Vektorbündel

und

der Satz von

Cayley-Bacharach

Dissertation zur Erlangung des Doktorgrades

der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) der Fakultät für Mathematik der Universität Regensburg

vorgelegt von Martin Kreuzer

aus Ihrlerstein Promotionsgesuch eingereicht am: 23. 2. 1989

Die Arbeit wurde angeleitet von Prof. Dr. Ernst Kunz.

Prüfungsausschuß:

1. Gutachter: Prof. Dr. Ernst Kunz

2. Gutachter: Prof. Dr. Günter Tamme Vorsitzender: Prof. Dr. Jürgen Neukirch weiterer Prüfer: Prof. Dr. Reinhard Mennicken

Inhaltsverzeichnis

Einleitung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Vereinbarungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 § 1 Ein Beweis des Residuensatzes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 § 2 Zur Dualitätstheorie projektiver Schemata . . . . . . . . . . . . . . . . 15 § 3 Der Residuensatz für Vektorbündel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 § 4 Die Cayley-Bacharach-Eigenschaft . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 § 5 Punkte auf Kurven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 § 6 Punkte auf Flächen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 § 7 Der Koordinatenring eines projektiven Schemas . . . . . . . . . . . . . 52 § 8 Cayley-Bacharach-Charakterisierungen 0–dimensionaler arithmetischer

Gorensteinschemata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

§ 9 Anwendungen auf Zerfällungskriterien für Vektorbündel . . . . . . . . . . 69 § 10 Punkte im Raum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 Anhang A: Spuren auf Moduln über endlichdimensionalen Algebren . . . . . . . 96 Anhang B: Aufsteigend filtrierte Algebren . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99 Anhang C: Vektorbündel mit guten globalen Schnitten . . . . . . . . . . . . 103 Literaturverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 Notationsverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114 Sachwortverzeichnis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 iv

Einleitung

“ Gegeben sei ein 0–dimensionales Unterschema Y einer d–dimensionalen projektiven Varietät V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Wie kann man an Hand von Invarianten und geometrischen Eigenschaften der Einbettung von Y in V feststellen, ob Y als der vollständige Durchschnitt von d Hyperflächen darstellbar ist ?”

Das Ziel der vorliegenden Arbeit ist es, sich mit dieser Fragestellung in verschiedenen Situationen auseinanderzusetzen. Als Motivation hierfür diente die bekannte Antwort im Fall V = ℙ _{k}^{2} (vgl. (8.10), [D], [DM1], u.s.w.): Satz 1: Genau dann ist ein 0–dimensionales Unterschema Y von ℙ _{k}^{2} als voll-

ständiger Durchschnitt zweier Kurven darstellbar, wenn Y eine symmetrische Hilbertfunktion und die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. O_{ℙ}^{2}(a_{Y}) hat.

Hierbei ist a_{Y} definiert als der letzte Grad, für den die Hilbertfunktion von Y noch nicht ihren Maximalwert deg Y erreicht. Die Hilbertfunktion H_{Y} von Y heißt symmetrisch, wenn H_{Y} (n)+H_{Y} (a_{Y} −n) = deg Y ist für alle n ∈ ℤ . Die Cayley-Bacharach-Eigenschaft von Y bzgl. O_{ℙ}^{2}(a_{Y}) bedeutet, daß jede Kurve vom Grad a_{Y} , die ein Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 umfaßt, bereits ganz Y enthalten muß.

Wie einfache Beispiele zeigen (vgl. (8.14)), genügen die numerische Invariante “Hilbertfunktion” und die geometrische “Cayley-Bacharach-Eigenschaft” jedoch im Fall V = ℙ _{k}^{d}, d ≥ 3 nicht mehr, um 0–dimensionale vollständige Durchschnitte zu charakterisieren. Stattdessen gilt (vgl. (8.9)): Satz 2: Genau dann ist ein 0–dimensionales Unterschema Y von ℙ _{k}^{d} (d ≥ 2) ein

arithmetisches Gorensteinschema (d.h. der projektive Koordinatenring von Y ist ein Gorensteinring), wenn Y eine symmetrische Hilbertfunktion und die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. O_{ℙ}_{d}(a_{Y}) hat.

Nach einem Resultat von Serre (vgl. [S]) fallen in Kodimension zwei die Begriffe “arithmetisches Gorensteinschema” und “vollständiger Durchschnitt” zusammen, so daß sich Satz 1 als ein Spezialfall von Satz 2 erweist.

Auf der Suche nach weiteren Bedingungen zur Charakterisierung 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitte bietet sich uns die folgende bekannte Unterteilung des gestellten Problems in zwei Teilschritte an:

(1) Wie kann man feststellen, ob Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines “geeigneten” Vektorbündels vom Rang d auf V ist ?

(2) Wie erkennt man in diesem Fall die 0–dimensionalen Nullstellenschemata zerfallender Vektorbündel, das heißt die 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitte ?

Eine Antwort auf die erste Frage wurde von P. Griffiths und J. Harris für glatte projektive Flächen V über k = ℂ gegeben (vgl. [GH1] und [GH2]). Sie benützten dabei die folgende Verallgemeinerung der Cayley-Bacharach-Eigenschaft:

Ein 0–dimensionales Unterschema Y von V hat die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. eines invertierbaren O_{V} –Moduls L ∈ Pic (V), wenn für jeden globalen Schnitt s ∈ H^{o}(V, L) und jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 gilt: Enthält das Nullstellenschema (s)_{o} von s das Schema Z, so enthält (s)_{o} bereits ganz Y .

Später wurde das Resultat von P. Griffiths und J. Harris durch J. Brun auf reduzierte 0–dimensionale Unterschemata glatter Flächen über beliebigen algebraisch abgeschlossenen Körpern ausgedehnt (vgl. [Bru]). Wie in § 6 gezeigt werden wird, gilt jedoch noch allgemeiner der folgende Satz: Satz 3: Ein 0–dimensionales Unterschema Y einer Gorensteinfläche V ist genau

dann das Nullstellenschema eines globalen Schnitts eines lokalfreien O_{V} –Moduls E vom Rang zwei mit det E ≅ L ∈ Pic (V), wenn Y ein Gorensteinschema ist, das die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. ω_{V} ⊗ L besitzt, und für alle Punkte P ∈ Y gilt pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞.

Die zum Beweis dieses Satzes verwendete Technik der Cayley-Bacharach-Reduktion eines 0–dimensionalen Schemas stammt von A.N. Tyurin und hat auch Anwendungen in der Theorie der K3–Flächen (vgl. [T]).

In einem weiteren Fall gelingt in § 10 eine Charakterisierung der 0–dimensionalen Nullstellenschemata Y spezieller lokalfreier Moduln, nämlich der lokalfreien Modulgarben vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten auf dem ℙ _{k}^{3} . Sie lautet folgendermaßen: Satz 4: Genau dann ist Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines

lokalfreien O_{ℙ}^{3} –Moduls vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten, wenn Y auf einer Gorensteinkurve liegt, auf der es ein subkanonisches fixpunktfreies vollständiges lineares System |Y | definiert.

Dieses Resultat verbindet das Studium gewisser “guter” Rang-3-Vektorbündel auf dem ℙ _{k}^{3} mit der Theorie der Raumkurven. Sein Beweis beruht auf der Konstruktion reflexiver Modulgarben vom Rang zwei aus Raumkurven, wie sie von R. Hartshorne beschrieben wurde (vgl. [Ha4]), und auf der Konstruktion von Rang-3-Vektorbündeln mittels reflexiver Rang-2-Moduln nach I. Coandâ (vgl. [C]). Lokalfreie Modulgarben mit sehr guten globalen Schnitten zeichnen sich dabei dadurch aus, daß die Menge der globalen Schnitte, deren Nullstellenschemata eine “falsche” Kodimension besitzt, verhältnismäßig “klein” ist. Sie werden im Anhang C näher untersucht.

Was die Frage (2) betrifft, so ist es offenbar nötig, geeignete Zerfällungskriterien für Vektorbündel aufzustellen. Dies geschieht in § 9, wo verschiedene Varianten des Zerfällungskriteriums von G. Horrocks (vgl. [Ho]) präsentiert werden. Insbesondere wird gezeigt, daß man im Fall von Rang-2-Bündeln auf dem ℙ _{k}^{2} bzw. Rang-3-Bündeln auf dem ℙ _{k}^{3} auf das Verschwinden gewisser Kohomologiegruppen verzichten kann, wenn man voraussetzt, daß es einen regulären globalen Schnitt gibt, dessen Nullstellenschema ein arithmetisches Gorensteinschema ist. Genauer beweisen wir den folgenden Satz: Satz 5: Ein lokalfreier O_{ℙ}^{3} –Modul E vom Rang drei zerfällt genau dann in die

direkte Summe dreier invertierbarer O_{ℙ}^{3} –Moduln, wenn

H^{1}(ℙ , E(k)) = 0 ist für alle k ∈ ℤ und es einen regulären Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)) gibt (n ∈ ℤ), dessen Nullstellenschema Y eine symmetrische Hilbertfunktion hat und a_{Y} = 3n + deg(det E) − 4 erfüllt.

Mit Hilfe von Satz 4 und Satz 5 kann man nun die 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitte im Raum wie folgt charakterisieren (vgl. (10.10)): Satz 6: Genau dann ist ein 0–dimensionales Unterschema Y von ℙ _{k}^{3} der voll-

ständige Durchschnitt dreier Hyperflächen, wenn Y auf einer projektiv normalen Gorensteinkurve C ein subkanonisches fixpunktfreies vollständiges lineares System definiert (mit O_{C}(Y) ≅ ω_{C}(−e) und e ∈ ℤ ) und ein arithmetisches Gorensteinschema mit a_{Y} = e darstellt.

Da hierbei Y insbesondere ein arithmetisches Gorensteinschema sein muß, haben wir so im Fall V = ℙ _{k}^{3} die zu Satz 2 gewünschten Zusatzbedingungen gefunden. Zum Beweis dieser Sätze geht man im einzelnen wie folgt vor:

Die ersten drei Abschnitte behandeln verschiedene Aspekte der Residuen- und Dualitätstheorie, wie sie später in den geometrischen Anwendungen gebraucht werden. Wir beginnen mit einem Beweis des Residuensatzes, der den klassischen Beweis des Residuensatzes auf Riemannschen Flächen von H. Hasse verallgemeinert. Dazu wird dieser Satz zuerst mit der Spurformel für Residuen auf den Fall V = ℙ _{k}^{d} zurückgeführt (vgl. [K1]) und dort mit Hilfe einer auf K.G. Jacobi zurückgehenden Spurformel (vgl. [KK]) bewiesen.

Im zweiten Abschnitt wird die Dualitätstheorie projektiver Schemata wiederholt und auf den 0–dimensionalen Fall angewendet. Insbesondere gelingt eine Beschreibung der dualisierenden Garbe eines 0–dimensionalen Schemas mit Hilfe verallgemeinerter Brüche und regulärer Differentialformen auf der umgebenden Varietät. So hat man im 0–dimensionalen Fall einen guten Ersatz für die konkrete Realisierung von ω_{V} als Garbe regulärer Differentialformen, die nur für reduzierte Varietäten V bekannt ist (vgl. [K1] und [L1]).

Die Dualitäts- und Residuentheorie 0–dimensionaler Schemata erlauben es uns, den von J. Lipman in [L1] skizzierten Beweis des Residuensatzes für Vektorbündel im dritten Abschnitt ausführlich darzustellen, und wie in [GH2] eine teilweise Umkehrung davon anzugeben.

Nach diesen Vorbereitungen beginnt im vierten Abschnitt das Studium der Cayley-Bacharach-Eigenschaft. Diese wird mit Hilfe der Superabundanz ω(Y, L) eines 0–dimensionalen Schemas Y bzgl. eines invertierbaren O_{V} –Moduls L

ω(Y, L) := h^{o}(J_{Y} · L) − h^{o}(L) + deg Y charakterisiert und geometrisch interpretiert. Die Superabundanz gibt ein Maß dafür an, wie weit Y davon entfernt ist, unabhängige Bedingungen an das zu L gehörige vollständige Linearsystem zu stellen. So erhält man eine geometrische Formulierung des Residuensatzes für Vektorbündel (vgl. auch [GH1] und [GH2]):

Ist Y das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts eines lokalfreien O_{V} –Moduls E vom Rang d := dim V , so hat Y die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. ω_{V} ⊗ det E.

Eine zentrale Rolle beim Beweis dieses Satzes und dem Studium der Cayley-Bacharach-Eigenschaft allgemein spielt dabei die folgende Tatsache (vgl. (4.14)):

Genau dann hat ein 0–dimensionales Gorensteinschema Y die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. eines Geradenbündels L ∈ Pic (V), wenn es eine Spur auf dem H^{o}(Y, O_{Y})–Modul H^{o}(Y, L ⊗ O_{Y}) gibt, die auf dem Bild der kanonischen Abbildung α: H^{o}(V, L)⟶H^{o}(Y, L⊗O_{Y}) verschwindet.

Der hierbei verwendete Begriff einer Spur auf einem Modul über einer endlichdimensionalen Algebra wird in Anhang A erläutert. Eine solche algebraische Charakterisierung der Cayley-Bacharach-Eigenschaft ist für beweistechnische Zwecke sehr vorteilhaft, wie sich auch in § 8 zeigen wird.

Weitere Sätze beschreiben Beziehungen der Cayley-Bacharach-Eigenschaft von Y bzgl. L zur Superabundanz invertierbarer Faktoren von L und zu Erweiterungen der Idealgarbe J_{Y} von Y in V mit Lˇ .

Diese Sätze werden in den nächsten beiden Abschnitten angewendet, um 0–dimensionale Unterschemata Y von Kurven und Flächen zu studieren. Ein wichtiger Satz im Kurvenfall ist zweifelsohne der Satz von Riemann-Roch. Dieser Satz gilt in seiner klassischen Formulierung sogar auf Gorensteinkurven C, ohne daß man sich auf Divisoren beschränken muß, deren Träger im regulären Ort von C enthalten ist, und man kann ihn auch mit den in § 4 entwickelten Techniken beweisen. Durch die bekannte geometrische Version erhält der Satz von Riemann-Roch eine anschauliche Bedeutung, die sich mit Hilfe der Superabundanz besonders gut verstehen läßt (vgl. auch [GH2]). Schließlich zeigt sich, daß die Cayley-Bacharach-Eigenschaft von Y bzgl. ω_{C} nichts anderes bedeutet, als daß O_{C}(Y) von globalen Schnitten erzeugt wird.

Im Flächenfall (vgl. § 6) läßt sich das Verhältnis der Superabundanz zu Erweiterungen erheblich präzisieren:

Ist V eine Gorensteinfläche, ist L ∈ Pic (V), und ist Y ein 0–dimensionales Gorensteinschema auf V mit ω(Y, L ⊗ ω_{V}) ≠ 0 und pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞ für alle P ∈ Y , so gibt es ein Unterschema Z ⊆ Y , das die Cayley-Bacharach-Eigenschaft bzgl. L⊗ω_{V} besitzt (genannt die Cayley-Bacharach-Reduktion von Y ) und eine Erweiterung

0 ⟶ Lˇ ⟶ E ⟶ J_{Z} ⟶ 0

mit einem lokalfreien O_{V} –Modul E vom Rang zwei.

Hieraus folgt sofort Satz 3, also die Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler Nullstellenschemata auf Gorensteinflächen.

Im siebten Abschnitt wird mit der Untersuchung 0–dimensionaler Unterschemata projektiver Räume ℙ _{k}^{r} begonnen. Dazu wird zuerst der projektive Koordinatenring eingeführt und mit den affinen Koordinatenringen auf geeigneten affinen Räumen 𝔸 _{k}^{r} ⊆ ℙ _{k}^{r} verglichen. Nach der Wahl geeigneter Koordinaten ergibt sich, daß der projektive Koordinatenring die Rees-Algebra eines affinen Koordinatenrings bzgl. der von der Gradfiltrierung induzierten Filtrierung darstellt. Näheres über filtrierte Algebren, ihre Rees-Algebren, ihre graduierten Ringe u.s.w. findet der Leser dabei in Anhang B.

Jetzt ist man in der Lage, die Invariante a_{Y} einer Einbettung eines 0–dimensionalen Schemas Y in den ℙ _{k}^{r} zu definieren und zu studieren. Insbesondere besagt die Cayley-Bacharach-Eigenschaft von Y bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}) etwas über das Verhältnis von a_{Y} mit den Invarianten a_{Z} der Unterschemata Z ⊆ Y , womit man eine Brücke zu den Arbeiten [GW] und [W] von S. Goto und K. Watanabe erhält.

Die Fortführung dieser Untersuchungen im achten Abschnitt führt schließlich zur Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler arithmetischer Gorensteinschemata (vgl. Satz 2). Zum Beweis dieser Charakterisierung geht man folgenderweise vor:

Wie sich aus den Sätzen aus § 4 und § 7 ergibt, ist die Cayley-Bacharach-Eigenschaft von Y bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}) äquivalent mit der Existenz einer bzgl. der Gradfiltrierung F “guten” Spur σ eines geeigneten affinen Koordinatenrings S von Y . Die Spur σ induziert eine homogene Linearform auf dem graduierten Ring von S bzgl. F (vgl. Anhang B), und mit Hilfe der Symmetrie der Hilbertfunktion von Y zeigt man, daß auch diese Linearform eine Spur darstellt. Da der projektive Koordinatenring von Y die Rees-Algebra von S bzgl. F ist (vgl. § 7), folgt die Behauptung.

Im Fall 0–dimensionaler Unterschemata der Ebene erhält man hieraus wie gesagt die bekannte Charakterisierung 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitte (vgl. Satz 1), deren praktische Anwendbarkeit an einigen Beispielen demonstriert wird.

Der neunte Abschnitt stellt die Hilfsmittel bereit, um Antworten auf die obige Frage (2) zu finden, und beschäftigt sich mit Zerfällungskriterien für Vektorbündel. Mit Hilfe der graduierten Version der Formel von Auslander-Buchsbaum und einiger Grundtatsachen der Kohomologietheorie wird das Zerfällungskriterium von G. Horrocks auf arithmetischen Cohen-Macaulay-Varietäten V formuliert und bewiesen. Im Fall V = ℙ _{k}^{2} bzw. V = ℙ _{k}^{3} gelingt es uns, ohne das Verschwinden gewisser Kohomologiegruppen auszukommen, wenn wir wie in Satz 3 voraussetzen, daß es ein 0–dimensionales Nullstellenschema eines globalen Schnitts des gegebenen Vektorbündels gibt, das ein arithmetisches Gorensteinschema mit der “richtigen” Invariante a_{Y} darstellt.

Der Beweis von Satz 3 besteht in der Ausnutzung der Charakterisierung 0–dimensionaler arithmetischer Gorensteinschemata (vgl. Satz 2) und der Zurückführung auf das Zerfällungskriterium von G. Horrocks mittels einiger kohomologischer Berechnungen. Wie sich herausstellt, ist die Bedingung “a_{Y} = 3n+deg(det E)−4” in diesem Satz sogar automatisch erfüllt, wenn wir n genügend groß wählen können.

Mit diesem Rüstzeug und den in Anhang C bereitgestellten Tatsachen über Vektorbündel mit guten globalen Schnitten können im letzten Abschnitt die Charakterisierungen 0–dimensionaler Nullstellenschemata (vgl. Satz 4) und 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitte (vgl. Satz 6) im Raum in Angriff genommen werden. Zum Beweis der Charakterisierung der 0–dimensionalen Nullstellenschemata Y stellt man dabei die Raumkurve C, die Y umfaßt, als Nullstellenschema einer reflexiven Modulgarbe F vom Rang zwei dar (vgl. [Ha4]) und verwendet dann die Konstruktion eines Rang-3-Bündels E als Erweiterung von J_{Y} mit F, wie sie in [C] eingeführt wurde.

Die Charakterisierung 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitte folgt dann, indem man das Zerfällungskriterium von Satz 5 auf E anwendet. An Hand verschiedener Beispiele werden schließlich konkrete Anwendungsmöglichkeiten beider Charakterisierungen vorgeführt.

An dieser Stelle möchte ich mich sehr herzlich bei Herrn Prof. Dr. E. Kunz bedanken, dessen Anleitung und Betreuung mich bei der Erstellung dieser Arbeit maßgeblich unterstützten. Dank gebührt auch den Herren Dipl. Math. S. Brüderle, Prof. Dr. E. Davis, Prof. Dr. A. Geramita, Dipl. Math. G. Seibert und Prof. Dr. R. Waldi für hilfreiche Diskussionen und Anregungen.

Vereinbarungen

“ Gegeben sei ein 0–dimensionales Unterschema Y einer d–dimensionalen projektiven Varietät V über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Wie kann man an Hand von Invarianten und geometrischen Eigenschaften der Einbettung von Y in V feststellen, ob Y als der vollständige Durchschnitt von d Hyperflächen darstellbar ist ?”

Sofern nicht ausdrücklich anders festgelegt bezeichnet k im folgenden stets einen algebraisch abgeschlossenen Grundkörper, V eine d–dimensionale integre projektive k –Varietät, ℙ := ℙ _{k}^{r} den r–dimensionalen projektiven Raum über k und Y ⊆ V ein 0–dimensionales Unterschema.

Was die verwendeten Notationen der algebraischen Geometrie betrifft, so verweisen wir auf [Ha1] und [K1]. Für grundlegende Schreib- und Sprechweisen der kommutativen Algebra verweisen wir auf [K2], App. A und [K3].

Im einzelnen sei noch auf nachstehende Vereinbarungen hingewiesen:

(1) Unter einem “Punkt” verstehen wir einen abgeschlossenen Punkt eines k –Schemas bzw. einer k –Varietät V . Mit V_{abg.} bezeichnen wir die Menge aller abgeschlossenen Punkte von V .

(2) Inklusionen von Schemata sind stets idealtheoretisch gemeint.

(3) Mit ω_{V} , ω_{Y} etc. bezeichnen wir die kanonische (dualisierende) Garbe eines projek-

tiven k –Schemas bzw. einer projektiven k –Varietät. Sei F ein kohärenter O_{V} –Modul und K ein endlichdimensionaler k –Vektorraum.

(4) Mit ℙ K bezeichnen wir den zu K assoziierten projektiven Raum über k.

(5) Das O_{V} –Dual von F notieren wir mit F ˇ , das heißt F ˇ := Hom_{O_{V}} (F, O_{V}), und das k –Dual von K notieren wir mit K^{∗}, das heißt K^{∗} := Hom_{k}(K, k).

(6) Wir setzen h^{i}F := dim_{k} H^{i}(V, F) für i ≥ 0.

(7) Ist s ∈ H^{o}(V, F) und J die Idealgarbe J := im (F ˇ ⟶^{s}ˇ O_{V}) von O_{V} , so heißt das durch J definierte abgeschlossene Unterschema (s)_{o} von V das Nullstellenschema von s.

(8) Ist F ein lokalfreier O_{V} –Modul vom Rang r und s ∈ H^{o}(V, F), so heißt s ein regulärer Schnitt von F, wenn codim ((s)_{o}, V) = r ist. Bezeichnet Y in diesem Fall das Nullstellenschema von s, so liefern der homologische und der kohomologische Koszulkomplex zu s zwei exakte Sequenzen

0 ⟶ det F ˇ ⟶ ⋀^{r−1}F ˇ ⟶ ⋯ ⟶ F ˇ ⟶^{s}ˇ O_{V} ⟶ O_{Y} ⟶ 0

und

0 ⟶ O_{V} ⟶^{s} F ⟶^{∧s} ⋀^{2}F ⟶ ⋯ ⟶ ⋀^{r−1}F ⟶ det F ⟶ det F ⊗ O_{Y} ⟶ 0

(vgl. [K1], § 4).

(9) Statt “lokalfreier O_{V} –Modul vom Rang r” sagen wir auch “Vektorbündel vom Rang r”, “Rang-r-Bündel” etc. (vgl. [Ha1], II ex. (5.18)).

(10) Wir setzen dim ∅ := −∞.

(11) Ist R ein kommutativer Ring mit Einselement und I ein Ideal von R, so sei ht (I) die Höhe und Tiefe (I) die Tiefe von I. Dabei sei ht (R) := ∞ und Tiefe (R) := ∞ vereinbart.

§1 Ein Beweis des Residuensatzes

In diesem Abschnitt führen wir einen Beweis des Residuensatzes vor, der im Fall des projektiven Raumes auf einer Verallgemeinerung einer Formel von Jacobi beruht (vgl. [KK], (4.8.c)) und im allgemeinen Fall hierauf zurückgeführt wird. Der Vorteil dieses Beweises besteht darin, daß er die üblicherweise benötigten Doppelkomplexargumente vermeidet (vgl. [L1], (8.6)). Mit dem Residuensatz stellen wir ein wichtiges Hilfsmittel für das Studium 0–dimensionaler Schemata bereit, das später auf verschiedene Weisen geometrisch interpretiert werden wird.

Die Grundlage für die nachfolgenden Resultate bildet das Skriptum [K1], dessen Notationen und Ergebnisse wir im weiteren als bekannt voraussetzen. Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, und sei V die Kategorie der integren, d–dimensionalen, projektiven k –Varietäten zusammen mit den endlichen, surjektiven, separablen Morphismen zwischen diesen. Zu jedem V ∈ V sei ω_{V} die Garbe der regulären Differentialformen vom Grad d auf V . Für V ∈ V, F ∈ Coh (V) und Punkte x ∈ V_{abg.}

bezeichnen ı_{x}: H_{x}^{d}(F) ⟶ H^{d}(V, F) und ı := ⨁_{x∈V_{abg.}} ı_{x}: ⨁_{x∈V_{abg.}} H_{x}^{d}(F) ⟶ H^{d}(V, F) die

kanonischen Abbildungen von der lokalen in die globale Kohomologie.

(1.1) Satz.

Für jedes V ∈ V und jeden abgeschlossenen Punkt x ∈ V gibt es eine eindeutig bestimmte k –lineare Abbildung

Res_{x}: H_{x}^{d}(ω_{V}) ⟶ k

mit den folgenden Eigenschaften:

(a) (Normiertheit) Ist V = ℙ _{k}^{d}, ist x ∈ V ein abgeschlossener Punkt, und identifiziert man O_{V,x} ⊆ Ô_{V,x} ≅ k[[t_{1}, …, t_{d}]], so gilt für alle Elemente

[ \begin{matrix}f dt_{1} ⋯ dt_{d} \\ t_{1}^{a_{1}}, …, t_{d}^{a_{d}} \end{matrix} ] ∈ H_{x}^{d}(ω_{V})

mit a_{i} ∈ ℕ_{+} und f = ∑_{(ν)} α_{ν}t_{1}^{ν_{1}} ⋯ t_{d}^{ν_{d}}, α_{ν} ∈ k die Gleichung:

Res_{x} ([ \begin{matrix}f dt_{1} ⋯ dt_{d} \\ t_{1}^{a_{1}}, …, t_{d}^{a_{d}} \end{matrix} ]) = α_{a_{1}−1...a_{d}−1}.

(b) (Spurformel für Residuen) Ist π: V ⟶ W ein Morphismus in V, ist x ∈ W ein abgeschlossener Punkt mit π^{−1}(x) = {v_{1}, …, v_{s}}, und ist H_{x}^{d}(σ): H_{x}^{d}(π_{∗}ω_{V}) ⟶ H_{x}^{d}(ω_{W}) die von der kanonischen Spur σ: Rat (V) ⟶ Rat (W) induzierte Abbildung, so ist das folgende Diagramm kommutativ:

⨁_{i=1}^{s} H_{v_{i}}^{d}(ω_{V}) ˜ ⟶ H_{π^{−1}(x)}^{d}(ω_{V}) ˜ ⟶ H_{x}^{d}(π_{∗}ω_{V}) ⟶^{H_{x}^{d}(σ)} H_{x}^{d}(ω_{W})
∑_{i=1}^{s} ^{Res}_{v_{i}}↘  ↙^{Res}_{x}
k k

Beweis:

Für die Familie der Residuenabbildungen Res_{x} gibt es verschiedene Konstruktionen, z.B. [L2], Appendix A mit Hilfe von Hochschild–Homologie oder [K1], § 9 mit Hilfe separierender Parametersysteme. q.e.d.

(1.2) Satz. (Residuensatz)

Zu jedem V ∈ V gibt es eine eindeutig bestimmte Abbildung _{∫V} : H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ k, die das folgende Diagramm kommutativ macht:

⨁_{x∈V_{abg.}} H_{x}^{d}(ω_{V}) \underrightarrow{ı} H^{d}(V, ω_{V})
∑_{x∈V_{abg.}} ^{Res}^{x}↘ ↙_{∫V}
k

Der Beweis dieses Satzes wird mittels Lemma (1.4) zurückgeführt auf den Fall V = ℙ _{k}^{d}.

(1.3) Lemma.

