x_{0}^{2}π_{j} = q_{j}φ gilt, so schreiben wir q_{j} = γ_{j1}f_{1} + ⋯ + γ_{js}f_{s} mit γ_{j1}, …, γ_{js} ∈ K und führen in der Gleichung

x_{0}^{2}π_{j} = x_{0}^{2}(f_{j} + β_{1j}f_{Δ+1} + ⋯ + β_{d+1 j}f_{s}) = q_{j}φ = x_{0}^{2}(γ_{j1}c_{1}f_{1} + ⋯ + γ_{js}c_{s}f_{s})

einen Koeffizientenvergleich durch. Es ergibt sich γ_{jk} = \frac{1}{c_{j}} δ_{jk} für k = 1, …, Δ und γ_{jk} = \frac{1}{c_{k}} β_{k−Δ j} für k = Δ+1, …, s. Damit sind auch die Syzygien θ_{j} = (q_{j}, −x_{0}^{2}) für j = 2, …, Δ mit Hilfe der Separatoren f_{1}, …, f_{s} und der Konstanten β_{ij} ausgedrückt.

15. Maximale Cayley-Bacharach Schemata

Will man 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit bestimmten Eigenschaften konstruieren, so bietet sich als einfache Methode an, mit einem bekannten 0-dimensio-nalen Schema zu starten und induktiv Punkte hinzuzufügen. Selbstverständlich stellt sich stets die Frage, ob die gesuchten Eigenschaften bei diesem Prozeß erhalten bleiben oder herbeigeführt werden können. Im Falle der Cayley-Bacharach Eigenschaft vom maximalen Grad stoßen wir dabei auf den folgenden Begriff.

15.1. Definition. Ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} heißt ein maximales Cayley-Bacharach Schema, wenn 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist und wenn kein 0-dimensionales Unterschema 𝕐 ⊆ ℙ^{d} mit 𝕐 ⊇ 𝕏 und deg 𝕐 = deg 𝕏 + 1 ein Cayley-Bacharach Schema ist.

Dieser Begriff wurde in der Arbeit [K8], auf die sich der vorliegende Abschnitt stützt, näher untersucht. Bereits im zweiten Kapitel haben wir ja gesehen, daß es verschiedenartige Klassen von Cayley-Bacharach Schemata gibt: reduzierte Schemata aus generisch gewählten Punkten, vollständige Durchschnitte, generische Hyperebenenschnitte von Kurven, etc. Wie sich herausstellt, erlaubt es uns die Maximalität bzgl. der Cayley-Bacharach Eigenschaft, z.B. zwischen den erstgenannten beiden Klassen zu unterscheiden. Generische Punktmengen sind nämlich nie maximale Cayley-Bacharach Schemata, während vollständige Durchschnitte dies bis auf wenige Ausnahmen fast immer sind. Nachfolgend rekapitulieren wir einige wichtige Ergebnisse über maximale Cayley-Bacharach Schemata.

Die erste Erkenntnis ist, daß die Allgemeinheit, in der Definition 15.1 formuliert wurde, durchaus angebracht erscheint. Es gibt nämlich Beispiele 0-dimensionaler Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}, für die kein Schema 𝕐 ⊆ ℙ^{d} der Form 𝕐 = 𝕏 ∪ {P } ein Cayley-Bacharach Schema darstellt, obwohl 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema im Sinne von Definition 15.1 ist.

15.2. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} das 0-dimensionale Unterschema, das am Punkt P = (1:0:0) konzentriert ist und O_{𝕏,P} ≅ O_{ℙ^{2},P} /𝔪_{ℙ^{2},P}^{2} erfüllt. Dann ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema, weil jedes Unterschema 𝕏′ ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕏′ = deg 𝕏 − 1 = 2 die Hilbert-Funktion H_{𝕏′} : 1 2 2 ⋯ hat. Außerdem ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema, denn es gilt 𝕏 ⊆ 𝕐 = Z(X_{1}^{2}, X_{2}^{2}), wobei 𝕐 den Grad vier hat und als vollständiger Durchschnitt ein Cayley-Bacharach Schema ist.

Jedoch gibt es kein 0-dimensionales Schema 𝕐′ ⊆ ℙ^{2} der Form 𝕐′ = 𝕏 ∪ {Q} mit einem reduzierten Punkt Q ≠ P, das ein Cayley-Bacharach Schema ist, denn für jedes solche 𝕐′ definiert die Gerade durch P und Q ein Unterschema 𝕏′ ⊆ 𝕏 vom Grad zwei, für das 𝕏′ ∪ {Q} ⊆ 𝕐′ die Hilbert-Funktion H_{𝕏′∪{Q}} : 1 2 3 3 ⋯ hat.

Unser nächstes Beispiel zeigt, daß wir in Definition 15.1 selbst dann nichtreduzierte Schemata 𝕐 erlauben müssen, wenn wir mit einem reduzierten Schema 𝕏 beginnen.

15.3. Beispiel. Sei char (K) = 0 oder char (K) > 11, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{15}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema mit P_{1} = (1:−5:6), P_{2} = (1:−3:6), P_{3} = (1:0:6), P_{4} = (1:3:6), P_{5} = (1:−3:4), P_{6} = (1:0:5), P_{7} = (1:3:4), P_{8} = (1:−3:−4), P_{9} = (1:0:−5), P_{10} = (1:3:−4), P_{11} = (1:−5:−6), P_{12} = (1:−3:−6), P_{13} = (1:0:−6), P_{14} = (1:3:−6) und P_{15} = (1:−5:0). Skizze in D_{+}(X_{0}):

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Dann ist 𝕏 ein Unterschema des 0-dimensionalen vollständigen Durchschnitts 𝕐 = Z(F, G) mit F = (X_{2} −6X_{0})(X_{2} +6X_{0})(X_{1}^{2} +X_{2}^{2} −25X_{0}^{2}) und G = X_{1}(X_{1} −3X_{0})(X_{1} + 3X_{0})(X_{1} + 5X_{0}). Das Schema 𝕐 ⊆ ℙ^{2} ist nach Korollar 5.13 ein Cayley-Bacharach Schema mit Δ_{𝕐} = 1, und nach Satz 5.17 ist dann 𝕏 ebenfalls ein Cayley-Bacharach Schema. Also ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema.

Die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 ist ΔH_{𝕏} : 1 2 3 4 3 2. Das homogene Verschwindungsideal I_{𝕏} von 𝕏 wird erzeugt von F, G und einem homogenen Polynom vom Grad 6 = σ_{𝕏}+2. Unser nächster Satz zeigt dann, daß jedes Cayley-Bacharach Schema 𝕐′ ⊆ ℙ^{2} mit 𝕐′ ⊇ 𝕏 und deg 𝕐′ = deg 𝕏 + 1 = 16 die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕐′} : 1 2 3 4 3 2 1 haben muß. Daher ergibt sich 𝕐′ = 𝕐. Das Schema 𝕐 ist aber nicht reduziert. Es hat denselben Träger wie 𝕏, nur gilt dim_{K} O_{𝕐,P_{15}} = 2. Somit ist kein Schema der Form 𝕏 ∪ {Q} mit Q ∉ Supp (𝕏) ein Cayley-Bacharach Schema.

Ein ähnliches Beispiel kann man übrigens auch mit der in der Einleitung erwähnten Methode aus der Arbeit [NR] konstruieren (vgl. [K8], 2.3). Interessanterweise hängt die Frage nach der Maximalität eines Cayley-Bacharach Schemas 𝕏 mit den Graden der homogenen minimalen Erzeuger seines homogenen Verschwindungsideals I_{𝕏} zusammen. Der Einfachheit halber notieren wir die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 im folgenden in der Form ΔH_{𝕏} : 1 h_{1} h_{2} ⋯ h_{σ_{𝕏}} h_{σ_{𝕏}+1} mit h_{σ_{𝕏}+1} = Δ_{𝕏}.

15.4. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ ℙ^{d} ein 0dimensionales Cayley-Bacharach Schema vom Grad deg 𝕐 = deg 𝕏 + 1, das 𝕏 enthält. Dann gibt es zwei Möglichkeiten.

a) Es gilt σ_{𝕐} = σ_{𝕏}, die Castelnuovo-Funktion von 𝕐 ist gegeben durch ΔH_{𝕐} : 1 h_{1} h_{2} ⋯ h_{σ_{𝕏}} Δ_{𝕏}+1, und I_{𝕏} hat einen homogenen minimalen Erzeuger vom Grad σ_{𝕏} + 1.

b) Es gilt σ_{𝕐} = σ_{𝕏} + 1, die Castelnuovo-Funktion von 𝕐 ist gegeben durch ΔH_{𝕐} : 1 h_{1} h_{2} ⋯ h_{σ_{𝕏}} Δ_{𝕏} 1, und I_{𝕏} hat einen homogenen minimalen Erzeuger vom Grad σ_{𝕏} + 2.

Beweis: Vgl. [K8], 2.4. □

Zu diesem Satz bemerken wir noch, daß alle homogenen minimalen Erzeuger von I_{𝕏} einen Grad ≤ σ_{𝕏} + 2 haben (vgl. Abschnitt 13). Wir erhalten bereits ein einfaches Kriterium für die Maximalität eines Cayley-Bacharach Schemas.

15.5. Korollar. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Cayley-Bacharach Schema, und wird I_{𝕏} von homogenen Elementen vom Grad ≤ σ_{𝕏} erzeugt, so ist 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

Nun wollen wir auch einen Satz anführen, der es uns erlaubt, in vielen Fällen von einem Cayley-Bacharach Schema zu zeigen, daß es nicht maximal ist. Für ein homogenes Ideal I und für i ≥ 0 schreiben wir dabei ⟨I_{≤i}⟩ für das Ideal, das von den homogenen Elementen vom Grad ≤ i von I erzeugt wird.

15.6. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Cayley-Bacharach Schema, und es sei J = ⟨(I_{𝕏})_{≤σ_{𝕏}}⟩.

a) Ist J ein saturiertes Ideal, und ist σ_{𝕏} + 1 der größte Grad eines homogenen minimalen Erzeugers von I_{𝕏}, so ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema.

b) Ist J ein Radikalideal, und besitzt I_{𝕏} einen minimalen Erzeuger vom Grad σ_{𝕏}+1, so ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema.

c) Ist J ein Primideal, und ist 𝕏 lokal Gorenstein, so ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema. Genauer gilt in diesem Fall für jeden generisch gewählten Punkt P ∈ Z(J), daß das Schema 𝕐 = 𝕏 ∪ {P } ein Cayley-Bacharach Schema ist.

Beweis: Vgl. [K8], 2.6. □

Mit Hilfe dieses Satzes und des vorhergehenden Korollars können wir die weiter oben erwähnten Fälle generischer Punktmengen und vollständiger Durchschnitte bereits bzgl. ihrer Maximalität klassifizieren. Wir sagen dabei, ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} habe eine generische Hilbert-Funktion, wenn für alle i ∈ ℤ gilt H_{𝕏}(i) = min{H_{ℙ^{d}}(i), deg 𝕏}.

15.7. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Cayley-Bacharach Schema mit generischer Hilbert-Funktion. Dann ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema, außer in dem Fall, daß deg 𝕏 = H_{ℙ^{d}}(σ_{𝕏}+1) gilt und 𝕏 nicht lokal Gorenstein ist. Genauer ist 𝕏 ∪ {P } für jeden generisch gewählten Punkt P ∈ ℙ^{d} ein Cayley-Bacharach Schema.

Insbesondere ist ein reduziertes 0-dimensionales Schema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}, das aus generisch gewählten Punkten P_{1}, …, P_{s} ∈ ℙ^{d} besteht, kein maximales Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Wegen α_{𝕏} > σ_{𝕏} genügt es, Satz 15.6.b und 15.6.c mit J = (0) anzuwenden. □

15.8. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionaler vollständiger Durchschnitt von d Hyperflächen H_{1}, …, H_{d} ⊆ ℙ^{d} mit deg H_{1} ≤ ⋯ ≤ deg H_{d}.

a) Gilt d = 2 und deg H_{1} ≥ 3, oder gilt d ≥ 3 und deg H_{1} ≥ 2, so ist 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

b) Gilt d = 2 und deg H_{1} = 2, so ist 𝕏 kein maximales Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Zum Beweis von Teil a) können wir Korollar 15.5 anwenden, denn I_{𝕏} wird von homogenen Polynomen vom Grad ≤ deg H_{d} erzeugt, und es gilt deg H_{d} ≤ σ_{𝕏} = deg H_{1}+⋯+deg H_{d}−d−1. In der Situation von b) ist der größte Grad eines minimalen Erzeugers von I_{𝕏} gegeben durch deg H_{2} = (deg H_{1} + deg H_{2} − 3) + 1 = σ_{𝕏} + 1, und das Ideal J = ⟨(I_{𝕏})_{≤σ_{𝕏}}⟩ ist saturiert, so daß Satz 15.6.a die Behauptung liefert. □

Auf den ersten Blick mögen die Voraussetzungen in Satz 15.6 über die Beschaffenheit des Ideals J = ⟨(I_{𝕏})_{≤σ_{𝕏}}⟩ etwas künstlich erscheinen. Sie sind aber keinesfalls unbegründet. Zum Beispiel ist das Ideal J in der Situation von 15.3 nicht reduziert. Unser nächstes Beispiel zeigt, daß das Ideal J im allgemeinen nicht einmal saturiert zu sein braucht, und daß man diese Voraussetzung in Satz 15.6.a nicht weglassen kann.