Sei π: V ⟶ W ein Morphismus in V, sei x ∈ W ein abgeschlossener Punkt, und sei F ∈ Coh (V). Dann hat man ein kommutatives Diagramm kanonischer Abbildungen:

H_{π^{−1}(x)}^{d}(F) ⟶ H^{d}(V, F)
↓^{≀}  ↓^{≀}
H_{x}^{d}(π_{∗}F) ⟶ H^{d}(W, π_{∗}F)

Beweis:

Man bilde das zu dem kommutativen Diagramm

H_{π^{−1}(x)}^{o}(F) ⟶ H^{o}(V, F)
∥  ∥
H_{x}^{o}(π_{∗}F) ⟶ H^{o}(W, π_{∗}F)

gehörige Diagramm universeller δ –Funktoren. q.e.d.

(1.4) Lemma.

Es genügt, den Residuensatz (1.2) im Fall V = ℙ := ℙ _{k}^{d} zu beweisen. Ist ∫_{ℙ} schon konstruiert, so ergibt sich ∫_{V} = ∫_{ℙ} ∘H^{d}(σ), wobei H^{d}(σ): H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ H^{d}(ℙ , ω_{ℙ}) durch die kanonische Spur induziert wird.

Beweis:

Zu V ∈ V wähle eine separable noethersche Normalisierung π: V ⟶ ℙ . Sei x ∈ ℙ ein abgeschlossener Punkt mit π^{−1}(x) = {v_{1}, …, v_{s}}. Betrachte das folgende Diagramm:

\begin{matrix}⨁_{i=1}^{s} H_{v_{i}}^{d}(ω_{V}) ˜⟶ \\ ↓ & ∑_{i=1}^{s} Res_{v_{i}} \\ ⟶ \end{matrix} \begin{matrix}H_{π^{−1}(x)}^{d}(ω_{V}) & ⟶ & H^{d}(V, ω_{V}) \\ ↓^{≀} & & ^{(2)}  ↓^{≀} \\ H_{x}^{d}(π_{∗}ω_{V}) & ⟶ & H^{d}(ℙ , π_{∗}ω_{V}) \\ ^{(1)}  ↓^{H_{x}^{d}(σ)} & & ^{(3)}  ↓^{H^{d}(σ)  (5)} \\ H_{x}^{d}(ω_{ℙ}) & ⟶ & H^{d}(ℙ , ω_{ℙ}) \\ ↓^{Res}_{x} & & ^{(4)}  ↓_{∫_{ℙ}} \\ k & & k \end{matrix} \begin{matrix}⟶ \\ ↓ & ∫ & V \\ ⟵ \end{matrix}

Hierin kommutiert (1) nach der Spurformel für Residuen, (2) nach Lemma (1.3) und (3) auf Grund der Funktorialität der kanonischen Abbildung von der lokalen in die globale Kohomologie. Ist nun der Residuensatz für den projektiven Raum gezeigt, das heißt Diagramm (4) ist kommutativ, so definiere die Abbildung _{∫V} : H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ k dadurch, daß sie das Diagramm (5) kommutativ macht.

Um schließlich die Eindeutigkeit von _{∫V} zu zeigen, genügt es zu beweisen, daß die kanonische Abbildung

ı: ⨁_{x∈V_{abg.}} H_{x}^{d}(ω_{V}) ⟶ H^{d}(V, ω_{V})

surjektiv ist. Dazu betrachte die kanonische Lokal–Global–Sequenz (vgl. [K1],(1.11)):

⨁_{i=1}^{s} H_{v_{i}}^{d}(ω_{V}) ˜⟶ H_{π^{−1}(x)}^{d}(ω_{V}) \underrightarrow{ı′} H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ H^{d}(V \ π^{−1}(x), ω_{V}) ⟶ 0

Da ℙ \ {x} eine Überdeckung durch d offene affine Mengen besitzt und π affin ist, gilt dies auch für V \ π^{−1}(x), woraus mittels Berechnung durch Čechkohomologie sofort das Verschwinden

H^{d}(V \ π^{−1}(x), ω_{V}) = 0

folgt. Also ist ı′ und damit erst recht ı surjektiv. q.e.d.

Zum Beweis des Residuensatzes für den ℙ _{k}^{d} ändern wir unsere Situation ein wenig. Im folgenden sei V = ℙ _{k}^{d}, sei S := k[X_{o}, .., X_{d}] der projektive Koordinatenring von V , sei Y ⊆ V ein 0–dimensionales abgeschlossenes Unterschema von V , und sei I ⊆ S ein Y definierendes Ideal. Dann schreibe kurz Ω_{V}^{d} für Ω_{V |k}^{d} und bezeichne mit I^{∗} ⊆ S das saturierte Ideal von Y , das heißt

I^{∗} = {s ∈ S : ∀i ∈ {0, …, d} ∃ n ∈ ℕ : x_{i}^{n} · s ∈ I}

(1.5) Satz. (Der Residuensatz für den ℙ _{k}^{d})

Es gibt eine eindeutig bestimmte k –lineare Abbildung ∫_{V} : H^{d}(V, Ω_{V}^{d}) ⟶ k, so daß das folgende Diagramm kommutiert:

H_{Y}^{d} (Ω_{V}^{d}) \underrightarrow{ı} H^{d}(V, Ω_{V}^{d})
∑_{P ∈Y} ^{Res}^{P}↘ ↙_{∫V} k

Beweis:

Die Eindeutigkeit von ∫_{V} folgt wie im Beweis von Lemma (1.4), sobald die Existenz gezeigt ist. Dazu wiederum ist nur ker ı ⊆ ker ( ∑_{P ∈Y} Res_{P}) zu beweisen. Dies geschieht wie folgt:

Wegen dim Y = 0 hat I^{∗} die Höhe d, und weil S ein graduierter Cohen-Macaulay-Ring ist, gibt es eine homogene reguläre Folge {F_{1}, …, F_{d}} in I^{∗}. Sei Y′ ⊆ V der durch Y′ = V(F_{1}) ∩ ⋯ ∩ V(F_{d}) definierte 0–dimensionale vollständige Durchschnitt. Dann ist Y ein abgeschlossenes Unterschema von Y′, und es ergibt sich ein kommutatives Diagramm:

Σ_{P ∈Y} Res_{P}↙ H_{Y}^{d} (Ω_{V}^{d}) _{↘^{ı}}
k   ; ↓_{i}  H^{d}(V, Ω_{V}^{d})
Σ_{P ∈Y ′} Res_{P}↖ H_{Y′}^{d}(Ω_{V}^{d}) ^{↗_{ı}′}

Hierbei ist i die kanonische Inklusionsabbildung

i: H_{Y}^{d} (Ω_{V}^{d}) ˜ ⟶ ⨁_{P ∈Y} H_{P}^{d} (Ω_{V}^{d}) ⟶ ⨁_{P ∈Y′} H_{P}^{d} (Ω_{V}^{d}) ˜ ⟶ H_{Y′}^{d}(Ω_{V}^{d})

Also genügt es zu beweisen, daß ker ı′ ⊆ ker ( ∑_{P ∈Y′} Res_{P}) gilt. Auf Grund der Exaktheit der kanonischen Lokal-Global-Sequenz

⋯ ⟶ H^{d−1}(V \ Y′, Ω_{V}^{d}) ⟶^{δ} H_{Y′}^{d}(Ω_{V}^{d}) \underrightarrow{ı′} H^{d}(V, Ω_{V}^{d}) ⟶ 0

ist dies äquivalent mit der Bedingung ∑_{P ∈Y′} Res_{P} (δ(x)) = 0 für alle x ∈ H^{d−1}(V \Y′, Ω_{V}^{d}).

Jetzt berechnen wir H^{d−1}(V \ Y′, Ω_{V}^{d}) mittels Čechkohomologie. Die Menge 𝔘 := {D_{+}(F_{1}), …, D_{+}(F_{d})} bildet eine offene affine Überdeckung von V \ Y′. Bezeichnet ∂: C^{d−2}(𝔘, Ω_{V}^{d}) ⟶ C^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d}) die Differentiation im Čechkomplex zu 𝔘, so ergeben sich die Isomorphismen

H^{d−1}(V \ Y′, Ω_{V}^{d}) ≅ Ȟ^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d}) ≅ C^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d})/ im ∂

Nun berechnet man:

C^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d}) = Ω_{V}^{d} (D_{+}(F_{1}) ∩ … ∩ D_{+}(F_{d})) = Ω_{V}^{d} (D_{+}(F_{1} ⋯ F_{d})) =
= Ω̃_{S}^{d+1}(D_{+}(F_{1} ⋯ F_{d})) = (Ω_{S}^{d+1})_{(F_{1}···F_{d})}

Somit schreibt sich jedes Element x ∈ H^{d−1}(V \ Y′, Ω_{V}^{d}) als Restklasse eines Bruches der Form

\frac{G dX_{o} ⋯ dX_{d}}{(F_{1} ⋯ F_{d})^{ν}} ∈ C^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d})

mit ν ∈ ℕ_{+} und G ∈ S homogen vom Grad ν(∑_{i=1}^{d} deg F_{i}) − d − 1.

Im folgenden sei o.E. angenommen, daß die Hyperebene V(X_{o}) ⊆ V den 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitt Y′ ⊆ V nicht trifft. Durch die Dehomogenisierung X_{o} ↦ 1 gehe F_{i} in f_{i} ∈ k[X_{1}, …, X_{d}] über (i=1, …,d) und G in g ∈ k[X_{1}, …, X_{d}].

Wir benötigen die folgenden beiden Lemmata:

(1.6) Lemma.

Wie oben schreibe x ∈ H^{d−1}(V \ Y′, Ω_{V}^{d}) als Restklasse eines Elements

\frac{G dX_{o} ⋯ dX_{d}}{(F_{1} ⋯ F_{d})^{ν}} ∈ C^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d}). Dann gilt:

δ(x) = ([ \begin{matrix}g dX_{1} ⋯ dX_{d} \\ f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν} \end{matrix} ]_{P} )_{P ∈Y′} ∈ ⨁_{P ∈Y′} H_{P}^{d} (Ω_{V}^{d}) ≅ H_{Y′}^{d}(Ω_{V}^{d})

Beweis:

Da die lokale Kohomologie nur von Umgebungen von Y′ abhängt, und weil die Menge 𝔘′ := {D(f_{1}), …, D(f_{d})} eine offene Überdeckung von 𝔸 _{k}^{d} = V \ V(X_{o}) bildet, ist δ die Komposition

Ȟ^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d}) ⟶_{ρ} Ȟ^{d−1}(𝔘′, Ω_{V}^{d} |_{𝔸 {d \atop k}}) ; ⟶ ; σ H_{Y′}^{d}(Ω_{V}^{d})

wobei ρ von der Restriktionsabbildung induziert wird. Der verbindende Homomorphismus σ der Lokal-Global-Sequenz in 𝔸 _{k}^{d} ist ein Isomorphismus gemäß [K1], (4.10). Nun ist ρ(x) offenbar die Restklasse von

\frac{g dX_{1} ⋯ dX_{d}}{(f_{1} ⋯ f_{d})^{ν}} ∈ C^{d−1}(𝔘′, Ω_{V}^{d} |_{𝔸 {d \atop k}}) in Ȟ^{d−1}(𝔘′, Ω_{V}^{d} |_{𝔸 {d \atop k}}).

Diese wiederum wird von σ abgebildet auf das Tupel der lokalen Kohomologieklassen [ \begin{matrix}g dX_{1} ⋯ dX_{d} \\ f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν} \end{matrix} ]_{P} ∈ H_{P}^{d} (Ω_{V}^{d}), wie in [K1], S.51 gezeigt wird. Hieraus folgt die Behaup-

tung. q.e.d.

Die Algebra R = k[X_{1}, …, X_{d}]/(f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν}) ist ein endlicher vollständiger Durchschnitt über k (vgl. [KK], (1.11)). Sei τ: R ⟶ k die zu dieser Präsentation gemäß [K2], (F20) assoziierte Spur. Wegen R ≅ ∏_{P ∈Y′} R_{P} erfüllen die zu den Präsentationen

R_{P} ≅ k[X_{1}, …, X_{d}]_{𝔪_{P}} /(f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν}) assoziierten Spuren τ_{P} : R_{P} ⟶ k nach [K2], (F30) die Beziehung

τ(r) = ∑_{P ∈Y′} τ_{P} (r_{P})  für alle r = (r_{P})_{P ∈Y′} ∈ R.

(1.7) Lemma.

Für P ∈ Y′ und ein Element g ∈ O_{V,P} mit Restklasse ḡ in R_{P} gilt:

τ_{P} (ḡ) = Res_{P} ([ \begin{matrix}g dX_{1} ⋯ dX_{d} \\ f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν} \end{matrix} ]_{P} )

Beweis:

Seien P = (p_{1}, …, p_{d}) die affinen Koordinaten von P in 𝔸 _{k}^{d} = V \ V(X_{o}). Dann ist 𝔪_{P} = (X_{1} − p_{1}, …, X_{d} − p_{d}) und man hat eine Identifikation

O_{V,P} ⊆ Ô_{V,P} ≅ k[[t_{1}, …, t_{d}]]

mit t_{i} := X_{i} −p_{i} für i = 1, ..., d. Da {f_{1}^{ν}, ..., f_{d}^{ν}} ein Parametersystem von k[X_{1}, ..., X_{d}]_{𝔪_{P}} bildet, gibt es ein σ ∈ ℕ_{+} mit (t_{1}^{σ}, …, t_{d}^{σ}) = ((X_{1} − p_{1})^{σ}, …, (X_{d} − p_{d})^{σ}) ⊆ (f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν}).

Für i = 1, …, d schreibe t_{i}^{σ} = ∑_{j=1}^{d} a_{ij} f_{j}^{ν} mit a_{ij} ∈ O_{V,P} und setze Δ = det(a_{ij}). Dann

gilt gemäß [K1], (4.14) für alle Elemente g ∈ O_{V,P} mit Restklasse ḡ in O_{Y,P} die Formel:

Res_{P} ([ \begin{matrix}g dX_{1} ⋯ dX_{d} \\ f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν} \end{matrix} ]) = Res_{P} ([ \begin{matrix}g dt_{1} ⋯ dt_{d} \\ f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν} \end{matrix} ]) = Res_{P} ([ \begin{matrix}Δ g dt_{1} ⋯ dt_{d} \\ t_{1}^{σ}, …, t_{d}^{σ} \end{matrix} ])

Bezeichnet τ′_{P} die zu der Präsentation k[X_{1}, …, X_{d}]_{𝔪_{P}} /(t_{1}^{σ}, …, t_{d}^{σ}) assoziierte Spur, so gilt gemäß [K2], (F29) ebenfalls

τ_{P} (\overline{g}) = τ′_{P} (\overline{Δ g}).

Nun entwickle das Element Δ g ∈ k[[t_{1}, …, t_{d}]] als Potenzreihe

Δ g = ∑_{(ν)} α_{ν} t_{1}^{ν_{1}} ⋯ t_{d}^{ν_{d}} mit α_{ν} ∈ k

und erhalte auf Grund der Normiertheit der Residuenabbildungen die Gleichung

Res_{P} ([ \begin{matrix}Δ g dt_{1} ⋯ dt_{d} \\ t_{1}^{σ}, …, t_{d}^{σ} \end{matrix} ]) = α_{σ−1...σ−1}.

Analog wie in [K2], (F22b) ergibt sich auch

τ′_{P} (\overline{Δ g}) = α_{σ−1...σ−1}.  q.e.d.

Jetzt folgt die Behauptung des Satzes aus der Spurformel [KK], (4.6.a), welche eine Formel von Jacobi ([KK], (4.8.c)) verallgemeinert. Schreibe ein vorgegebenes Element

x ∈ H^{d−1}(V \ Y′, Ω_{V}^{d}) als Restklasse eines Bruches \frac{G dX_{o} ⋯ dX_{d}}{(F_{1} ⋯ F_{d})^{ν}} ∈ C^{d−1}(𝔘, Ω_{V}^{d}) mit

ν ∈ ℕ_{+} und G ∈ S homogen vom Grad ν(∑_{i=1}^{d} deg F_{i})−d−1. Sei g die Dehomogenisierung von G nach X_{o} und ḡ die Restklasse von g in R. Dann gilt:

∑_{P ∈Y′} Res_{P} (δ(x)) = ∑_{P ∈Y′} Res_{P} ([ \begin{matrix}g dX_{1} ⋯ dX_{d} \\ f_{1}^{ν}, …, f_{d}^{ν} \end{matrix} ]_{P} )  nach (1.6)
= ∑_{P ∈Y′} τ_{P} (ḡ)  nach (1.7)
= τ (ḡ)

Das Element τ (ḡ) verschwindet wegen deg g ≤ ∑_{i=1}^{d} deg f_{i}^{ν} − d − 1 gemäß [KK], (4.6.a). q.e.d.

§2 Zur Dualitätstheorie projektiver Schemata

Nachdem wir kurz die Dualitätstheorie projektiver Varietäten wiederholt haben, wenden wir diese an, um zu zeigen, daß die Garbe ω_{V} der regulären Differentialformen auf V zusammen mit der im Residuensatz konstruierten Abbildung ∫_{V} ein dualisierendes Paar für jede projektive Varietät V bildet. Wir interpretieren den Residuensatz als eine Aussage über die Kompatibilität von lokaler und globaler Dualität. Dann geben wir eine explizite Beschreibung der dualisierenden Garbe ω_{Y} eines 0–dimensionalen Schemas Y ⊆ V , das nicht reduziert zu sein braucht, durch einen ausgezeichneten Untermodul H^{o}(Y, ω_{Y} ) von H_{Y}^{d} (ω_{V} ). Die Spurabbildung ∫_{Y} : H^{o}(Y, ω_{Y} ) ⟶ k ergibt sich dann einfach als die Einschränkung von

∑_{P ∈Y} Res_{P} : H_{Y}^{d} (ω_{V} ) ⟶ k auf H^{o}(Y, ω_{Y} ).

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, und sei V eine d–dimensionale integre projektive k –Varietät. Die folgenden Hauptergebnisse der Dualitätstheorie projektiver Varietäten werden in [K1], § 9 – § 11 bewiesen.

(2.1) Satz. (Lokaler Dualitätssatz)

(a) Für alle F ∈ Coh (V) und alle abgeschlossenen Punkte P ∈ V ist die kanonische

Abbildung

δ_{F_{P}} : Hom_{O_{V,P}} (F_{P} , ω_{V,P}) ⟶ Hom_{k}(H_{P}^{d} (F), k)
l ⟼ Res_{P} ∘ H_{P}^{d} (l)

ein Isomorphismus.

(b) Ist P ein Cohen-Macaulay-Punkt auf V , d.h. ist O_{V,P} ein Cohen-Macaulay-Ring, so hat man für alle i ∈ ℕ in F funktorielle Isomorphismen

Ext_{O_{V,P}}^{i} (F_{P} , ω_{V,P}) ˜ ⟶ Hom_{k}(H_{P}^{d−i}(F), k).  ([K1], (9.10))

(2.2) Satz. (Globaler Dualitätssatz)

Für alle F ∈ Coh (V) ist die kanonische Abbildung

\begin{matrix}δ′_{F}: Hom_{V} (F, ω_{V}) & ⟶ & Hom_{k}(H^{d}(V, F), k) \\ l & ⟼ & ∫′_{V} ∘ H^{d}(V, l) \end{matrix}

bijektiv. Hierbei ist ∫′_{V} : H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ k die Komposition

H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ H_{s}^{d+1}(C(V), ω_{C(V)}) ⟶^{Res_{s}} k

wie in [ K1], (10.2). ([ K1], (10.4))

(2.3) Bemerkung:

Mit anderen Worten, (ω_{V} ,^{∫ ′}_{V}) ist ein dualisierendes Paar für V . Hierunter versteht man eine dualisierende Garbe ω_{V} auf V mit einer Spurabbildung ∫′_{V} : H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ k gemäß [Ha1], III § 7.

Allgemein existiert ein dualisierendes Paar (ω_{V} , ∫_{V}) für jedes projektive Schema V ⊆ ℙ _{k}^{n} (vgl. [Ha1], III (7.5)), wobei ω_{V} ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{n−d}(O_{V} , Ω_{ℙ}^{n}) ist. Im nichtreduzierten Fall scheint aber eine konkrete Realisierung von ω_{V} als Garbe von Differentialformen nicht möglich zu sein.

(2.4) Korollar. (Vollständige Dualität)

(a) Für alle F ∈ Coh (V) und alle i ∈ ℕ hat man eine kanonische, in F funktorielle k –lineare Abbildung

δ_{F}^{i}: Ext_{V}^{i} (F, ω_{V}) ⟶ Hom_{k}(H^{d−i}(V, F), k).

(b) Ist V eine Cohen-Macaulay-Varietät, so ist δ_{F}^{i} für alle F ∈ Coh (V) und alle i ∈ ℕ ein Isomorphismus. ([ K1], (11.16))

(c) Ist V eine Cohen-Macaulay-Varietät und F ein lokalfreier O_{V} –Modul, so gilt für

alle i ∈ ℕ :

H^{i}(V, F) ≅ H^{d−i}(V, F ˇ ⊗ ω_{V})^{∗}  ([K1], (11.17))

(2.5) Korollar.

Es gilt: H^{d}(V, ω_{V}) ≅ k

Beweis: (Vgl. [AK], I (2.10))

Sei η der generische Punkt von V , und sei K := O_{V,η}. Dann ist die kanonische Abbildung

Hom_{V} (ω_{V} , ω_{V}) ⟶ Hom_{K}(ω_{V,η}, ω_{V,η})
f ⟼ f_{η}

injektiv, denn ist f_{η} = 0, so gilt η ∉ Supp (im f), also dim(Supp (im f)) < d. Gemäß [Ha1], II ex.(1.19.c) und III (2.10) gilt H^{d}(V, im f) ≅ H^{d}(Supp (im f), im f|_{Supp (im f)}), und nach dem Grothendieckschen Verschwindungssatz (vgl. [Ha1], III (2.7)) ist H^{d}(V, im f) = 0. Nach (2.2) folgt somit Hom_{V} (im f, ω_{V}) = 0, was wegen im f ↪ ω_{V} nur für f = 0 möglich ist.

Andererseits ist η ∈ V ein regulärer Punkt. Dies liefert ω_{V,η} ≅ K und folglich ergibt sich Hom_{K}(ω_{V,η}, ω_{V,η}) ≅ K. Aber nach dem Serreschen Endlichkeitssatz ist Hom_{V} (ω_{V} , ω_{V}) eine endlichdimensionale k –Algebra, und daher muß Hom_{V} (ω_{V} , ω_{V}) ≅ k sein, da k algebraisch abgeschlossen ist in K. Eine nochmalige Anwendung von (2.2) zeigt jetzt H^{d}(V, ω_{V}) ≅ k. q.e.d.

(2.6) Korollar.

Auch (ω_{V} , ∫_{V}) ist ein dualisierendes Paar für V . Das heißt, für alle F ∈ Coh (V) ist die kanonische Abbildung

\begin{matrix}δ_{F}: Hom_{V} (F, ω_{V}) & ⟶ & Hom_{k}(H^{d}(V, F), k) \\ l & ⟼ & ∫_{V} ∘ H^{d}(V, l) \end{matrix}

bijektiv.

Beweis:

Wegen ∫_{V} ≠ 0 und ∫′_{V} ≠ 0 sowie H^{d}(V, ω_{V}) ≅ k gibt es einen k –Automorphismus

β: Hom_{k}(H^{d}(V, ω_{V}), k) ˜ ⟶ Hom_{k}(H^{d}(V, ω_{V}), k)

mit β(∫′_{V}) = ∫_{V} . Nach dem Dualitätssatz (2.2) gibt es einen O_{V} –Endomorphismus α: ω_{V} ⟶ ω_{V} mit δ′_{ω_{V}} (α) = ∫_{V} . Betrachte dann das folgende Diagramm:

Hom_{V} (ω_{V} , ω_{V})  ; ⟶ ; δ′_{ω_{V}} Hom_{k}(H^{d}(V, ω_{V}), k)
Hom(α,ω_{V} )↓  ↓^{β}
Hom_{V} (ω_{V} , ω_{V})  ; ⟶ ; δ′_{ω_{V}} Hom_{k}(H^{d}(V, ω_{V}), k)

Wegen Hom_{V} (ω_{V} , ω_{V}) ≅ H^{d}(V, ω_{V})^{∗} ≅ k und wegen

β ∘ δ′_{ω_{V}} (id) = β(∫ ′_{V}) = ∫_{V} = δ′_{ω_{V}} (α) = δ′_{ω_{V}} ∘ Hom_{V} (α, ω_{V}) (id)

ist dieses Diagramm kommutativ. Also folgt aus der Bijektivität von β , daß auch α ein Isomorphismus ist. Für alle F ∈ Coh (V) und l ∈ Hom_{V} (F, ω_{V}) gilt somit

δ_{F}(l) = ∫_{V} ∘ H^{d}(V, l) = δ′_{ω_{V}} (α) ∘ H^{d}(V, l)
= ∫ ′_{V} ∘ H^{d}(V, α) ∘ H^{d}(V, l) = ∫ ′_{V} ∘ H^{d}(V, α ∘ l)
= δ′_{F}(α ∘ l) = δ′_{F} ∘ Hom_{V} (F, α) (l)

und daher ist mit δ′_{F} auch δ_{F}: Hom_{V} (F, ω_{V}) ⟶ Hom_{k}(H^{d}(V, F), k) bijektiv. q.e.d.

(2.7) Korollar. (Kompatibilität von lokaler und globaler Dualität)

(a) Für alle F ∈ Coh (V) und alle abgeschlossenen Punkte P ∈ V ist das folgende Diagramm kommutativ:

(∗)

Hom_{V} (F, ω_{V})   ; ⟶ ; δ_{F} Hom_{k}(H^{d}(V, F), k)
↓kan.  ↓ı_{x}^{∗}
Hom_{O_{V,P}} (F_{P} , ω_{V,P})  ; ⟶ ; δ_{F_{P}} Hom_{k}(H_{P}^{d} (F), k)

(b) Ist ∫_{V} : H^{d}(V, ω_{V}) → k eine k –lineare Abbildung mit der Eigenschaft, daß die wie in (2.6) konstruierte zugehörige Abbildung δ_{F}: Hom_{V} (F, ω_{V}) ⟶ Hom_{k}(H^{d}(V, F), k) für alle F ∈ Coh (V) und alle P ∈ V das Diagramm (∗) kommutativ macht, so erfüllt diese Abbildung ∫_{V} die Behauptung des Residuensatzes.

Beweis: “(a)” Die Behauptung ∫_{V} ∘H^{d}(V, l)∘ ı_{P} = Res_{P} ∘H_{P}^{d} (l) für l ∈ Hom_{V} (F, ω_{V}) folgt wegen

der Kommutativität des Diagramms

H_{P}^{d} (F) ⟶^{H_{P}^{d} (l)} H_{P}^{d} (ω_{V})
↓ı_{P}  ↓ı_{P}
H^{d}(V, F) ⟶^{H^{d}(V,l)} H^{d}(V, ω_{V})

aus ∫_{V} ∘ ı_{P} = Res_{P} , was im Residuensatz (1.2) gezeigt wurde. “(b)” Wählt man in (∗) F = ω_{V} und l = id_{ω_{V}} , so gilt ∫_{V} ∘ ı_{P} = Res_{P} für alle P ∈ V .

q.e.d.

(2.8) Bemerkung:

In [K1], (10.7) wird gezeigt, daß der Residuensatz (1.2) auch mit der Abbildung ∫′_{V} an Stelle von ∫_{V} gilt. Es ist daher ∫′_{V} = ∫_{V} .

Jetzt sei Y ⊆ V ein 0–dimensionales Unterschema mit Idealgarbe J_{Y} ⊆ O_{V} , so daß O_{V,P} für alle Punkte P ∈ Y ein Cohen-Macaulay-Ring ist. (2.9) Definition:

Für jeden Punkt P ∈ Y definieren wir

ω_{Y,P} := 0 :_{H_{P}^{d} (ω_{V} )} J_{Y,P} := {ξ ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}): J_{Y,P} · ξ = 0}.

Außerdem sei Res_{P}^{Y} : ω_{Y,P} ⟶ k die Einschränkung von Res_{P} : H_{P}^{d} (ω_{V}) ⟶ k auf ω_{Y,P} .

(2.10) Bemerkung:

(a) Gemäß seiner Definition hängt ω_{Y,P} von der Einbettung Y ⊆ V ab.

(b) Sei P ∈ Y und t = {t_{1}, …, t_{d}} eine O_{V,P} –reguläre Folge in J_{Y,P} . (Eine solche existiert, da O_{V,P} ein Cohen-Macaulay-Ring und J_{Y,P} ein 𝔪_{V,P} –primäres Ideal ist.) Dann gilt:

ω_{Y,P} = \{\left[{w \atop t}\right] ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}): J_{Y,P} · \left[{w \atop t}\right] = 0\}
= \{\left[{w \atop t}\right] ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}): J_{Y,P} · w ⊆ (t) · ω_{V,P} \}

Beweis: “(b)” Auf Grund des lokalen Dualitätssatzes (2.1.b) verschwindet Ext_{O_{V,P}}^{i} (O_{V,P} /(t), ω_{V,P})

für alle i = 0, …, d − 1, das heißt t ist eine ω_{V,P} –reguläre Folge. Daher folgt die zweite Beschreibung von ω_{Y,P} aus der ersten und der Gleichheitsregel [K1], (4.16). Nach Definition gilt:

ω_{Y,P} = \{\left[{w \atop t^{a}}\right] ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}): a ∈ ℕ_{+}, J_{Y,P} · \left[{w \atop t^{a}}\right] = 0\}

Für \left[{w \atop t^{a}}\right] ∈ ω_{Y,P} haben wir also insbesondere (t) · w ⊆ (t^{a}) · ω_{V,P} , woraus nach [K2], (E20) folgt, daß ein w′ ∈ ω_{V,P} existiert mit

w ≡ t_{1}^{a−1} ⋯ t_{d}^{a−1} · w′ (mod (t^{a}) · ω_{V,P}).

Damit liefert die Erweiterungsregel [K1], (4.14) die Gleichheit \left[{w \atop t^{a}}\right] = \left[{w′ \atop t}\right], so daß wir die erste Behauptung erhalten. q.e.d.

(2.11) Satz. (Lokaler Dualitätssatz auf Y )

Das Paar (ω_{Y,P} , Res_{P}^{Y}) repräsentiert den Funktor Hom_{k}(F_{P} , k) für endlich erzeugte O_{Y,P} –Moduln F_{P} .

Beweis:

Nach dem lokalen Dualitätssatz (2.1) und [K1], (11.18) hat man einen kanonischen Isomorphismus

\begin{matrix}Φ: H_{P}^{d} (ω_{V}) & ˜⟶ & Hom_{k}(Ô_{V,P} , k) \\ ξ & ⟼ & (r ↦ Res_{P} (r · ξ)). \end{matrix}

Dieser ist offensichtlich sogar ein Ô_{V,P} –Isomorphismus. Nach Definition von Res_{P}^{Y} kommutiert das folgende Diagramm:

H_{P}^{d} (ω_{V})  ; ⟶ ; Φ Hom_{k}(Ô_{V,P} , k)
˘↑  ˘  ↑^{kan.}
ω_{Y,P}  ⟶^{Ψ} Hom_{k}(O_{Y,P} , k)
w ⟼ (r ↦ Res_{P}^{Y} (r · w))

Da in der unteren Zeile jeweils genau diejenigen Elemente stehen, die von J_{Y,P} annulliert werden, ist Ψ ein O_{Y,P} –Isomorphismus. Indem man eine Präsentation des endlichen O_{Y,P} –Moduls F_{P} wählt, sieht man, daß auch die kanonische Abbildung

Hom_{O_{Y,P}} (F_{P} , ω_{Y,P}) ⟶ Hom_{k}(F_{P} , k)
l ⟼ Res_{P}^{Y} ∘ l

ein in F_{P} funktorieller Isomorphismus ist. q.e.d. (2.12) Definition:

Sei ω_{Y} die zu dem H^{o}(Y, O_{Y})–Modul ⨁_{P ∈Y} ω_{Y,P} assoziierte Garbe auf Y , und sei

\begin{matrix}∫_{Y} : H^{o}(Y, ω_{Y}) ≅ ⨁_{P ∈Y} ω_{Y,P} & ⟶ & k \\ (w_{P})_{P ∈Y} & ⟼ & ∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y} (w_{P}). \end{matrix}

(2.13) Satz. (Globaler Dualitätssatz auf Y )

Das Paar (ω_{Y} , ∫_{Y}) ist ein dualisierendes Paar für Y , d.h. für alle kohärenten O_{Y} –Moduln F ist die Paarung

\begin{matrix}Hom_{Y} (F, ω_{Y}) × H^{o}(Y, F) & ⟶ & k \\ ( l , f) & ⟼ & ∫_{Y} ∘H^{o}(l)(f) \end{matrix}

nicht ausgeartet.

Beweis:

Dies folgt sofort aus (2.11) durch Summation über die Punkte P ∈ Y . q.e.d.

(2.14) Korollar.

Die Abbildung ∫_{Y} : H^{o}(Y, ω_{Y}) ⟶ k ist eine Spur auf dem H^{o}(Y, O_{Y})–Modul H^{o}(Y, ω_{Y}) (im Sinne von Anhang A).

Beweis:

Der nach dem Satz gegebene k –Isomorphismus

\begin{matrix}H^{o}(Y, ω_{Y}) & ˜⟶ & Hom_{k}(H^{o}(Y, O_{Y}), k) \\ w & ⟼ & (r ↦ ∫_{Y} (w · r)) =: ∫_{Y} (w · –) \end{matrix}

ist offensichtlich sogar ein H^{o}(Y, O_{Y})–Isomorphismus. Folglich hat man einen H^{o}(Y, O_{Y})– Isomorphismus

\begin{matrix}Hom_{k}(H^{o}(Y, ω_{Y}), k) & ˜⟶ & H^{o}(Y, O_{Y})^{∗∗} & ˜⟶ & H^{o}(Y, O_{Y}) \\ _{∫Y} & ⟼ & (∫_{Y} (w · –) ↦ ∫_{Y} (w)) & ⟼ & 1 \end{matrix}

und dies beweist die Behauptung. q.e.d.

(2.15) Korollar. (Funktorialität von Res_{P}^{Y} und ∫_{Y} )

Sei Y′ ⊆ Y ein weiteres 0–dimensionales Unterschema von V . Dann gilt:

(a) Für jeden Punkt P ∈ Y hat man eine kanonische Injektion ω_{Y′,P} ↪ ω_{Y,P} , und diese macht das folgende Diagramm kommutativ:

ω_{Y′,P} ⟶ ω_{Y,P}
Res_{P}^{Y ′}↘ ↙^{Res}_{P}^{Y} k

(b) Man hat ein kommutatives Diagramm kanonischer Abbildungen:

H^{o}(Y′, ω_{Y′}) ⟶ H^{o}(Y, ω_{Y})
∫_{Y ′}↘ ↙_{∫_{Y}} k

Beweis: “(a)” Wähle eine O_{V,P} –reguläre Folge t = {t_{1}, …, t_{d}} in J_{Y,P} . Dann folgt die Behaup-

tung aus der kanonischen Inklusion

ω_{Y′,P} = \{\left[{w \atop t}\right] ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}): J_{Y′,P} · w ⊆ (t) · ω_{V,P} \}
⊆ \{\left[{w \atop t}\right] ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}): J_{Y,P} · w ⊆ (t) · ω_{V,P} \}
= ω_{Y,P}

und Definition (2.9). “(b)” Dies ergibt sich wieder durch Summation über die Punkte P ∈ Y . q.e.d.

§ 3 Der Residuensatz für Vektorbündel

Das Ziel dieses Abschnitts ist es, einen Beweis des Residuensatzes für Vektorbündel vorzustellen, der auf den in [L1], S.105–108 skizzierten zurückgeht. Dieser Satz liefert eine wichtige Relation auf dem Modul H^{o}(Y, ω_{Y} ) eines 0–dimensionalen Nullstellenschemas Y , die später geometrisch interpretiert werden wird. Die als Anwendung bewiesene teilweise Umkehrung dieses Residuensatzes stammt aus [GH2], I (b).

Weiterhin sei V eine d–dimensionale integre projektive Varietät über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k, und Y ein 0–dimensionales Unterschema von V mit Idealgarbe J_{Y} ⊆ O_{V} . (3.1) Definition:

(a) Y heißt ein 0–dimensionaler lokal vollständiger Durchschnitt auf V , wenn J_{Y,P} für jeden Punkt P ∈ Y von einer O_{V,P} –regulären Folge erzeugt wird.

(b) Y heißt ein 0–dimensionales Nullstellenschema, wenn es einen lokalfreien O_{V} – Modul E vom Rang d gibt und einen regulären Schnitt s ∈ H^{o}(V, E), so daß Y das Nullstellenschema Y = (s)_{o} von s ist. Mit anderen Worten sei die Idealgarbe J_{Y} gegeben als das Bild der dualen Abbildung sˇ : E ˇ ⟶ O_{V} und werde lokal von einer regulären Folge erzeugt.

(c) Y heißt ein 0–dimensionaler (global) vollständiger Durchschnitt auf V , wenn es Hyperflächen H_{1}, …, H_{d} ⊆ V in V gibt, d.h. rein 1–kodimensionale abgeschlossene Unterschemata, deren Idealgarbe lokal von einem Element erzeugt wird, so daß gilt:

J_{Y} = J_{H_{1}} + ⋯ + J_{H_{d}}

(3.2) Bemerkung:

(a) Es gibt genau dann einen 0–dimensionalen lokal vollständigen Durchschnitt Y′ auf V mit Y ⊆ Y′, wenn alle Punkte von Y Cohen-Macaulay-Punkte auf V sind, d.h. wenn O_{V,P} für alle P ∈ Y ein Cohen-Macaulay-Ring ist.

(b) Jedes 0–dimensionale Nullstellenschema Y ⊆ V ist ein 0–dimensionaler lokal vollständiger Durchschnitt auf V .

(c) Jeder 0–dimensionale vollständige Durchschnitt auf V ist ein 0–dimensionales Nullstellenschema.

(d) Ist Y ⊆ V das 0–dimensionale Nullstellenschema eines globalen Schnitts eines lokalfreien O_{V} –Moduls E, der in eine direkte Summe invertierbarer O_{V} –Moduln zerfällt, so ist Y ein 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitt auf V .

Beweis: “(a)” Da J_{Y,P} für jedes P ∈ Y primär zum maximalen Ideal 𝔪_{V,P} von O_{V,P} ist, gibt es

genau dann eine reguläre Folge der Länge d in J_{Y,P} , wenn O_{V,P} ein Cohen-Macaulay-Ring ist.

“(b)” Dies gilt nach Definition. “(c)” Sei Y = H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{d} mit Hyperflächen H_{1}, …, H_{d} ⊆ V , sei D_{i} ∈ Div(V) der

zu H_{i} gehörige effektive Cartier-Divisor auf V , und sei s_{i} ∈ H^{o}(V, O_{V} (D_{i})) der globale Schnitt mit (s_{i})_{o} = H_{i} (i = 1, …, d). Dann ist Y das Nullstellenschema

des globalen Schnitts s := (s_{1}, …, s_{d}) ∈ H^{o}(V, ⨁_{i=1}^{d} O_{V} (D_{i})), denn

J_{Y} = J_{H_{1}} + ⋯ + J_{H_{d}} = im (⨁_{i=1}^{d} O_{V} (−D_{i}) ⟶^{s}ˇ O_{V}).

“(d)”Schreibe E ≅ ⨁_{i=1}^{d} O_{V} (D_{i}) mit Cartier-Divisoren D_{i} ∈ Div(V), und sei s = (s_{1}, …, s_{d})

mit s_{i} ∈ H^{o}(V, O_{V} (D_{i})) (i = 1, …, d). Dann ist s_{i} ≠ 0 für alle i ∈ {1, …, d}, da Y 0–dimensional ist, und man kann folglich o.E. annehmen, daß H_{i} := (s_{i})_{o} zu einem effektiven Cartier-Divisor D_{i} assoziiert ist (i = 1, …, d). Infolgedessen gilt

J_{Y} = im (⨁_{i=1}^{d} O_{V} (−D_{i}) ⟶ O_{V}) = J_{H_{1}} + ⋯ + J_{H_{d}}

das heißt Y ist der vollständige Durchschnitt von H_{1}, …, H_{d}. q.e.d. Im folgenden sei Y das 0–dimensionale Nullstellenschema eines Schnitts s ∈ H^{o}(V, E)

eines lokalfreien O_{V} –Moduls E vom Rang d. Für einen Punkt P ∈ Y wählen wir eine

O_{V,P} –Basis {e_{1}, …, e_{d}} von E_{P} und schreiben s = ∑_{i=1}^{d} t_{i} ·e_{i}. Dann bildet t := {t_{1}, …, t_{d}}

eine reguläre Folge in O_{V,P} , denn es gilt J_{Y,P} = (t_{1}, …, t_{d}) · O_{V,P} . (3.3) Bemerkung:

Mit diesen Bezeichnungen ist die Abbildung

\begin{matrix}φ_{P} : ω_{V,P} ⊗ det E_{P} ⊗ O_{Y,P} & ˜⟶ & ω_{Y,P} \\ w ⊗ e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{d} ⊗ 1 & ⟼ & \left[{w \atop t_{1},...,t_{d}}\right] \end{matrix}

ein kanonischer Isomorphismus von O_{Y,P} –Moduln. Ist ε dann die Komposition von ⨁_{P ∈Y} φ_{P} mit dem kanonischen Epimorphismus ω_{V} ⊗ det E − ↠ ω_{V} ⊗ det E ⊗ O_{Y} , so liefert

der Koszulkomplex zu s eine exakte Sequenz von O_{V} –Moduln

0 ⟶ ω_{V} ⟶^{id⊗s} ω_{V} ⊗ E ⟶^{id⊗∧s} ω_{V} ⊗ ⋀^{2}E ⟶ ⋯ ⟶ ω_{V} ⊗ det E ⟶^{ε} ω_{Y} ⟶ 0.

Beweis:

Weil für alle w′ ∈ J_{Y,P} · ω_{V,P} die Gleichung \left[{w′ \atop t_{1},...,t_{d}}\right] = 0 gilt, ist die Abbildung φ_{P} wohldefiniert. Nach dem lokalen Dualitätssatz (2.1.b) gilt

Ext_{O_{V,P}}^{i} (O_{Y,P} , ω_{V,P}) = 0  für alle i = 0, …, d − 1.

Daher ist t sogar eine ω_{V,P} –reguläre Folge, und die Gleichheitsregel [K1], (4.16) liefert die Bijektivität von φ_{P} . Nach der Transformationsformel [K1], (4.14) hängt φ_{P} nicht von der Wahl der Basis {e_{1}, …, e_{d}} ab. q.e.d.

Jetzt hat man für jeden Punkt P ∈ Y eine lokale Kohomologieklasse

ξ_{P} = [ \begin{matrix}e _{ˇ 1} ∧ ⋯ ∧ e _{ˇ d} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} ∈ H_{P}^{d} (det E ˇ )

die nach der Transformationsformel nur von s abhängt, aber nicht von der Wahl der Basis {e_{1}, …, e_{d}}. Außerdem sei

[C]_{Y} ∈ Ext_{V \Y}^{d−1} (O_{V \Y} , det E ˇ ) ≅ H^{d−1}(V \ Y, det E ˇ )

die durch den Koszulkomplex

C: 0 ⟶ ⋀^{d}E ˇ ⟶ ⋯ ⟶ E ˇ ⟶^{s}ˇ O_{V} ⟶ 0

definierte Erweiterung, und δ: H^{d−1}(V \ Y, det E ˇ ) ⟶ H_{Y}^{d} (det E ˇ ) sei der verbindende Homomorphismus der Lokal-Global-Sequenz zu Y ⊆ V .

(3.4) Lemma.

Es gilt: δ ([C]_{Y}) = (ξ_{P})_{P ∈Y} ∈ H_{Y}^{d} (det E ˇ )

Beweis:

Für kohärente O_{V} –Moduln F hat man ein kommutatives Diagramm kanonischer Abbildungen

0 ⟶ Hom_{V} (O_{Y} , F) ⟶ Hom_{V} (O_{V} , F) ⟶ Hom_{V} (J_{Y} , F)
 ; ↓  ∥  ↓^{Restr.}
0 ⟶  H_{Y}^{o} (F)  ⟶ H^{o}(V, F) ⟶ Hom_{V \Y} (O_{V \Y} , F) ˜⟶ H^{o}(V \ Y, F)

Bildet man das zugehörige Diagramm universeller δ–Funktoren, und wählt man F = det E ˇ , so erhält man ein kommutatives Diagramm

Ext_{V}^{d−1}(J_{Y} , det E ˇ ) ⟶^{δ′} Ext_{V}^{d} (O_{Y} , det E ˇ )
↓^{i}  ↓^{j}
H^{d−1}(V \ Y, det E ˇ ) ˜ ⟶ Ext_{V \Y}^{d−1} (O_{V \Y} , det E ˇ ) ⟶^{δ} H_{Y}^{d} (det E ˇ )

Hierbei ordnet i jeder Erweiterung 0 ⟶ det E ˇ ⟶ F_{d−1} ⟶ ⋯ ⟶ F_{1} ⟶ J_{Y} ⟶ 0 ihre Einschränkung auf V \ Y zu, δ′ ist der verbindende Homomorphismus der langen exakten Ext-Sequenz zu 0 ⟶ J_{Y} ⟶ O_{V} ⟶ O_{Y} ⟶ 0, und j wird von dem zu

Hom_{V} (O_{Y} , det E ˇ ) ≅ {(s_{P})_{P ∈Y} ∈ ⨁_{P ∈Y} det E _{ P̌} : ∀ P ∈ Y : J_{Y,P} · s_{P} = 0}

⊆ {(s_{P})_{P ∈Y} ∈ ⨁_{P ∈Y} det E _{ P̌} : ∀ P ∈ Y ∃ n_{P} ∈ ℕ : J_{Y,P}^{n_{P}} · s_{P} = 0}

= H_{Y}^{o} (det E _{ P̌})

gehörigen Homomorphismus universeller δ–Funktoren induziert. Offenbar ist [C]_{Y} dann das Bild der Erweiterung

0 ⟶ det E ˇ ⟶ ⋀^{d−1}E ˇ ⟶ ⋯ ⟶ E ˇ ⟶^{s}ˇ J_{Y} ⟶ 0

unter i. Bedenkt man jetzt die Beschreibung von δ′ mittels Erweiterungen, und betrachtet man den Isomorphismus Ext_{V}^{d} (O_{Y} , det E ˇ ) ≅ ⨁_{P ∈Y} Ext_{O_{V,P}}^{d} (O_{Y,P} , det E _{ P̌}), so genügt es also zu zeigen: Das Bild der Erweiterung

[C]_{P} : 0 ⟶ det E _{ P̌} ⟶ ⋯ ⟶ E _{ P̌} ⟶ O_{V,P} ⟶ O_{Y,P} ⟶ 0

unter der Abbildung

j_{P} : Ext_{O_{V,P}}^{d} (O_{Y,P} , det E _{ P̌}) ⟶ H_{P}^{d} (det E _{ P̌})

ist die Kohomologieklasse ξ_{P} .

Hierzu betrachte diese Erweiterung als lokalfreie O_{V,P} –Auflösung von O_{Y,P} und wende auf sie den Funktor Hom_{O_{V,P}} (—, det E _{ P̌}) an. Dann wird [C]_{P} definitionsgemäß repräsentiert durch id ∈ Hom_{O_{V,P}} (det E _{ P̌} , det E _{ P̌}). Durch die Wahl der Basis {e_{1}, …, e_{d}} werden Isomorphismen

0 ⟶ ⋀^{d}O_{V,P}^{d} ⟶ ⋯ ⟶ O_{V,P}^{d} ⟶^{e_{i}↦t_{i}} O_{V,P} ⟶ O_{Y,P} ⟶ 0
↓^{≀}  ↓^{≀}  ∥  ∥
0 ⟶ ⋀^{d}E _{ P̌} ⟶ ⋯ ⟶ E _{ P̌} ⟶^{s}ˇ O_{V,P} ⟶ O_{Y,P} ⟶ 0

induziert. Für jeden endlich erzeugten O_{V,P} –Modul F_{P} ergibt dies einen in F_{P} funktoriellen Isomorphismus von Komplexen

Φ: Hom_{O_{V,P}} ([C]_{P} , F_{P}) ˜ ⟶ K.(t, F_{P})

Folglich repräsentiert die Abbildung O_{V,P} ⟶ det E _{ P̌} (1 ↦ e _{ˇ 1} ∧ ⋯ ∧ e _{ˇ d}) das Bild von [C]_{P} unter

Ext_{O_{V,P}}^{d} (O_{Y,P} , det E _{ P̌}) ˜⟶ H^{d}(t, det E _{ P̌}).

Letzteres wird bei der kanonischen Abbildung

H^{d}(t, det E _{ P̌}) ⟶ H_{P}^{d} (det E _{ P̌})

nach Definition von ξ_{P} abgebildet auf ξ_{P} . Nun bildet der Koszulkomplex K.(t, F_{P}) einen exakten Funktor auf der Kategorie der endlich erzeugten O_{V,P} –Moduln F_{P} . Daher ist H.(t, F_{P}) ein δ–Funktor in F_{P} , und Φ induziert einen Isomorphismus von δ–Funktoren

Ext._{O_{V,P}} (O_{Y,P} , F_{P}) ˜ ⟶ H.(t, F_{P}).

Nach [G], (2.3) ist auch H.(t, F_{P}) ⟶ H._{P} (F_{P}) ein Homomorphismus von δ–Funktoren, so daß wir ein kommutatives Diagramm

Ext._{O_{V,P}} (O_{Y,P} , F_{P}) ⟶ H.(t, F_{P})
↘  ↙

H._{P} (F_{P})

von δ–Funktoren erhalten. Wählen wir insbesondere F_{P} = det E _{ P̌} , so faktorisiert j_{P} also in der angegebenen Weise über H^{d}(t, det E _{ P̌}), und die Behauptung j_{P} ([C]_{P}) = ξ_{P} folgt.

q.e.d.

(3.5) Satz. (Der Residuensatz für Vektorbündel)

Sei α := H^{o}(V, ε): H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶ H^{o}(V, ω_{Y}) die gemäß Bemerkung (3.3) konstruierte Abbildung. Dann gilt für alle ψ ∈ H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E):

∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y} (α(ψ)) = 0

Beweis: (Vgl. [L1], S.105–108)

Es genügt, eine k –lineare Abbildung β: H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶ H^{d−1}(V \ Y, ω_{V}) so zu konstruieren, daß das Diagramm

(∗)  \begin{matrix}H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) & ⟶^{α} & H^{o}(V, ω_{Y}) \\ ↓^{β} & &  ; ↓^{i} \\ H^{d−1}(V \ Y, ω_{V}) & ⟶^{δ̃} & H_{Y}^{d} (ω_{V}) \end{matrix}

kommutiert. Hierbei stammt die Abbildung δ̃ aus der Lokal-Global-Sequenz zu Y ⊆ V . Gelingt dies nämlich, so liefert der Residuensatz (1.2)

∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y} (α(ψ)) = ∑_{P ∈Y} Res_{P} (i α(ψ)) = ∑_{P ∈Y} Res_{P} (δ̃β(ψ)) = 0.

Zur Definition von β interpretiere den globalen Schnitt ψ ∈ H^{o}(V, ω_{V} ⊗det E) als O_{V} –Homomorphismus ψ: det E ˇ ⟶ ω_{V} und setze

β(ψ) := H^{d−1}(V \ Y, ψ)([C]_{Y}).

Um zu beweisen, daß β die Behauptung erfüllt, setzen wir w_{P} := ψ_{P} (e _{ˇ 1} ∧⋯∧e _{ˇ d}) ∈ ω_{V,P} für alle P ∈ Y . Dann folgt mit den Bezeichnungen von (3.4):

H_{P}^{d} (ψ)(ξ_{P}) = H_{P}^{d} (ψ) ([ \begin{matrix}e _{ˇ 1} ∧ ⋯ ∧ e _{ˇ d} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} ) = [ \begin{matrix}w_{P} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} ∈ H_{P}^{d} (ω_{V})

Wegen der Kommutativität des Diagramms

H^{d−1}(V \ Y, det E ˇ ) ⟶^{δ} H_{Y}^{d} (det E ˇ )
H^{d−1}(V \Y,ψ)↓  ↓^{H_{Y}^{d} (ψ)}
H^{d−1}(V \ Y, ω_{V}) ⟶^{δ̃} H_{Y}^{d} (ω_{V})

ergibt sich alsdann:

δ̃β(ψ) = δ̃ ∘ H^{d−1}(V \ Y, ψ)([C]_{Y}) = H_{Y}^{d} (ψ) ∘ δ([C]_{Y})

= H_{Y}^{d} (ψ) (([ \begin{matrix}e _{ˇ 1} ∧ ⋯ ∧ e _{ˇ d} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} )_{P ∈Y} ) (nach Lemma (3.4))

= ([ \begin{matrix}w_{P} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} )_{P ∈Y}

Offenbar identifiziert die kanonische Injektion ω_{V,P} ⊗det E_{P} ⊗O_{Y,P} ; ⟶ ; φ_{P} ω_{Y,P} ⟶_{i_{P}} H_{P}^{d} (ω_{V}) das Bild von ψ_{P} = w_{P} ⊗ e_{1} ∧ ⋯ ∧ e_{d} ∈ ω_{V,P} ⊗ det E_{P} in ω_{V,P} ⊗ det E_{P} ⊗ O_{Y,P} mit

[ \begin{matrix}w_{P} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} ∈ H_{P}^{d} (ω_{V}). Also gilt auch i α(ψ) = ([ \begin{matrix}w_{P} \\ t_{1}, …, t_{d} \end{matrix} ]_{P} )_{P ∈Y} ∈ H_{Y}^{d} (ω_{V}).

q.e.d.

(3.6) Korollar.

Sei γ die Komposition γ: H^{o}(V, ω_{Y}) ⟶^{i} H_{Y}^{d} (ω_{V}) \underrightarrow{ı} H^{d}(V, ω_{V}), wobei ı die kanonische Abbildung von der lokalen in die globale Kohomologie darstellt.

(a) Es gilt: γ ∘ α = 0

(b) (Umkehrung des Residuensatzes)

Ist die Sequenz H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶^{α} H^{o}(V, ω_{Y}) ⟶^{γ} H^{d}(V, ω_{V}) exakt, und ist (w_{P})_{P ∈Y} ∈ H^{o}(V, ω_{Y}) vorgegeben, so gilt: Genau dann ist ∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y} (w_{P}) = 0,

wenn es ein Element ψ ∈ H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) gibt mit α(ψ) = (w_{P})_{P ∈Y} .

Beweis: “(a)” Nach den Residuensätzen (1.2) und (3.5) gilt für alle ψ ∈ H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E):

∫_{V} ∘ γ ∘ α(ψ) = ( ∑_{P ∈Y} Res_{P}) ∘ i ∘ α(ψ) = ( ∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y}) ∘ α(ψ) = 0

Nun folgt die Behauptung aus Korollar (2.5), wo bewiesen wurde, daß ∫_{V} ein Isomorphismus ist.

“(b)” Aus ∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y} (w_{P}) = 0 folgt ∑_{P ∈Y} Res_{P} (i_{P} (w_{P})) = 0 und wegen der Bijektivität

von ∫_{V} somit auch γ((w_{P})_{P ∈Y}) = ı∘i ((w_{P})_{P ∈Y}) = 0. Auf Grund der vorausgesetzten Exaktheit ist also (w_{P})_{P ∈Y} ∈ im α. q.e.d.

(3.7) Bemerkung:

(a) Ist H^{i}(V, ω_{V} ⊗ ⋀^{d−i}E) = 0 für i = 1, …, d − 1, so ist die Sequenz

H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶^{α} H^{o}(V, ω_{Y}) ⟶^{γ} H^{d}(V, ω_{V}) exakt.

(b) Ist Char k = 0, ist V regulär, und ist E ≅ ⨁_{i=1}^{d} O_{V} (D_{i}) mit amplen effektiven

Cartier-Divisoren D_{i} ∈ Div(V), so gilt H^{i}(V, ω_{V} ⊗ ⋀^{j}E) = 0 für alle i, j > 0. Beweis: “(a)” Wegen Res_{P}^{Y} ≠ 0 für P ∈ Y ist γ ≠ 0 und also im α ⊆ ker γ ⊊ H^{o}(V, ω_{Y}). Folglich

ist nur dim_{k} coker α ≤ 1 zu zeigen, um coker α ≅ k ≅ H^{d}(V, ω_{V}) zu erhalten. Hierzu spaltet man den Koszulkomplex

0 ⟶ ω_{V} ⟶ ω_{V} ⊗ E ⟶ ⋯ ⟶ ω_{V} ⊗ det E ⟶ ω_{Y} ⟶ 0

in kurze exakte Sequenzen

0 ⟶ K_{1} ⟶ ω_{V} ⊗ ⋀^{d}E ⟶ ω_{Y} ⟶ 0
0 ⟶ K_{2} ⟶ ω_{V} ⊗ ⋀^{d−1}E ⟶ K_{1} ⟶ 0
⋮  ⋮  ⋮
0 ⟶ ω_{V} ⟶ ω_{V} ⊗ E ⟶ K_{d−1} ⟶ 0

auf und erhält nach Voraussetzung eine Kette von Injektionen

coker α ⊆ H^{1}(V, K_{1}) ⊆ … ⊆ H^{d−1}(V, K_{d−1}) ⊆ H^{d}(V, ω_{V}).