15.9. Beispiel. Sei char (K) = 0 oder char (K) > 7, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{45}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema mit P_{i} = (1:i−1:5) für 1 ≤ i ≤ 8, mit P_{8+i} = (1:i−1:6) für 1 ≤ i ≤ 8, mit P_{16+i} = (1:i−1:7) für 1 ≤ i ≤ 8, mit P_{24+i} = (1:5:i−1) für 1 ≤ i ≤ 5, mit P_{29+i} = (1:6:i−1) für 1 ≤ i ≤ 5, mit P_{34+i} = (1:7:i−1) für 1 ≤ i ≤ 5, sowie mit P_{40} = (1:0:2), P_{41} = (1:1:3), P_{42} = (1:2:0), P_{43} = (1:2:4), P_{44} = (1:3:1) und P_{45} = (1:4:2). Skizze in D_{+}(X_{0}):

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Dann ist 𝕏 offenbar enthalten in dem 0-dimensionalen vollständigen Durchschnitt 𝕐 = Z(F, G) mit F = X_{1}(X_{1}−X_{0})(X_{1}−2X_{0}) ⋯ (X_{1}−7X_{0}) und G = X_{2}(X_{2}−X_{0})(X_{2}− 2X_{0}) ⋯ (X_{2} − 7X_{0}). Die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 ist ΔH_{𝕏} : 1 2 3 4 5 6 7 8 6 3, d.h wir haben σ_{𝕏} = 8. Außerdem definiert das Polynom

\begin{matrix}H = & (X_{1} − 5X_{0})(X_{1} − 6X_{0})(X_{1} − 7X_{0})(X_{2} − 5X_{0})(X_{2} − 6X_{0})(X_{2} − 7X_{0}) \\ · (X_{2} − X_{1} + 2X_{0})(X_{2} − X_{1} − 2X_{0}) \end{matrix}

ersichtlich den dritten minimalen Erzeuger von I_{𝕏} im Grad α_{𝕏} = σ_{𝕏} = 8, und es gilt I_{𝕏} = (F, G, H)^{sat.}. Berechnen wir nun ein homogenes minimales Erzeugendensystem von I_{𝕏}, so finden wir einen weiteren homogenen minimalen Erzeuger im Grad 9 = σ_{𝕏}+2. Also ist das Ideal J = (F, G, H) nicht saturiert. Mit Hilfe der im nächsten Abschnitt beschriebenen Liaison-Technik (oder direkt mit Hilfe eines Computers) kann man leicht nachweisen, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist. Es ist sogar ein maximales Cayley-Bacharach Schema, denn jedes Cayley-Bacharach Schema 𝕐 ⊇ 𝕏 vom Grad 46 würde nach Satz 15.4 die Bedingung I_{𝕐} ⊇ (F, G, H) erfüllen, was I_{𝕏} = (F, G, H)^{sat.} widerspräche.

Ein sehr ähnliches Beispiel wird in [K8], 2.7.b wieder mit Hilfe der Technik aus [NR] konstruiert. Auch die Voraussetzung in Satz 15.6.c, daß 𝕏 lokal Gorenstein sein muß, kann nicht weggelassen werden, wie das nachstehende Beispiel zeigt.

15.10. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2, und sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} das 0-dimensionale Unterschema vom Grad sechs, dessen Träger aus den vier Punkten P_{1} = (1:5:0), P_{2} = (1:4:3), P_{3} = (1:3:4) sowie P_{4} = (1:0:5) besteht, für das O_{𝕏,P_{1}} ≅ O_{ℙ^{2},P_{1}}/𝔪_{ℙ^{2},P_{1}}^{2} gilt, und in dem die Punkte P_{2}, P_{3} sowie P_{4} reduziert sind. Offensichtlich ist 𝕏 nicht lokal Gorenstein. Aus der Hilbert-Funktion H_{𝕏} : 1 3 6 6 ⋯ geht hervor, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist. Weiter gilt σ_{𝕏} = 1 und J = ⟨(I_{𝕏})_{≤σ_{𝕏}}⟩ = (0).

Doch es gibt keinen reduzierten Punkt P_{5} ∈ ℙ^{2} \ Supp (𝕏), so daß 𝕐 = 𝕏 ∪ {P_{5}} ein Cayley-Bacharach Schema ist. Ein derartiges Schema 𝕐 = 𝕏 ∪ {P_{5}} hat die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕐} : 1 2 3 1. Es gibt einen eindeutigen Kegelschnitt, der durch die Punkte P_{1}, …, P_{5} geht. Dieser definiert ein Unterschema 𝕏′ ⊆ 𝕏 vom Grad fünf mit dim_{K} O_{𝕏′,P_{1}} = 2 sowie ein Unterschema 𝕐′ = 𝕏′ ∪ {P_{5}} ⊆ 𝕐 mit deg 𝕐′ = 6 und Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕐′} : 1 2 2 1. Also ist 𝕐 kein Cayley-Bacharach Schema, und die Behauptung von Satz 15.6.c ist nicht erfüllt.

In Anbetracht von Korollar 15.5 und Satz 15.6.a könnte man auch auf die Idee kommen, Cayley-Bacharach Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} nach der Invariante

m_{𝕏} = max{i ∈ ℤ | (I_{𝕏}/(X_{0}, …, X_{d})I_{𝕏})_{i} ≠ 0},

also nach dem maximalen Grad eines homogenen minimalen Erzeugers von I_{𝕏} zu klassifizieren. Korollar 15.5 besagt dann, daß jedes Cayley-Bacharach Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit m_{𝕏} ≤ σ_{𝕏} maximal ist, während Satz 15.6.a für die meisten Cayley-Bacharach Schemata mit m_{𝕏} = σ_{𝕏} + 1 liefert, daß sie nicht maximal sind. Da stets m_{𝕏} ≤ σ_{𝕏} + 2 gilt (vgl. Abschnitt 13), bleibt noch der Fall m_{𝕏} = σ_{𝕏} +2. Eine Serie von Beispielen in [K8] zeigt, daß ein Cayley-Bacharach Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit m_{𝕏} = σ_{𝕏} + 2 maximal sein kann oder nicht, und zwar unabhängig davon, ob I_{𝕏} auch noch homogene minimale Erzeuger vom Grad σ_{𝕏} + 1 besitzt (vgl. [K8], 2.10, 2.11, 2.12 und 2.13).

Schließlich weisen wir noch darauf hin, daß die Korollare 15.7 und 15.8 die Ansicht nahe legen, daß “spezielle” Cayley-Bacharach Schemata maximal sind und “allgemeine” nicht. Wir fügen noch einige Situationen an, in denen sich dieser Standpunkt bestätigt.

15.11. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Cayley-Bacharach Schema.

a) Ist 𝕏 nicht in einer Hyperfläche vom Grad zwei enthalten, und gilt h_{σ_{𝕏}} = d sowie h_{σ_{𝕏}+1} = 1, so ist 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

b) Ist 𝕏 arithmetisch Gorenstein und nicht in einer Hyperfläche vom Grad zwei enthalten, so ist 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

c) Wird 𝕏 wie in Satz 5.22 von den 2 × 2-Minoren einer Matrix 𝔐 = \binom{F_{0} ··· F_{d}}{G_{0} ··· G_{d}} definiert, und gilt ∑_{ν≠i,j} a_{ν} + (d − 1)b ≥ d + 1 für alle 1 ≤ i < j ≤ d + 1, so ist 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

Beweis: Vgl. [K8], 3.2, 3.3 und 3.6. □

Wir beenden diesen Abschnitt mit zwei Beispielen, die veranschaulichen, wie man den vorstehenden Satz anwenden kann. Weitere Beispiele dieser Art findet der Leser in [K8], §3.

15.12. Beispiel. Sei char (K) ∉ {2, 3}, und sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{13}} ⊆ ℙ^{2} das reduzierte 0-dimensionale Unterschema mit P_{1} = (1:0:0), P_{2} = (1:0:1), P_{3} = (1:0:2), P_{4} = (1:0:3), P_{5} = (1:1:0), P_{6} = (1:1:1), P_{7} = (1:1:2), P_{8} = (1:2:0), P_{9} = (1:2:1), P_{10} = (1:2:3), P_{11} = (1:3:0), P_{12} = (1:3:2) und P_{13} = (1:3:3). Dann ist die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 gegeben durch ΔH_{𝕏} : 1 2 3 4 2 1, und man rechnet leicht nach, daß 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist. Gemäß Satz 15.11.a ist 𝕏 sogar ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

15.13. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} das Unterschema, das von den 2 × 2-Minoren der Matrix 𝔐 = \binom{X_{0}^{3} X_{1}^{4} X_{2}^{5}}{X_{2}^{3} X_{0}^{4} X_{1}^{5}} definiert wird. Dehomogenisieren wir diese Minoren bzgl. X_{0}, so erhalten wir das Ideal (X_{1}^{47} − 1, X_{2} − X_{1}^{30}) in K[X_{1}, X_{2}]. Wegen 𝕏 ∩ Z(X_{0}) = ∅ bedeutet dies, daß 𝕏 ein 0-dimensionales Schema ist, das die Voraussetzungen von Satz 5.22 erfüllt. Daher besagt dieser Satz, daß 𝕏 lokal Gorenstein und ein Cayley-Bacharach Schema ist. Wegen Satz 15.11.c ist 𝕏 sogar ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

16. Liaison

Eine andere Methode zur Konstruktion 0-dimensionaler Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit vorgegebenen Eigenschaften als die im letzten Abschnitt erklärte beruht auf der Technik der Liaison. Dabei beginnt man mit einem (im allgemeinen wesentlich größeren) 0dimensionalen Schema 𝕍 ⊆ ℙ^{d}, das arithmetisch Gorenstein ist, konstruiert ein gewisses Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕍 und nimmt für 𝕏 dann das sogenannte “zu 𝕐 residuelle” Unterschema von 𝕍. Die gesuchten Eigenschaften von 𝕏 will man dadurch herbeiführen, daß man sie mit Hilfe gewisser Eigenschaften von 𝕐 charakterisiert, von denen man hofft, daß man sie leichter erzwingen kann. Die nachfolgenden Ausführungen basieren im reduzierten Fall auf [K1], §4, und im allgemeinen Fall auf [K8], §4. Die algebraischen Grundlagen entnehmen wir der Arbeit [DGO].

Zuerst legen wir die in diesem Abschnitt gültigen Notationen und Vereinbarungen fest. Mit 𝕍 ⊆ ℙ^{d} bezeichnen wir stets ein 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, und mit S = A/I_{𝕍} den homogenen Koordinatenring von 𝕍. Für jedes 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ 𝕍 sei dann I_{𝕏/𝕍} ⊆ S das Ideal von 𝕏 in 𝕍 (vgl. Lemma 1.6.a) und α_{𝕏/𝕍} = min{i ∈ ℤ | (I_{𝕏/𝕍})_{i} ≠ 0}. In dieser Situation ist das Ideal Ann_{S}(I_{𝕏/𝕍}) ⊆ S stets saturiert und definiert ein weiteres Unterschema von 𝕍 (vgl. [DGO] und Lemma 1.6.a).

16.1. Definition. Das Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕍, das durch das Ideal I_{𝕐/𝕍} = Ann_{S}(I_{𝕏/𝕍}) definiert wird, heißt das zu 𝕏 in 𝕍 residuelle Unterschema von 𝕍.

Die Invarianten der drei Schemata 𝕏, 𝕐 und 𝕍 sind eng miteinander verknüpft, wie die folgenden Resultate aus [DGO] zeigen.

16.2. Satz. Sei 𝕍 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, sei 𝕏 ⊆ 𝕍 ein Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ 𝕍 das zu 𝕏 in 𝕍 residuelle Unterschema.

a) Es gilt I_{𝕏/𝕍} = Ann_{S}(I_{𝕐/𝕍}).

b) Es gilt deg 𝕍 = deg 𝕏 + deg 𝕐.

c) Es gilt σ_{𝕍} = σ_{𝕏} + α_{𝕐/𝕍} = σ_{𝕐} + α_{𝕏/𝕍}.

d) Für alle i ∈ ℤ gilt ΔH_{𝕍}(i) = ΔH_{𝕏}(i) + ΔH_{𝕐}(σ_{𝕍} + 1 − i).

Wie der nächste Satz und seine Korollare zeigen, besitzt die Cayley-Bacharach Eigenschaft eine Beschreibung mit Hilfe der Hyperflächen kleinsten Grades, die das residuelle Schema, aber nicht ganz 𝕍 enthalten.

16.3. Satz. (Charakterisierung der Cayley-Bacharach Schemata mit Liaison)

Sei 𝕍 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, sei 𝕏 ⊆ 𝕍 ein Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ 𝕍 das zu 𝕏 in 𝕍 residuelle Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema.

b) Für jedes Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕍 mit 𝕐′ ⊇ 𝕐 und deg 𝕐′ = deg 𝕐 + 1 gilt (I_{𝕐′/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}} ⊊ (I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}}.

Beweis: Vgl. [K8], 4.1. □

Im reduzierten Fall vereinfacht sich diese Charakterisierung erheblich.

16.4. Korollar. Sei 𝕍 ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, sei 𝕏 ⊆ 𝕍 ein Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ 𝕍 das zu 𝕏 in 𝕍 residuelle Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema.

b) Ein generisch gewähltes Element von (I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}} verschwindet an keinem Punkt von 𝕏.

c) Es gibt ein Element von (I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}}, das an keinem Punkt von 𝕏 verschwindet.

Beweis: Jedes Schema 𝕐′ ⊆ 𝕍 mit 𝕐′ ⊇ 𝕐 und deg 𝕐′ = deg 𝕐 + 1 ist von der Form 𝕐′ = 𝕐 ∪ {P } mit einem Punkt P ∈ Supp (𝕏). Jetzt braucht man nur noch Satz 16.3 anzuwenden (vgl. auch [K1], 4.6). □

Wir geben noch einen weiteren Fall an, in dem es besonders leicht ist, mit Hilfe von Satz 16.3 nachzuweisen, daß ein gewisses 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Cayley-Bacharach Schema ist. (Im reduzierten Fall vgl. auch [K1], 4.8).

16.5. Korollar. Sei 𝕍 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, sei 𝕏 ⊆ 𝕍 ein Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ 𝕍 das zu 𝕏 in 𝕍 residuelle Unterschema. Wird das Ideal I_{𝕐/𝕍} von seinen homogenen Elementen vom minimalen Grad α_{𝕐/𝕍} erzeugt, so ist 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema.

Insbesondere stellt 𝕏 stets dann ein Cayley-Bacharach Schema dar, wenn es residuell ist zu einem Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕍, das als Schnitt von 𝕍 mit einer Hyperfläche gegeben ist.

Beweis: Wäre 𝕏 kein Cayley-Bacharach Schema, so gäbe es nach Satz 16.3 ein Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕍 mit 𝕐′ ⊇ 𝕐 und deg 𝕐′ = deg 𝕐+1 sowie (I_{𝕐′/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}} = (I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}}. Doch dann wäre

I_{𝕐/𝕍} = ⟨(I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}}⟩ = ⟨(I_{𝕐′/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}}⟩ ⊆ I_{𝕐′/𝕍}

ein Widerspruch zu 𝕐 ⊊ 𝕐′. □

Es folgen einige Beispiele, die zeigen, wie man Satz 16.3 und seine Korollare anwenden kann.

16.6. Beispiel. Sei char (K) ≠ 2, und sei 𝕍 ⊆ ℙ^{2} der reduzierte 0-dimensionale vollständige Durchschnitt der beiden Kurven C_{1} = Z(X_{1}(X_{1} − X_{0})(X_{1} − 2X_{0})) und C_{2} = Z(X_{2}(X_{2} −X_{0})(X_{2} −2X_{0})), d.h. es gelte 𝕍 = {P_{1}, …, P_{9}} ⊆ ℙ^{2} mit P_{1} = (1:0:0), P_{2} = (1:0:1), P_{3} = (1:0:2), P_{4} = (1:1:0), P_{5} = (1:1:1), P_{6} = (1:1:2), P_{7} = (1:2:0), P_{8} = (1:2:1) und P_{9} = (1:2:2).