Hieraus folgt die Behauptung. “(b)” Nach dem Kodairaschen Verschwindungssatz ([GH1], S.154) ist H^{i}(V, L^{−1}) = 0 für

jedes ample L ∈ Pic (V) und alle i < d. Also folgt für i > 0 und 1 ≤ n_{1} ≤ ⋯ ≤ n_{r} ≤ d nach der vollständigen Dualität (2.4):

H^{i}(V, ω_{V} ⊗ O_{V} (D_{n_{1}} + ⋯ + D_{n_{r}})) ≅ H^{d−i}(V, O_{V} (−D_{n_{1}} − ⋯ − D_{n_{r}}))^{∗} = 0

Dies liefert das Gewünschte durch Bildung direkter Summen. q.e.d.

§4 Die Cayley-Bacharach-Eigenschaft

Nachfolgend definieren und untersuchen wir die wichtigsten Eigenschaften, die ein 0–dimensionales Unterschema Y einer projektiven Varietät V in Bezug auf einen invertierbaren O_{V} – Modul L haben kann, z.B. seine Superabundanz, die Anzahl der unabhängigen Bedingungen, die Y an L stellt, die Cayley-Bacharach-Eigenschaft und die strenge Cayley-Bacharach-Eigenschaft. Wir interpretieren diese geometrisch, charakterisieren die Cayley-Bacharach-Eigenschaft mit Hilfe von Spuren und studieren, was der Residuensatz für Vektorbündel in dieser Sprache ergibt. Abschließend stellen wir weitere allgemeine Sätze über die Superabundanz und die Cayley-Bacharach-Eigenschaft für spätere Anwendungen bereit.

Die Basis für diesen Abschnitt bilden die in [GH2], I (c) entwickelten Ideen. Die dortigen Ergebnisse werden auf der Grundlage von § 1 – § 3 bewiesen und verallgemeinert.

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei V eine d–dimensionale integre projektive k –Varietät, und sei Y ⊆ V ein 0–dimensionales Unterschema mit Idealgarbe J_{Y} ⊆ O_{V} . Sei L ∈ Pic (V) ein invertierbarer O_{V} –Modul, und α bezeichne die kanonische Abbildung α: H^{o}(V, L) ⟶ H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}).

(4.1) Definition:

Die Zahl ω(Y, L) := h^{o}(J_{Y} · L) − h^{o}(L) + deg Y heißt die Superabundanz von Y bzgl. L. (4.2) Regeln:

(a) ω(Y, L) = dim_{k} coker α = h^{1}(J_{Y} · L) − h^{1}(L)

Insbesondere gilt stets 0 ≤ ω(Y, L) ≤ deg Y .

(b) Ist Z ⊆ Y ein Unterschema mit deg Z = deg Y −1, und ist i die kanonische Injektion i: H^{o}(V, J_{Y} · L) ⟶ H^{o}(V, J_{Z} · L) , so gilt:

ω(Z, L) = ω(Y, L) + \{ \begin{matrix}−1 & falls i bijektiv ist, \\ 0 & sonst. \end{matrix}

(c) L wird in einem abgeschlossenen Punkt P ∈ V genau dann von globalen Schnitten erzeugt, wenn ω(P, L) = 0 ist.

Beweis: “(a)” Die folgt sofort aus der Dimensionsbilanz der langen exakten Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, J_{Y} ·L) ⟶ H^{o}(V, L) ⟶^{α} H^{o}(V, L⊗O_{Y}) ⟶ H^{1}(V, J_{Y} ·L) ⟶ H^{1}(V, L) ⟶ 0

“(b)” Für jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y −1 betrachte die beiden folgenden kommutativen Diagramme mit exakten Zeilen:

(1)  \begin{aligned}0 & ⟶ & H^{o}(V, J_{Y} · L) & ⟶ & H^{o}(V, L) & ⟶^{α} & im α & ⟶ & 0 \\ & &  ; ↓ i & & ∥ & & ˇ↓ε′ \\ 0 & ⟶ & H^{o}(V, J_{Z} · L) & ⟶ & H^{o}(V, L) & ⟶^{α′} & im α′ & ⟶ & 0 \end{aligned}

(2)

0 ⟶ im α ⟶ H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}) ⟶ coker α ⟶ 0
ˇ↓ε′  ˇ  ↓ε  ˇ  ↓ε′′
0 ⟶ im α′ ⟶ H^{o}(V, L ⊗ O_{Z}) ⟶ coker α′ ⟶ 0

Nach dem Schlangenlemma für (1) ist ker ε′ ≅ coker i und nach dem Schlangenlemma für (2) ist ker ε′′ ≅ ker ε/ ker ε′. Wegen ker ε ≅ k folgt somit:

ω(Y, L) − ω(Z, L) = dim_{k} coker α − dim_{k} coker α′
= dim_{k} ker ε′′ = 1 − dim_{k} ker ε′
= 1 − dim_{k} coker i

Hieraus ergibt sich die Behauptung. “(c)” Nach Definition ist ω(P, L) = 0 genau dann, wenn die kanonische Abbildung

H^{o}(V, J_{P} · L) ⟶ H^{o}(V, L) nicht surjektiv ist. q.e.d.

(4.3) Bemerkung: (Geometrische Interpretation der Superabundanz)

Wir setzen zusätzlich voraus, daß L in den Punkten von Y von globalen Schnitten erzeugt wird. Sei r := h^{o}(L) − 1, und sei {s_{o}, …, s_{r}} eine k –Basis von H^{o}(V, L). Dann ist die rationale Abbildung

\begin{matrix}σ: V & ⟶ & ℙ \\ P & ⟼ & (s_{o}(P) : …: s_{r}(P)) \end{matrix}

insbesondere in den Punkten von Y definiert, wobei wir ℙ := ℙ _{k}^{r} setzen. Für ein Unterschema Z ⊆ Y sei {Z}_{σ} der Durchschnitt aller Hyperebenen H = (h)_{o} ⊆ ℙ mit h ∈ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (1)), deren Schnitt mit σ(V) die Punkte von σ(Z) idealtheoretisch enthält, das heißt für die der mit σ zurückgezogene Schnitt σ^{∗}(h) in H^{o}(V, J_{Z} · L) liegt. Dann gilt:

dim{Z}_{σ} = r − h^{o}(J_{Z} · L) = deg Z − 1 − ω(Z, L)

Die Superabundanz ω(Z, L) gibt für reduzierte Z also ein Maß dafür, wie weit die Punkte von σ(Z) davon entfernt sind, einen linearen Raum maximaler Dimension aufzuspannen.

Lineare Unterräume {Z}_{σ} ⊆ ℙ mit dim{Z}_{σ} ≤ deg Z − 2 stellen anschaulich gewisse multisekante Ebenenschnitte von σ(V) dar ; besteht Z nur aus einem Punkt, so ist dieser eine Art Wendepunkt von σ(V). (4.4) Definition:

(a) Y stellt unabhängige Bedingungen an L , wenn ω(Y, L) = 0 ist.

(b) Y hat die Cayley-Bacharach-Eigenschaft (CBE) bzgl. L, wenn für jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y −1 und für jeden globalen Schnitt s ∈ H^{o}(V, L) mit Z ⊆ (s)_{o} gilt: Y ⊆ (s)_{o} (4.5) Bemerkung:

(a) Y stellt genau dann unabhängige Bedingungen an L, wenn L in den Punkten von Y von globalen Schnitten erzeugt wird und dim{Y }_{σ} = deg Y − 1 gilt. Letzteres bedeutet für reduzierte Y , daß die Punkte von σ(Y) einen linearen Raum maximaler Dimension aufspannen.

(b) Ist Y ein 0–dimensionales Unterschema des projektiven Raumes, und ist L ≅ O_{ℙ} (n) mit n ∈ ℤ , so sagt man statt “Y hat die CBE bzgl. L ” auch “Y hat die CBE vom Grad n” (vgl. [DM1], S.255). Der klassische Satz von Cayley-Bacharach lautet dann: “ Ist Y ⊆ ℙ _{k}^{d} der 0–dimensionale vollständige Durchschnitt der Hyperflächen H_{1}, …, H_{d} ⊆ ℙ _{k}^{d}, so hat Y die CBE vom Grad ∑_{i=1}^{d} deg H_{i} − d − 1.” Eine Verallgemeinerung hiervon und verwandter Resultate (z.B. [GH1], S.677) wird gegen Ende dieses Abschnitts bewiesen werden.

(c) (Geometrische Interpretation der CBE)

Ist L sehr ampel und σ: V ⟶ ℙ eine wie in (4.3) konstruierte zugehörige Einbettung, so hat Y die CBE bzgl. L genau dann, wenn σ(Y) die CBE bzgl. O_{ℙ} (1) hat. Verwendet man (4.2) und (4.3), so folgt, daß Y genau dann die CBE bzgl. L hat, wenn für alle Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 gilt:

dim{Z}_{σ} = dim{Y }_{σ}

Für reduzierte Y bedeutet dies, daß jeder Punkt von σ(Y) “überflüssig” ist in dem Sinne, daß die restlichen Punkte von σ(Y) denselben linearen Raum aufspannen.

(4.6) Bemerkung:

(a) Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(1) Y hat die CBE bzgl. L .

(2) Für jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 ist die kanonische Inklusion i: H^{o}(V, J_{Y} · L) ⟶ H^{o}(V, J_{Z} · L) bijektiv.

(3) Für jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 gilt:

ω(Z, L) = ω(Y, L) − 1

(4) Für jedes echte Unterschema Z ⊆ Y gilt ω(Z, L) < ω(Y, L).

(b) Hat Y die CBE bzgl. L , so stellt Y keine unabhängigen Bedingungen an L .

(c) Ist H^{o}(V, L) = 0, so hat Y die CBE bzgl. L .

(d) Ist ω(Y, L) > 0, so gibt es ein Unterschema Z ⊆ Y mit ω(Z, L) = ω(Y, L), das die CBE bzgl. L besitzt.

Beweis: “(a)” Die Äquivalenz von (1) und (2) folgt aus der Tatsache, daß die globalen Schnitte

s ∈ H^{o}(V, L) mit Y ⊆ (s)_{o} bzw. Z ⊆ (s)_{o} gerade die globalen Schnitte von J_{Y} · L bzw. J_{Z} · L sind. Die Äquivalenz von (2) und (3) folgt aus Bemerkung (4.2.b).

Für die Äquivalenz von (3) und (4) ist wegen (4.2.b) nur zu zeigen, daß jedes echte Unterschema Z ⊆ Y in einem Unterschema Z′ ⊆ Y mit deg Z′ = deg Y −1 enthalten ist. Auf jeden Fall gibt es einen Punkt P ∈ Y , wo das Ideal von Z in O_{Y,P} nicht verschwindet. Dieses Ideal enthält dann ein Sockelelement s_{P} von O_{Y,P} , und das durch das Bild von s_{P} in H^{o}(Y, O_{Y})≅ ∏_{P ∈Y} O_{Y,P} definierte affine Unterschema Z′ ⊆ Y erfüllt die Behauptung.

“(b)” Wegen (3) ist insbesondere ω(Y, L) ≥ 1. “(c)” Nach Voraussetzung ist (3) erfüllt:

ω(Z, L) = h^{o}(L ⊗ O_{Z}) = h^{o}(L ⊗ O_{Y}) − 1 = ω(Y, L) − 1

“(d)” Für jedes Unterschema Z ⊆ Y sei I_{Z} das Ideal von Z in H^{o}(Y, O_{Y}). Da dieser Ring noethersch ist, enthält die Menge aller Ideale I_{Z} mit Z ⊆ Y und ω(Z, L) = ω(Y, L) ein maximales Element. Das zugehörige Unterschema Z ⊆ Y erfüllt dann ω(Z′, L) < ω(Z, L) für alle echten Unterschemata Z′ ⊆ Z, und nach (a) folgt, daß Z die CBE bzgl. L hat. q.e.d.

Das folgende Beispiel zeigt, daß die Umkehrung von Bemerkung (4.6.b) nicht gilt.

(4.7) Beispiel:

Sei V = ℙ _{k}^{3} , L = O_{V} (1), und sei Y das reduzierte Unterschema Y = {P_{1}, P_{2}, P_{3}, P_{4}} von V mit P_{1} = (0 : 0 : 0 : 1), P_{2} = (0 : 1 : 0 : 1), P_{3} = (0 : −1 : 0 : 1) sowie P_{4} = (1 : 0 : 0 : 1).

Skizze:  P_{2} •
|
P_{1} • − • P_{4}
|
P_{3} •

Offenbar ist dann h^{o}(J_{Y} · L) = 1 > h^{o}(L) − deg Y = 0, das heißt Y stellt keine unabhängigen Bedingungen an L . Aber für Z = {P_{1}, P_{2}, P_{3}} ⊆ Y gilt h^{o}(J_{Z} · L) = 2, das heißt Y hat nicht die CBE bzgl. L .

(4.8) Definition:

(a) Y stellt fast unabhängige Bedingungen an L , wenn ω(Y, L) = 1 ist, und für jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 gilt ω(Z, L) = 0.

(b) Y hat die strenge CBE bzgl. L , wenn Y die CBE bzgl. L hat, aber kein Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 hat die CBE bzgl. L .

(4.9) Bemerkung:

(a) Y stellt genau dann fast unabhängige Bedingungen an L , wenn Y die CBE bzgl. L hat und es gilt ω(Y, L) = 1.

(b) Y hat genau dann die strenge CBE bzgl. L , wenn für alle Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 gilt:

(1) ω(Z, L) = ω(Y, L) − 1

(2) Es gibt ein Unterschema Z′ ⊆ Z mit deg Z′ = deg Z−1 und ω(Z′, L) = ω(Z, L).

(c) Stellt Y fast unabhängige Bedingungen an L , so hat Y die strenge CBE bzgl. L.

Beweis:

Dies folgt sofort aus den Definitionen und Bemerkung (4.6.a). q.e.d.

Das folgende Beispiel zeigt, daß die Umkehrung von Bemerkung (4.9.c) nicht gilt.

(4.10) Beispiel:

Sei V = ℙ _{k}^{4} , L = O_{V} (1), und sei Y das reduzierte Unterschema Y = {P_{1}, …, P_{6}} von V mit P_{1} = (1 : 0 : 0 : 0 : 1), P_{2} = (−1 : 0 : 0 : 0 : 1), P_{3} = (0 : 1 : 0 : 0 : 1), P_{4} = (0 : −1 : 0 : 0 : 1), P_{5} = (0 : 0 : 1 : 0 : 1) sowie P_{6} = (0 : 0 : −1 : 0 : 1).

Skizze:  P_{3} •  • P_{5}
| ↗
P_{2} • − • − • P_{1}
↙ |
P_{6} •  • P_{4}

Dann ist h^{o}(J_{Y} ·L) = 0 und ω(Y, L) = 2, das heißt Y stellt nicht fast unabhängige Bedingungen an L . Andererseits sei Z_{i} := Y \ {P_{i}} für i = 1, …, 6. Dann ist h^{o}(J_{Z_{i}}, L) = 0 und ω(Z_{i}, L) = 1 für alle i, das heißt Y hat die CBE bzgl. L . Für Z′_{i} := Z_{i} \ {P_{i+ε}}, ε := (−1)^{i+1} gilt aber h^{o}(J_{Z′_{i}} ·L) = 1 und ω(Z′_{i}, L) = 1, das heißt Y hat sogar die strenge CBE bzgl. L .

Im folgenden identifizieren wir H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}) ≅ ⨁_{P ∈Y} L_{P} ⊗ O_{Y,P} . Für jeden Punkt

P ∈ Y bezeichnen wir das Bild des wie in Anhang A definierten Sockels 𝔖(L_{P} ⊗ O_{Y,P}) in H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}) mit 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}).

(4.11) Bemerkung:

Die Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y −1 entsprechen eineindeutig den (über k) 1–dimensionalen Idealen von H^{o}(V, O_{Y}). Jedes dieser Ideale ist in einem der Sockel 𝔖̃(O_{Y,P}) enthalten. Wegen L_{P} ≅ O_{V,P} entsprechen die Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 folglich eineindeutig den 1–dimensionalen H^{o}(V, O_{Y})–Untermoduln der Sockeln 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}), P ∈ Y .

(4.12) Lemma.

Y hat genau dann die CBE bzgl. L , wenn für alle P ∈ Y gilt:

im α ∩ 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}) = 0

Beweis:

Für ein Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y −1 betrachte das folgende kommutative Diagramm mit exakten Zeilen:

0 ⟶ H^{o}(V, J_{Y} · L) ⟶ H^{o}(V, L) ⟶^{α} H^{o}(V, L ⊗ O_{Y})
 ; ↓ i_{Z}  ∥  ˇ  ↓ε_{Z}
0 ⟶ H^{o}(V, J_{Z} · L) ⟶ H^{o}(V, L) ⟶^{α′} H^{o}(V, L ⊗ O_{Z})

Nach dem Schlangenlemma gilt coker i_{Z} ≅ im α ∩ ker ε_{Z}, und nach den Bemerkungen (4.6.a) und (4.11) folgt hieraus die Behauptung. q.e.d.

(4.13) Korollar.

Stellt Y fast unabhängige Bedingungen an L , so ist Y ein Gorensteinschema. (Letzteres bedeutet, daß die lokalen Ringe O_{Y,P} für alle P ∈ Y Gorensteinringe sind.)

Beweis:

Wäre dim_{k} 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}) = dim_{k} 𝔖(O_{Y,P}) ≥ 2 für ein P ∈ Y , so wäre nach dem Lemma ω(Y, L) = codim im α ≥ 2, weil Y gemäß Bemerkung (4.9) die CBE bzgl. L besitzt. Dies widerspräche aber der Bedingung ω(Y, L) = 1. q.e.d.

(4.14) Satz.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Y ist ein Gorensteinschema und hat die CBE bzgl. L .

(b) Es gibt es eine Spur σ: H^{o}(V, L⊗O_{Y}) ⟶ k auf dem H^{o}(V, O_{Y})–Modul H^{o}(V, L⊗O_{Y}) mit im α ⊆ ker σ. (Zum Begriff einer Spur vergleiche Definition (A1).)

Beweis: “(a) ⟹ (b)” Nach dem Lemma hat 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}) für alle P ∈ Y ein 1–dimensionales

Bild im Restklassenvektorraum H^{o}(V, L⊗O_{Y})/ im α. Da k unendlich viele Elemente hat, gibt es einen 1–kodimensionalen Untervektorraum \overline{W} ⊆ H^{o}(V, L ⊗ O_{Y})/ im α, der keines dieser Bilder trifft. Das Urbild W von \overline{W} in H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}) ist folglich ebenfalls 1–kodimensional und erfüllt W ∩ 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}) = 0 für alle P ∈ Y . Nach Satz (A5) ist damit die Projektion längs W auf ein beliebig gewähltes Komplement von W in H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}) eine Spur σ auf H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}). Nach Konstruktion gilt im α ⊆ ker σ.

“(b) ⟹ (a)” Wegen H^{o}(V, L⊗O_{Y}) ≅ H^{o}(V, O_{Y}) gibt es auch eine Spur auf H^{o}(V, O_{Y}). Daher ist H^{o}(V, O_{Y}) ≅ ∏_{P ∈Y} O_{Y,P} ein Gorensteinring (vgl. Satz (A4)), das heißt Y ist ein Gorensteinschema. Nach Satz (A5) ist σ(𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P})) ≠ 0 für alle P ∈ Y . Wegen im α ⊆ ker σ muß somit im α ∩ 𝔖̃(L_{P} ⊗ O_{Y,P}) = 0 sein für alle P ∈ Y , und die Behauptung folgt aus dem Lemma. q.e.d.

(4.15) Satz.

Sei V ein Gorensteinschema, E ein lokalfreier O_{V} –Modul vom Rang d, und sei Y ⊆ V das 0–dimensionale Nullstellenschema eines globalen Schnitts von E. Dann hat Y die CBE bzgl. ω_{V} ⊗ det E.

Beweis:

Die Abbildung α: H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶ H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E ⊗ O_{Y}) identifiziert sich gemäß Bemerkung (3.3) mit der kanonischen Abbildung α: H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶ H^{o}(V, ω_{Y}) aus Satz (3.5). Nach Korollar (2.14) ist die Abbildung ∫_{Y} = ∑_{P ∈Y} Res_{P}^{Y} : H^{o}(V, ω_{Y}) ⟶ k eine

Spur auf dem H^{o}(V, O_{Y})–Modul H^{o}(V, ω_{Y}). Der Residuensatz für Vektorbündel (3.5) besagt, daß diese Spur auf dem Bild von α verschwindet. Damit folgt die Behauptung aus Satz (4.14). q.e.d.

(4.16) Korollar.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Es gilt die Umkehrung des Residuensatzes:

Für (w_{P})_{P ∈Y} ∈ H^{o}(V, ω_{Y}) ist ∑_{P ∈Y} Res_{P} (w_{P}) = 0 genau dann, wenn (w_{P})_{P ∈Y} ∈ im α ist.

(b) Y stellt fast unabhängige Bedingungen an ω_{V} ⊗ det E.

(c) ω(Y, ω_{V} ⊗ det E) = 1

Beweis:

Wegen der Surjektivität der Abbildung γ: H^{o}(V, ω_{Y}) → H^{d}(V, ω_{V}) aus Korollar (3.6) und nach diesem Korollar gilt die Umkehrung des Residuensatzes genau dann, wenn die Sequenz

H^{o}(V, ω_{V} ⊗ det E) ⟶^{α} H^{o}(V, ω_{Y}) ⟶^{γ} H^{d}(V, ω_{V}) ⟶ 0

exakt ist. Wegen ∫_{Y} = ∫_{V} ∘γ (vgl. (1.2) und (2.12)) ist γ ≠ 0 und nach (3.6) ist γ ∘α = 0. Daher ist die Exaktheit dieser Sequenz äquivalent damit, daß gilt:

ω(Y, ω_{V} ⊗ det E) = dim_{k} coker α = h^{d}(ω_{V}) = 1

Nach Bemerkung (4.9.a) ist letzteres äquivalent damit, daß Y fast unabhängige Bedingungen an ω_{V} ⊗ det E stellt. q.e.d.

(4.17) Korollar.

Sei Y = H_{1} ∩ ⋯ ∩ H_{d} ⊆ V der 0–dimensionale vollständige Durchschnitt der Hyperflächen H_{1}, …, H_{d} ⊆ V auf V . Sei D_{i} ∈ Div(V) der zu H_{i} gehörige effektive Cartier– Divisor auf V (i = 1, …, d). Dann hat Y die CBE bzgl. ω_{V} (D_{1} + ⋯ + D_{d}).

Im Fall V = ℙ _{k}^{d} ergibt sich hieraus und aus ω_{ℙ} ≅ O_{ℙ} (−d − 1), daß Y die CBE vom

Grad ∑_{i=1}^{d} deg D_{i} − d − 1 besitzt, also der klassische Satz von Cayley-Bacharach.

Beweis:

Spezialisiere den Satz auf den Fall E ≅ ⨁_{i=1}^{d} O_{V} (D_{i}). q.e.d.

(4.18) Satz.

Seien L_{1}, L_{2} ∈ Pic (V) mit L ≅ L_{1} ⊗ L_{2} . Ist Y ein Gorensteinschema, das die CBE bzgl. L besitzt, so gilt:

ω(Y, L_{1}) + ω(Y, L_{2}) ≥ deg Y

Beweis:

Bette H^{o}(V, L_{1}) und H^{o}(V, L_{2}) in den Körper der rationalen Funktionen auf V ein. Dann induziert die Multiplikation einen H^{o}(V, O_{Y})–Isomorphismus

μ: H^{o}(V, L_{1} ⊗ O_{Y}) ⊗_{H^{o}(V,O_{Y} )} H^{o}(V, L_{2} ⊗ O_{Y}) ⟶ H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}).

Bezeichnen α_{i}: H^{o}(V, L_{i}) ⟶ H^{o}(V, L_{i} ⊗ O_{Y}) die kanonischen Abbildungen (i = 1, 2), so

ist hierbei μ(im α_{1} ⊗im α_{2}) ⊆ im α. Nach (4.14) gibt es eine Spur σ: H^{o}(V, L⊗O_{Y}) ⟶ k mit im α ⊆ ker σ. Für i = 1, 2 wähle H^{o}(V, O_{Y})–Basen l_{i} von H^{o}(V, L_{i} ⊗ O_{Y}) und erhalte eine H^{o}(V, O_{Y})–Basis l := μ(l_{1} ⊗ l_{2}) von H^{o}(V, L ⊗ O_{Y}). Sei r := dim_{k}(im α_{1}) und s := dim_{k}(im α_{2}). Wähle k –linear unabhängige Elemente a_{1}, …, a_{r} ∈ H^{o}(V, O_{Y}) (bzw. b_{1}, …, b_{s} ∈ H^{o}(V, O_{Y})), so daß {a_{1} · l_{1}, …, a_{r} · l_{1}} (bzw. {b_{1} · l_{2}, …, b_{s} · l_{2}}) eine k –Basis von im α_{1} (bzw. im α_{2} ) darstellt.

Jetzt erfüllt der k –Untervektorraum W :=< b_{1} ·l, …, b_{s} ·l > von H^{o}(V, L⊗O_{Y}) wegen

(a_{i}σ)(b_{j} l) = σ(a_{i}b_{j} l) = σ(μ(a_{i} l_{1} ⊗ b_{j} l_{2})) ∈ σ(μ(im α_{1} ⊗ im α_{2})) ⊆ σ(im α) = 0

(i = 1, …, r und j = 1, …, s) mindestens die r linear unabhängigen Relationen (a_{i}σ)(W) = 0. Mithin muß s ≤ deg Y − r sein, also

ω(Y, L_{1}) + ω(Y, L_{2}) = 2 deg Y − r − s ≥ deg Y.

q.e.d.

(4.19) Satz.

Sei V eine Gorensteinvarietät der Dimension d ≥ 2. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) Y ist ein Gorensteinschema und hat die CBE bzgl. ω_{V} ⊗ L.

(b) Es gibt ein Element e ∈ Ext_{V}^{d−1}(J_{Y} , Lˇ ), dessen Bild e_{P} ∈ Ext_{O_{V,P}}^{d−1} (J_{Y,P} , L_{ P̌}) für jeden Punkt P ∈ Y eine O_{Y,P} –Basis ist.

Beweis:

Nach (4.14) ist (a) äquivalent damit, daß es eine Spur σ: H^{o}(V, ω_{V} ⊗ L ⊗ O_{Y}) ⟶ k gibt

mit im α ⊆ ker σ, wobei α die Abbildung α: H^{o}(V, ω_{V} ⊗ L) ⟶ H^{o}(V, ω_{V} ⊗ L ⊗ O_{Y}) bezeichnet. Verwendet man nun die vollständige Dualität (2.4) sowie [K1], (11.9), so ergibt sich ein kommutatives Diagramm:

Ext_{V}^{d} (O_{Y} , Lˇ ) ˜ ⟶ Ext_{V}^{d} (ω_{V} ⊗ L ⊗ O_{Y} , ω_{V}) ˜ ⟶ H^{o}(Y, ω_{V} ⊗ L ⊗ O_{Y})^{∗}
↓φ  ↓^{kan.}  ↓α^{∗}
H^{d}(V, Lˇ ) ˜ ⟶ Ext_{V}^{d} (ω_{V} ⊗ L, ω_{V}) ˜ ⟶ H^{o}(V, ω_{V} ⊗ L)^{∗}

Hierin ist φ die Komposition φ: Ext_{V}^{d} (O_{Y} , Lˇ ) ⟶^{kan.} Ext_{V}^{d} (O_{V} , Lˇ ) ˜⟶ H^{d}(V, Lˇ ).

Folglich gibt es eine H^{o}(V, O_{Y})–Basis ẽ von Ext_{V}^{d} (O_{Y} , Lˇ ) mit φ(ẽ) = 0 genau dann, wenn es eine H^{o}(V, O_{Y})–Basis σ von H^{o}(Y, ω_{V} ⊗ L ⊗ O_{Y})^{∗} gibt mit α^{∗}(σ) = 0, d.h. wenn (a) erfüllt ist.