Dann ist 𝕍 \ {P_{i}} nach Korollar 16.4 für jedes i ∈ {1, …, 9} ein Cayley-Bacharach Schema, denn eine generisch gewählte Gerade durch P_{i} enthält keinen Punkt von 𝕍\{P_{i}} (vgl. auch Satz 5.17). Das Schema 𝕍 \ {P_{1}, P_{2}} ist kein Cayley-Bacharach Schema, da es nur eine Gerade durch P_{1} und P_{2} gibt und diese auch den Punkt P_{3} enthält. Andererseits ist das Schema 𝕍 \ {P_{2}, P_{4}} durchaus ein Cayley-Bacharach Schema, weil die eindeutige Gerade durch P_{2} und P_{4} keinen weiteren Punkt von 𝕍 enthält. Schließlich ist auch das Schema 𝕍\{P_{2}, P_{3}, P_{5}, P_{6}} ein Cayley-Bacharach Schema, denn das Verschwindungsideal von 𝕐 = {P_{2}, P_{3}, P_{5}, P_{6}} in 𝕍 erfüllt α_{𝕐/𝕍} = 2 und wird von zwei homogenen Elementen vom Grad zwei erzeugt, so daß wir Korollar 16.5 anwenden können.

Manchmal ist es notwendig, für die Liaison 0-dimensionale Schemata 𝕍 ⊆ ℙ^{d} zu verwenden, die arithmetisch Gorenstein, aber keine vollständigen Durchschnitte sind. Unser nächstes Beispiel stellt einen solchen Fall dar.

16.7. Beispiel. Sei Q = Z(X_{0}X_{3} − X_{1}X_{2}) ⊆ ℙ^{3} die nichtsinguläre Quadrikenfläche, und sei L ⊆ Q eine Gerade vom Typ (0, 1). Wir wählen drei reduzierte Punkte P_{1}, P_{2}, P_{3} ∈ L. Dann gibt es irreduzible Kurven C_{1} vom Typ (3, 4) und C_{2} vom Typ (4, 3) durch 𝕐 = {P_{1}, P_{2}, P_{3}}. Sei 𝕍 ⊆ Q der Durchschnitt dieser beiden Kurven. Nach [GRM], 3.2 besitzt die minimale graduiert-freie Auflösung des homogenen Koordinatenrings S von 𝕍 die Gestalt

0 ⟶ A(−9) ⟶ A(−7) ⊕ A(−5)^{4} ⟶ A(−4)^{4} ⊕ A(−2) ⟶ A ⟶ S ⟶ 0.

Daher ist 𝕍 arithmetisch Gorenstein und hat den Grad deg 𝕍 = 25 sowie die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕍} : 1 3 5 7 5 3 1 sowie σ_{𝕍} = 5. Offensichtlich ist 𝕍 kein vollständiger Durchschnitt.

Die Castelnuovo-Funktion des zu 𝕐 residuellen Unterschemas 𝕏 ⊆ 𝕍 ist nach Satz 16.2.d gegeben durch ΔH_{𝕏} : 1 3 5 7 4 2, und es gilt σ_{𝕏} = 4 sowie α_{𝕐/𝕍} = 1. Die Hyperebenen, die 𝕐 (und damit L) umfassen, schneiden auf der Kurve C_{1} (und somit in 𝕍) genau die drei Punkte von 𝕐 aus. Daher ist 𝕏 nach Korollar 16.5 ein Cayley-Bacharach Schema.

Aus Satz 16.3 ergibt sich auch eine Charakterisierung maximaler Cayley-Bacharach Schemata mit Liaison (vgl. [K8], 4.2 und 4.6).

16.8. Korollar. Sei 𝕍 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, sei 𝕏 ⊆ 𝕍 ein Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ 𝕍 das zu 𝕏 residuelle Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein maximales Cayley-Bacharach Schema.

b) Für jedes Unterschema 𝕐′ ⊆ 𝕐 vom Grad deg 𝕐′ = deg 𝕐 − 1 gibt es ein Unterschema 𝕐′′ ⊆ 𝕍 mit 𝕐′′ ⊇ 𝕐′ und deg 𝕐′′ = deg 𝕐, so daß (I_{𝕐′′/𝕍})_{α_{𝕐′/𝕍}} = (I_{𝕐′/𝕍})_{α_{𝕐′/𝕍}} gilt.

Insbesondere ist 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema, wenn 𝕐 die Cayley-Bacharach Eigenschaft vom Grad α_{𝕐/𝕍} hat.

Für diese Charakterisierung werden in [K8], §4 wiederum eine Reihe von Anwendungsbeispielen gegeben. Im Fall von Beispiel 16.7 ergibt sich etwa zusätzlich, daß 𝕏 ein maximales Cayley-Bacharach Schema ist. Wir möchten jetzt noch das Korollar [K1], 4.10 auf die oben beschriebene Situation verallgemeinern, weil sich daraus effiziente Verfahren ableiten lassen, mit denen man prüfen kann, ob ein gegebenes 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein Cayley-Bacharach Schema ist (vgl. [K1], 4.11).

16.9. Satz. Sei 𝕍 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, das arithmetisch Gorenstein ist, sei 𝕏 ⊆ 𝕍 ein Unterschema, und sei 𝕐 ⊆ 𝕍 das zu 𝕏 residuelle Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein Cayley-Bacharach Schema.

b) Es gilt I_{𝕍} : (I_{𝕐})_{α_{𝕐/𝕍}} = I_{𝕏}.

c) Es gilt Ann_{S}((I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}}) = I_{𝕏/𝕍}.

d) Es gilt (I_{𝕍})_{σ_{𝕍}} : (I_{𝕐})_{α_{𝕐/𝕍}} = (I_{𝕏})_{σ_{𝕏}}.

e) Es gilt Ann_{S}((I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}})_{σ_{𝕏}} = (I_{𝕏/𝕍})_{σ_{𝕏}}.

f) Die Dimension des K-Vektorraums (A/(I_{𝕍} : (I_{𝕍} : I_{𝕏})_{α_{𝕐/𝕍}}))_{σ_{𝕏}} ist H_{𝕏}(σ_{𝕏}).

Beweis: Zuerst zeigen wir, daß Bedingung b) aus a) folgt. Hierbei brauchen wir nur die Inklusion “⊆” zu beweisen. Sei F ∈ A ein homogenes Polynom mit F · (I_{𝕐})_{α_{𝕐/𝕍}} ⊆ I_{𝕍}. Angenommen, es gilt F ∉ I_{𝕏}. Nach [K2], 2.2.b existiert dann ein Unterschema 𝕏′ ⊆ 𝕏 mit deg 𝕏′ = deg 𝕏 − 1 und Z((F, I_{𝕏})^{sat.}) ⊆ 𝕏′ ⊆ 𝕏. Sei 𝕐′ ⊆ 𝕍 das zu 𝕏′ residuelle Unterschema, das nach Satz 16.2 den Grad deg 𝕐′ = deg 𝕐 + 1 hat und das 𝕐 umfaßt. Wegen Satz 16.3 genügt es nun zu zeigen, daß (I_{𝕐′/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}} = (I_{𝕐/𝕍})_{α_{𝕐/𝕍}} gilt, um einen Widerspruch zu Voraussetzung a) zu erhalten. Wiederum ist nur die Inklusion “⊇” nichttrivial. Sei G ∈ (I_{𝕐})_{α_{𝕐/𝕍}}. Auf Grund der Wahl von F gilt F · G ∈ I_{𝕍}. Wegen G + I_{𝕍} ∈ I_{𝕐/𝕍} = Ann_{S}(I_{𝕏/𝕍}) haben wir auch G · I_{𝕏} ⊆ I_{𝕍}. Da I_{𝕍} saturiert ist, muß dann sogar G · (F, I_{𝕏})^{sat.} ⊆ I_{𝕍} gelten. Insbesondere folgt G · I_{𝕏′} ⊆ I_{𝕍}, also die Behauptung G ∈ (I_{𝕐′})_{α_{𝕐/𝕍}}.

Bedingung c) ergibt sich aus b) durch Übergang zum Ring S = A/I_{𝕍} und ist zu Bedingung b) äquivalent. Wegen Satz 16.2.c ist Bedingung d) eine triviale Konsequenz von Bedingung b). Ferner ist Bedingung e) nur eine Umformulierung von Bedingung d), die man durch Übergang zu S = A/I_{𝕍} erhält. Die Bedingungen d) und f) sind äquivalent, weil die Inklusion (I_{𝕍})_{σ_{𝕍}} : (I_{𝕍} : I_{𝕏})_{α_{𝕐/𝕍}} ⊇ (I_{𝕏})_{σ_{𝕏}} stets gilt, so daß die Gleichheit dieser beiden K-Vektorräume bereits aus der Gleichheit ihrer Dimensionen folgt.

Schließlich müssen wir noch zeigen, daß sich Bedingung a) aus d) ergibt. Angenommen, 𝕏 ist kein Cayley-Bacharach Schema. Dann gibt es ein Unterschema 𝕏′ ⊆ 𝕏 mit deg 𝕏′ = deg 𝕏−1 und ein homogenes Polynom F ∈ A_{σ_{𝕏}} mit (I_{𝕏′/𝕏})_{σ_{𝕏}} = K ·F +I_{𝕏}. Insbesondere ist dann (F +I_{𝕏})_{σ_{𝕏}+1} ein 1-dimensionaler K-Vektorraum, d.h. für i = 1, …, d gilt X_{i} ·F ∈ K ·X_{0}F +I_{𝕏}. Nach Voraussetzung gilt F ∉ (I_{𝕍})_{σ_{𝕍}} : (I_{𝕐})_{α_{𝕐/𝕍}}, so daß wir ein homogenes Polynom G ∈ (I_{𝕐})_{α_{𝕐/𝕍}} finden können mit F · G ∉ (I_{𝕍})_{σ_{𝕍}}. Für i = 1, …, d erhalten wir dabei X_{i} · F · G ∈ K · X_{0}F G + G · I_{𝕏} ⊆ K · X_{0}F G + I_{𝕍}. Das von F · G + I_{𝕍} in S erzeugte Hauptideal ist also in jedem Grad ≥ σ_{𝕏} + α_{𝕐/𝕏} = σ_{𝕍} ein 1-dimensionaler K-Vektorraum und definiert ein Unterschema 𝕍′ ⊆ 𝕍 vom Grad deg 𝕍′ = deg 𝕍 − 1. Wegen α_{𝕍′/𝕍} ≤ σ_{𝕍} stellt dies einen Widerspruch dazu dar, daß 𝕍 arithmetisch Gorenstein, also insbesondere ein Cayley-Bacharach Schema ist. □

Bedingung f) im vorhergehenden Satz ist so formuliert, daß man sie mit Hilfe der Computeralgebra gut nachprüfen kann (vgl. z.B. [CNR]). In Abschnitt 20 verallgemeinern wir das Verfahren aus [K1], 4.11 auf den nicht notwendig reduzierten Fall.

17. Nulldimensionale Unterschemata der projektiven Ebene

Betrachten wir nur 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{2} der projektiven Ebene, so haben wir gegenüber dem allgemeinen Fall eine Reihe von zusätzlichen Resultaten zur Verfügung. Zum Beispiel können wir 𝕏 als ein Unterschema der Kodimension zwei betrachten, das arithmetisch Cohen-Macaulay ist (vgl. Lemma 1.2.b), und haben deshalb den Struktursatz von Hilbert-Burch. Oder wir können verwenden, daß die Kurven, die 𝕏 enthalten, gleichzeitig Hyperflächen in ℙ^{2} sind. Auch die Hilbert-Funktion bzw. die Castelnuovo-Funktion von 𝕏 haben eine besonders einfache Gestalt (vgl. [D], 2.1).

17.1. Lemma. Ist 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein 0-dimensionales Unterschema, so gilt ΔH_{𝕏}(i) ≥ ΔH_{𝕏}(i + 1) für alle i ≥ α_{𝕏} − 1.

Um die Notation zu vereinfachen, schreiben wir wieder α = α_{𝕏}, σ = σ_{𝕏}, Δ = Δ_{𝕏}, etc., sowie ΔH_{𝕏} : h_{0} h_{1} ⋯ h_{σ} h_{σ+1} mit h_{0} = 1 und h_{σ+1} = Δ. Wegen Lemma 17.1 liegt es nahe, die Castelnuovo-Funktion eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{2} folgendermaßen zu zerlegen.

17.2. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein 0-dimensionales Unterschema.

a) Sind n_{1}, n_{2} ≥ 0 mit α < n_{1} < n_{2} und h_{n_{1}−1} > h_{n_{1}} = ⋯ = h_{n_{2}} > h_{n_{2}+1}, so nennen wir [n_{1}, n_{2}] ein Flachstück von ΔH_{𝕏}.

Im folgenden sei ν ≥ 0 die Anzahl der Flachstücke von ΔH_{𝕏}.

b) Wir setzen τ_{1} = σ + 1 und τ_{i} = max{n ≥ 0 | h_{n} > h_{n+1} = h_{n+2} ≥ h_{τ_{i−1}}} für i = 2, …, ν. Die Zahl τ_{i} ist so definiert, daß h_{τ_{i+1}} der letzte Wert von ΔH_{𝕏} vor dem i-ten Flachstück ist.

c) Für i = 0, …, ν − 1 sei α_{i} = h_{τ_{i+1}+1}, und es gelte α_{ν} = α. Die Zahl α_{i} ist der Funktionswert, den ΔH_{𝕏} im i-ten Flachstück annimmt.

d) Für i = 0, …, ν sei γ_{i} = max{n ≥ 0 | h_{n−1} = h_{n} > h_{n+1} ≥ h_{τ_{i}+1}}. Dieses Maximum existiert stets, außer im Fall h_{α−1} > h_{α}, in dem wir γ_{ν} = α − 1 setzen. Die Zahl γ_{i} ist der letzte Grad, in dem ΔH_{𝕏} den Wert α_{i} annimmt.

e) Für i = 1, …, ν sei

ΔH_{i}(n) = \{ \begin{matrix}n + 1 & für 0 ≤ n ≤ α_{i} − 1 − α_{i−1}, \\ α_{i} − α_{i−1} & für α_{i} − α_{i−1} ≤ n ≤ γ_{i} − α_{i−1}, \\ h_{n+α_{i−1}} − α_{i−1} & für γ_{i} + 1 − α_{i−1} ≤ n ≤ τ_{i} − α_{i−1}, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

Die Funktion ΔH_{i} : ℤ ⟶ ℕ entspricht der i-ten Schicht von ΔH_{𝕏}, welche um α_{i−1} nach unten und nach links verschoben wurde.

Aus dieser Definition und aus [GMR] ergibt sich leicht, daß die Funktionen ΔH_{1}, …, ΔH_{ν} selbst Castelnuovo-Funktionen 0-dimensionaler Unterschemata von ℙ^{2} sind. Wir veranschaulichen die eben definierte Zerlegung noch mit einer Skizze:

0  γ_{ν}τ_{ν}  γ_{2}τ_{2} γ_{1} τ_{1}^{1 α_{1} α_{2} α_{ν}}  _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.} _{.}_{.}_{.}_{.}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  n h_{n}_{.}_{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}  ^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}^{.}_{.}_{.} ..... 1-te Schicht 2-te Schicht ν-te Schicht

Das Besondere an der Zerlegung der Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏} eines 0-dimen-sionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ist nun, daß ihr im reduzierten Fall eine Zerlegung des Schemas selbst entspricht. Der nachstehende Satz faßt die Ergebnisse von [D] zusammen und wurde in [K11], 3.2 aus diesen abgeleitet.

17.3. Satz. (Die kanonische Zerlegung)

Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Die Castelnuovo-Funk-tion ΔH_{𝕏} werde wie in Definition 17.2 in Schichten ΔH_{1}, …, ΔH_{ν} zerlegt. Dann gibt es eine eindeutige Zerlegung

𝕏 = 𝕏^{(1)}∪⋯ ∪· 𝕏^{(ν)}

in Unterschemata 𝕏^{(i)} ⊆ 𝕏, so daß für i = 1, …, ν gilt ΔH_{𝕏^{(i)}} = ΔH_{i}.

Diese Zerlegung nennen wir die kanonische Zerlegung von 𝕏. Die Unterschemata 𝕏^{(i)} heißen die kanonischen Komponenten von 𝕏. Im weiteren Verlauf dieses Abschnitts wollen wir einige Resultate aus [K11] erklären, die verschiedene Invarianten eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{2} mit denen seiner kanonischen Komponenten in Verbindung bringen. Wir präsentieren auch Schranken für diese Invarianten, von denen wir oftmals zeigen können, daß sie scharf sind. Als erstes wollen wir uns mit den folgenden Invarianten beschäftigen.

17.4. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema. Für jeden Punkt P ∈ Supp (𝕏) heißt

deg_{𝕏}(P) = max{α_{𝕐/𝕏} | 𝕐 ⊆ 𝕏 Unterschema vom Grad deg 𝕏 − 1 mit O_{𝕐,P} ≠ O_{𝕏,P} }

der Grad von P in 𝕏.

17.5. Bemerkungen. a) Ist 𝕏 reduziert, so gilt natürlich deg_{𝕏}(P) = α_{𝕏\{P }/𝕏} für alle P ∈ Supp (𝕏).

b) Ist 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} reduziert und R̃ ≅ K[T_{1}] × ⋯ × K[T_{s}] der ganze Abschluß von R, so ist der Führer 𝔉_{_{R}/R} von R in R̃ nach Korollar 2.10.a gegeben durch

𝔉_{_{R}/R} ≅ ∏_{i=1}^{s} T_{i}^{deg_{𝕏}(P_{i})} · K[T_{i}].

17.6. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, und sei 𝔉_{_{R}/R} ⊆ R der Führer von R in R̃ (vgl. Definition 2.8). Dann heißt die Länge ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) des Rings R/𝔉_{_{R}/R} die Kolänge des Führers von 𝕏.

17.7. Satz. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. a) Es gilt ℓ(R̃/𝔉_{_{R}/R}) = ∑_{i=1}^{s} deg_{𝕏}(P_{i}).

b) Es gilt ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) = ∑_{i=1}^{s} deg_{𝕏}(P_{i}) − ∑_{i=0}^{σ+1} i · h_{i}.

Beweis: Behauptung a) folgt sofort aus Bemerkung 17.5.b, und Behauptung b) ergibt sich wegen ℓ(R̃/R) = ∑_{i=0}^{∞}(dim_{K} R̃_{i} − dim_{K} R_{i}) = ∑_{i=0}^{σ}(s − H_{𝕏}(i)) = ∑_{i=0}^{σ+1} i · h_{i} aus der exakten Sequenz 0 ⟶ R/𝔉_{_{R}/R} ⟶ R̃/𝔉_{_{R}/R} ⟶ R̃/R ⟶ 0 (vgl. [K11], 4.4).

□

Im Fall eines reduzierten Unterschemas 𝕏 der projektiven Ebene ℙ^{2} erhalten wir aus der kanonischen Zerlegung eine obere Schranke für die Kolänge des Führers, die nur von der Castelnuovo-Funktion von 𝕏 abhängt.

17.8. Satz. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{2} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, und sei 𝕏 = 𝕏^{(1)}∪⋯ ∪· 𝕏^{(ν)} die kanonische Zerlegung von 𝕏.

a) Für alle P ∈ Supp (𝕏^{(i)}) mit 1 ≤ i ≤ ν gilt deg_{𝕏}(P) ≤ τ_{i}.

b) Es gilt ℓ(R̃/𝔉_{_{R}/R}) = ∑_{i=1}^{s} deg_{𝕏}(P_{i}) ≤ ∑_{i=1}^{ν} τ_{i} · deg 𝕏^{(i)}.

c) Es gilt ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) ≤ ∑_{i=1}^{ν} τ_{i} · deg 𝕏^{(i)} − ∑_{i=0}^{σ+1} i · h_{i}.

Beweis: Vgl. [K11], 3.3 und 4.5. □

Die kanonische Zerlegung kann auch dazu verwendet werden zu zeigen, daß die obere Schranke für die Kolänge des Führers aus Satz 17.8.c scharf ist. Dazu brauchen wir die folgende Beziehung zwischen dem Grad eines Punktes in 𝕏 und seinem Grad in der kanonischen Komponente 𝕏^{(i)}, in der er liegt.

17.9. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, und sei 𝕏 = 𝕏^{(1)}∪⋯ ∪· 𝕏^{(ν)} die kanonische Zerlegung von 𝕏. Dann gilt für alle i ∈ {1, …, ν} und alle Punkte P ∈ Supp (𝕏^{(i)}) die Formel

deg_{𝕏}(P) = deg_{𝕏^{(i)}}(P) + α_{i−1}.

Beweis: Vgl. [K11], 3.5. □

Die Castelnuovo-Funktion eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{2} heißt vom fallenden Typ, wenn für alle i ≥ α_{𝕏} −1 mit ΔH_{𝕏}(i) > ΔH_{𝕏}(i+1) > 0 gilt ΔH_{𝕏}(i+1) > ΔH_{𝕏}(i + 2), mit anderen Worten, wenn die Funktion ΔH_{𝕏} streng monoton bis auf null fällt, sobald sie einmal zu fallen begonnen hat. Nach der Konstruktion der kanonischen Zerlegung sind die Funktionen ΔH_{𝕏^{(i)}} = ΔH_{i} vom fallenden Typ. Der Satz [D], 4.4 besagt, daß es zu jeder Castelnuovo-Funktion ΔH_{i} vom fallenden Typ ein reduziertes Cayley-Bacharach Schema 𝕐_{i} ⊆ ℙ^{2} gibt mit dieser Castelnuovo-Funktion. Im Fall char (K) = 0 folgt dies auch aus dem Satz von der uniformen Lage (vgl. Satz 7.1). Mit diesen Hilfsmitteln kann man nun die gesuchten Schemata konstruieren.

17.10. Satz. Sei h : ℤ ⟶ ℕ die Castelnuovo-Funktion eines 0-dimensionalen Unterschemas von ℙ^{2}, sei ν die Anzahl der Flachstücke von h, und seien ΔH_{1}, …, ΔH_{ν} die gemäß Definition 17.2 gegebenen Schichten von h. Für jedes i ∈ {1, …, ν} wähle ein reduziertes Cayley-Bacharach Schema 𝕐_{i} ⊆ ℙ^{2} mit Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕐_{i}} = ΔH_{i}.

a) Es gibt projektive Koordinatentransformationen T_{i} : ℙ^{2} ⟶^{∼} ℙ^{2} für i = 1, …, ν, so daß das Schema 𝕏 = T_{1}(𝕐_{1})∪⋯ ∪· T_{ν}(𝕐_{ν}) die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏} = h besitzt.

b) In der kanonischen Zerlegung 𝕏 = 𝕏^{(1)}∪⋯ ∪· 𝕏^{(ν)} dieses Schemas gilt 𝕏^{(i)} = T_{i}(𝕐_{i}) für i = 1, …, ν.

c) Für i = 1, …, ν und für P ∈ Supp (𝕏^{(i)}) gilt deg_{𝕏}(P) = τ_{i}.

d) Es gilt ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) = ∑_{i=1}^{ν} τ_{i} · deg 𝕏^{(i)} − ∑_{i=0}^{σ+1} i · h_{i}, d.h. die Schranke aus Satz 17.8.c ist scharf.

Beweis: Vgl. [K11], 3.6. □

Als nächstes wenden wir uns der Frage zu, ob es für 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{2} auch eine untere Schranke für die Kolänge des Führers gibt. Dazu erweist sich die Untersuchung der folgenden Punktmengen als hilfreich.

17.11. Definition. Sei h : ℤ ⟶ ℕ die Castelnuovo-Funktion eines 0-dimensionalen Unterschemas von ℙ^{2}, sei α = min{i ∈ ℤ | h(i) < i+1}, sei σ = max{i ∈ ℤ | h(i) ≠ 0} − 1, und seien {s_{0}, …, s_{σ+1}} ⊆ K sowie {t_{0}, …, t_{α−1}} ⊆ K Mengen paarweise verschiedener Elemente. Dann heißt das 0-dimensionale reduzierte Unterschema

𝕏(h) = {(1 : s_{i} : t_{j}) ∈ ℙ^{2} | 0 ≤ i + j ≤ σ + 1, 0 ≤ j ≤ h_{i+j}} ⊆ ℙ^{2}

das Castelnuovo-Schema zu h mit den Parametern s_{0}, …, s_{σ+1} und t_{0}, …, t_{α−1}.

Die Bedeutung der Castelnuovo-Schemata ergibt sich aus Hartshorne’s Methode zur Liftung von durch Lex-Segmente definierten monomialen Idealen (vgl. [H2]). Wie zum Beispiel in [GGR], 2.2 auf elementare Weise bewiesen wird, hat ein Castelnuovo-Schema 𝕏 zu h tatsächlich die Castelnuovo-Funktion ΔH_{𝕏} = h, und man kann ein homogenes Erzeugendensystem seines Verschwindungsideals I_{𝕏} ⊆ A explizit angeben. Für uns ist der folgende Satz von besonderer Wichtigkeit, der besagt, daß man in einem Castelnuovo-Schema auch den Grad jedes Punktes explizit angeben kann.

17.12. Satz. Sei 𝕏(h) ein Castelnuovo-Schema zu h mit den Parametern s_{0}, …, s_{σ+1} und t_{0}, …, t_{α−1}. Dann hat der Punkt P = (1 : s_{p} : t_{q}) ∈ Supp (𝕏(h)) den Grad

deg_{𝕏(h)}(P) = max{i ≥ α | h_{i} > q}

in 𝕏(h). Insbesondere hängt dieser Grad nur von q ab, d.h. alle Punkte auf der Geraden Z(X_{2} − t_{q}X_{0}) haben den gleichen Grad in 𝕏(h).

Beweis: Vgl. [K11], 1.9. □

Unser Hauptresultat über die Kolänge des Führers ist, daß sie für Castelnuovo-Schemata minimal wird. Setzen wir 𝕏_{≤i} = {P ∈ Supp (𝕏) | deg_{𝕏}(P) ≤ i} für jedes 0-dimensionale Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{2} und jede Zahl i ≥ 0, so haben wir genauer die folgenden Abschätzungen.

17.13. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein 0-dimensionales Unterschema, sei h = ΔH_{𝕏} die Castelnuovo-Funktion von 𝕏, und sei 𝕏(h) ein Castelnuovo-Schema zu h.

a) Für jedes i ≥ 0 besteht 𝕏_{≤i} aus höchstens so vielen Punkten wie 𝕏(h)_{≤i}.

b) Ist 𝕏 reduziert, so gilt ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) ≥ ∑_{P ∈Supp (𝕏)} deg_{𝕏(h)}(P)−∑_{i=0}^{σ+1} i·h_{i}. Hierbei hängt der Ausdruck auf der rechten Seite nur von h ab, und die Ungleichung ist eine Gleichung, falls 𝕏 ein Castelnuovo-Schema zu h ist.

Beweis: Vgl. [K11], 2.2, 2.4 und 4.5.a. □

Im restlichen Teil dieses Abschnitts wollen wir auch noch die folgenden Invarianten eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{2} betrachten.

17.14. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{2} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. a) Die Zahl ℓ(R̃/R) heißt der Singularitätengrad von 𝕏.

b) Die Zahl δ_{𝕏} = ℓ(R̃/R) − ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}) heißt die Superabundanz von 𝕏.

17.15. Bemerkungen. a) Der affine Kegel C über 𝕏 besteht aus s = deg 𝕏 reduzierten Geraden in 𝔸^{3}, die sich im Ursprung O = (0, 0, 0) schneiden. Der lokale Ring von C in O ist dann gegeben durch O_{C,O} ≅ R_{𝔪}. Da der Singularitätengrad von 𝕏 die Gleichung ℓ(R̃/R) = ℓ(R̃_{𝔪}/R_{𝔪}) erfüllt, stimmt er also mit dem üblichen Singularitätengrad der Kurve C im Punkt O überein.

b) Wie wir sehen werden, gilt stets ℓ(R̃/R) ≥ ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}). Dies erklärt den Namen “Superabundanz” für δ_{𝕏}. Aus der exakten Sequenz 0 ⟶ R/𝔉_{_{R}/R} ⟶ R̃/𝔉_{_{R}/R} ⟶ R̃/R ⟶ 0 folgt

δ_{𝕏} = ℓ(R̃/𝔉_{_{R}/R}) − 2 · ℓ(R/𝔉_{_{R}/R}).

Die Ungleichung δ_{𝕏} ≥ 0 wurde in [HK], 3.7 in der lokalen Situation bewiesen. Wir werden sie im nächsten Satz verfeinern.

c) Nach Satz 17.7 kann man die Superabundanz δ_{𝕏} auch ausdrücken durch die Formel

δ_{𝕏} = 2 · ∑_{i=0}^{σ+1}i · h_{i} − ∑_{P ∈Supp (𝕏)} deg_{𝕏}(P).