Betrachte jetzt das von der langen exakten Ext-Sequenz zu 0 ⟶ J_{Y} ⟶ O_{V} ⟶ O_{Y} ⟶ 0 und den Eckenmorphismen der Spektralsequenz H^{p}(V, Ext _{O_{V}}^{q} (F, G)) ⟹ Ext_{V}^{n} (F, G) induzierte kommutative Diagramm mit exakter Zeile:

(∗)

H^{d−1}(V, Lˇ ) ⟶ Ext_{V}^{d−1}(J_{Y} , Lˇ ) ⟶^{∂} Ext_{V}^{d} (O_{Y} , Lˇ ) ⟶^{φ} H^{d}(V, Lˇ )
↓  ↓^{≀}
H^{o}(V, Ext _{O_{V}}^{d−1}(J_{Y} , Lˇ ))  H^{o}(V, Ext _{O_{V}}^{d} (O_{Y} , Lˇ )
↓^{≀}  ↓^{≀}
⨁_{P ∈Y} Ext_{O_{V,P}}^{d−1} (J_{Y,P} , L_{ P̌}) ⟶^{δ} ⨁_{P ∈Y} Ext_{O_{V,P}}^{d} (O_{Y,P} , L_{ P̌})

Die Abbildung δ ist dabei wegen Ext_{O_{V,P}}^{i} (O_{V,P} , L_{ P̌}) = 0 für i > 0 ein Isomorphismus (d ≥ 2). Wie man sieht, gibt es eine H^{o}(V, O_{Y})–Basis ẽ von Ext_{V}^{d} (O_{Y} , Lˇ ) mit φ(ẽ) = 0 genau dann, wenn (b) erfüllt ist. q.e.d.

(4.20) Korollar.

Gilt zusätzlich zu (4.19.a) noch h^{1}(J_{Y} · (ω_{V} ⊗ L)) = 1, so ist das Element e ∈ Ext_{V}^{d−1}(J_{Y} , Lˇ ) aus (4.19.b) bis auf einen skalaren Faktor eindeutig.

Beweis:

Auf Grund der CBE von Y bzgl. ω_{V} ⊗ L gilt

ω(Y, ω_{V} ⊗ L) = h^{1}(J_{Y} · (ω_{V} ⊗ L)) − h^{1}(ω_{V} ⊗ L) ≥ 1,

woraus h^{1}(ω_{V} ⊗L) = 0 und ω(Y, ω_{V} ⊗L) = 1 folgt. Die Spur σ: H^{o}(V, ω_{V} ⊗L⊗O_{Y}) ⟶ k ist also durch die Bedingung im α ⊆ ker σ bis auf einen skalaren Faktor eindeutig festgelegt. Nun gilt nach dem Serreschen Dualitätssatz:

H^{d−1}(V, Lˇ ) ≅ H^{d−1}(V, ω_{V} ⊗ L) = 0

Deshalb ist mit ẽ ∈ Ext_{V}^{d} (O_{Y} , Lˇ ) auch das Element e ∈ Ext_{V}^{d−1}(J_{Y} , Lˇ ) bis auf einen skalaren Faktor eindeutig, wie man an Hand von Diagramm (∗) erkennt. q.e.d. (4.21) Bemerkung:

Gilt H^{o}(V, ω_{V} ⊗ L) = 0, und ist Y ein Gorensteinschema, so treffen die Bedingungen des Satzes zu, denn nach Bemerkung (4.6.c) hat Y die CBE bzgl. ω_{V} ⊗ L.

§ 5 Punkte auf Kurven

Jetzt wollen wir die in § 4 erzielten Ergebnisse auf den Fall von Gorensteinkurven anwenden. Insbesondere erhalten wir eine Herleitung des Satzes von Riemann-Roch für Gorensteinkurven. Die gemäß Bemerkung (4.3) gewonnene geometrische Interpretation dieses Satzes stimmt für spezielle Divisoren auf regulären Kurven mit der klassischen überein. Schließlich geben wir noch eine Cayley-Bacharach-Charakterisierung global erzeugter invertierbarer Moduln auf Gorensteinkurven, die in § 10 angewandt werden wird.

Sei V eine integre projektive Gorensteinkurve vom geometrischen Geschlecht g = h^{o}(ω_{V}) über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Sei D ∈ Div(V) ein Cartier-Divisor, und sei K ein kanonischer Divisor auf V , das heißt O_{V} (K) ≅ ω_{V} . Was die Begriffe lineares System, kanonischer Morphismus u.s.w. in dieser Situation betrifft, so verweisen wir auf [Ha2], § 1. Die Ideen zu den Resultaten dieses Abschnitts stammen aus [GH2], I (d). (5.1) Bemerkung:

(a) Das geometrische Geschlecht von V stimmt mit dem arithmetischen Geschlecht

p_{a}(V) := 1 − χ(O_{V}) = h^{1}(O_{V})

überein.

(b) Bezeichnet \overline{V} die Normalisierung von V und

δ(V) := ∑_{P ∈Sing V} dim_{k} \overline{O_{V,P}} /O_{V,P}

den Singularitätengrad von V , so gilt:

p_{a}(V) = p_{a}(\overline{V}) + δ(V)

Beweis: “(a)” Dies folgt aus (2.2), wenn man F = O_{V} wählt. “(b)” Vgl. [K1], (11.19). q.e.d. (5.2) Bemerkung:

Genau dann ist O_{V} (D) sehr ampel, wenn ω(Y, O_{V} (D)) = 0 ist für alle 0–dimensionalen Unterschemata Y ⊆ V mit deg Y = 2. Beweis:

Letztere Bedingung ist wegen der Exaktheit der kanonischen Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, J_{Y} ⊗ O_{V} (D)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (D)) ⟶^{α} H^{o}(V, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) ⟶ coker α ⟶ 0

äquivalent mit h^{o}(J_{Y} ⊗O_{V} (D)) = h^{o}(O_{V} (D))−2 für alle 0–dimensionalen Unterschemata Y ⊆ V mit deg Y = 2. Mittels [Ha2], (1.5) folgt hieraus die Behauptung. q.e.d.

(5.3) Lemma.

Sei D ∈ Div(V) ein effektiver Cartier-Divisor, und sei Y das zu D assoziierte abgeschlossene Unterschema von V . Dann gilt:

(a) Y ist das Nullstellenschema eines globalen Schnitts von O_{V} (D).

Insbesondere ist Y also ein lokal vollständiger Durchschnitt auf V .

(b) Y stellt fast unabhängige Bedingungen an O_{V} (K + D).

Insbesondere hat Y also die CBE bzgl. O_{V} (K + D).

(c) h^{o}(O_{V} (K + D)) = deg D + g − 1 und h^{1}(O_{V} (K + D)) = 0.

Beweis: “(a)” Dies ist klar. “(b)” Nach (a) und Satz (4.15) hat Y die CBE bzgl. O_{V} (K + D). Mittels Regel (4.2.a)

und Korollar (2.5) folgt:

ω(Y, O_{V} (K + D)) = h^{1}(O_{V} (K)) − h^{1}(O_{V} (K + D)) = 1 − h^{1}(O_{V} (K + D)) Nach Bemerkung (4.6.b) ist ω(Y, O_{V} (K + D)) > 0. Also ist h^{1}(O_{V} (K + D)) = 0 und ω(Y, O_{V} (K + D)) = 1. Damit ergibt sich (b) aus Bemerkung (4.9.a).

“(c)” Die Dimensionsbilanz der langen exakten Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K + D)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K + D) ⊗ O_{Y}) ⟶

⟶ H^{1}(V, O_{V} (K)) ⟶ 0

zeigt nun h^{o}(O_{V} (K + D)) = g + deg Y − 1 = deg D + g − 1. q.e.d.

(5.4) Satz. (Der Satz von Riemann-Roch)

Für jeden Cartier-Divisor D ∈ Div(V) gilt:

h^{o}(O_{V} (D)) − h^{o}(O_{V} (K − D)) = deg D + 1 − g

Beweis:

Schreibe D = D_{+} − D_{−} mit effektiven Cartier-Divisoren D_{+}, D_{−} ∈ Div(V). Sei Y das zu D_{+} assoziierte abgeschlossene Unterschema von V . Aus der langen exakten Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K − D)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K + D_{−})) ⟶^{α} H^{o}(V, O_{V} (K + D_{−}) ⊗ O_{Y}) ⟶

⟶ coker α ⟶ 0

erhalten wir ω(Y, O_{V} (K + D_{−})) = h^{o}(O_{V} (K − D)) − h^{o}(O_{V} (K + D_{−})) + deg D_{+} , und hieraus mittels des Lemmas:

(1)  ω(Y, O_{V} (K + D_{−})) = h^{o}(O_{V} (K − D)) + deg D − g + 1

Aus der langen exakten Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, J_{Y} ⊗ O_{V} (D)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (D)) ⟶^{α′} H^{o}(V, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) ⟶ coker α′ ⟶ 0

erhalten wir wegen H^{o}(V, J_{Y} ⊗ O_{V} (D)) = H^{o}(V, O_{V} (−D_{−})) = 0 weiter die Gleichung

(2)  ω(Y, O_{V} (D)) = −h^{o}(O_{V} (D)) + deg D_{+}

Da Y nach dem Lemma ein Gorensteinschema ist, das die CBE bzgl. O_{V} (K +D_{+}) hat, können wir nun Satz (4.18) mit L_{1} = O_{V} (K + D_{−}), L_{2} = O_{V} (D) und L = O_{V} (K + D_{+}) anwenden und aus (1) und (2) folgern:

(3) ω(Y, L_{1}) + ω(Y, L_{2}) − deg D_{+} = h^{o}(O_{V} (K − D)) − h^{o}(O_{V} (D)) + deg D − g + 1 ≥ 0

Weil D beliebig war, gilt diese Ungleichung auch für D′ = K − D, was

(4)  h^{o}(O_{V} (D)) − h^{o}(O_{V} (K − D)) + deg K − deg D − g + 1 ≥ 0

ergibt. Aus (3) folgt h^{o}(O_{V} (D)) − h^{o}(O_{V} (K − D)) ≤ deg D + 1 − g, und aus (4) folgt h^{o}(O_{V} (D)) − h^{o}(O_{V} (K − D)) ≥ deg D − deg K + g − 1. Also bleibt zum Beweis des Satzes nur noch deg K = 2g − 2 zu zeigen.

Für g = 0 liefert der Vergleich des Geschlechts von V mit dem seiner Normalisierung (vgl. Bemerkung (5.1.b)), daß V regulär und somit isomorph zu ℙ _{k}^{1} ist. Also gilt wie behauptet:

deg K = deg ω_{V} = deg O_{V} (−2) = −2

Für g ≥ 1 ist K effektiv und man hat eine lange exakte Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, O_{V}) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K) ⊗ O_{Z}) ⟶ H^{1}(V, O_{V}) ⟶ ⟶ H^{1}(V, O_{V} (K)) ⟶ 0

wobei Z das zu K assoziierte 0–dimensionale Unterschema von V bezeichnet. Nun gilt neben h^{o}(O_{V}) = 1 und h^{o}(O_{V} (K)) = g auch h^{1}(O_{V} (K)) = 1 (vgl. (2.5)) und h^{1}(O_{V}) = g (vgl. (5.1.a)). Daher folgt die gesuchte Beziehung deg K = 2g−2 aus der Dimensionsbilanz obiger Sequenz. q.e.d.

(5.5) Korollar. (Geometrischer Riemann-Roch)

Sei D ∈ Div(V) ein effektiver Cartier-Divisor, und sei Y das zu D assoziierte abgeschlossene Unterschema von V . Dann gilt:

(a) ω(Y, O_{V} (K)) = h^{o}(O_{V} (D)) − 1

(b) Gilt g ≥ 2, so ist der wie in (4.3) zu ω_{V} konstruierte kanonische Morphismus κ: V ⟶ ℙ _{k}^{g−1} wohldefiniert, und es gilt:

{Y }_{κ} = deg D − h^{o}(O_{V} (D))

Für reguläre Kurven V kann man dies auch so ausdrücken:

Variiert der Divisor D = P_{1} + ⋯ + P_{d} (P_{i} ≠ P_{j} für i ≠ j) in einem linearen System der Dimension n, so spannen die kanonischen Bilder κ(P_{1}), …, κ(P_{d}) einen ℙ _{k}^{d−n−1} in ℙ _{k}^{g−1} auf.

(c) Ist zusätzlich D nichtspeziell (d.h. h^{o}(O_{V} (K − D)) = 0), so ist {Y }_{κ} = g − 1. Für reguläre V und reduzierte Y bedeutet dies, daß die kanonischen Bilder der Punkte von Y den ganzen ℙ _{k}^{g−1} aufspannen.

Beweis: “(a)” Die lange exakte Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, J_{Y} ⊗ O_{V} (K)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (K)) ⟶^{α} H^{o}(V, O_{V} (K) ⊗ O_{Y}) ⟶ coker α ⟶ 0

liefert die Dimensionsbilanz h^{o}(O_{V} (K − D)) − g + deg D = ω(Y, O_{V} (K)), woraufhin der Satz die Behauptung zeigt.

“(b)” Die Wohldefiniertheit von κ folgt aus [Ha2], (1.6). Wir verwenden die Sprechweisen

und Ergebnisse von Bemerkung (4.3) und erhalten nach (a):

{Y }_{κ} = deg Y − 1 − ω(Y, O_{V} (K)) = deg D − h^{o}(O_{V} (D))

“(c)” Aus 0 = h^{o}(O_{V} (K −D)) = h^{o}(O_{V} (D))−deg D+g−1 folgt {Y }_{κ} = g−1. q.e.d.

(5.6) Korollar.

Sei D ∈ Div(V) ein effektiver Cartier-Divisor, und sei Y das zu D assoziierte abgeschlossene Unterschema von V . Dann gilt:

(a) ω(Y, O_{V} (D)) = deg D − h^{o}(O_{V} (D)) + 1

(b) ω(Y, O_{V} (D)) = 0 genau dann, wenn g = 0 oder D = 0 ist.

(c) Die rationalen Kurven sind die einzigen Gorensteinkurven in ℙ _{k}^{n}, die keine multisekanten Hyperebenenschnitte besitzen.

Beweis: “(a)” Dies folgt aus der Dimensionsbilanz der langen exakten Sequenz

0 ⟶ H^{o}(V, J_{Y} ⊗ O_{V} (D)) ⟶ H^{o}(V, O_{V} (D)) ⟶^{α} H^{o}(V, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) ⟶ coker α ⟶ 0.

“(b)” Ist g ≠ 0 und D ≠ 0, so gilt für jeden Punkt P ∈ Y nach [Ha2], (1.6.a) und (4.2.c)

die Gleichung ω(P, O_{V} (K)) = 0. Mittels (5.5.a) und (4.2.b) schließt man hieraus h^{o}(O_{V} (D)) − 1 = ω(Y, O_{V} (K)) < deg Y = deg D.

“(c)” Sei D ∈ Div(V) der sehr ample effektive Divisor, der die Einbettung σ: V ⟶ ℙ _{k}^{n}

(n = h^{o}(O_{V} (D)) − 1) vermittelt. Dann folgt für g ≠ 0 gemäß (b):

{Y }_{σ} = deg Y − 1 − ω(Y, O_{V} (D)) ≤ deg Y − 2 Daher ist das zu D assoziierte abgeschlossene Unterschema Y ⊆ V der Schnitt einer multisekanten Hyperebene mit V .

Andererseits erfüllen im Fall g = 0 alle Hyperebenenschnitte Y ⊆ V die Beziehung

ω(Y, O_{V} (D)) = h^{o}(J_{Y} ⊗ O_{V} (D)) − h^{o}(O_{V} (D)) + deg Y
= max {0, deg D − deg Y + 1} − (deg D + 1) + deg Y

Es folgt:{Y }_{σ} = deg Y −1−ω(Y, O_{V} (D)) = min{deg D, deg Y −1} = min{n, deg Y −1}. Also besitzen rationale Kurven keine multisekanten Hyperebenenschnitte. q.e.d.

Schließlich charakterisieren wir noch die invertierbaren O_{V} –Moduln, die von globalen Schnitten erzeugt werden, durch eine Cayley-Bacharach Eigenschaft eines ihrer Nullstellenschemata.

(5.7) Satz. (Die Cayley-Bacharach-Charakterisierung global erzeugter

invertierbarer Moduln auf Gorensteinkurven)

Sei D ∈ Div(V) ein effektiver Cartier-Divisor, und sei Y das zu D assoziierte abgeschlossene Unterschema von V , das durch den globalen Schnitt u ∈ H^{o}(V, O_{V} (D)) definiert werde. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) Es gibt einen weiteren globalen Schnitt v ∈ H^{o}(V, O_{V} (D)), dessen Nullstellenschema (v)_{o} mit Y keinen Punkt gemeinsam hat.

(b) Es gibt einen weiteren globalen Schnitt v ∈ H^{o}(V, O_{V} (D)), so daß u und v die Garbe O_{V} (D) in jedem Punkt erzeugen.

(c) Die Garbe O_{V} (D) wird von zwei globalen Schnitten erzeugt.

(d) Die Garbe O_{V} (D) wird von globalen Schnitten erzeugt.

(e) Für alle Punkte P ∈ V ist ω(P, O_{V} (D)) = 0.

(f) Für alle Punkte P ∈ V ist h^{o}O_{V} (D − P) = h^{o}O_{V} (D) − 1.

(g) Für alle Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 ist ω(Z, ω_{V}) = ω(Y, ω_{V}) − 1.

(h) Y hat die CBE bzgl. ω_{V} .

Beweis: “(a) ⟺ (b) ⟹ (c) ⟹ (d)” Dies ist klar. “(d) ⟹ (e)” Vgl. Regel (4.2.c). “(e) ⟹ (f)” Für jeden Punkt P ∈ V ist nach Definition ω(P, O_{V} (D)) = 0 äquivalent

damit, daß die kanonische Abbildung

H^{o}(V, O_{V} (D − P)) ˜⟶ H^{o}(V, J_{P} · O_{V} (D)) ⟶^{i} H^{o}(V, O_{V} (D))

nicht surjektiv ist. Wegen coker i ⊆ H^{o}(P, O_{V} (D) ⊗ O_{P}) ≅ k bedeutet dies
h^{o}O_{V} (D − P) = h^{o}O_{V} (D) − 1.

“(f) ⟹ (g)” Sei P ∈ Y der eindeutig bestimmte Punkt, an dem sich Z von Y unterscheidet, d.h. an dem J_{Y,P} ⊊ J_{Z,P} gilt. Sei D′ der zu Z assoziierte Cartier-Divisor auf V . Dann ist D′ ∼ D − P, und nach (5.5.a) folgt:

ω(Z, ω_{V}) = h^{o}O_{V} (D′) − 1 = h^{o}O_{V} (D − P) − 1
= h^{o}O_{V} (D) − 2 = ω(Y, O_{V}) − 1

“(g) ⟹ (h)” Vgl. Regel (4.2.b). “(h) ⟹ (b)” Wenn wir die lange exakte Kohomologiesequenz zu der kanonischen exakten

Sequenz

(1)  0 ⟶ O_{V} ⟶^{u} O_{V} (D) ⟶^{β} O_{V} (D) ⊗ O_{Y} ⟶ 0

bilden, erhalten wir durch Anwendung der Dualitätssätze (2.4.c) und (2.13) das folgende kommutative Diagramm mit exakten Zeilen:

(2) \begin{aligned}0 & ⟶ & H^{o}(V, O_{V}) & ⟶^{H^{o}u} & H^{o}(V, O_{V} (D)) & ⟶^{H^{o}β} & H^{o}(Y, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) & ⟶^{∂_{1}} \\ & & ı_{1}↓^{≀} & & ı_{2}↓^{≀} & & ı_{3}↓^{≀} \\ 0 & ⟶ & H^{1}(V, ω_{V})^{∗} & ⟶^{φ_{1}} & H^{1}(V, ω_{V} (−D))^{∗} & ⟶^{φ_{2}} & H^{o}(Y, O_{V} (−D) ⊗ ω_{Y})^{∗} & ⟶^{φ_{3}} \end{aligned}

⟶^{∂_{1}} H^{1}(V, O_{V}) ⟶^{H^{1}u} H^{1}(V, O_{V} (D)) ⟶ 0
ı_{4}↓^{≀}  ı_{5}↓^{≀}
⟶^{φ_{3}} H^{o}(V, ω_{V})^{∗} ⟶^{φ_{4}} H^{o}(V, ω_{V} (−D))^{∗} ⟶ 0

Andererseits liefert Tensorieren der Sequenz (1) mit ω_{V} (−D) die exakte Sequenz

(3)  0 ⟶ ω_{V} (−D) \underrightarrow{_{u}} ω_{V} ⟶^{α} ω_{V} ⊗ O_{Y} ⟶ 0

wobei α der kanonische Epimorphismus ist. Das k –Dual der langen exakten Kohomologiesequenz zu (3) lautet:

(4) 0 ⟶ H^{1}(V, ω_{V})^{∗} ⟶^{(H^{1}_{u})^{∗}} H^{1}(V, ω_{V} (−D))^{∗} ⟶^{∂_{2}^{∗}} H^{o}(Y, ω_{V} ⊗ O_{Y})^{∗} ⟶

⟶^{(H^{o}α)^{∗}} H^{o}(V, ω_{V})^{∗} ⟶^{(H^{o}_{u})^{∗}} H^{o}(V, ω_{V} (−D))^{∗} ⟶ 0

Wir behaupten nun φ_{1} = (H^{1}ũ)^{∗} und φ_{4} = (H^{o}ũ)^{∗}. Aus der expliziten Beschreibung des globalen Dualitätssatzes in § 2 folgt, daß der Schnitt 1 ∈ H^{o}(V, O_{V}) bei ı_{2} ∘ (H^{o}u) folgendermaßen abgebildet wird:

\begin{matrix}H^{o}(V, O_{V}) & ⟶^{H^{o}u} & H^{o}(V, O_{V} (D)) & ˜⟶ & Hom_{O_{V}} (ω_{V} (−D), ω_{V}) & ˜⟶ & H^{1}(V, ω_{V} (−D))^{∗} \\ 1 & ⟼ & u & ⟼ & ũ & ⟼ & ∫_{V} ∘(H^{1}ũ) \end{matrix}

Ebenso ist ı_{1}(1) = ∫_{V} . Da ∫_{V} eine k –Basis von H^{1}(V, ω_{V})^{∗} darstellt, zeigt φ_{1}(∫_{V}) = ∫_{V} ∘(H^{1}ũ) nun die Behauptung φ_{1} = (H^{1}ũ)^{∗}. Die Behauptung φ_{4} = (H^{o}ũ)^{∗} folgt analog. Somit unterscheidet sich die untere Zeile des Diagramms (2) nur um einen Isomorphismus ψ: H^{o}(Y, O_{V} (−D) ⊗ ω_{Y})^{∗} ˜⟶ H^{o}(Y, ω_{V} ⊗ O_{Y})^{∗} von der Sequenz (4), und wir erhalten ein kommutatives Diagramm:

(5)  \begin{matrix}H^{o}(Y, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) & ⟶^{∂_{1}} & H^{1}(V, O_{V}) \\ ı_{3}↓^{≀} & & ı_{4}↓^{≀} \\ H^{o}(Y, O_{V} (−D) ⊗ ω_{Y})^{∗} & ⟶^{φ_{3}} & H^{o}(V, ω_{V})^{∗} \\ ^{ψ}↓^{≀} & & ∥ \\ H^{o}(Y, ω_{V} ⊗ O_{Y})^{∗} & ⟶^{(H^{o}α)^{∗}} & H^{o}(V, ω_{V})^{∗} \end{matrix}

Wegen Y = (u)_{o} ist Y ein Gorensteinschema (vgl. (3.2.b)). Nach der Voraussetzung und Satz (4.14) gibt es daher eine Spur σ auf dem H^{o}(Y, O_{Y})–Modul H^{o}(Y, ω_{V} ⊗O_{Y}), die auf dem Bild der kanonischen Abbildung H^{o}α: H^{o}(V, ω_{V}) ⟶ H^{o}(Y, ω_{V} ⊗ O_{Y}) verschwindet, d.h. die im Kern von (H^{o}α)^{∗} liegt. Mittels Diagramm (5) folgt hieraus, daß es einen Schnitt \overline{v} ∈ H^{o}(Y, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) gibt, der eine H^{o}(Y, O_{Y})–Basis von H^{o}(Y, O_{V} (D) ⊗ O_{Y}) darstellt und im Kern von ∂_{1} liegt. Also ist \overline{v} das Bild eines Schnitts v ∈ H^{o}(V, O_{V} (D)) unter H^{o}β, und v erzeugt die Garbe O_{V} (D) in den Punkten von Y . Mithin erzeugen u und v die Garbe O_{V} (D) in allen Punkten von V . q.e.d.

§ 6 Punkte auf Flächen

Unser Ziel in diesem Abschnitt ist es, den Satz (4.15) für Gorensteinflächen V teilweise umzukehren und so zu einer Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler Nullstellenschemata zu gelangen. In Spezialfällen wurde dies schon in [GH2], (1.33) und [Bru], (1.8) erreicht.

Dazu bedienen wir uns der in [T], § 1 eingeführten Technik der Cayley-Bacharach-Reduktion eines 0–dimensionalen Schemas. Genauer zeigen wir, daß es zu jedem 0–dimensionalen Unterschema Y ⊆ V mit ω(Y, L ⊗ ω_{V} ) ≠ 0 für ein L ∈ Pic (V) und mit pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞ für alle P ∈ Y ein Unterschema Z ⊆ Y gibt, so daß Z das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts eines Rang-2-Vektorbündels E auf V mit det E ≅ L ist.

Ist Y hierbei ein Gorensteinschema, das die CBE bzgl. L ⊗ ω_{V} besitzt, so kann man Z = Y wählen. Insbesondere folgt, daß jedes 0–dimensionale Gorensteinschema Y ⊆ V mit pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞ für alle P ∈ Y als Nullstellenschema auf V realisierbar ist.

Sei V eine integre projektive Gorensteinfläche über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k. Sei Y ⊆ V ein 0–dimensionales Unterschema mit Idealgarbe J_{Y} ⊆ O_{V} , und sei L ∈ Pic (V) ein invertierbarer O_{V} –Modul.

(6.1) Satz.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) ω(Y, L ⊗ ω_{V}) ≠ 0

(b) Es gibt eine Erweiterung 0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0 mit einem torsionsfreien kohärenten O_{V} –Modul F und einen Punkt P ∈ Y , so daß die lokalisierte Erweiterung 0 ⟶ L_{P̌} ⟶ F_{P} ⟶ J_{Y,P} ⟶ 0 nicht aufspaltet.

Beweis:

Nach Bemerkung (4.2.a) ist (a) äquivalent damit, daß die kanonische Injektion H^{1}(V, L ⊗ ω_{V})^{∗} ⟶ H^{1}(V, J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V})^{∗} nicht surjektiv ist. Die vollständige Dualität (2.4) und die Rechenregel [K1], (11.9) liefern

H^{1}(V, L ⊗ ω_{V})^{∗} ≅ Ext_{O_{V}}^{1} (L ⊗ ω_{V} , ω_{V}) ≅ Ext_{O_{V}}^{1} (O_{V} , Lˇ )

und H^{1}(V, J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V})^{∗} ≅ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V} , ω_{V}) ≅ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ),

so daß (a) äquivalent ist mit der Nicht-Surjektivität der kanonischen Abbildung α: Ext_{O_{V}}^{1} (O_{V} , Lˇ ) ⟶ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ). Betrachtet man die lange exakte Ext-Sequenz

0 = Ext_{O_{V}}^{1} (O_{Y} , Lˇ ) ⟶ Ext_{O_{V}}^{1} (O_{V} , Lˇ ) ⟶^{α} Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) ⟶^{β} Ext_{O_{V}}^{2} (O_{Y} , Lˇ ) ⟶ ⋯

so bedeutet dies, daß es ein e ∈ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) gibt mit β(e) ≠ 0. Verwendet man weiter die Eckenmorphismen der Spektralsequenz H^{p}(V, Ext _{O_{V}}^{q} (F, G)) ⟹ Ext_{O_{V}}^{n} (F, G), so hat man ein kommutatives Diagramm

Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ )  ⟶^{β}  Ext_{O_{V}}^{2} (O_{Y} , Lˇ )
↓  ↓^{≀}
H^{o}(V, Ext _{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ))  H^{o}(V, Ext _{O_{V}}^{2} (O_{Y} , Lˇ ))
↓^{≀}  ↓^{≀}
⨁_{P ∈Y} Ext _{O_{V,P}}^{1} (J_{Y,P} , L_{P̌}) ˜ ⟶ ⨁_{P ∈Y} Ext_{O_{V,P}}^{2} (O_{V,P} , L_{P̌})

und die Bedingung β(e) ≠ 0 ist äquivalent mit (e_{P})_{P ∈Y} ≠ 0.

Insgesamt ist (a) also äquivalent damit, daß es ein Element e ∈ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) gibt mit (e_{P})_{P ∈Y} ≠ 0. Sei 0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0 eine Erweiterung mit einem kohärenten O_{V} –Modul F, die e repräsentiert. Weil Lˇ und J_{Y} torsionsfrei sind, ist dies auch F. Für P ∈ Y repräsentiert die lokalisierte Erweiterung 0 ⟶ L_{P̌} ⟶ F_{P} ⟶ J_{Y,P} ⟶ 0 das

Element e_{P} ∈ Ext_{O_{V,P}}^{1} (J_{Y,P} , L_{P̌}) und zerfällt genau dann, wenn e_{P} = 0 ist. Hieraus folgt die Behauptung. q.e.d.