17.16. Satz. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{2} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema mit Castelnuovo-Funktion h = ΔH_{𝕏}. Mit den Notationen von Definition 17.2 und Satz 17.3 sei

δ′_{h} = 2 · ∑_{i=0}^{σ+1}i · h_{i} − ∑_{i=1}^{ν}τ_{i} · deg 𝕏^{(i)}.

Ferner sei 𝕏(h) ein Castelnuovo-Schema zu h.

a) Wir haben eine Kette von Ungleichungen δ_{𝕏(h)} ≥ δ_{𝕏} ≥ δ′_{h} ≥ 0. Hierbei hängen die Zahlen δ_{𝕏(h)} und δ′_{h} nur von der Funktion h ab.

b) In der obigen Kette gilt δ′_{h} = 0 genau dann, wenn die Hilbert-Funktion von 𝕏 symmetrisch ist.

c) In der obigen Kette gilt δ_{𝕏} = δ′_{h} genau dann, wenn jede der kanonischen Komponenten 𝕏^{(1)}, …, 𝕏^{(ν)} von 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist.

d) In der obigen Kette gilt δ_{𝕏} = δ′_{h} = 0 genau dann, wenn 𝕏 arithmetisch Gorenstein ist.

Beweis: Vgl. [K11], 4.8. □

Der letzte Teil dieses Satzes verallgemeinert D. Gorensteins ursprüngliche Charakterisierung der nach ihm benannten Ringe (vgl. [Gor], Thm. 6). Für Beispiele und Anwendungen der vorangehenden Resultate verweisen wir den Leser auf [K11].

18. Determinantielle nulldimensionale Schemata

In diesem Abschnitt wollen wir dem Leser einige Charakterisierungen 0-dimensio-naler (und höherdimensionaler) Unterschemata von ℙ^{d} vorstellen, die “determinantiell” sind in dem Sinne, daß ihr homogenes Verschwindungsideal von den maximalen Minoren einer homogenen Matrix homogener Polynome erzeugt wird. Selbstverständlich muß man dabei Bedingungen an die Größe dieser Matrix stellen, weil ja sonst jedes abgeschlossene Unterschema von ℙ^{d} determinantiell wäre. Der Ausgangspunkt der Arbeit [K12], auf der dieser Abschnitt basiert, war das folgende Resultat des Autors (vgl. [K7], 1.3).

18.1. Satz. Ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} ist genau dann ein vollständiger Durchschnitt, wenn 𝕏 arithmetisch Gorenstein ist, und wenn es eine Kurve C ⊆ ℙ^{3} gibt, die arithmetisch Cohen-Macaulay und ein lokal vollständiger Durchschnitt ist, so daß 𝕏 das zu einem effektiven Cartier-Divisor von C assoziierte Unterschema darstellt, und so daß die Garbe O_{C}(𝕏) zu ω_{C}(σ_{𝕏}) isomorph ist und von ihren globalen Schnitten erzeugt wird.

Ein vollständiger Durchschnitt wie in diesem Satz ist natürlich nichts anderes als ein determinantielles Schema, dessen Verschwindungsideal von den maximalen Minoren einer 3 × 1-Matrix homogener Polynome erzeugt wird. Man beachte, daß diese maximalen Minoren ein Unterschema der “erwarteten” Kodimension definieren. Ganz allgemein führen wir nun die folgenden Begriffe ein.

18.2. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein abgeschlossenes Unterschema und r = codim 𝕏 − 1.

a) Das Schema 𝕏 heißt standard determinantiell, wenn es eine Zahl t ≥ 1 und eine homogene t × (t+r)-Matrix 𝔄 homogener Polynome aus A gibt, so daß das homogene Verschwindungsideal I_{𝕏} von den maximalen Minoren von 𝔄 erzeugt wird. (In dieser Situation definieren die maximalen Minoren von 𝔄 also gerade ein Unterschema der “erwarteten” Kodimension r + 1.)

b) Das Schema 𝕏 heißt gut determinantiell, wenn es standard determinantiell ist, und wenn man die Matrix 𝔄 zusätzlich so wählen kann, daß sie (eventuell nach einem Basiswechsel) eine (t−1) × (t+r)-Untermatrix enthält, deren maximale Minoren ein Unterschema der Kodimension r + 2 definieren.

Eine homogene Matrix – wie sie in dieser Definition verlangt wird – ist dabei die Matrix einer homogenen Abbildung zwischen zwei endlich erzeugten, graduiert-freien A-Moduln. Wir illustrieren diese Konzepte mit einigen Beispielen.

18.3. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{3} das Unterschema, das von den maximalen Minoren der Matrix 𝔄 = \binom{X_{1} X_{2} X_{3} 0}{0 X_{1} X_{2} X_{3}} definiert wird. Dann ist 𝕏 das 0-dimensionale Unterschema, das am Punkt P = (1:0:0:0) konzentriert ist und O_{𝕏,P} ≅ O_{ℙ^{3},P} /𝔪_{ℙ^{3},P}^{2} erfüllt. Wegen r = codim 𝕏 − 1 = 2 ist 𝕏 ein standard determinantielles Schema. Jedoch enthält die Matrix 𝔄 – selbst nach eventuellem Basiswechsel – keine 1×4 -Untermatrix, deren Einträge das leere Unterschema, also das Unterschema der Kodimension r + 2 = 4 von ℙ^{3} definieren, denn alle Einträge von 𝔄 liegen in dem Ideal (X_{1}, X_{2}, X_{3}). Somit ist 𝕏 kein gut determinantielles Schema.

18.4. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema, das von den 2 × 2-Minoren einer Matrix 𝔄 = ( \begin{matrix}F_{0} & ⋯ & F_{d} \\ G_{0} & ⋯ & G_{d} \end{matrix} ) wie in Satz 5.22 definiert wird. Dann hat

𝕏 die Kodimension d = r + 1, und die Teilmatrix (F_{0} ⋯ F_{d}) definiert ein Unterschema ∅ ⊆ ℙ^{d} der Kodimension d + 1 = r + 2. Somit ist 𝕏 ein gut determinantielles Schema.

Man kann Satz 5.22 also so interpretieren, daß ein gut determinantielles 0-dimen-sionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} im Fall t = 2 stets ein Cayley-Bacharach Schema ist. Es stellt sich die Frage, ob dies für alle t ≥ 1 so ist.

Möchten wir Satz 18.1 auf den Fall t ≥ 2 ausdehnen, so zeigt ein näheres Studium seines Beweises in [K7] und [K13] zusammen mit einem Ergebnis aus [MNP], daß er die folgende Verallgemeinerung besitzt (vgl. [K12], 4.8).

18.5. Satz. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{3} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist gut determinantiell.

b) 𝕏 ist standard determinantiell und ein lokal vollständiger Durchschnitt.

c) Es gibt eine Kurve C ⊆ ℙ^{3}, die arithmetisch Cohen-Macaulay und ein lokal vollständiger Durchschnitt ist, so daß 𝕏 das zu einem effektiven Cartier-Divisor von C assoziierte Unterschema darstellt, und so daß für ein i ∈ ℤ gilt O_{C}(𝕏) ≅ ω_{C}(i).

Wird 𝕏 hierbei von den maximalen Minoren einer t×(t+r)-Matrix homogener Polynome definiert, so ist der Cohen-Macaulay Typ des homogenen Koordinatenrings von 𝕏 gegeben durch \binom{r+t−1}{r}, und der Cohen-Macaulay Typ des homogenen Koordinatenrings von C ist \binom{r+t−1}{r−1}.

Unser Ziel ist es nun, diesen Satz noch weiter auf den Fall 0-dimensionaler Unterschemata von ℙ^{d} mit d ≥ 3 zu verallgemeinern. Dazu brauchen wir zuerst eine geeignete Verallgemeinerung der reflexiven Garben vom Rang zwei, die im Beweis von Satz 18.1 in [K7] und [K13] benützt werden. Hierzu dienen die folgenden Begriffe.

18.6. Definition. Seien F, G zwei endlich erzeugte, lokal freie O_{ℙ^{d}}-Modulgarben vom Rang f = rk(F) bzw. g = rk(G) auf ℙ^{d}, und sei Φ : F ⟶ G ein generisch surjektiver Garbenhomomorphismus.

a) Es gibt einen Komplex von O_{ℙ^{d}}-Moduln

0 ⟶ Λ^{f}F ⊗ Sym^{f−g−1}(Gˇ ) ⊗ Λ^{g}(Gˇ ) ⟶ Λ^{f−1}F ⊗ Sym^{f−g−2}(Gˇ ) ⊗ Λ^{g}(Gˇ ) ⟶

⋯ ⟶ Λ^{g+2}F ⊗ Gˇ ⊗ Λ^{g}(Gˇ ) ⟶ Λ^{g+1}F ⊗ Λ^{g}(Gˇ ) ⟶ F ⟶^{Φ} G ⟶ 0.

Dieser Komplex heißt der Buchsbaum-Rim Komplex von Φ (vgl. [Bu], [BR]).

b) Hat der Träger der Garbe coker(Φ) die erwartete Kodimension f − g + 1, so ist der Buchsbaum-Rim Komplex exakt und heißt die Buchsbaum-Rim Auflösung von Φ. In diesem Fall heißt die Garbe B_{Φ} = ker(Φ) eine erste Buchsbaum-Rim Garbe, und die (i+1)-te Syzygiengarbe der Buchsbaum-Rim Auflösung heißt eine i-te Buchsbaum-Rim Garbe (vgl. [MNP]).

In unserer Situation werden F und G stets direkte Summen von Geradenbündeln O_{ℙ^{d}}(i) mit i ∈ ℤ sein, so daß der Garbenhomomorphismus Φ durch eine homogene Matrix 𝔄 homogener Polynome repräsentiert wird. Dies setzen wir im folgenden immer voraus.

18.7. Bemerkung. Definieren die maximalen Minoren einer homogenen t × (t+r)- Matrix 𝔄 ein Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} der erwarteten Kodimension r + 1, so stellt der Buchsbaum-Rim Komplex eine freie Auflösung von coker(Φ) dar, und der Annihilator von coker(Φ) ist gegeben durch das Ideal, das von den maximalen Minoren von 𝔄 erzeugt wird (vgl. [E], ex. 20.6).

Mit diesen Begriffen können wir eine Reihe von Charakterisierungen gut determinantieller Schemata geben.

18.8. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein abgeschlossenes Unterschema der Kodimension codim 𝕏 = r + 1 ≥ 2. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein gut determinantielles Schema.

b) 𝕏 ist das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts des Duals einer ersten Buchsbaum-Rim Garbe vom Rang r + 1.

c) 𝕏 ist standard determinantiell und ein lokal vollständiger Durchschnitt außerhalb eines Unterschemas 𝕐 ⊆ 𝕏 der Kodimension r + 2 in ℙ^{d}.

d) 𝕏 ist standard determinantiell und ein generisch vollständiger Durchschnitt.

Beweis: Vgl. [K12], 3.1, 3.4 und 3.5. □

18.9. Beispiel. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{3} das standard determinantielle Unterschema aus Beispiel 18.3. Wegen O_{𝕏,P} ≅ O_{ℙ^{3},P} /𝔪_{ℙ^{3},P}^{2} ist 𝕏 kein lokal vollständiger Durchschnitt, so daß 𝕏 auch nach Satz 18.8 nicht gut determinantiell sein kann.

Um die gesuchte Verallgemeinerung der Sätze 18.1 und 18.5 formulieren zu können, brauchen wir noch geeignete Kandidaten, die die Rolle der Kurve C ⊆ ℙ^{3} und der Bedingung O_{C}(𝕏) ≅ ω_{C}(i) spielen können.

18.10. Definition. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein standard determinantielles Unterschema der Kodimension codim 𝕏 = r + 1. Dann bezeichnen wir mit M_{𝕏} die Menge der Isomorphieklassen aller endlich erzeugten, graduierten A-Moduln M, für die Ann_{A}(M) = I_{𝕏} gilt und die eine minimale homogene Präsentation der Form

⨁_{i=1}^{r+μ} A(a_{i}) ⟶ ⨁_{j=1}^{μ} A(b_{j}) ⟶ M ⟶ 0

mit μ ≥ 1 und a_{i}, b_{j} ∈ ℤ haben.

Gilt codim 𝕏 = r + 1 = 2, oder ist 𝕏 ein vollständiger Durchschnitt, so kann man zeigen, daß die Menge M_{𝕏} nur aus einem Element besteht. Der nächste Satz ist die allgemeinste Version von Satz 18.1, die in [K12], 3.7 bewiesen wird.

18.11. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein abgeschlossenes Unterschema, und sei r = codim 𝕏 − 1.

a) Genau dann ist 𝕏 standard determinantiell, wenn es ein gut determinantielles Unterschema 𝕐 ⊆ ℙ^{d} gibt mit codim 𝕐 = r, so daß 𝕏 ⊆ 𝕐 das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts t ∈ Γ_{∗}(M̃) mit M ∈ M_{𝕐} ist.

b) Genau dann ist 𝕏 gut determinantiell, wenn es ein gut determinantielles Unterschema 𝕐 ⊆ ℙ^{d} gibt mit codim 𝕐 = r, so daß 𝕏 ⊆ 𝕐 das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts t ∈ Γ_{∗}(M̃) mit M ∈ M_{𝕐} ist, und so daß coker(t) zu einer Idealgarbe positiver Höhe von O_{𝕏} isomorph ist.

Als Anwendung erhalten wir die gesuchte Verallgemeinerung von Satz 18.5, also eine Charakterisierung gut determinantieller 0-dimensionaler Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}.

18.12. Korollar. Für ein 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist gut determinantiell.

b) Es gibt eine gut determinantielle Kurve C ⊆ ℙ^{d}, die ein lokal vollständiger Durchschnitt ist, so daß 𝕏 das zu einem effektiven Cartier-Divisor von C assoziierte abgeschlossene Unterschema darstellt, und so daß es eine exakte Sequenz

0 ⟶ O_{C}(i) ⟶^{t} M̃ ⟶ O_{𝕏}(j) ⟶ 0

mit i, j ∈ ℤ und M ∈ M_{C} gibt.

Beweis: Vgl. [K12], 4.7. □

Für Beispiele und Anwendungen dieser Charakterisierung verweisen wir den Leser auf [K12], §4. Wir erwähnen noch die folgende Charakterisierung vollständiger Durchschnitte, die ebenfalls aus Satz 18.11 folgt und Satz 18.1 verallgemeinert.