(6.2) Satz.

Sei ω(Y, L ⊗ ω_{V}) ≠ 0, und sei

(∗)  0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0

hierzu gemäß (6.1) gewählt. Dann gibt es genau ein Unterschema Z ⊆ Y , so daß das folgende Diagramm kommutativ ist und exakte Zeilen hat:

0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0
∥  ↓^{kan.}   ; ↓
0 ⟶ Lˇ ⟶ F ˇ ˇ ⟶ O_{ℙ} ⟶ O_{Z} ⟶ 0

Das Unterschema Z heißt die Cayley-Bacharach-Reduktion von Y bzgl. (∗).

Beweis:

Wie dualisieren die Sequenz 0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0 und erhalten eine lange exakte Sequenz

(1)  0 ⟶ J_{ Y̌} ⟶ F ˇ ⟶ L ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (J_{Y} , O_{V}) ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (F, O_{V}) ⟶ 0.

Wie durch Dualisieren der kanonischen Sequenz 0 ⟶ J_{Y} ⟶ O_{V} ⟶ O_{Y} ⟶ 0 folgt, ist hierbei J_{ Y̌} ≅ O_{V} . Außerdem gilt:

Ext _{O_{V}}^{1} (J_{Y} , O_{V}) ≅ Ext _{O_{V}}^{2} (O_{Y} , O_{V}) ≅ ω_{Y} ⊗ ω_{ V̌}

Setze C := coker (F ˇ ⟶ L) und D := coker (J_{ Y̌} ⟶ F ˇ ), und spalte (1) auf in drei kurze exakte Sequenzen:

0 ⟶ O_{V} ⟶ F ˇ ⟶ D ⟶ 0 (2) 0 ⟶ D ⟶ L ⟶ C ⟶ 0 (3) 0 ⟶ C ⟶ Ext _{O_{V}}^{2} (O_{Y} , O_{V}) ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (F, O_{V}) ⟶ 0 (4)

Wir dualisieren (2) noch einmal und erhalten die exakte Sequenz

(5)  0 ⟶ Dˇ ⟶ F ˇ ˇ ⟶ O_{V} ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (D, O_{V}) ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (F ˇ , O_{V}) ⟶ 0.

Da V integer ist, zeigt [K2], (E3), daß F ˇ ein reflexiver O_{V} –Modul ist. Hieraus folgt Tiefe (F_{P̌}) ≥ 2 für alle P ∈ V (vgl. [EG], (3.6)). Aus dem lokalen Dualitätssatz (2.1) und der kohomologischen Charakterisierung der Tiefe ergibt sich dann

Ext_{O_{V,P}}^{1} (F_{P̌} , O_{V,P}) ≅ Ext_{O_{V,P}}^{1} (F_{P̌} , ω_{V,P}) ≅ H_{P}^{1} (F_{P̌}) = 0

für alle P ∈ V , also Ext _{O_{V}}^{1} (F ˇ , O_{V}) = 0.

Aus der langen exakten Ext-Sequenz zu (3) folgt Ext _{O_{V}}^{1} (D, O_{V}) ≅ Ext _{O_{V}}^{2} (C, O_{V}), und durch Dualisieren von (3) ergibt sich die exakte Sequenz

(6)  0 ⟶ Cˇ ⟶ Lˇ ⟶ Dˇ ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (C, O_{V}) ⟶ 0.

Aus (4) folgt Supp C ⊆ Y , und somit Cˇ = 0 und Ext _{O_{V}}^{1} (C, O_{V}) = 0. Also entartet (6) zu einem Isomorphismus Lˇ ≅ Dˇ , und (5) lautet

(7)  0 ⟶ Lˇ ⟶ F ˇ ˇ ⟶ O_{V} ⟶^{δ} Ext _{O_{V}}^{2} (C, O_{V}) ⟶ 0.

Die lange exakte Ext-Sequenz zu (4) liefert einen Epimorphismus (8)

Ext _{O_{V}}^{2} (Ext _{O_{V}}^{2} (O_{Y} , O_{V}), O_{V}) ⟶ Ext _{O_{V}}^{2} (C, O_{V}) ⟶ Ext _{O_{V}}^{3} (Ext _{O_{V}}^{1} (F, O_{V}), O_{V}) = 0.

Hierin ist Ext _{O_{V}}^{2} (Ext _{O_{V}}^{2} (O_{Y} , O_{V}), O_{V}) ≅ Ext _{O_{V}}^{2} (ω_{Y} , ω_{V}) ≅ O_{Y} , da der Träger dieser Garben in Y enthalten ist, und da die lokalen Dualitätssätze auf V (vgl. (2.1)) und Y (vgl. (2.11)) für alle P ∈ Y Isomorphismen

Ext_{O_{V,P}}^{2} (ω_{Y,P} , ω_{V,P}) ≅ H_{P}^{o} (ω_{Y,P})^{∗} ≅ ω_{Y,P}^{∗} ≅ O_{Y,P}

ergeben. Infolgedessen gibt es nach (8) ein Unterschema Z ⊆ Y mit Ext _{O_{V}}^{2} (C, O_{V}) ≅ O_{Z}. Indem man δ ggf. durch einen Automorphismus von O_{Z} abändert, kann man annehmen, daß die Sequenz

0 ⟶ Lˇ ⟶ F ˇ ˇ ⟶ O_{V} ⟶^{ε} O_{Z} ⟶ 0

exakt ist, wobei ε: O_{V} − ↠ O_{Z} den kanonischen Epimorphismus bezeichnet. Wegen der Funktorialität der kanonischen Abbildung ins Bidual kommutiert das Diagramm

0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0
∥  ↓^{kan.}   ; ↓
0 ⟶ Lˇ ⟶ F ˇ ˇ ⟶ O_{V} ⟶ O_{Z} ⟶ 0

und die Behauptung des Satzes folgt. q.e.d.

(6.3) Korollar. (Eigenschaften der Cayley-Bacharach-Reduktion)

In der Situation des Satzes gilt:

(a) Ist Y ein Gorensteinschema, das die CBE bzgl. L ⊗ ω_{V} besitzt, und repräsentiert (∗) das gemäß (4.19) zugehörige Element e ∈ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ), so ist Z = Y .

(b) Gilt pd_{O_{V,P}} (O_{Z,P}) < ∞ für alle P ∈ Z, so ist Z das Nullstellenschema eines lokalfreien O_{V} –Moduls E vom Rang zwei mit det E ≅ L. Insbesondere ist Z dann ein 0–dimensionaler lokal vollständiger Durchschnitt auf V , der die CBE bzgl. L ⊗ ω_{V} besitzt.

(c) Ist ω(Y, L ⊗ ω_{V}) = 1 und pd_{O_{V,P}} (O_{Z,P}) < ∞ für alle P ∈ Z, so stellt Z fast unabhängige Bedingungen an L ⊗ ω_{V} .

(d) Gilt h^{1}(J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V}) = 1 und pd_{O_{V,P}} (O_{Z,P}) < ∞ für alle P ∈ Z, so ist Z das einzige Unterschema von Y , das ein Gorensteinschema ist und die CBE bzgl. L ⊗ ω_{V} besitzt.

Beweis: “(a)” Wir tensorieren die Sequenz (1) aus dem Beweis des Satzes mit Lˇ und erhalten

wegen J_{ Y̌} ≅ O_{V} (vgl. den Beweis von (6.2)) eine exakte Sequenz

0 ⟶ Lˇ ⟶ F ˇ ⊗ Lˇ ⟶ O_{V} ⟶^{∂} Ext _{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) ⟶ Ext _{O_{V}}^{1} (F, Lˇ ) ⟶ 0.

Nach Satz (4.19) erzeugt das Tupel der Lokalisationen

(e_{P})_{P ∈Y} ∈ ⨁_{P ∈Y} Ext_{O_{V,P}}^{1} (J_{Y,P} , L_{P̌}) ≅ H^{o}(V, Ext _{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ))

von e den O_{V} –Modul Ext _{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ). Da nach Konstruktion ∂(1) = (e_{P})_{P ∈Y} ist, folgt somit Ext _{O_{V}}^{1} (F, Lˇ ) = 0, und also nach dem lokalen Dualitätssatz (2.1.b) für alle abgeschlossenen Punkte P ∈ V

H_{P}^{1} (F_{P}) ≅ Ext_{O_{V,P}}^{1} (F_{P} , ω_{V,P})^{∗} ≅ Ext_{O_{V,P}}^{1} (F_{P} , L_{P̌})^{∗} = 0.

Weil F torsionsfrei ist (vgl. (6.1)), gilt für alle P ∈ V auch H_{P}^{o} (F_{P}) = 0, so daß die kohomologische Charakterisierung der Tiefe zeigt, daß Tiefe (F_{P}) ≥ 2 ist. Nach [EG], (3.6) ist F damit ein reflexiver O_{V} –Modul, und die Behauptung folgt aus dem Satz.

“(b)” Aus der Reflexivität des O_{V} –Moduls F ˇ ˇ folgt Tiefe (F_{P}ˇ ˇ ) ≥ 2 für alle abgeschlossenen Punkte P ∈ V (vgl. [EG], (3.6)). Für P ∉ Z liefert die exakte Sequenz

0 ⟶ L_{P̌} ⟶ F_{P}ˇ ˇ ⟶ O_{V,P} ⟶ 0

wegen Ext_{O_{V,P}}^{1} (O_{V,P} , L_{P̌}) = 0, daß F_{P}ˇ ˇ ein freier O_{V,P} –Modul vom Rang zwei ist. Für P ∈ Z liefern die exakten Sequenzen

0 ⟶ L_{P̌} ⟶ F_{P}ˇ ˇ ⟶ J_{Z,P} ⟶ 0

0 ⟶ J_{Z,P} ⟶ O_{V,P} ⟶ O_{Z,P} ⟶ 0, und

daß mit O_{Z,P} auch die O_{V,P} –Moduln J_{Z,P} und F_{P}ˇ ˇ eine endliche projektive Dimension besitzen. Wegen Tiefe (F_{P}ˇ ˇ ) ≥ 2 zeigt die Formel von Auslander-Buchsbaum (vgl. [K3], VII (1.12)), daß F_{P}ˇ ˇ ein freier O_{V,P} –Modul ist. Sei E := F ˇ . Wegen der Reflexivität von F ˇ ist E ein lokalfreier O_{V} –Modul vom Rang zwei, und aus der exakten Sequenz

0 ⟶ Lˇ ⟶ E ˇ ⟶ J_{Z} ⟶ 0

folgt, daß Z das Nullstellenschema eines globalen Schnitts s ∈ H^{o}(V, E) ist. Insbesondere ist s regulär, also der Koszulkomplex

0 ⟶ det E ˇ ⟶^{∧s}ˇ E ˇ ⟶^{s}ˇ J_{Z} ⟶ 0

exakt, und daher gilt Lˇ ≅ det E ˇ . Der Zusatz folgt sofort aus Bemerkung (3.2.b) und Satz (4.15)

“(c)” Nach Bemerkung (4.2.b) ist ω(Z, L ⊗ ω_{V}) ≤ ω(Y, L ⊗ ω_{V}). Da Z nach (b) die CBE bzgl. L⊗ω_{V} hat, muß ω(Z, L⊗ω_{V}) = 1 sein (vgl. (4.6.b)), und die Behauptung folgt aus (4.9.a).

“(d)” Sei Z′ ⊆ Y ein Unterschema, das ein Gorensteinschema ist und die CBE bzgl. L⊗ω_{V} besitzt. Aus ω(Z′, L ⊗ ω_{V}) ≠ 0 (vgl. (4.6.b)) und aus (4.2.a) folgt

Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Z′}, Lˇ ) ≅ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Z′} ⊗ L ⊗ ω_{V} , ω_{V}) ≅ H^{1}(V, J_{Z′} ⊗ L ⊗ ω_{V})^{∗} ≠ 0.

Wegen Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) ≅ H^{1}(V, J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V})^{∗} ≅ k ist die kanonische Abbildung φ: Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Z′}, Lˇ ) ⟶ Ext_{O_{V}}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) ein Isomorphismus. Die Erweiterung

0 ⟶ Lˇ ⟶ G ⟶ J_{Z′} ⟶ 0 repräsentiere das Urbild von (∗) unter φ. Dann hat man ein kommutatives Diagramm

0 ⟶ Lˇ ⟶ F ⟶ J_{Y} ⟶ 0
∥  ↓   ; ↓
0 ⟶ Lˇ ⟶ G ⟶ J_{Z′} ⟶ 0

(vgl. [T], I (1.2)). Aus der Funktorialität des kommutativen Diagramms des Satzes und aus (a) erhält man nun ein entsprechendes kommutatives Diagramm für die Cayley-Bacharach-Reduktionen von Y und Z′:

0 ⟶ Lˇ ⟶ F ˇ ˇ ⟶ J_{Z} ⟶ 0
∥  ↓   ; ↓
0 ⟶ Lˇ ⟶ G ⟶ J_{Z′} ⟶ 0

Insbesondere ist Z′ ⊆ Z. Aus (4.2) folgt

1 ≤ ω(Z′, L ⊗ ω_{V}) ≤ ω(Z, L ⊗ ω_{V}) ≤ ω(Y, L ⊗ ω_{V}) ≤ h^{1}(J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V}) = 1 und hieraus mittels (4.6.a) Z′ = Z, denn nach (b) hat auch Z die CBE bzgl. L ⊗ ω_{V} .

q.e.d.

(6.4) Korollar. (Die Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler

Nullstellenschemata auf Gorensteinflächen)

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Y ist ein Gorensteinschema, das die CBE bzgl. ω_{V} ⊗ L besitzt, und für alle Punkte P ∈ Y gilt pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞.

(b) Es gibt einen lokalfreien O_{V} –Modul E vom Rang zwei mit det E ≅ L und einen

regulären Schnitt s ∈ H^{o}(V, E), so daß Y das Nullstellenschema von s ist. Gilt hierbei sogar h^{1}(J_{Y} ⊗ L ⊗ ω_{V}) = 1, so ist das Paar (E, s) bis auf Isomorphie

eindeutig bestimmt. Beweis: “(a) ⟹ (b)” Dies folgt sofort aus (6.3.a) und (6.3.b). “(b) ⟹ (a)” Vgl. Satz (4.15). Die Bedingung pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞ für P ∈ Y ist erfüllt,

da Y einen lokal vollständigen Durchschnitt auf V bildet. Beachtet man, daß das Element e ∈ Ext_{V}^{1} (J_{Y} , Lˇ ) ≅ H^{1}(V, J_{Y} ⊗L⊗ω_{V})^{∗} ≅ k aus dem

Beweis von (6.1) bis auf einen skalaren Faktor eindeutig bestimmt ist (vgl. auch (4.20)), so folgt der Zusatz nach Definition der Äquivalenz zweier Erweiterungen, die dieses Element e repräsentieren. q.e.d. (6.5) Bemerkung:

Die Bedingung pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞ für P ∈ Y bzw. pd_{O_{V,P}} (O_{Z,P}) < ∞ für P ∈ Z in (6.3) und (6.4) ist automatisch erfüllt, wenn P ein regulärer Punkt auf V ist. (6.6) Korollar.

Sei Y ⊆ V ein 0–dimensionales Gorensteinschema, und für alle Punkte P ∈ Y gelte pd_{O_{V,P}} (O_{Y,P}) < ∞.

(a) Ist H^{o}(V, ω_{V} ⊗L) = 0, so ist Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{V} –Moduls E vom Rang zwei mit det E ≅ L.

(b) Y ist ein 0–dimensionales Nullstellenschema auf V .

Insbesondere ist Y also ein lokal vollständiger Durchschnitt auf V .

Beweis: “(a)” Nach Bemerkung (4.6.c) hat Y die CBE bzgl. ω_{V} ⊗ L. “(b)” Wähle L = ω_{ V̌} ⊗ Mˇ mit einem sehr amplen invertierbaren O_{V} –Modul M. Dann

ist H^{o}(V, ω_{V} ⊗ L) ≅ H^{o}(V, Mˇ ) = 0 (vgl. [Ha1], III ex. (7.1)). q.e.d. (6.7) Beispiel:

Dieses Beispiel geht auf das in [GH1], S.728 Bewiesene zurück.

(a) Ist V eine nichtsinguläre Fläche vom geometrischen Geschlecht g = 0 (z.B. V rational oder V Enriques-Fläche), so ist jedes 0–dimensionale Gorensteinschema Y ⊆ V das Nullstellenschema eines globalen Schnitts s eines lokalfreien O_{V} –Moduls E vom Rang zwei mit det E ≅ O_{V} .

(b) Sei V ≅ ℙ _{k}^{2} und (E, s) wie in (a). Dann ist E keine Erweiterung

0 ⟶ M ⟶ E ⟶ N ⟶ 0

von invertierbaren O_{V} –Moduln M, N ∈ Pic (V), und der Schnitt s ist bis auf einen skalaren Faktor eindeutig.

Beweis: “(a)” Nach Voraussetzung ist H^{o}(V, ω_{V}) = g = 0. Wende also Korollar (6.6.a) an. “(b)” Wäre E eine Erweiterung zweier invertierbarer O_{V} –Moduln M ≅ O_{V} (m) und

N ≅ O_{V} (n) mit m, n ∈ ℤ , so wäre det E ≅ O_{V} (m+n) ≅ O_{V} , also m+n = 0. Wegen Ext_{V}^{1} (N , M) ≅ H^{1}(V, O_{V} (m − n)) = 0 wäre E von der Form E ≅ O_{V} (n) ⊕ O_{V} (−n) mit n ∈ ℕ . Dies ist aber unmöglich, weil nun jeder von Null verschiedene globale Schnitt von E auf einer ganzen Kurve verschwände. Zum Beweis der Eindeutigkeit von s nehmen wir an, daß s′ ∈ H^{o}(V, E) ebenfalls das Nullstellenschema Y hat. Dann ist

s ∧ s′ ∈ H^{o}(V, det E) ≅ H^{o}(V, O_{V}) ≅ k,

und hieraus folgt s ∧ s′ = 0, da die Punkte von Y Nullstellen dieses Schnittes sind. Also ist s = λ · s′ mit λ ∈ k \ {0}. q.e.d.

(6.8) Beispiel:

Aus (6.4) und (6.6) folgt: Ist V eine reguläre Fläche, so ist ein 0–dimensionales Unterschema Y ⊆ V genau dann ein 0–dimensionales Nullstellenschema auf V , wenn Y ein Gorensteinschema ist.

Im Fall V = ℙ _{k}^{2} werden wir in § 8 auch die Nullstellenschemata zerfallender O_{V} –Moduln E, d.h. die 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitte charakterisieren.

§ 7 Der Koordinatenring eines projektiven Schemas

Um die Geometrie einer Einbettung eines projektiven Schemas V in einen projektiven Raum ℙ näher zu untersuchen, betrachten wir jetzt den zugehörigen projektiven Koordinatenring k[V]. Wir wählen eine “unendlich ferne” Hyperebene H ⊆ ℙ und versehen H^{o}(V \ H, O_{V \H}) so mit einer aufsteigenden Filtrierung, daß k[V] die Rees-Algebra und der projektive Koordinatenring von V ∩ H in H der graduierte Ring dieser filtrierten Algebra wird.

Für 0–dimensionale Unterschemata Y von ℙ definieren wir speziell die Invariante a_{Y} der Einbettung Y ⊆ ℙ mit Hilfe der Hilbertfunktion von Y . Wir untersuchen die grundlegenden Eigenschaften dieser Invariante, wie z.B. ihr Verhältnis zur Superabundanz und die CBE von Y bzgl. O_{ℙ} (a_{Y} ), und berechnen sie für einige Beispiele.

Im folgenden sei V ein d–dimensionales projektives Schema über einem algebraisch abgeschlossenen Körper k, das in einen projektiven Raum ℙ := ℙ _{k}^{r} eingebettet ist. Sei J_{V} ⊆ O_{ℙ} die Idealgarbe von V in ℙ . Für jeden kohärenten O_{ℙ} –Modul F setzen wir

Γ_{∗}(F) := ⨁_{n∈ ℤ} H^{o}(ℙ , F(n))

Dann ist Γ_{∗}(F) ein graduierter Γ_{∗}(O_{ℙ})–Modul. Speziell stellt Γ_{∗}(J_{Y}) ein homogenes Ideal von Γ_{∗}(O_{ℙ}) dar. Jede Wahl homogener Koordinaten in ℙ liefert einen Isomorphismus Γ_{∗}(O_{ℙ}) ≅ k[X_{o}, …, X_{r}]. (7.1) Definition:

Die positiv graduierte k –Algebra

k[V] = ⨁_{n≥0} k[V]_{n} := Γ_{∗}(O_{ℙ})/Γ_{∗}(J_{V})

heißt der projektive Koordinatenring von V in ℙ . Ihr homogenes maximales Ideal ⨁_{n>0} k[V]_{n} bezeichnen wir mit 𝔐.

Die folgenden Eigenschaften des projektiven Koordinatenrings werden in der einschlägigen Literatur ([EGA], [Ha1]) bewiesen. (7.2) Bemerkung:

(a) Die k –Algebra k[V] hat k[V]_{o} = k als homogenen Bestandteil nullten Grades und wird von endlich vielen homogenen Elementen ersten Grades erzeugt.

(b) Proj k[V] ≅ V

(c) dim k[V] = d + 1

(d) H_{𝔐}^{o} k[V] = 0 Anders ausgedrückt: Das homogene Ideal Γ_{∗}(J_{V}) ⊆ k[X_{o}, …, X_{r}] ist saturiert, d.h. für alle f ∈ k[X_{o}, …, X_{r}] gilt: Gibt es für alle i ∈ {0, …, r} eine Zahl n_{i} ∈ ℕ mit X_{i}^{n_{i}} · f ∈ Γ_{∗}(J_{V}), so liegt f bereits in Γ_{∗}(J_{V}).

(e) Für alle n ∈ ℤ gilt: k[V](n)^{∼} ≅ O_{V} (n)

(f) Für jeden endlich erzeugten graduierten k[V]–Modul M hat man eine kanonische exakte Sequenz

0 ⟶ H_{𝔐}^{o} M ⟶ M ⟶ ⨁_{n∈ ℤ} H^{o}(V, M̃(n)) ⟶ H_{𝔐}^{1} M ⟶ 0

und Isomorphismen H_{𝔐}^{i} M ≅ ⨁_{n∈ ℤ} H^{i−1}(V, M̃(n)) für i ≥ 2.

(g) Speziell hat man eine kanonische exakte Sequenz:

0 ⟶ k[V] ⟶ ⨁_{n∈ ℤ} H^{o}(V, O_{V} (n)) ⟶ H_{𝔐}^{1} k[V] ⟶ 0

(h) Ist V integer, so ist k[V] ein Integritätsring.

(7.3) Bemerkung:

(a) Man kann die Koordinaten {X_{o}, …, X_{r}} von ℙ so wählen, daß die Bilder x_{i} der Elemente X_{i} in k[V] Nichtnullteiler sind (i = 0, …, r). Dies sei fortan vorausgesetzt.

(b) Es gibt eine Zahl n_{o} ∈ ℕ , so daß für alle n ≥ n_{o} gilt:

k[V]_{n} ≅ H^{o}(V, O_{V} (n))

(c) Die abgeschlossenen Unterschemata W von V entsprechen eineindeutig den saturierten homogenen Idealen I_{W} von k[V], d.h. den homogenen Idealen, für die aus 𝔐^{n} · f ∈ I_{W} (f ∈ k[V], n ∈ ℕ) schon f ∈ I_{W} folgt. Dabei gilt k[W] ≅ k[V]/I_{W} .

Beweis: “(a)” Wegen (7.2.d) und der kohomologischen Charakterisierung der Tiefe (vgl. [Ha1],

III ex.(3.4)) gibt es einen Nichtnullteiler von k[V] in 𝔐. Daher ist 𝔐 ∉ Ass k[V], und da 𝔐 von den Elementen von k[V]_{1} erzeugt wird, gilt für alle 𝔭 ∈ Ass k[V] somit 𝔭 ∩ k[V]_{1} ⊊ k[V]_{1} . Also bilden die Urbilder der 𝔭 ∩ k[V]_{1} (𝔭 ∈ Ass k[V]) in k[X_{o}, …, X_{r}]_{1} endlich viele echte Untervektorräume. Da k unendlich viele Elemente hat, gibt es nun eine Basis von k[X_{o}, …, X_{r}]_{1} , die diese meidet. Die Bilder dieser Basiselemente sind Nichtnullteiler von k[V].

“(b)” Betrachte die für jedes n ∈ ℤ exakte Sequenz

0 ⟶ H^{o}(ℙ , J_{V} (n)) ⟶ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (n)) ⟶ H^{o}(ℙ , O_{V} (n)) ⟶ H^{1}(ℙ , J_{V} (n)).

Es gibt ein n_{o} ∈ ℕ , so daß H^{1}(ℙ , J_{V} (n)) für alle n ≥ n_{o} verschwindet (vgl. [Ha1], III (5.2)) und man einen Isomorphismus k[V]_{n} ˜⟶ H^{o}(V, O_{V} (n)) erhält.

“(c)” Offenbar sind die Urbilder dieser Ideale genau die saturierten Ideale von k[X_{o}, …, X_{r}], die Γ_{∗}(J_{V}) umfassen. Letztere entsprechen nach [Ha1], II ex. (5.10) eineindeutig den abgeschlossenen Unterschemata von V . q.e.d.

Jetzt bezeichnen wir das saturierte homogene Ideal Γ_{∗}(J_{V}) ⊆ k[X_{o}, …, X_{r}] mit I, die Hyperebene V(X_{o}) ⊆ ℙ mit H und den zu H komplementären r–dimensionalen affinen Raum ℙ \ H mit 𝔸 . Dann ist U := V ∩ 𝔸 ein d–dimensionales affines Unterschema von 𝔸 und entspricht als solches einem Ideal J ⊆ k[X_{1}, …, X_{r}]. Hierbei seien die Koordinaten {X_{1}, …, X_{r}} von 𝔸 gegeben durch die Isomorphismen

H^{o}( 𝔸 , O_{𝔸}) ≅ H^{o}(D_{+}(X_{o}), O_{ℙ}) ≅ k[X_{o}, …, X_{r}]_{(X_{o})} \underrightarrow{ı} k[X_{1}, …, X_{r}].
X_{o} ↦ 1

(7.4) Bemerkung:

Das Ideal J ⊆ k[X_{1}, …, X_{r}] ist die Dehomogenisierung von I nach X_{o}, das heißt J besteht aus allen Polynomen f(1, X_{1}, …, X_{r}) ∈ k[X_{1}, …, X_{r}], für die f(X_{o}, …, X_{r}) in I ist. Beweis:

Nach Definition ist J = H^{o}( 𝔸 , J_{V} |_{𝔸}) ≅ H^{o}(D_{+}(X_{o}), J_{V}), und hieraus folgt wegen J_{V} = Γ_{∗}(J_{V})^{∼} = Ĩ, daß J das Bild von I_{(X_{o})} unter dem Isomorphismus ı ist. q.e.d.

Umgekehrt sei jetzt ein d–dimensionales affines Unterschema U ⊆ 𝔸 gegeben, das durch ein Ideal J ⊆ k[X_{1}, …, X_{r}] definiert wird. Es erweist sich als vorteilhaft, den affinen Koordinatenring

S := k[X_{1}, …, X_{r}]/J ≅ H^{o}(U, O_{U})

von U mit einer Filtrierung zu versehen. Was die grundlegenden Eigenschaften filtrierter Algebren betrifft, so stützen wir uns auf die Ergebnisse von [KK], § 1, wobei wir allerdings von aufsteigenden Filtrierungen ausgehen. Die nötigen Modifikationen sind in Anhang B aufgeführt.

Wir definieren die Filtrierung F = (F_{i})_{i∈ ℤ} von S/k als die Restklassenfiltrierung der Gradfiltrierung G von k[X_{1}, …, X_{r}] unter dem Epimorphismus k[X_{1}, …, X_{r}] − ↠ k[X_{1}, …, X_{r}]/J = S (vgl. (B6) und (B9)). Wie im Anhang B bilden wir nun die Rees-Algebra R_{F}(S) := ⨁_{i∈ ℤ} F_{i} · T^{i} ⊆ S[T]_{T} und den graduierten Ring

gr_{F}(S) := ⨁_{i∈ ℤ} F_{i}/F_{i−1} zu (S/k, F).