18.13. Korollar. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein abgeschlossenes Unterschema, und sei r = codim 𝕏− 1 ≥ 2. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist ein vollständiger Durchschnitt.

b) 𝕏 ist arithmetisch Gorenstein, und es gibt ein gut determinantielles Unterschema 𝕐 ⊆ ℙ^{d} mit codim 𝕐 = r, so daß 𝕏 ⊆ 𝕐 das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts t ∈ Γ_{∗}(M̃) mit M ∈ M_{𝕐} ist.

In diesem Fall kann man 𝕐 und M so wählen, daß M̃ von seinen globalen Schnitten erzeugt wird.

Beweis: Vgl. [K12], 4.1. □

19. Kodierungstheorie

Besitzt der algebraisch abgeschlossene Grundkörper K eine positive Charakteristik char (K) = p > 0, und betrachten wir nur reduzierte 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d}, für die alle Punkte Koordinaten in einem endlichen Körper 𝔽_{q} ⊆ K mit q = p^{e} und e ≥ 1 haben, so ist ziemlich klar, daß dies bzgl. der möglichen Werte der Hilbert-Funktion oder anderer Invarianten und bzgl. der Uniformität von 𝕏 zu starken Einschränkungen führt. Zum Beispiel können höchstens q + 1 Punkte von 𝕏 auf einer Geraden liegen, oder wir können Beispiel 7.10 betrachten, wo wir fanden, daß bestimmte Punktmengen höchstens 1-uniform sind. Schon die Frage nach den möglichen Hilbert-Funktionen reduzierter 0-dimensionaler Unterschemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} scheint schwierig und im allgemeinen Fall noch ungelöst zu sein.

In der Arbeit [K14] wurde daher die einfachere Frage untersucht, welche Werte die Invariante σ_{𝕏} in dieser Situation annehmen kann. Wir stellen nachfolgend die Hauptergebnisse von [K14] vor und zeigen dann, wie der beschriebene Problemkreis mit den Fragestellungen der Kodierungstheorie zusammenhängt.

Ist 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimen-sionales Unterschema, so gilt offenbar 1 ≤ d < s ≤ deg ℙ^{d}(𝔽_{q}) = \frac{q^{d+1}−1}{q−1}. Anstelle der Invarianten σ_{𝕏} betrachten wir im folgenden die Zahl r_{𝕏} = σ_{𝕏} + 1, die auch die Castelnuovo-Mumford Regularität von 𝕏 genannt wird. Um die möglichen Werte von r_{𝕏} besser studieren zu können, führen wir die Funktionen

𝔰(s, d, q) = max{r_{𝕏} | 𝕏 ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) nicht ausgeartetes, reduziertes,

0-dimensionales Unterschema vom Grad s}

und  𝔰(s, q) = max\{𝔰(s, d, q) | 1 ≤ d < s ≤ \frac{q^{d+1}−1}{q−1}\}

ein. Die Hilbert-Funktion der Menge ℙ^{d}(𝔽_{q}) aller 𝔽_{q}-rationalen Punkte wurde in [Sø], Thm. 1 berechnet und lautet folgendermaßen.

19.1. Lemma. Die Hilbert-Funktion des reduzierten 0-dimensionalen Schemas ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ist gegeben durch

H_{ℙ^{d}(𝔽_{q})}(i) = ∑_{{0≤t<i \atop t≡i mod (q−1)}} ∑_{0≤j≤d+1}(−1)^{j}\binom{d + 1}{j}\binom{t − qj + d}{t − qj}

für alle i ∈ ℤ.

Auf Grund dieses Lemmas ist auch σ(s, d, q) = max{i ∈ ℤ | s > H_{ℙ^{d}(𝔽_{q})}(i − 1)} effektiv berechenbar. Unser erster Satz führt die Bestimmung der möglichen Werte von r_{𝕏} auf die Berechnung der Funktion 𝔰(s, d, q) zurück.

19.2. Satz. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensionales Unterschema. Dann gilt

σ(s, d, q) ≤ r_{𝕏} ≤ 𝔰(s, d, q),

und jeder Wert zwischen diesen beiden Schranken wird angenommen.

Beweis: Vgl. [K14], 1.1. □

Was nun die Funktion 𝔰(s, d, q) betrifft, so wird sie in [K14] am Anfang und am Ende des Intervalls d < s ≤ \frac{q^{d+1}−1}{q−1} explizit bestimmt, und in den Fällen q = 2 sowie d = 2 wird sie vollständig berechnet. Wir beginnen mit dem allgemeinen Fall.

19.3. Satz. a) Für d < s ≤ d + q gilt 𝔰(s, d, q) = s − d.

b) Für d + q ≤ s < d + 2q gilt 𝔰(s, d, q) = q.

c) Für d + 2q ≤ s < q^{d} gilt 𝔰(s − 1, d, q) ≤ 𝔰(s, d, q) ≤ \frac{1}{2}(s + 2 − d).

d) Für q^{d} ≤ s < \frac{q^{d+1}−1}{q−1} gilt 𝔰(s, d, q) = d(q − 1).

e) Es gilt 𝔰(\frac{q^{d+1}−1}{q−1}, d, q) = d(q − 1) + 1.

Beweis: Vgl. [K14], 1.4. □

Aus einem Ergebnis über die Funktion 𝔰(s, d, q) ergeben sich meist auch Werte bzw. Abschätzungen der Funktion 𝔰(d, q).

19.4. Korollar. a) Für 2 ≤ s ≤ q + 1 gilt 𝔰(s, q) = s − 1.

b) Für q + 1 ≤ s ≤ 2q + 1 gilt 𝔰(s, q) = q.

c) Für s ≥ 2q + 2 gilt 𝔰(s, q) ≤ \frac{q−1}{2q−1}(s + 2).

Beweis: Vgl. [K14], 1.5. □

In dem für die Kodierungstheorie besonders relevanten Fall q = 2 kennen wir die Zahl 𝔰(s, d, q) auch in dem noch fehlenden Bereich d + 4 ≤ s < 2^{d}.

19.5. Satz. Sei d + 1 ≤ s ≤ 2^{d+1} − 1, und sei ℓ ≥ 1 die eindeutig bestimmte Zahl mit 2^{ℓ} − ℓ ≤ s − d < 2^{ℓ+1} − (ℓ + 1). Dann gilt 𝔰(s, d, 2) = ℓ.

Beweis: Vgl. [K14], 1.2. □

Die Beweise dieser Sätze verwenden außer Lemma 19.1 nur Methoden der Theorie der 0-dimensionalen Schemata wie wir sie in den vorangegangenen Abschnitten dargestellt haben. Auch im Fall d = 2, also für 𝔽_{q}-rationale Punkte in ℙ^{2}, können wir die Funktion 𝔰(s, d, q) im noch fehlenden Bereich 2 + 2q ≤ s < q^{2} explizit bestimmen. Die Haupthilfsmittel hierzu sind Lemma 17.1 und die kanonische Zerlegung (vgl. Satz 17.3).

19.6. Satz. a) Für q + 2 ≤ s ≤ 3q − 1 gilt 𝔰(s, 2, q) = q.

b) Für 3q ≤ s < q^{2} gilt 𝔰(s, 2, q) = ⌊\frac{s}{q}⌋ + q − 2.

Beweis: Vgl. [K14], 1.6. □

Im restlichen Teil dieses Abschnitts beschäftigen wir uns mit den Zusammenhängen zwischen diesen und ähnlichen Resultaten über reduzierte 0-dimensionale Unterschemata 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} und der Kodierungstheorie. In der Kodierungstheorie betrachtet man lineare Teilräume C ⊆ 𝔽_{q}^{s} und nennt sie lineare Koden. Die Zahl s heißt die Länge und die Zahl d(C) = dim_{𝔽_{q}}(C) die Dimension von C. Eine wichtige Rolle spielt auch die kleinste Zahl m(C) von Einträgen ungleich null, die ein Vektor aus C \ {(0, …, 0)} hat. Sie heißt der Minimalabstand von C. Man bezeichnet C auch als linearen [s, d(C)]_{q}-Kode. Für die Parameter eines linearen Kode gibt es eine einfache Schranke (vgl. z.B. [vL], 5.2.2).

19.7. Satz. (Singleton-Schranke)

Für jeden linearen Kode C ⊆ 𝔽_{q}^{s} gilt m(C) ≤ s − d(C) + 1.

Ein linearer Kode, der diese Schranke annimmt, heißt ein MDS-Kode (“maximum distance separable”). Ein Ziel der Kodierungstheorie ist es, “gute” Koden (z.B. MDS-Koden) zu finden. Ausgehend von einem reduzierten 0-dimensionalen Unterschema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} können wir dabei für jede Zahl 1 ≤ r ≤ σ_{𝕏} die folgende Konstruktion durchführen (vgl. [Han]).

19.8. Bemerkung. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ_{𝔽_{q}}^{d} ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0dimensionales Unterschema, und sei I_{𝕏} ⊆ 𝔽_{q}[X_{0}, …, X_{d}] das homogene Ideal, das von allen homogenen Polynomen erzeugt wird, die an allen Punkten von 𝕏 verschwinden. Wir nehmen an, daß 𝕏 ∩ Z(X_{0}) = ∅ gilt und schreiben P_{i} = (1 : p_{i1} : …: p_{id}) mit p_{i1}, …, p_{id} ∈ 𝔽_{q} für i = 1, …, s.

a) Der Ring R = 𝔽_{q}[X_{0}, …, X_{d}]/I_{𝕏} ist der homogene Koordinatenring von 𝕏 in ℙ_{𝔽_{q}}^{d}.

b) Für jede Zahl 1 ≤ r ≤ σ_{𝕏} hat man eine injektive 𝔽_{q}-lineare Abbildung

\begin{aligned}Φ_{r} : & R_{r} & ⟶ & 𝔽_{q}^{s} \\ & f & ⟼ & (f(1, p_{11}, …, p_{1d}), …, f(1, p_{s1}, …, p_{sd})) \end{aligned}

deren Bild ein linearer [s, H_{𝕏}(r)]_{q}-Kode ist. Wir nennen C = im Φ_{1} den zu 𝕏 assoziierten linearen Kode und C^{r} = im Φ_{r} den r-ten zu C assoziierten Reed-Muller Kode.

Jeder lineare Kode ist auf die beschriebene Weise assoziiert zu einem reduzierten 0-dimensionalen Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d}. (Man braucht nur r = 1 zu wählen.) Zwei lineare Koden heißen äquivalent, wenn sie sich nur um eine lineare Transformation aus 𝔖_{s} ⋉ (𝔽_{q}^{∗})^{s} ⊆ GL_{s}(𝔽_{q}) unterscheiden. Die Zahl der nicht äquivalenten Koden der Form C^{r} mit r ≥ 1 bezeichnen wir mit r(C). Mit der vorstehenden Konstruktion und diesen Sprechweisen haben die weiter oben aufgeführten Ergebnisse über die Invarianten r_{𝕏} und die Funktionen 𝔰(s, d, q) sowie 𝔰(s, q) die folgenden Interpretationen.

19.9. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ein nicht ausgeartetes, reduziertes, 0-dimensionales Unterschema, und sei C ⊆ 𝔽_{q}^{s} der zu 𝕏 assoziierte lineare Kode.

a) Es gilt r(C) = r_{𝕏}.

b) Es gilt 𝔰(s, d, q) = max{r(C) | C linearer [s, d+1]_{q}-Kode }.
c) Es gilt 𝔰(s, q) = max{r(C) | C ⊆ 𝔽_{q}^{s} linearer Kode }.

Beweis: Vgl. [K14], 3.1. □

Wesentlich interessanter als die Beziehung r(C) = r_{𝕏} ist jedoch die folgende Beziehung zwischen der Uniformität von 𝕏 und dem Minimalabstand des zu 𝕏 assoziierten Kode C ⊆ 𝔽_{q}^{s} (vgl. [Han], Prop. 6).

19.10. Satz. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, sei C ⊆ 𝔽_{q}^{s} der zu 𝕏 assoziierte lineare Kode, und sei 1 ≤ r ≤ σ_{𝕏}. Dann sind für jedes i ≥ 1 die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) Es gilt m(C^{r}) ≥ s − i + 1.

b) Für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = i gilt H_{𝕐}(r) = H_{𝕏}(r).

c) 𝕏 ist (s−i, r)-uniform.

Da ein 0-dimensionales Schema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} offenbar genau dann (s−H_{𝕏}(r), r)-uniform ist, wenn es (s−H_{𝕏}(r))-uniform ist, erhalten wir die folgende Charakterisierung von MDS-Koden (vgl. [Han], Thm. 8).

19.11. Korollar. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, sei C ⊆ 𝔽_{q}^{s} der zu 𝕏 assoziierte lineare Kode, und sei 1 ≤ r ≤ σ_{𝕏}. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) C^{r} ist ein MDS-Kode.

b) 𝕏 ist (s−H_{𝕏}(r))-uniform.

Im Fall r = σ_{𝕏} besteht C^{r} wegen Korollar 1.11.b gerade aus dem von den Vektoren (−β_{j 1}, …, −β_{j Δ_{𝕏}}, 0, …, 0, 1, 0, …, 0) mit 1 ≤ j ≤ s − Δ_{𝕏} erzeugten 𝔽_{q}-Untervektor-raum von 𝔽_{q}^{s}, d.h. C^{σ_{𝕏}} ist der Kern der Matrix

𝔅̃ = ( \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} | 𝔅 )

In der Sprache der Kodierungstheorie sagt man, die Matrix 𝔅̃ sei eine Parity-Check Matrix von C^{σ_{𝕏}}. Aus Satz 7.9 erhalten wir dann das folgende Korollar.

19.12. Korollar. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d}(𝔽_{q}) ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, und sei C ⊆ 𝔽_{q}^{s} der zu 𝕏 assoziierte lineare Kode. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) C^{σ_{𝕏}} ist ein MDS-Kode.

b) Je Δ_{𝕏} Spalten der Matrix 𝔅̃ sind 𝔽_{q}-linear unabhängig.

Betrachten wir die Spalten der Matrix 𝔅̃ als Punkte im projektiven Raum ℙ^{Δ_{𝕏}−1}, d.h. wenden wir die σ_{𝕏}-te kanonische Transformation an, so entsprechen MDS-Koden also Mengen von s Punkten im Raum ℙ^{Δ_{𝕏}−1}(𝔽_{q}), die sich in linear allgemeiner Lage befinden. Die sogenannte MDS-Vermutung der Kodierungstheorie übersetzt sich dann in die Asussage, daß es in ℙ^{Δ−1}(𝔽_{q}) höchstens q + 1 Punkte in linear allgemeiner Lage gibt, falls 2 ≤ Δ ≤ q gilt, bzw. höchstens Δ + 1 Punkte in linear allgemeiner Lage, falls Δ > q gilt, außer in dem Fall p = 2, in dem man für Δ ∈ {3, q − 1} sogar q + 2 Punkte in linear allgemeiner Lage finden kann (vgl. [MS], ch. 11). Im Widerspruch zu der in [Han] ausgedrückten Hoffnung liefert die Konstruktion aus Bemerkung 19.8 also anscheinend keine Möglichkeit, “neue” MDS-Koden zu konstruieren. Es bleibt dazu wohl nichts anderes übrig, als die in [MS], ch. 11 beschriebenen Methoden und die dort zitierte umfangreiche Literatur zu diesem Thema zu studieren.

20. Computeralgebra

In den vorangegangenen Abschnitten haben wir eine Reihe von Objekten und Begriffen untersucht, die einem 0-dimensionalen Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} zugeordnet sind. Wie der Leser sicherlich bemerkt hat, konnten viele der angeführten Beispiele und Spezialfälle nur mit Unterstützung der Computeralgebra durchgerechnet werden. Nachfolgend stellen wir einige der dabei verwendeten Methoden vor und erklären, welche Rolle die Arbeiten [K1] und [K5] dabei spielen. Für grundlegende Techniken der Computeralgebra verweisen wir auf [E], ch. 15 oder [K9]. Allgemeine Berechnungen mit Idealen und Moduln wurden für die vorliegende Arbeit stets mit dem Computeralgebraprogramm “CoCoA” ausgeführt (vgl. [CNR]), während einige speziellere und komplexere Beispiele reduzierter 0-dimensionaler Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit dem von S. Beck und dem Autor entwickelten Programm “COP” erarbeitet wurden (vgl. [K5]).

1. Der homogene Koordinatenring. In einem Computer wird der homogene Koordinatenring eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} natürlich durch ein homogenes Erzeugendensystem des Verschwindungsideals I_{𝕏} ⊆ A = K[X_{0}, …, X_{d}] repräsentiert. Hierbei ersetzen wir den algebraisch abgeschlossenen Körper K meist durch einen kleineren, berechenbaren Teilkörper. Typischerweise ist ein reduziertes 0-dimensionales Schema 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} durch die Koordinaten seiner Punkte P_{1}, …, P_{s} gegeben. Der effektivste Algorithmus zur Berechnung von I_{𝕏} ist dann der Buchberger-Möller Algorithmus (vgl. [BM] und [MR], sect. 1.2). Eine Version dieses Algorithmus für den nicht notwendig reduzierten Fall sowie eine Analyse seiner Komplexität findet der Leser in [MMM]. Wir fassen hier nur die für uns bedeutsamen Eigenschaften des Buchberger-Möller Algorithmus im reduzierten Fall zusammen (vgl. [MR], sect. 1.2 und [K5], 3.6).

20.1. Satz. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ D_{+}(X_{0}) ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema, sei P_{i} = (1 : p_{i1} : …: p_{id}) mit p_{i1}, …, p_{id} ∈ K für i = 1, …, s, und sei ≤_{σ} eine gradkompatible Termordnung auf K[X_{1}, …, X_{d}].

a) Der Buchberger-Möller Algorithmus berechnet eine Gröbner-Basis {G_{1}, …, G_{r}} des Ideals J_{𝕏} = I_{𝕏}/(I_{𝕏}∩(X_{0}−1)) ⊆ K[X_{1}, …, X_{d}] bzgl. ≤_{σ} sowie Polynome D_{1}, …, D_{s} aus K[X_{1}, …, X_{d}] mit D_{i}(p_{j1}, …, p_{jd}) = δ_{ij} für 1 ≤ i ≤ j ≤ s.

b) Die Homogenisierungen G_{1}^{∗}, …, G_{r}^{∗} der Polynome G_{1}, …, G_{r} bzgl. X_{0} bilden ein homogenes Erzeugendensystem des Ideals I_{𝕏}, das eine Gröbner-Basis bzgl. der projektiven Fortsetzung ≤_{τ} von ≤_{σ} darstellt.

c) Die Homogenisierungen F_{1}, …, F_{s} ∈ A der Normalformen von D_{1}, …, D_{s} bzgl. J_{𝕏} sind Polynome vom Grad ≤ σ_{𝕏} + 1, die die minimalen Separatoren von 𝕏 repräsentieren.

d) Die Monome M_{𝕏} = {X_{0}^{i} · m | m ∈ O_{σ}(J_{𝕏})} bilden eine K-Basis von R. Hierbei ist O_{σ}(J_{𝕏}) = {m ∈ K[X_{1}, …, X_{d}] Monom | m ∉ (Lt_{σ}(G_{1}), …, Lt_{σ}(G_{t}))} das Ordnungsideal von J_{𝕏} bzgl. ≤_{σ}.

In [MR], sect. 2.1 wird auch erklärt, wie man aus einem homogenen Erzeugendensystem von I_{𝕏} sehr einfach ein minimales auswählen kann. Die Hilbert-Funktion H_{𝕏}(i) von 𝕏 im Grad i ∈ ℤ ist jetzt gegeben durch die Anzahl der Monome vom Grad i in M_{𝕏}. Ebenso kann man die Matrix 𝔅 = (β_{j i})^{transp.} aus den in Satz 20.1 berechneten Polynomen gewinnen, indem man überall X_{0} = 0 setzt und in dem Ring

\overline{R} = K[X_{1}, …, X_{d}]/(G_{1}^{∗}(0, X_{1}, …, X_{d}), …, G_{r}^{∗}(0, X_{1}, …, X_{d}))

die K-linearen Relationen zwischen den Elementen Lf_{1}, …, Lf_{s} bestimmt, wobei letztere im Fall deg F_{i}^{∗} = σ_{𝕏} + 1 durch die Polynome F_{i}^{∗}(0, X_{1}, …, X_{d}) repräsentiert werden.

2. Der kanonische Modul. Der Algorithmus zur Berechnung einer minimalen homogenen Präsentation

(∗)  ⨁_{i=1}^{β_{d−1}} A(−a_{i}) ⟶ ⨁_{j=1}^{β_{d}} A(−b_{j}) ⟶ ω_{R} ⟶ 0

des kanonischen Moduls ω_{R} eines reduzierten 0-dimensionalen Schemas 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} beruht auf der Formel ω_{R} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}])(−1) und wurde in [K5], §4 – §6 beschrieben. Wir fassen hier nur die wichtigsten Schritte zusammen. Die Algebra R/K[x_{0}] besitzt eine ℤ^{d}-Filtrierung F = (F_{ν})_{ν∈ℤ^{d}} mit

F_{ν} = ⟨{x_{1}^{μ_{1}} ⋯ x_{d}^{μ_{d}} | (μ_{1}, …, μ_{d}) ≤_{σ} ν}⟩_{K[x_{0}]} ⊆ R.

Hieraus erhalten wir eine ℤ^{d}-Filtrierung G = (G_{ν})_{ν∈ℤ^{d}} des Moduls \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]) mit

G_{ν} = ⟨{φ : R ⟶ K[x_{0}] homogen, K[x_{0}]-linear | φ(F_{−μ}) = 0 für alle μ < ν}⟩_{K[x_{0}]}

Die Filtrierungen F und G haben die folgenden Eigenschaften.

20.2. Satz. a) Die Filtrierung F besteht nur aus s + 1 verschiedenen K[x_{0}]-Moduln {0} = F_{ν_{0}} ⊊ F_{ν_{1}} ⊊ ⋯ ⊊ F_{ν_{s}} = R.

b) Sind t_{1}, …, t_{s} ∈ R Restklassen von Monomen T_{1}, …, T_{s} aus K[X_{1}, …, X_{d}], die eine K[x_{0}]-Basis von R bilden (vgl. Satz 20.1.d), so stellen ihre Leitformen {L_{F}(t_{1}), …, L_{F}(t_{s})} bzgl. F eine K[x_{0}]-Basis des graduierten Rings gr_{F}(R) dar.

c) Der kanonische Modul des graduierten Rings gr_{F}(R) ist gegeben durch

ω_{gr_{F} (R)} ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(gr_{F}(R), K[x_{0}])(−1).

d) Betrachten wir die K[x_{0}]-linearen Abbildungen p_{i} : R ⟶ K[x_{0}] mit p_{i}(t_{j}) = δ_{ij} für i, j = 1, …, s, so ist {L_{G}(p_{1}), …, L_{G}(p_{s})} eine K[x_{0}]-Basis des gr_{F}(R)-Moduls gr_{G} \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]) ≅ \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(gr_{F}(R), K[x_{0}]) und \{p_{1}, …, p_{s}\} ist eine Gröbner-Basis von \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]).

Beweis: Vgl. [K5], 4.2 und 4.3.b. □

Da wir die Produkte t_{i} · p_{j} explizit berechnen können (vgl. [K5], 4.3.a), haben wir also eine erste Beschreibung von ω_{R} gefunden. Der nächste Satz zeigt, wie wir das Erzeugendensystem verkleinern und eine minimale Gröbner-Basis von ω_{R} finden können.

20.3. Satz. Seien μ_{1}, …, μ_{t} ∈ {1, …, s} so gewählt, daß die Monome T_{μ_{1}}, …, T_{μ_{t}} ∈ K[X_{1}, …, X_{d}], die die Elemente t_{μ_{1}}, …, t_{μ_{t}} ∈ R repräsentieren, gerade die Sockelmonome 𝔖(O_{σ}(J_{𝕏})) = {T ∈ O_{σ}(J_{𝕏}) | X_{i} · T ∉ O_{σ}(J_{𝕏}) für i = 1, …, d} des Ordnungsideals O_{σ}(J_{𝕏}) sind. Dann ist {p_{μ_{1}}, …, p_{μ_{t}}} eine minimale Gröbner-Basis von \underline{Hom}_{K[x_{0}]}(R, K[x_{0}]), und somit auch von ω_{R}.

Beweis: Vgl. [K5], 4.4. □

Also haben wir einen homogenen Epimorphismus ϵ_{t} : ⊕_{i=1}^{t}A(deg t_{μ_{i}} − 1) −↠ ω_{R} gefunden. Um eine Gröbner-Basis des Syzygienmoduls ker ϵ_{t} zu bestimmen, berechnen wir dann ein Erzeugendensystem des Kerns der Abbildung ϵ_{s} : ⊕_{i=1}^{s}A(deg t_{i}−1) −↠ ω_{R} (vgl. [K5], 5.3) und reduzieren dieses zu Syzygien von p_{μ_{1}}, …, p_{μ_{t}} (vgl. [K5], 5.4). Es ergibt sich eine Präsentation von ω_{R} der Form

(∗∗)  A^{\binom{t}{2}+dt} ⟶ A^{t} ⟶ ω_{R} ⟶ 0.

Der letzte Schritt zur Berechnung der gesuchten Präsentation (∗) ist nun eine geschickte Minimalisierung der Präsentation (∗∗) (vgl. [K5], §6).

3. Das kanonische Ideal. Um ein homogenes Erzeugendensystem des kanonischen Ideals ℑ_{R/K[x_{0}]} ⊆ R eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} zu finden, können wir mit der eben gefundenen Beschreibung von ω_{R} anfangen und dann den Isomorphismus ℑ_{R/K[x_{0}]} ≅ ω_{R}(−2σ_{𝕏} − 1) aus Satz 3.9 anwenden. Dazu nehmen wir an, daß wir die Projektionen p_{μ_{1}}, …, p_{μ_{t}} auf die Sockelmonome bereits bestimmt haben. Eine Projektion p_{i} entspricht für i = 1, …, s einem homogenen Element vom Grad 2σ_{𝕏}+2−deg t_{i} von ℑ_{R/K[x_{0}]}. In der Darstellung p_{i} = x_{0}^{σ_{𝕏}+1−deg t_{i}} ·(c_{1}f_{1}+⋯+c_{s}f_{s}) mit c_{1}, …, c_{s} ∈ K gilt c_{j} = p_{i}(f_{j}) für i, j = 1, …, s. Also brauchen wir nur noch die Koeffizienten von f_{j} in der K[x_{0}]-Basis {t_{1}, …, t_{s}} von R, und diese sind gerade die Koeffizienten der Monome {T_{1}, …, T_{s}} = O_{σ}(J_{𝕏}) in der Normalform von D_{i} bzgl. J_{𝕏} (vgl. Satz 20.1).

Für die homogenen Komponenten (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{σ_{𝕏}+1} und (ℑ_{R/K[x_{0}]})_{2σ_{𝕏}} haben wir bereits in den Korollaren 3.10 und 3.11 explizite K-Basen angegeben. Die Berechnung der Gale-Transformierten bzw. der höheren kanonischen Transformierten von 𝕏 stellt nun kein Problem mehr dar, weil wir aus dem homogenen Erzeugendensystem des Ideals ℑ_{R/K[x_{0}]} jederzeit K-Basen aller seiner homogenen Komponenten gewinnen können.

4. Der Kählersche Differentialmodul. Die Moduln Ω_{R/K}^{1}, Ω_{R/K[x_{0}]}^{1} und Ω_{\overline{R}/K}^{1} über dem homogenen Koordinatenring eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} wurden bereits in den Sätzen 4.2 und 4.3 explizit präsentiert. Den Torsionsuntermodul T_{R/K} von Ω_{R/K}^{1} kann man wegen der Beschreibung in Satz 4.5.a aus der Saturierung bzgl.

(X_{0}, …, X_{d}) des Untermoduls G(−1) ⊆ R(−1)^{d+1} bestimmen. Für die Berechnung der Hilbert-Funktionen dieser Moduln verwenden wir die üblichen Methoden (vgl. [E], ch. 15 und [K9]).

5. Cayley-Bacharach Schemata. Ist ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema 𝕏 ⊆ ℙ^{d} durch die Koordinaten seiner Punkte gegeben, und wollen wir herausfinden, ob 𝕏 ein Cayley-Bacharach Schema ist, so brauchen wir nach Satz 5.6 nur die Grade der in Satz 20.1 gefundenen minimalen Separatoren mit der Zahl σ_{𝕏} + 1 zu vergleichen. Etwas schwieriger wird diese Aufgabe, wenn 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein nicht notwendig reduziertes 0-dimensionales Unterschema darstellt und nur sein homogenes Verschwindungsideal I_{𝕏} ⊆ A gegeben ist. (Im reduzierten Fall stammt das folgende Verfahren aus [K1], 4.11.)