Sei J^{∗} ⊆ k[X_{o}, …, X_{r}] die Homogenisierung von J, das heißt das von den Homogenisierungen

f^{∗}(X_{o}, …, X_{r}) := X_{o}^{deg f} · f(\frac{X_{1}}{X_{o}} , …, \frac{X_{r}}{X_{o}})

der Elemente f ∈ J erzeugte Ideal. Nach (B9) und (B6) gilt

R_{F}(S) ≅ R_{G}(k[X_{1}, …, X_{r}])/J^{∗} ≅ k[X_{o}, …, X_{r}]/J^{∗}

und nach (B3) ist X_{o} daher ein Nichtnullteiler von k[X_{o}, …, X_{r}]/J^{∗}, d.h. J^{∗} ist ein saturiertes Ideal von k[X_{o}, …, X_{r}]. Sei \overline{U} das von J^{∗} definierte abgeschlossene Unterschema von ℙ (vgl. (7.3.c)). Wir nennen es die projektive Abschließung des affinen Schemas U.

(7.5) Satz.

Die Zuordnungen V ⟼ V ∩ 𝔸 und U ⟼ \overline{U} definieren eine Bijektion zwischen der Menge der d–dimensionalen projektiven Unterschemata von ℙ , die keine Komponente auf H haben, und der Menge der d–dimensionalen affinen Unterschemata von 𝔸 .

Beweis:

Sei U ⊆ 𝔸 ein d–dimensionales affines Unterschema, das durch ein Ideal J ⊆ k[X_{1}, …, X_{r}] definiert werde. Wegen f^{∗}(1, X_{1}, …, X_{r}) = f(X_{1}, …, X_{r}) für alle f ∈ J ist J dann die Dehomogenisierung von J^{∗} nach X_{o}, und nach (7.4) gilt somit U = \overline{U} ∩ 𝔸 . Wie bereits gezeigt wurde, ist X_{o} ein Nichtnullteiler von k[X_{o}, …, X_{r}]/J^{∗}, das heißt \overline{U} hat keine Komponente auf H.

Andererseits sei V ⊆ ℙ ein d–dimensionales abgeschlossenes Unterschema, das keine Komponente auf H habe und durch ein saturiertes Ideal I ⊆ k[X_{o}, …, X_{r}] definiert werde. Dann ist X_{o} ein Nichtnullteiler von k[X_{o}, …, X_{r}]/I, weshalb für alle Elemente f ∈ I mit f = X_{o}^{i} · g (g ∈ k[X_{o}, …, X_{r}], i ∈ ℕ , X_{o} ∤ g) schon g ∈ I folgt. Aus

f(1, X_{1}, …, X_{r})^{∗} = g(1, X_{1}, …, X_{r})^{∗} = X_{o}^{deg g} · g(1, \frac{X_{1}}{X_{o}} , …, \frac{X_{r}}{X_{o}}) = g

ergibt sich daher, daß I die Homogenisierung seiner Dehomogenisierung ist, das heißt V = \overline{V ∩ 𝔸} . q.e.d. (7.6) Bemerkung:

Die Bijektion des Satzes ist inklusionserhaltend. Sind U′ ⊆ U zwei d–dimensionale affine Unterschemata von 𝔸 , so gilt k[\overline{U′}] = k[\overline{U}]/\overline{I′}, wenn \overline{I′} das Bild des saturierten Ideals I′ von U′ in k[\overline{U}] bezeichnet. Ist U reduziert (bzw. integer), so ist auch \overline{U} reduziert (bzw. integer). Beweis:

Die ersten beiden Aussagen gelten nach Konstruktion. Die dritte wird in [K3], I (5.17) bewiesen. q.e.d.

(7.7) Korollar.

Seien V und U jetzt wieder wie vor (7.4).

(a) Es gilt: R_{F}(S) ≅ k[V] Hierbei wird der Nichtnullteiler T ∈ R_{F}(S) auf den Nichtnullteiler x_{o} ∈ k[V] abgebildet (vgl. (7.3.a)).

(b) Es gilt: gr_{F}(S) ≅ k[V]/x_{o} · k[V] Ist dabei Tiefe k[V] ≥ 2, so ist k[V]/x_{o} · k[V] der projektive Koordinatenring von V ∩ H auf H.

Beweis: “(a)” Nach (B9), (B6) und (7.5) gilt:

R_{F}(S) ≅ R_{G}(k[X_{1}, …, X_{r}])/J^{∗} ≅ k[X_{o}, …, X_{r}]/I = k[V]

“(b)” Nach (B8) und (a) gilt gr_{F}(S) ≅ R_{F}(S)/T · R_{F}(S) ≅ k[V]/x_{o} · k[V].

Ist Tiefe k[V] ≥ 2, so ist Tiefe (k[V]/x_{o} · k[V]) ≥ 1, d.h. Ho ; 𝔐̄(k[V]/x_{o} · k[V]) = 0, wenn 𝔐̄ das Bild von 𝔐 in k[V]/x_{o} · k[V] darstellt. Bezeichnen wir das Bild von I unter dem Epimorphismus k[X_{o}, …, X_{r}] ⟶ k[X_{1}, …, X_{r}] (X_{o} ↦ 0) mit Ī, so gilt also

k[V]/x_{o} · k[V] ≅ k[X_{1}, …, X_{r}]/Ī

und Ī ist ein homogenes saturiertes Ideal von k[H] = k[X_{1}, …, X_{r}]. Weil I + (X_{o}) das Unterschema Y ∩ H ⊆ ℙ definiert, wird das Unterschema Y ∩ H von H durch Ī definiert. q.e.d.

Von jetzt ab sei Y ein 0–dimensionales abgeschlossenes Unterschema von ℙ mit Idealgarbe J_{Y} ⊆ O_{ℙ} . Ferner sei k[Y] der projektive Koordinatenring von Y und 𝔪 sein homogenes maximales Ideal. Dann ist Y arithmetisch Cohen-Macaulay in ℙ , d.h. k[Y] ist ein Cohen-Macaulay-Ring, denn nach (7.2) gilt Tiefe k[Y] ≥ 1 = dim k[Y]. Nach wie vor seien die Koordinaten {X_{o}, …, X_{r}} so gewählt, daß ihre Restklassen {x_{o}, …, x_{r}} Nichtnullteiler von k[Y] sind. (7.8) Definition:

(a) Die Abbildung H_{Y} : ℤ ⟶ ℕ (n ↦ dim_{k} k[Y]_{n}) heißt die Hilbertfunktion von Y in ℙ .

(b) Die Invariante a_{Y} der Einbettung Y ⊆ ℙ ist gegeben als

a_{Y} := max {n ∈ ℤ : H_{Y} (n) ≠ deg Y }.

Nach Bemerkung (7.3.b) ist H_{Y} (n) = deg Y für große n. Wegen H_{Y} (n) = 0 < deg Y für n < 0 ist a_{Y} also wohldefiniert und es gilt a_{Y} ≥ −1.

(7.9) Satz. (Eigenschaften von a_{Y} )

(a) Für alle n ∈ ℕ gilt:

H_{Y} (n) = ∑_{i=0}^{n} dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{i}

Folglich ist die Funktion H_{Y} monoton wachsend. (b)

a_{Y} = max {n ∈ ℤ : dim_{k} k[Y]_{n} < deg Y }
= max {n ∈ ℤ : dim_{k} k[Y]_{n} < dim_{k} k[Y]_{n+1}}
= max {n ∈ ℕ : (k[Y]/x_{o} · k[Y])_{n} ≠ 0} − 1.

Insbesondere ist a_{Y} = ρ(Y)−1, wenn man die Invariante ρ(Y) der Einbettung Y ⊆ ℙ wie in [KK], (2.1.a) als den (von x_{o} unabhängigen) maximalen Grad eines homogenen Bestandteils von k[Y]/x_{o} · k[Y] definiert.

H_{Y} (n) = 0  für n < 0
H_{Y} (n) < H_{Y} (n + 1) für 0 ≤ n ≤ a_{Y}
H_{Y} (n) = deg Y  für n > a_{Y}

(d)

a_{Y} = max {n ∈ ℤ : (H_{𝔪}^{1} k[Y] )_{n} ≠ 0}

Die Invariante a_{Y} stimmt also mit der in [GW], (3.1.4) und [W], § 1 definierten überein.

(e) Für alle n ∈ ℕ gilt:

ω(Y, O_{ℙ} (n)) = dim_{k}(H_{𝔪}^{1} k[Y] )_{n} = h^{1}J_{Y} (n)

Also folgt: a_{Y} = max {n ∈ ℤ : ω(Y, O_{ℙ} (n)) ≠ 0} = max {n ∈ ℤ : h^{1}J_{Y} (n) ≠ 0}

Beweis: “(a)” Dies ergibt sich, wenn man die Dimensionsbilanzen der für alle n ∈ ℕ exakten

Sequenzen

0 ⟶ x_{o} · k[Y]_{n−1} ⟶ k[Y]_{n} ⟶ (k[Y]/x_{o} · k[Y])_{n} ⟶ 0

aufsummiert und dim_{k} x_{o} · k[Y]_{n−1} = dim_{k} k[Y]_{n−1} benützt. “(b)” Folgt sofort aus (a). “(c)” (Vgl. [GM], (1.1)) Es ist nur H_{Y} (n) < H_{Y} (n + 1) für 0 ≤ n ≤ a_{Y} zu be-

weisen. Sei H_{Y} (n) = H_{Y} (n + 1) für ein n ∈ ℕ . Dann ist k[Y]_{n+1} = x_{o} · k[Y]_{n}. Da {x_{o}, …, x_{r}} ⊆ k[Y]_{1} ein Erzeugendensystem von 𝔪 bildet, ist jedes Element f ∈ k[Y]_{n+2} von der Form

f = ∑_{i=0}^{r} x_{i} · f_{i} = ∑_{i=0}^{r} x_{i} · x_{o} · f′_{i}

mit Elementen f_{o}, …, f_{r} ∈ k[Y]_{n+1} und f′_{o}, …, f′_{r} ∈ k[Y]_{n}. Also ist f ∈ x_{o}·k[Y]_{n+1} . Da f beliebig war, folgt k[Y]_{n+2} = x_{o} ·k[Y]_{n+1} , und somit induktiv H_{Y} (m) = H_{Y} (n) für alle m ≥ n. Für genügend große m ∈ ℕ gilt aber H_{Y} (m) = deg Y . Daher muß n > a_{Y} gewesen sein.

“(d)” Die exakte Sequenz (7.2.g) liefert für alle n ∈ ℤ exakte Sequenzen

(∗)  0 ⟶ k[Y]_{n} ⟶ H^{o}(ℙ , O_{Y} (n)) ⟶ (H_{𝔪}^{1} k[Y] )_{n} ⟶ 0.

Also ist (H_{𝔪}^{1} k[Y] )_{n} ≠ 0 genau dann, wenn dim_{k} k[Y]_{n} < dim_{k} H^{o}(ℙ , O_{Y} (n)) = deg Y gilt.

“(e)” Aus (∗) ergeben sich für alle n ∈ ℤ exakte Sequenzen:

0 ⟶ H^{o}(ℙ , J_{Y} (n)) ⟶ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (n)) ⟶^{α} H^{o}(ℙ , O_{Y} (n)) ⟶ (H_{𝔪}^{1} k[Y] )_{n} ⟶ 0

Es folgt nach Bemerkung (4.2.a) ω(Y, O_{ℙ} (n)) = dim_{k} coker α = dim_{k}(H_{𝔪}^{1} k[Y] )_{n}. Wegen H^{1}(ℙ , O_{ℙ} (n)) = 0 gilt auch H^{1}(ℙ , J_{Y} (n)) ≅ coker α ≅ (H_{𝔪}^{1}k[Y])_{n}, also ω(Y, O_{ℙ} (n)) = h^{1}J_{Y} (n). q.e.d.

(7.10) Satz.

(a) Für alle Unterschemata Z ⊆ Y gilt a_{Z} ≤ a_{Y} .

(b) Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(1) Y stellt fast unabhängige Bedingungen an O_{ℙ} (a_{Y}).

(2) Es ist ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y})) ≠ 0 und alle Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y −1 erfüllen ω(Z, O_{ℙ} (a_{Y})) = 0.

(3) Für alle Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 gilt a_{Z} < a_{Y} .

(4) Für alle echten Unterschemata Z ⊆ Y gilt a_{Z} < a_{Y} .

Insbesondere hat Y in diesem Fall die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}) (vgl. (4.6.a)).

Beweis: “(a)” Aus Z ⊆ Y folgt für die entsprechenden Idealgarben J_{Y} ⊆ J_{Z} ⊆ O_{ℙ} , und wir

erhalten einen Epimorphismus ε: k[Y] − ↠ k[Z], dessen Kern wir mit I_{Z} bezeichnen. Wegen Z ⊆ Y ⊆ ℙ \ V(X_{o}) ist das Bild x̄_{o} := ε(x_{o}) von x_{o} in k[Z] wiederum ein Nichtnullteiler. Es folgt gemäß (7.9.b):

a_{Z} = max {n ∈ ℕ : (k[Z]/x̄_{o} · k[Z])_{n} ≠ 0} − 1
= max {n ∈ ℕ : (k[Y]/(x_{o} · k[Y] + I_{Z}))_{n} ≠ 0} − 1
≤ max {n ∈ ℕ : (k[Y]/x_{o} · k[Y])_{n} ≠ 0} − 1
= a_{Y}

“(b)” “(1) ⟺ (2)” Vgl. Bemerkung (4.6.) und (4.9).

“(2) ⟺ (3)” Nach (7.9.e) ist die Bedingung ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y})) ≠ 0 in jedem Fall erfüllt. Damit ist die Bedingung a_{Z} < a_{Y} für ein Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 äquivalent mit der Bedingung ω(Z, O_{ℙ} (a_{Y})) = 0, denn nach (a) gilt ohnehin a_{Z} ≤ a_{Y} .

“(3) ⟺ (4)” Wegen (a) ist nur noch zu beweisen, daß jedes echte Unterschema Z von Y in einem Unterschema Z′ ⊆ Y mit deg Z′ = deg Y −1 enthalten ist, denn dann folgt a_{Z} ≤ a_{Z′} < a_{Y} . Dies wurde im Beweis von (4.6.a) bereits gezeigt.

q.e.d.

Zum Schluß dieses Abschnitts wollen wir die Invariante a_{Y} noch für einige Beispiele berechnen. (7.11) Beispiel:

Ist Y der vollständige Durchschnitt der Hyperflächen H_{1}, …, H_{r} ⊆ ℙ , so gilt:

a_{Y} = ∑_{i=1}^{r} deg H_{i} − r − 1

Beweis:

Ist F_{i} ∈ k[X_{o}, …, X_{r}] die Gleichung von H_{i} (i = 1, …, r), so ist {F_{1}, …, F_{r}} eine reguläre Folge in k[X_{o}, …, X_{r}], und das Ideal (F_{1}, …, F_{r}) definiert Y . Als Cohen-Macaulay-Ring besitzt k[X_{o}, …, X_{r}]/(F_{1}, …, F_{r}) dann einen Nichtnullteiler, und daher ist (F_{1}, …, F_{r}) das saturierte Ideal von Y . Wir erhalten eine Präsentation k[Y] ≅ k[X_{o}, …, X_{r}]/(F_{1}, …, F_{r}), und somit eine Präsentation

k[Y]/x_{o} · k[Y] ≅ k[X_{1}, …, X_{r}]/(f_{1}, …, f_{r})

wenn wir f_{i}(X_{1}, …, X_{r}) := F_{i}(0, X_{1}, …, X_{r}) setzen für i = 1, …, r. Wäre nun F_{i} = X_{o}·F′_{i} mit F′_{i} ∈ k[X_{o}, …, X_{r}] für ein i ∈ {1, …, r}, so wäre F′_{i} ∈ (F_{1}, …, F_{r}), da x_{o} ein Nichtnullteiler von k[Y] ist (vgl. (7.3.a)), und somit F_{i} = X_{o} · F′_{i} ∈ (X_{o} · F_{1}, …, X_{o} · F_{r}). Da dies nicht möglich ist, weil {F_{1}, …, F_{r}} eine reguläre Folge bildet, folgt X_{o} ∤ F_{i} und deg f_{i} = deg F_{i}. Gemäß [KK], (2.7) erhalten wir:

a_{Y} = ρ(Y) − 1 = ∑_{i=1}^{r} deg f_{i} − r − 1 = ∑_{i=1}^{r} deg F_{i} − r − 1 = ∑_{i=1}^{r} deg H_{i} − r − 1

q.e.d.

(7.12) Beispiel:

Sei Y ein reduziertes Unterschema des ℙ _{k}^{2} . Wir sagen, die Punkte von Y seien in genügend allgemeiner Lage, wenn keine drei von ihnen kollinear sind und keine sechs von ihnen auf einem Kegelschnitt liegen.

(a) Besteht Y aus einem Punkt, so gilt H_{Y} (n) = 1 für n ≥ 0, und somit a_{Y} = −1.

(b) Besteht Y aus zwei Punkten, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (n) = 2 für n ≥ 1, und somit a_{Y} = 0.

(c) Besteht Y aus drei nicht kollinearen Punkten, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (n) = 3 für n ≥ 1, und somit a_{Y} = 0.

(d) Besteht Y aus vier Punkten in genügend allgemeiner Lage, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (n) = 4 für n ≥ 2, und somit a_{Y} = 1.

(e) Besteht Y aus fünf Punkten in genügend allgemeiner Lage, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (n) = 5 für n ≥ 2, und somit a_{Y} = 1.

(f) Besteht Y aus sechs Punkten in genügend allgemeiner Lage, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (n) = 6 für n ≥ 2, und somit a_{Y} = 1.

(g) Besteht Y aus m = 7 oder 8 Punkten in genügend allgemeiner Lage, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (2) = 6, H_{Y} (n) = m für n ≥ 3, und somit a_{Y} = 2.

(h) Besteht Y aus neun Punkten in genügend allgemeiner Lage, so gibt es zwei Fälle:

(1) Ist Y der vollständige Durchschnitt zweier Kurven dritten Grades, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (2) = 6, H_{Y} (3) = 8, H_{Y} (n) = 9 für n ≥ 4, und somit a_{Y} = 3.

(2) Ist Y nicht der vollständige Durchschnitt zweier Kurven dritten Grades, so gilt H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (2) = 6, H_{Y} (n) = 9 für n ≥ 3, und somit a_{Y} = 2.

(i) Besteht Y aus m ≥ 3 kollinearen Punkten, so gilt H_{Y} (n) = n+1 für 0 ≤ n ≤ m−2, H_{Y} (n) = m für n ≥ m − 1, und somit a_{Y} = m − 2.

(j) Besteht Y aus m ≥ 4 Punkten, von denen m − 1 auf einer Geraden und einer außerhalb dieser Geraden liegen, so gibt es zwei Fälle:

(1) Die Zahl m ist gerade. Dann gilt H_{Y} (n) = 2n + 1 für 0 ≤ n ≤ \frac{m}{2} − 1, H_{Y} (n) = m für n ≥ \frac{m}{2} , und somit a_{Y} = \frac{m}{2} − 1.

(2) Die Zahl m ist ungerade. Dann gilt H_{Y} (n) = 2n + 1 für 0 ≤ n ≤ \frac{m−3}{2} , H_{Y} (n) = m für n ≥ \frac{m−1}{2} , und somit a_{Y} = \frac{m−3}{2} .

§ 8 Cayley-Bacharach-Charakterisierungen 0–dimensionaler arithmetischer Gorensteinschemata

In diesem Abschnitt studieren wir die Begriffe “arithmetisches Gorensteinschema”, “symmetrische Hilbertfunktion” und die “Cayley-Bacharach-Zahl” für 0–dimensionale Unterschemata Y des projektiven Raumes ℙ . Wir zeigen, daß die CBE von Y bzgl. O_{ℙ} (a_{Y} ) äquivalent ist mit der Existenz einer Spur auf H^{o}(Y, O_{Y} ), die auf dem Modul F_{a_{Y}} der in § 7 angegebenen Filtrierung verschwindet.

Als Hauptresultat charakterisieren wir arithmetische Gorensteinschemata durch die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y} ) und die Symmetrie ihrer Hilbertfunktion. In der projektiven Ebene ist Y genau dann ein arithmetisches Gorensteinschema, wenn Y der vollständige Durchschnitt zweier Kurven ist. In diesem Fall werden also vollständige Durchschnitte charakterisiert (vgl. [DM1], (4.1) und [D], (3.1)). An Hand einiger Beispiele zeigen wir schließlich die Nützlichkeit dieser Charakterisierung und belegen die Notwendigkeit der gestellten Bedingungen.

Sei Y ein 0–dimensionales Unterschema des projektiven Raumes ℙ := ℙ _{k}^{r} mit Idealgarbe J_{Y} ⊆ O_{ℙ} . O.E. seien die Koordinaten {X_{o}, …, X_{r}} von ℙ so gewählt, daß die Restklasse x_{i} von X_{i} im projektiven Koordinatenring k[Y] für jedes i ∈ {0, …, r} ein Nichtnullteiler ist (vgl. (7.3.a)). (8.1) Bemerkung: (Vgl. [D], § 2)

(a) Hat Y die CBE bzgl. O_{ℙ} (n) für ein n ∈ ℤ , so hat Y auch die CBE bzgl. O_{ℙ} (n−1).

(b) Y hat die CBE bzgl. O_{ℙ} (−1).

(c) Y hat nicht die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y} + 1).

(d) Gilt deg Y ≥ 2, so hat Y die CBE bzgl. O_{ℙ} . Beweis: “(a)” Wir verwenden Bemerkung (4.6.a). Sei Z ⊆ Y ein Unterschema mit deg Z = deg Y −1

und mit der Idealgarbe J_{Z} ⊆ O_{ℙ} , und sei ε: k[Y] − ↠ k[Z] der kanonische Epimorphismus. Für jedes Element f ∈ k[Y]_{n−1} mit ε(f) = 0 ist ε(x_{o} · f) = 0, und wegen

k[Y]_{n} = H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (n))/H^{o}(ℙ , J_{Y} (n)) = H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (n))/H^{o}(ℙ , J_{Z}(n)) = k[Z]_{n}

auch x_{o} · f = 0. Da x_{o} ein Nichtnullteiler von k[Y] ist, muß f = 0 gewesen sein, d.h. k[Y]_{n−1} = k[Z]_{n−1} , und somit H^{o}(ℙ , J_{Y} (n − 1)) = H^{o}(ℙ , J_{Z}(n − 1)).

“(b)” Wegen H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (−1)) = 0 folgt die Behauptung aus Bemerkung (4.6.c). “(c)” Nach (7.9.d) und (7.9.e) ist ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y} + 1)) = 0, d.h. Y stellt unabhängige

Bedingungen an O_{ℙ} (a_{Y} + 1). Aus (4.6.b) folgt nun die Behauptung. “(d)” Weil Y und alle Unterschemata Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y − 1 nichtleer sind, gilt

H^{o}(ℙ , J_{Y}) = 0 und H^{o}(ℙ , J_{Z}) = 0, und die Behauptung folgt aus (4.6.a). q.e.d. (8.2) Definition:

(Vgl. [D], § 2) Die Zahl

c_{Y} := max {n ∈ ℤ : Y hat die CBE bzgl. O_{ℙ} (n)}

heißt die Cayley-Bacharach-Zahl von Y .

Nach der vorhergehenden Bemerkung ist −1 ≤ c_{Y} ≤ a_{Y} , und Y hat genau dann die CBE bzgl. O_{ℙ} (n), wenn n ≤ c_{Y} ist. (8.3) Bemerkung:

(a) Ist Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang r, so gilt c_{Y} ≥ deg(det E) − r − 1, denn nach (4.15) hat Y die CBE bzgl. ω_{ℙ} ⊗ det E. Zerfällt E in eine direkte Summe von invertierbaren O_{ℙ} –Moduln E ≅ ⨁_{i=1}^{r} O_{ℙ} (d_{i}), das heißt ist Y ein vollständiger Durchschnitt, so folgt mit (7.11)

und (8.1.c), daß c_{Y} = ∑_{i=1}^{d}d_{i} − r − 1 = a_{Y} ist.

(b) Ein 0–dimensionales Gorensteinschema Y ⊆ ℙ _{k}^{2} ist nach (6.4) genau dann als Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang zwei mit det E ≅ O_{ℙ} (n) realisierbar, wenn n ≤ c_{Y} + 3 ist.

Weil der Nichtnullteiler x_{o} von k[Y] in keinem der (homogenen) minimalen Primideale von k[Y] liegt, gilt

D_{+}(x_{o}) = {𝔭 ∈ Proj k[Y]: x_{o} ∉ 𝔭} = Proj k[Y] = Y

und somit Y ⊆ ℙ \V(X_{o}). Wir können daher den affinen Koordinatenring S := H^{o}(Y, O_{Y}) von Y mit der in § 7 angegebenen Filtrierung F = (F_{i})_{i∈ ℤ} versehen und erhalten als Rees-Algebra R_{F}(S) ≅ k[Y] und als graduierten Ring gr_{F}(S) ≅ k[Y]/x_{o}·k[Y] (vgl. (7.7)). Nach (7.9.b) gilt dann:

a_{Y} = max {n ∈ ℕ : F_{n} ≠ F_{n+1}} = max {n ∈ ℕ : F_{n} ≠ S}

Im folgenden sei α die kanonische Abbildung α: H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (a_{Y})) ⟶ H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y})). Da Y wie gezeigt in 𝔸 := ℙ \ V(X_{o}) enthalten ist, bildet x_{o}^{a_{Y}} = α(X_{o}^{a_{Y}}) eine S –Basis von H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y})). Sei β der S –Isomorphismus

\begin{matrix}β: H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y})) & ⟶ & H^{o}(Y, O_{Y}) \\ f · x_{o}^{a_{Y}} & ⟼ & f \end{matrix}

(8.4) Lemma.

Es gilt im (β∘α) = F_{a_{Y}} und ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y})) = deg Y −dim_{k} F_{a_{Y}} = deg Y −H_{Y} (a_{Y}).

Beweis:

Wir zeigen zuerst die Inklusion “⊆”. Wegen Y ⊆ 𝔸 faktorisiert α wie folgt :

α: H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (a_{Y})) \underrightarrow{ρ} H^{o}( 𝔸 , O_{ℙ} (a_{Y})) \underrightarrow{α′} H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y}))

Hierbei ist ρ die Restriktion. Sie bildet ein Element f ∈ k[X_{o}, …, X_{r}]_{a_{Y}} ab auf das Element \frac{f}{1} ∈ H^{o}( 𝔸 , O_{ℙ} (a_{Y})) = \{\frac{g}{X_{o}^{i}} ∈ k[X_{o}, …, X_{r}]_{X_{o}}: g homogen vom Grad a_{Y} + i\}. Jetzt bezeichne γ den kanonischen Isomorphismus

\begin{matrix}γ: H^{o}( 𝔸 , O_{ℙ} (a_{Y})) & ˜⟶ k[X_{o}, …, X_{r}] & (X_{o}) & ˜⟶ k[X_{1}, …, X_{r}] = H^{o}( 𝔸 , O_{𝔸}) \\ \frac{g}{X_{o}^{i}} & ⟼ \frac{g}{X_{o}^{i+a_{Y}}} & X_{o} & ⟼ 1 \end{matrix}

und δ den kanonischen Epimorphismus δ: H^{o}( 𝔸 , O_{𝔸}) − ↠ H^{o}(Y, O_{Y}). Nach Definition von β und γ erhalten wir ein kommutatives Diagramm:

H^{o}( 𝔸 , O_{ℙ} (a_{Y})) ⟶^{α′} H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y}))
γ↓^{≀}  ↓^{β}
H^{o}( 𝔸 , O_{𝔸}) −↠^{δ} H^{o}(Y, O_{Y})

Insgesamt folgern wir:

im (β ∘ α) = im (δ ∘ γ ∘ ρ)
⊆ (δ ∘ γ)(\{\frac{f}{1} ∈ k[X_{o}, …, X_{r}]_{X_{o}}: f ∈ k[X_{o}, …, X_{r}]_{a_{Y}} \})
= δ({f(1, X_{1}, …, X_{r}) ∈ k[X_{1}, …, X_{r}]: f ∈ k[X_{o}, …, X_{r}]_{a_{Y}} })
= {f(1, x_{1}, …, x_{r}) ∈ H^{o}(Y, O_{Y}): f ∈ k[X_{o}, …, X_{r}]_{a_{Y}} }
= F_{a_{Y}}

Aus der exakten Sequenz 0 ⟶ H^{o}(ℙ , J_{Y} (a_{Y})) ⟶ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (a_{Y})) ⟶^{α} H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y})) folgt dim_{k}(im (β ∘ α)) = dim_{k}(im α) = dim_{k} k[Y]_{a_{Y}} . Nach Korollar (7.7) und Satz (7.9.a) ergibt sich:

dim_{k} k[Y]_{a_{Y}} = H_{Y} (a_{Y}) = deg Y − dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{a_{Y} +1}
= deg Y − dim_{k}(F_{a_{Y} +1}/F_{a_{Y}}) = deg Y − dim_{k}(S/F_{a_{Y}})
= dim_{k} F_{a_{Y}}

Also gilt sogar im (β ∘ α) = F_{a_{Y}} . Bemerkung (4.2.a) liefert die zweite Behauptung. q.e.d.