Zunächst benötigen wir eine reguläre Folge homogener Polynome {G_{1}, …, G_{d}} aus I_{𝕏}. Eine solche Folge erhalten wir z.B. aus generisch gewählten Elementen von (I_{𝕏})_{σ_{𝕏}+2}. Dann betrachten wir den 0-dimensionalen vollständigen Durchschnitt 𝕍 = Z(G_{1}, …, G_{d}), der 𝕏 enthält. Bekanntlich gilt σ_{𝕍} = deg G_{1} + ⋯ + deg G_{d} − d. Wir beginnen nun, das Colon-Ideal I_{𝕍} : I_{𝕏} zu berechnen, und zwar mit Hilfe der Bestimmung einer Gröbner-Basis bzgl. einer gradkompatiblen Termordnung. Sobald wir ein Element dieser Gröbner-Basis gefunden haben, prüfen wir, ob es in I_{𝕍} liegt. Das erste Element von (I_{𝕍} : I_{𝕏}) \ I_{𝕍}, das wir so finden, hat den Grad α_{𝕐/𝕍}. Wir können die Berechnung von I_{𝕍} : I_{𝕏} nach diesem Grad abbrechen und erhalten (I_{𝕍} : I_{𝕏})_{α_{𝕐/𝕍}}. Mit einer weiteren Berechnung einer im Grad σ_{𝕏} = σ_{𝕍} − α_{𝕐/𝕍} abgeschnittenen Gröbner-Basis von (I_{𝕍} : (I_{𝕍} : I_{𝕏})_{α_{𝕐/𝕍}}) sind wir nach Satz 16.9 dann fertig, d.h. wir brauchen nur noch zwei K-Vektorraumdimensionen zu vergleichen.

6. Höhere Uniformitäten. Der naive Ansatz, für ein i ≥ 1 zur Überprüfung der i-Uni-formität eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} alle Hilbert-Funktionen von Unterschemata 𝕐 ⊆ 𝕏 vom Grad deg 𝕐 = s − i zu berechnen und miteinander zu vergleichen, führt schon in einfachen Fällen zu einem gewaltigen und meist unpraktikablen Rechenaufwand. In den Fällen 1 ≤ i ≤ Δ_{𝕏} können wir aus Satz 7.9 ein einfacheres Verfahren ableiten (vgl. [K5], 8.2).

20.4. Bemerkung. Sei 𝕏 = {P_{1}, …, P_{s}} ⊆ ℙ^{d} ein reduziertes 0-dimensionales Unterschema. Wir bestimmen die Matrix 𝔅 = (β_{j i})^{transp.} wie in Satz 20.1. Dann sind für jedes i ∈ {1, …, Δ_{𝕏}} die folgenden Bedingungen äquivalent.

a) 𝕏 ist i-uniform.

b) Je i Spalten der Matrix 𝔅̃ = ( \begin{matrix}1 & & & & 0 \\ & . & . & . \\ 0 & & & & 1 \end{matrix} | 𝔅 ) sind K-linear unabhängig.

Schwieriger wird es für höhere Uniformitäten. Im Fall i = s − H_{𝕏}(j) mit 0 ≤ j ≤ σ_{𝕏} müssen wir nach Satz 7.6 prüfen, ob die Multiplikationsabbildungen μ_{k} : R_{k} ⊗ (ω_{R})_{−k} ⟶ (ω_{R})_{0} für j ≤ k ≤ σ_{𝕏} biinjektiv sind. Da wir wissen, wie wir eine homogene minimale Präsentation von ω_{R} finden können, bleibt also noch die Frage, wie man von einer gegebenen K-linearen Abbildung μ : U ⊗ V ⟶ W mit endlichdimensionalen K-Vektorräumen U, V, W herausfindet, ob sie biinjektiv ist. Wir wählen Basen {u_{1}, …, u_{ℓ}} von U, {v_{1}, …, v_{m}} von V und {w_{1}, …, w_{n}} von W. Dann schreiben wir μ(u_{λ} ⊗ v_{μ}) = ∑_{ν=1}^{n} c_{λμν}w_{ν} mit c_{λμ1}, …, c_{λμn} ∈ K für λ = 1, …, ℓ und μ = 1, …, m. Jetzt können wir die Biinjektivität von μ auf eine der folgenden beiden Arten überprüfen (vgl. [K5], 8.3 und 8.4).

20.5. Bemerkung. Wir führen über K unabhängige Variable Y_{1}, …, Y_{ℓ} und Z_{1}, …, Z_{m} ein und betrachten die quadratischen Polynome q_{ν} = ∑_{λ,μ} c_{λμν}Y_{λ}Z_{μ} für ν = 1, …, n. Die Bedingung, daß aus μ((a_{1}u_{1} + ⋯ + a_{ℓ}u_{ℓ}) ⊗ (b_{1}v_{1} + ⋯ + b_{m}v_{m})) = 0 schon a_{1} = ⋯ = a_{ℓ} = 0 oder b_{1} = ⋯ = b_{m} = 0 folgt, ist damit äquivalent, daß sich dieselbe Folgerung aus q_{1}(a_{1}, …, a_{ℓ}, b_{1}, …, b_{m}) = ⋯ = q_{n}(a_{1}, …, a_{ℓ}, b_{1}, …, b_{m}) = 0 ergibt. Also müssen wir prüfen, ob das Ideal (Y_{1}, …, Y_{ℓ})∩(Z_{1}, …, Z_{m}) = (Y_{λ}Z_{μ})_{λ,μ} im Radikal des Ideals (q_{1}, …, q_{n}) enthalten ist. Dieser Radikalmitgliedschaftstest (“radical membership”) ist mit den Standardtechniken lösbar (vgl. [E], ch. 15 oder [K9]).

Die zweite Methode basiert auf einem Ergebnis von D. Eisenbud (vgl. [Ei], 1.1).

20.6. Bemerkung. Für ν = 1, …, n betrachten wir die Matrix ℭ_{ν} = (c_{λμν})_{λ,μ}. Sei M ⊆ Hom_{K}(K^{m}, K^{ℓ}) der K-Untervektorraum, der von den zu diesen Matrizen gehörigen K-linearen Abbildungen erzeugt wird. Ferner sei M^{⊥} der zu M bzgl. der Spurabbildung orthogonale Raum, d.h. es gelte

M^{⊥} = {𝔇 ∈ Hom_{K}(K^{ℓ}, K^{m}) | tr(𝔇ℭ_{1}) = ⋯ = tr(𝔇ℭ_{n}) = 0}.

Offensichtlich kann man M^{⊥} berechnen, indem man ein System linearer Gleichungen löst. Sei {𝔇_{1}, …, 𝔇_{ℓm−n}} eine K-Basis von M^{⊥}. Wir führen neue Unbekannte Y_{1}, …, Y_{ℓm−n} ein und betrachten die zu M^{⊥} gehörige Matrix von Linearformen 𝔐 = 𝔇_{1}Y_{1} + ⋯ + 𝔇_{ℓm−n}Y_{ℓm−n} (vgl. [Ei], sect. 1). Nach [Ei], 1.1 müssen wir nun prüfen, ob (M^{⊥})_{1} = 0 ist, d.h. ob das von den 2×2-Minoren von 𝔐 erzeugte Ideal das Radikalideal (Y_{1}, …, Y_{ℓm−n}) besitzt. Dies ist wiederum mit den üblichen Methoden lösbar, denn man braucht ja nur für Y_{1}, …, Y_{ℓm−n} den Radikalmitgliedschaftstest durchzuführen.

Schließlich bleibt noch der allgemeinste Fall i = s − H_{𝕏}(j) + k mit 0 ≤ j ≤ σ_{𝕏} und 1 ≤ k ≤ ΔH_{𝕏}(j) − 1. In diesem Fall können wir nur für k >> 0 auf eine Vereinfachung gegenüber dem naiven i-Uniformitätstest hoffen. Dazu prüfen wir zuerst mittels Bemerkung 20.5 oder 20.6, ob 𝕏 ein (s − H_{𝕏}(j))-uniformes Schema ist. Wenn ja, so müssen wir dann für jedes Unterschema 𝕐 ⊆ 𝕏 mit deg 𝕐 = s − H_{𝕏}(j) mittels Bemerkung 20.4 herausfinden, ob 𝕐 ein k-uniformes Schema ist.

Es bleibt noch anzumerken, daß wir mittels Bemerkung 20.5 oder 20.6 wegen Satz 6.6 auch die Bedingung der linearen allgemeinen Lage effektiv prüfen können. Wiederum stellt sich die Frage, ob das Ausrechnen der \binom{s}{d+1} Determinanten über K nicht oftmals die einfachere Möglichkeit darstellt.

7. Freie Auflösungen. Die Berechnung der minimalen graduiert-freien Auflösung

(∗) 0 → ⨁_{i=1}^{β_{d}} A(−α_{di}) ⟶^{Φ_{d}} ⨁_{i=1}^{β_{d−1}} A(−α_{d−1 i}) → ⋯ → ⨁_{i=1}^{β_{1}} A(−α_{1i}) ⟶^{Φ_{1}} A → R → 0

des homogenen Koordinatenrings R eines 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} (vgl. Abschnitt 13) ist mit den Standardmethoden der Computeralgebra lösbar, führt jedoch oft zu großem Rechenaufwand. Die graduierten Betti-Zahlen wachsen nämlich typischerweise zur Mitte der Auflösung hin exponentiell, und die Länge der Auflösung nimmt mit der Einbettungsdimension zu. Sind wir nur an den Betti-Zahlen und Gradverschiebungen am Ende der Auflösung (∗) interessiert, so können wir das beschriebene Verfahren zur Berechnung einer minimalen homogenen Präsentation von ω_{R} anwenden, denn wie wir in Abschnitt 13 gesehen haben, ist die minimale graduiert-freie Auflösung des A-Moduls ω_{R} dual zu der von R.

Einen Fall, in dem diese Methode besonders erfolgreich ist, stellen 0-dimensionale Schemata 𝕏 ⊆ ℙ^{d} mit generischer Hilbert-Funktion dar. Wir setzen also im folgenden voraus, daß für alle i ∈ ℤ gilt H_{𝕏}(i) = min{H_{ℙ^{d}}(i), deg 𝕏}. In diesem Fall gilt σ_{𝕏} ≤ α_{𝕏} −1, und nach dem in Abschnitt 13 Gezeigten ist die Auflösung (∗) von der besonders einfachen Gestalt

0 ⟶ A(−α_{𝕏} − d + 1)^{a_{d}} ⊕ A(−α_{𝕏} − d)^{b_{d}} ⟶ ⋯ ⟶
⟶ A(−α_{𝕏})^{a_{1}} ⊕ A(−α_{𝕏} − 1)^{b_{1}} ⟶ A ⟶ R ⟶ 0,

so daß es genügt, die Zahlen a_{1}, …, a_{d} und b_{1}, …, b_{d} zu bestimmen. Hierbei gilt offensichtlich, daß aus a_{i} = 0 für ein i ∈ {1, …, d} schon a_{i} = ⋯ = a_{d} = 0 folgt, und aus b_{i} = 0 für ein i ∈ {1, …, d} folgt b_{1} = ⋯ = b_{i} = 0. Aus der Dimensionsbilanz der obigen Auflösung erhalten wir noch weitere Beziehungen zwischen den Zahlen a_{i} und b_{j} (vgl. z.B. [K5], 7.3).

20.7. Satz. Sei 𝕏 ⊆ ℙ^{d} ein 0-dimensionales Unterschema mit generischer Hilbert-Funktion.

a) Gilt σ_{𝕏} = α_{𝕏} − 2, so ist b_{1} = ⋯ = b_{d} = 0 und a_{i} = \binom{d+α_{𝕏}−1}{i+α_{𝕏}−1}\binom{i+α_{𝕏}−2}{α_{𝕏}−1} für i = 1, …, d.

b) Gilt σ_{𝕏} = α_{𝕏} − 1, so ist a_{1} = \binom{d+α_{𝕏}}{d}, b_{d} = Δ_{𝕏}, und es gilt a_{i} − b_{i−1} = \binom{d+α_{𝕏}−1}{i+α_{𝕏}−1}\binom{i+α_{𝕏}−2}{α_{𝕏}−1} − Δ_{𝕏}\binom{d}{i−1} für i = 2, …, d.

Folglich brauchen wir nur entweder die Zahlen a_{1}, …, a_{d} oder die Zahlen b_{1}, …, b_{d} zu finden.

20.8. Definition. Sei M ein endlich erzeugter graduierter A-Modul, und sei α = min{i ∈ ℤ | M_{i} ≠ 0}. Weiter sei

0 ⟶ ⨁_{i=1}^{β_{d+1}} A(−α_{d+1 i}) ⟶ ⋯ ⟶ ⨁_{i=1}^{β_{0}} A(−α_{0i}) ⟶ M ⟶ 0

die minimale graduiert-freie Auflösung von M, wobei für i = 0, …, d + 1 gelte α + i ≤ α_{i1} ≤ ⋯ ≤ α_{iβ_{i}}. Dann heißt der Teilkomplex

0 ⟶ ⨁_{{i|α_{d+1 i}=α+d+1}} A(−α − d − 1) ⟶ ⋯ ⟶ ⨁_{{i|α_{0i}=α}} A(−α) ⟶ M ⟶ 0

der lineare Teil der Auflösung von M.

In unserem Fall ist der lineare Teil der Auflösung von I_{𝕏} gegeben durch

0 ⟶ A(−α_{𝕏} − d + 1)^{a_{d}} ⟶ ⋯ ⟶ A(−α_{𝕏})^{a_{1}} ⟶ I_{𝕏} ⟶ 0,

und der lineare Teil der Auflösung von ω_{R} ist

0 ⟶ A(σ_{𝕏} − d + 1)^{b_{1}} ⟶ ⋯ ⟶ A(σ_{𝕏})^{b_{d}} ⟶ ω_{R} ⟶ 0.

Also können wir die Zahlen a_{1}, …, a_{d} bzw. b_{1}, …, b_{d} berechnen, indem wir den linearen Teil der Auflösung von I_{𝕏} oder den linearen Teil der Auflösung von ω_{R} bestimmen. Dies ist mit den Standardtechniken möglich (vgl. z.B. [K5], 7.7), kann aber mit speziellen, für diesen Zweck optimierten Algorithmen wesentlich beschleunigt werden (vgl. [K15]).

In [K5], §7 wird das beschriebene Verfahren verwendet, um die sogenannte “Minimal Resolution Conjecture” über die minimale graduiert-freie Auflösung des Koordinatenrings eines reduzierten 0-dimensionalen Unterschemas 𝕏 ⊆ ℙ^{d} aus generisch gewählten Punkten in vielen Fällen mit Hilfe von Computerberechnungen zu beweisen.

Hiermit beschließen wir unsere Anmerkungen zur Computeralgebra. Mit einem programmierbaren Computeralgebrasystem wie CoCoA (vgl. [CNR]) ist es nicht schwer, für viele weitere Situationen selbst Funktionen zu entwickeln, die zur Berechnung von Beispielen, zum systematischen Probieren oder zur Suche nach Gegenbeispielen verwendet werden können.

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