(8.5) Satz.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Y ist ein Gorensteinschema und hat die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}). (Letzteres bedeutet c_{Y} = a_{Y} .)

(b) Es gibt eine Spur σ: S ⟶ k mit F_{a_{Y}} ⊆ ker σ.

Beweis:

Nach Satz (4.14) ist (a) äquivalent damit, daß es eine Spur σ′: H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y})) ⟶ k auf dem S –Modul H^{o}(Y, O_{Y} (a_{Y})) gibt mit im α ⊆ ker σ′. Wendet man jetzt den Isomorphismus β an, so folgt die Behauptung aus dem Lemma. q.e.d.

(8.6) Korollar.

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Y ist ein Gorensteinschema und stellt fast unabhängige Bedingungen an O_{ℙ} (a_{Y}).

(b) Es gibt eine filtrierende Spur σ: S ⟶ k vom Grad −a_{Y} −1 (das heißt ker σ = F_{a_{Y}} ).

Beweis:

In beiden Fällen sind die äquivalenten Bedingungen des Satzes erfüllt. Also gibt es eine Spur σ: S ⟶ k mit F_{a_{Y}} ⊆ ker σ. Auf Grund des Lemmas und nach Bemerkung (4.9.a) ist (a) äquivalent mit

dim_{k} F_{a_{Y}} = deg Y − ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y})) = deg Y − 1

und dies ist äquivalent damit, daß F_{a_{Y}} bereits der ganze Kern von σ ist. q.e.d. (8.7) Definition:

(a) Y heißt ein arithmetisches Gorensteinschema in ℙ , wenn k[Y] ein Gorensteinring ist.

(b) Y hat eine symmetrische Hilbertfunktion, wenn für alle n ∈ {0, …, a_{Y} } gilt:

H_{Y} (n) + H_{Y} (a_{Y} − n) = deg Y

(8.8) Bemerkung:

(a) Ist Y ein arithmetisches Gorensteinschema, so ist Y ein Gorensteinschema.

(b) Jeder 0–dimensionale vollständige Durchschnitt in ℙ ist ein 0–dimensionales arithmetisches Gorensteinschema.

(c) Ein 0–dimensionales Unterschema Y ⊆ ℙ _{k}^{2} ist genau dann ein arithmetisches Gorensteinschema, wenn Y der vollständige Durchschnitt zweier Kurven ist.

Beweis: “(a)” Die lokalen Ringe O_{Y,P} (P ∈ Y) sind als homogene Lokalisationen von k[Y] ebenfalls

Gorensteinringe. “(b)” Aus der Bedingung (3.1.c) folgt, daß das Ideal Γ_{∗}(J_{Y}) von r Elementen erzeugt wird,

die eine reguläre Folge in k[X_{o}, …, X_{r}] bilden (vgl. [Ha1], II ex. (8.4.a) und [K3], VI (3.14)). Damit ist k[Y] = k[X_{o}, …, X_{r}]/Γ_{∗}(J_{Y}) ein vollständiger Durchschnitt, also erst recht ein Gorensteinring.

“(c)” Dies folgt aus (a) und einem Resultat von Serre ([S], prop. 7). q.e.d.

(8.9) Satz. (Die Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler

arithmetischer Gorensteinschemata)

Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Y ist ein arithmetisches Gorensteinschema.

(b) Y hat eine symmetrische Hilbertfunktion und stellt fast unabhängige Bedingungen an O_{ℙ} (a_{Y}).

(c) Y hat eine symmetrische Hilbertfunktion und die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}).

(d) Es gibt eine strikte Spur σ: S ⟶ k (im Sinne von [KK], (3.4)).

Beweis: “(a) ⟹ (b)” Die endliche, positiv graduierte Gorensteinalgebra k[Y]/x_{o} · k[Y] ist nach

[KK], (2.2) sogar eine Frobeniusalgebra mit einer homogenen Spur vom Grad −ρ(Y) = −a_{Y} − 1. Nach [KK], (2.1.b) gilt dann für alle i = 0, …, a_{Y} + 1:

dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{i} = dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{a_{Y} +1−i}

Mittels Satz (7.9.a) folgt hieraus, daß Y eine symmetrische Hilbertfunktion hat. Sei Z ⊆ Y ein Unterschema mit deg Z = deg Y − 1. Weil das Bild x̄_{o} von x_{o} in k[Z] wiederum ein Nichtnullteiler ist, gilt

dim_{k} k[Z]/x̄_{o} · k[Z] = deg Z = deg Y − 1 = dim_{k} k[Y]/x_{o} · k[Y] − 1.

Daher ist der Kern Ī_{Z} des kanonischen Epimorphismus k[Y]/x_{o} · k[Y]− ↠k[Z]/x̄_{o} · k[Z] eindimensional. Nach [KK], (2.4.b) ist Ī_{Z} dann in (k[Y]/x_{o} · k[Y])_{a_{Y} +1} enthalten, und da dieser k –Vektorraum auf Grund der Symmetrie der Hilbertfunktion von Y ebenfalls eindimensional ist, stimmt er mit Ī_{Z} überein. Also folgt gemäß (7.9.b) a_{Z} < a_{Y} , und Satz (7.10.b) liefert die Behauptung.

“(b) ⟺ (c)” Dies folgt aus Bemerkung (4.9.a), da die Symmetrie der Hilbertfunktion

von Y die Beziehung ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y})) = deg Y − H_{Y} (a_{Y}) = H_{Y} (0) = 1 liefert. “(b) ⟹ (d)” (Einen anderen Beweis für diese Aussage erhält man aus [W], (1.3), wenn

man Satz (7.10) beachtet.) Nach [KK], (3.3) genügt es zu zeigen, daß die von der nach Korollar (8.6) gegebenen filtrierenden Spur σ: S ⟶ k vom Grad −a_{Y} − 1 induzierte homogene k –lineare Abbildung σ^{o}: gr_{F}(S) ⟶ k (L_{F}f ↦ σ(f)) eine Spur von gr_{F}(S)/k ist. Also genügt es nach (B11) zu zeigen, daß die homogene k[T]–lineare Abbildung σ^{∗}: R_{F}(S) ⟶ k[T] (f^{∗}·T^{n} ↦ σ(f)·T^{n} für f ∈ S, n ∈ ℕ) vom Grad −a_{Y} −1 eine Spur von R_{F}(S)/k[T], also eine R_{F}(S)–Basis von Hom_{k[T]}(R_{F}(S), k[T]) darstellt.

Wir zeigen zuerst, daß für alle Elemente r ∈ R_{F}(S) aus r · σ^{∗} = 0 schon r = 0 folgt. Dazu genügt es wegen der Homogenität von σ^{∗} und nach Bemerkung (B5.b) anzunehmen, daß es ein f ∈ S und ein n ∈ ℕ gibt mit T^{n} · f^{∗} · σ^{∗} = 0. Dann gilt für alle Elemente g ∈ S:

0 = (T^{n} · f^{∗} · σ^{∗})(g^{∗}) = σ^{∗}(T^{n} · f^{∗} · g^{∗}) =
= T^{n} · σ^{∗}(f · T^{ord_{F} f} · g · T^{ord_{F} g}) =
= T^{n} · σ^{∗}(f · g · T^{ord_{F} fg} · T^{ord_{F} f+ord_{F} g−ord_{F} fg}) =
= T^{n+ord_{F} f+ord_{F} g−ord_{F} fg} · σ(fg)

Es folgt (f · σ)(g) = σ(fg) = 0 für alle g ∈ S, da T ein Nichtnullteiler von R_{F}(S) ist, und hieraus f = 0, da σ eine Spur von R_{F}(S)/k[T] ist. Also gilt R_{F}(S) · σ^{∗} ⊆ Hom_{k[T]}(R_{F}(S), k[T]). Wir wenden jetzt den Isomorphismus R_{F}(S) ˜⟶ k[Y] (T ↦ x_{o}) aus Korollar (7.7) an und erhalten eine homogene k[x_{o}]–lineare Abbildung σ^{∗}: k[Y]⟶ k[x_{o}] vom Grad −a_{Y} − 1 mit k[Y] · σ^{∗} ⊆ Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}]).

Wählen wir nun Elemente {b_{1}, …, b_{m}} in S, deren Leitformen {L_{F}b_{1}, …, L_{F}b_{m}} eine k –Basis von gr_{F}(S) ≅ k[Y]/x_{o} · k[Y] bilden (dies geht nach (B5.a)), so stellen ihre Homogenisierungen {b_{1}^{∗}, …, b_{m}^{∗}} eine k[x_{o}]–Basis von k[Y] dar (vgl. (B10)). Dies zeigt, daß der i-te homogene Bestandteil von k[Y] als k[x_{o}]–Modul den Rang dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{i} besitzt. Da die Projektion pr_{i}: k[Y] ⟶k[x_{o}] (b_{j}^{∗} ↦ δ_{ij} für j = 1, …, m) eine homogene lineare Abbildung vom Grad − deg b_{i}^{∗} ist (i = 1, …, m) und {pr_{1}, …, pr_{m}} eine k[x_{o}]–Basis von Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}]) darstellt, bildet dann {pr_{j}: deg b_{j}^{∗} = ν} eine k[x_{o}]–Basis von Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}])_{−ν} für alle ν ∈ ℤ . Als k –Vektorraum hat Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}])_{−ν} also die Basis {x_{o}^{ν−deg b_{j}^{∗}}·pr_{j}: deg b_{j}^{∗} ≥ 0}, das heißt:

dim_{k}(Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}]))_{−ν} = ∑_{i=ν}^{a_{Y} +1} dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{i}

Wegen deg σ^{∗} = −a_{Y} − 1 ergibt sich, daß der −ν -te homogene Bestandteil des k[x_{o}]–Moduls k[Y]·σ^{∗} die Basis {b_{j}^{∗}·σ^{∗}: deg b_{j}^{∗} = a_{Y} +1−ν} hat. Als k –Vektorraum besitzt (k[Y] · σ^{∗})_{−ν} dann die Basis {x_{o}^{ν−deg b_{j}^{∗}} · b_{j}^{∗} · σ^{∗}: deg b_{j}^{∗} ≤ ν}, das heißt:

dim_{k}(k[Y] · σ^{∗})_{−ν} = ∑_{i=0}^{ν} dim_{k}(k[Y]/x_{o} · k[Y])_{i}

Auf Grund der Symmetrie der Hilbertfunktion von Y schließen wir nun, daß für alle ν ∈ ℤ gilt:

dim_{k}(k[Y] · σ^{∗})_{−ν} = dim_{k}(Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}]))_{−ν}

Folglich ist k[Y] · σ^{∗} = Hom_{k[x_{o}]}(k[Y], k[x_{o}]), und somit ist σ^{∗} eine homogene Spur von k[Y]/k[x_{o}] vom Grad −a_{Y} − 1.

“(d) ⟹ (a)” Wegen [KK], (3.1) und (B11) ist auch die von σ induzierte Abbildung σ^{o}: gr_{F}(S) ⟶ k eine homogene Spur. Daher ist gr_{F}(S) ein Gorensteinring, und nach (B3) und (B8) ist dann auch R_{F}(S) ≅ k[Y] ein Gorensteinring. q.e.d.

(8.10) Korollar.

(Vgl. [DM1], (4.1) und [D], (3.1)) Sei Y ⊆ ℙ _{k}^{2} ein 0–dimensionales Unterschema. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) Y ist ein vollständiger Durchschnitt.

(b) Y hat eine symmetrische Hilbertfunktion und die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}). In diesem Fall ist Δ := \frac{1}{4}(a_{Y} +3)^{2} −deg Y ≥ 0, und Y ist der vollständige Durchschnitt

zweier ebener Kurven vom Grad \frac{1}{2}(a_{Y} + 3) + \sqrt{Δ} und \frac{1}{2}(a_{Y} + 3) − \sqrt{Δ}.

Beweis:

Auf Grund des Satzes und der vorhergehenden Bemerkung ist nur der Zusatz zu beweisen. Ist Y der vollständige Durchschnitt zweier ebener Kurven der Grade d_{1} und d_{2} , so gilt a_{Y} = d_{1} + d_{2} − 3 nach (7.11) und deg Y = d_{1} · d_{2} nach dem Satz von Bézout. Hieraus folgen die Behauptungen. q.e.d.

(8.11) Beispiel:

Mit Hilfe von Korollar (8.10) kann man für die reduzierten 0–dimensionalen Unterschemata Y ⊆ ℙ _{k}^{2} aus Beispiel (7.12) leicht bestimmen, ob es sich um vollständige Durchschnitte handelt.

(a) Y ist ein Punkt: H_{Y} ist symmetrisch, c_{Y} = −1 = a_{Y} , und somit ist Y der vollständige Durchschnitt zweier Geraden, was natürlich ohnehin klar ist.

(b) Y besteht aus zwei Punkten: H_{Y} ist symmetrisch, c_{Y} = 0 = a_{Y} , und somit ist Y der vollständige Durchschnitt einer Geraden und eines Kegelschnitts.

(c) Y besteht aus drei nichtkollinearen Punkten: H_{Y} ist nicht symmetrisch, c_{Y} = 0 < a_{Y} , und somit ist Y kein vollständiger Durchschnitt.

(d) Y besteht aus vier Punkten in genügend allgemeiner Lage: H_{Y} ist symmetrisch, c_{Y} = 1 = a_{Y} , und somit ist Y der vollständige Durchschnitt zweier Kegelschnitte.

(e) Y besteht aus fünf Punkten in genügend allgemeiner Lage: H_{Y} ist nicht symmetrisch, c_{Y} = 1 = a_{Y} , und somit ist Y kein vollständiger Durchschnitt.

(f) Y besteht aus sechs Punkten in genügend allgemeiner Lage: H_{Y} ist nicht symmetrisch, c_{Y} = 1 = a_{Y} , und somit ist Y kein vollständiger Durchschnitt.

(g) Y besteht aus sieben oder acht Punkten in genügend allgemeiner Lage: H_{Y} ist nicht symmetrisch, c_{Y} = 2 = a_{Y} , und somit ist Y kein vollständiger Durchschnitt.

(h) Y besteht aus neun Punkten in genügend allgemeiner Lage:

(1) Ist Y der vollständige Durchschnitt zweier Kurven dritten Grades, so ist H_{Y} symmetrisch und c_{Y} = 3 = a_{Y} (vgl. (8.3.a)).

(2) Andernfalls ist H_{Y} nicht symmetrisch, c_{Y} = 2 = a_{Y} , und somit Y kein

vollständiger Durchschnitt.

(i) Y besteht aus m ≥ 3 kollinearen Punkten: H_{Y} ist symmetrisch, c_{Y} = m − 2 = a_{Y} , und somit ist Y der vollständige Durchschnitt einer Geraden und einer Kurve m-ten Grades, was ebenfalls ohnehin klar ist.

(j) Y besteht aus m ≥ 4 Punkten, von denen m − 1 auf einer Geraden und einer außerhalb dieser Geraden liegen :

(1) Die Zahl m ist gerade: H_{Y} ist symmetrisch, c_{Y} = 0 < \frac{m}{2} − 1 = a_{Y} , und somit ist Y kein vollständiger Durchschnitt.

(2) Die Zahl m ist ungerade: H_{Y} ist nicht symmetrisch, c_{Y} = 0 < \frac{m−3}{2} = a_{Y} , und

somit ist Y kein vollständiger Durchschnitt. Die nachstehenden Beispiele zeigen, daß man die in (8.9.c) gestellten Bedingungen nicht

abschwächen kann. (8.12) Beispiel:

Jedes 0–dimensionale Unterschema Y ⊆ ℙ _{k}^{2} mit gr_{F}(S) ≅ k[X_{1}, X_{2}]/(X_{1}X_{2}, X_{1}^{4}, X_{2}^{3}) hat wegen gr_{F}(S) = k · 1 + k · x_{1} + k · x_{2} + k · x_{1}^{2} + k · x_{2}^{2} + k · x_{1}^{3} eine symmetrische Hilbertfunktion, ist aber kein arithmetisches Gorensteinschema, da gr_{F}(S) und damit auch R_{F}(S) wegen 𝔖(gr_{F}(S)) = k · x_{2}^{2} + k · x_{1}^{3} kein Gorensteinring ist.

(8.13) Beispiel:

Nach [DM2], § 2 kann man ein reduziertes Unterschema Y ⊆ ℙ _{k}^{2} , bestehend aus 16 Punkten auf einer Kurve dritten Grades so wählen, daß je 15 von ihnen sonst auf keiner Kurve vom Grad ≤ 5 liegen. Dann hat Y die folgende Hilbertfunktion: H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3, H_{Y} (2) = 6, H_{Y} (3) = 9, H_{Y} (4) = 15 − 3 = 12 (denn es gibt 15 linear unabhängige Formen vierten Grades, und drei davon sind Vielfache der Form dritten Grades im Ideal von Y ), H_{Y} (5) = 21 − 6 = 15, und H_{Y} (n) = 16 für n ≥ 6. Es folgt a_{Y} = 5 und ω(Y, O_{ℙ} (a_{Y})) = deg Y −H_{Y} (a_{Y}) = 1 (vgl. (8.4)). Auch für jedes Unterschema Z ⊆ Y mit deg Z = deg Y −1 = 15 ist H_{Z}(5) = 15, das heißt h^{o}(J_{Z}(5)) = h^{o}(J_{Y} (5)) = 6.

Also hat Y nach (4.6.a) die CBE bzgl. O_{ℙ} (5), und nach Bemerkung (4.9.a) stellt Y damit sogar fast unabhängige Bedingungen an O_{ℙ} (a_{Y}) = O_{ℙ} (4). Jedoch ist Y kein arithmetisches Gorensteinschema, da H_{Y} nicht symmetrisch ist.

Ein abschließendes Beispiel verdeutlicht, daß man kaum erwarten kann, eine ähnlich einfache Cayley-Bacharach-Charakterisierung für 0–dimensionale vollständige Durchschnitte in Kodimension ≥ 3 zu erhalten. In § 10 werden wir diese Frage jedoch für 0–dimensionale Unterschemata des projektiven Raumes ℙ _{k}^{3} beantworten. (8.14) Beispiel:

(Dieses Beispiel stammt von A. Geramita.) Sei C := {(t^{3}, t^{2}u, tu^{2}, u^{3}) ∈ ℙ _{k}^{3} : (t, u) ∈ ℙ _{k}^{1}} die “twisted cubic” im projektiven Raum ℙ _{k}^{3} , das heißt die rationale Raumkurve dritten Grades. Weiter sei Y ⊆ C ein reduziertes Unterschema, das aus acht Punkten besteht, die auf keiner Hyperfläche zweiten Grades außer den C umfassenden liegen. Dann lautet die Hilbertfunktion von Y : H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 4, H_{Y} (2) = 7, H_{Y} (n) = 8 für n ≥ 3. Insbesondere ist die Hilbertfunktion von Y symmetrisch, und Y hat die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}) = O_{ℙ} (2), d.h. Y ist ein arithmetisches Gorensteinschema. Y hat sogar die Hilbertfunktion eines vollständigen Durchschnitts dreier Hyperflächen zweiten Grades, ohne jedoch ein solcher zu sein, da solche Hyperflächen mit Y nach dem Satz von Bézout ganz C enthalten müßten.

§ 9 Anwendungen auf Zerfällungskriterien für Vektorbündel

Nachdem wir zuerst eine etwas verallgemeinerte Version des Zerfällungskriteriums für Vektorbündel von G. Horrocks (vgl. [Ho], § 7 und § 9 oder [OSS], I (2.3.1)) bereitgestellt haben, verschärfen wir dieses im Fall V = ℙ _{k}^{2} und V = ℙ _{k}^{3} . Genauer zeigen wir, daß man auf das Verschwinden gewisser Kohomologiegruppen des lokalfreien O_{V} –Moduls E verzichten kann, wenn man ein n ∈ ℤ und einen regulären Schnitt in H^{o}(V, E(n)) findet, dessen Nullstellenschema Y eine symmetrische Hilbertfunktion hat und die Eigenschaft a_{Y} = rn + deg(det E) − r − 1 erfüllt (mit r = 2 oder 3).

Schließlich beweisen wir, daß letztere Eigenschaft für das Nullstellenschema jedes regulären Schnitts s ∈ H^{o}(ℙ, E(n)) automatisch zutrifft, wenn n groß genug ist. Beispielsweise zerfällt ein lokalfreier Modul E vom Rang zwei auf ℙ _{k}^{2} genau dann, wenn es einen regulären Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ _{k}^{2}, E(n)), n >> 0 gibt, dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} eine symmetrische Hilbertfunktion hat.

(9.1) Lemma. (Die graduierte Version der Formel von Auslander-Buchsbaum) Sei R = ⨁_{n≥0} R_{n} ein positiv graduierter noetherscher Ring mit einem Körper k = R_{o}

als homogenem Bestandteil nullten Grades, und sei M = ⨁_{n∈ ℤ} M_{n} ein endlich erzeugter

graduierter R–Modul endlicher projektiver Dimension. Dann gilt:

pd_{R}(M) + Tiefe (M) = Tiefe (R)

Hierbei ist Tiefe (M) die Länge einer maximalen homogenen M –regulären Folge im homogenen maximalen Ideal 𝔐 := ⨁_{n>0} R_{n}.

Beweis:

Nach der üblichen Fassung der Formel von Auslander-Buchsbaum (vgl. [K3], VII (1.12)) gilt

pd_{R_{𝔐}}(M_{𝔐}) + Tiefe (M_{𝔐}) = Tiefe (R_{𝔐}).

Bekanntlich gibt es eine maximale M –reguläre Folge in 𝔐, die aus homogenen Elementen besteht (vgl. [Lo], (6.4)). Wie in [K2], (C28) folgt hieraus

Tiefe (M) = Tiefe (M_{𝔐})  und  Tiefe (R) = Tiefe (R_{𝔐}).

Mit Hilfe der graduierten Version des Lemmas von Nakayama (vgl. [Lo], (1.10)) konstruiert man eine homogene minimale freie Auflösung von M, d.h. eine Auflösung der Form

… ⟶^{α_{2}} ⨁_{j=1}^{r_{2}} R(n_{2j}) ⟶^{α_{1}} ⨁_{j=1}^{r_{1}} R(n_{1j}) ⟶^{ε} M ⟶ 0

mit r_{i} ≥ 0, n_{ij} ∈ ℤ (j = 1, …, r_{i}), mit homogenen Abbildungen α_{i}, ε und mit

im α_{i} ⊆ 𝔐 ·( ⨁_{j=1}^{r_{i}} R(n_{ij})) für alle i ≥ 1. Dann ist pd_{R}(M) = i äquivalent mit im α_{i+1} = 0

(vgl. [K3], VII (1.11)), und dies ist äquivalent mit (im α_{i})_{𝔐} = 0 (vgl. [K2], (C27)). Also gilt auch pd_{R}(M) = pd_{R_{𝔐}}(M_{𝔐}). q.e.d.

Im folgenden sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ℙ := ℙ _{k}^{r}, und sei V ⊆ ℙ eine d–dimensionale integre projektive Varietät.

(9.2) Satz. (Das Zerfällungskriterium von G. Horrocks)

Für jeden lokalfreien O_{V} –Modul E endlichen Rangs sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) E zerfällt in eine direkte Summe invertierbarer O_{V} –Moduln der Form O_{V} (n) mit n ∈ ℤ und V ist arithmetisch Cohen-Macaulay, d.h. k[V] ist ein Cohen-Macaulay-Ring.

(b) Γ_{∗}(E) ist ein Γ_{∗}(O_{V})–Modul endlicher projektiver Dimension, und für alle k ∈ ℤ

gilt:

H^{1}(V, E(k)) = H^{2}(V, E(k)) = ⋯ = H^{d−1}(V, E(k)) = 0

Beweis: “(a) ⟹ (b)” Da k[V] ein (d + 1)–dimensionaler Cohen-Macaulay-Ring ist, gilt

H_{𝔐}^{i}(k[V]) = 0 für i = 0, …, d nach der kohomologischen Charakterisierung der Tiefe (vgl. [Ha1], III ex. (3.4)). Nach Bemerkung (7.2) folgt

R := Γ_{∗}(O_{V}) = ⨁_{n≥0} H^{o}(V, O_{V} (n)) ≅ k[V]

und H^{1}(V, O_{V} (k)) = ⋯ = H^{d−1}(V, O_{V} (k)) = 0 für alle k ∈ ℤ . Weil Γ_{∗}(E) nach Voraussetzung ein graduiert freier Γ_{∗}(O_{V})–Modul ist, d.h. ein freier Γ_{∗}(O_{V})–Modul mit einer homogenen Basis, ergibt sich die Behauptung.

“(b) ⟹ (a)” Wir wollen das Lemma (9.1) auf R := Γ_{∗}(O_{V}) und den graduierten R–Modul M := Γ_{∗}(E) anwenden. Dazu zeigen wir zuerst, daß M ein endlich erzeugter R–Modul ist. Nach [Ha1], Beweis von II (5.19) gibt es einen endlich erzeugten graduierten R–Modul N mit Ñ ≅ E. Sei α die zugehörige kanonische Abbildung α: N ⟶ Γ_{∗}(E) = M (vgl. [Ha1], II ex. (5.9.a)). Nach [Ha1], II ex. (5.9.b) gibt es dann ein n_{o} ∈ ℕ , so daß die eingeschränkte R–lineare Abbildung α̃: ⨁_{n≥n_{o}} N_{n} ⟶ ⨁_{n≥n_{o}} M_{n} ein Isomorphismus

ist. Als R–Untermodul von N ist ⨁_{n≥n_{o}} N_{n} wieder endlich erzeugt, und damit auch

⨁_{n≥n_{o}} M_{n}. Der Dualitätssatz (2.2) zeigt M_{i} = H^{o}(V, E(i)) ≅ H^{d}(V, E ˇ ⊗ ω_{V} (−i))^{∗},

und diese Kohomologiegruppe verschwindet für i << 0 nach dem Serreschen Endlichkeitssatz (vgl. [K1], (6.5)). Nach demselben Satz sind die endlich vielen Komponenten M_{i} ≠ 0 mit i < n_{o} sämtlich endlichdimensionale k –Vektorräume. Insgesamt ist M also ein endlich erzeugter R–Modul. Nach Bemerkung (7.2.f) gilt für i = 2, …, d

H_{𝔐}^{i}(M) ≅ ⨁_{n∈ ℤ} H^{i−1}(V, E(n)) = 0

und für i = 0, 1 folgt H_{𝔐}^{i}(M) = 0 aus der Isomorphie der kanonischen Abbildung M ⟶ Γ_{∗}(M̃). Nach Lemma (9.1) und der kohomologischen Charakterisierung der Tiefe folgt daher pd_{R}(M) = 0 und Tiefe (R) = d + 1 = dim R. Wie im Beweis von (9.1) gezeigt wurde, ist M ≅ ⨁_{i=1}^{s} R(n_{i}) dann ein graduiert freier R–Modul, und

E ≅ M̃ ≅ ⨁_{i=1}^{s}O_{V} (n_{i}) zerfällt in der gewünschten Weise. q.e.d.

(9.3) Bemerkung:

Der Beweis von (9.2) zeigt, daß das Verschwinden der Kohomologiegruppen H^{i}(V, E(k)) für i = 1, …, d−1 und k ∈ ℤ eines lokalfreien O_{V} –Moduls E endlichen Rangs äquivalent damit ist, daß der endlich erzeugte graduierte R := Γ_{∗}(O_{V})–Modul M := Γ_{∗}(E) ein maximaler Cohen-Macaulay-Modul ist.

Zum Beweis der Zerfällungseigenschaft (9.2.a) ist also von einem maximalen Cohen-Macaulay-Modul zu zeigen, daß er frei ist. Dies ist stets der Fall, wenn R regulär ist.

Eine genauere Aussage liefert der folgende Satz, dessen lokale Version in [He1], (1.1) bewiesen wurde.

(9.4) Satz.

Sei V ⊆ ℙ _{k}^{r} eine d–dimensionale integre projektive Varietät (d ≥ 1). Betrachte für einen lokalfreien O_{V} –Modul E endlichen Rangs die beiden folgenden Bedingungen:

(a) Für alle k ∈ ℤ und alle i = 1, …, d − 1 gilt H^{i}(V, E(k)) = 0.

(b) E zerfällt in eine direkte Summe invertierbarer O_{V} –Moduln der Form O_{V} (n)) mit

n ∈ ℤ . Genau dann sind die Aussagen (a) und (b) für jeden lokalfreien O_{V} –Modul E endlichen

Rangs äquivalent, wenn V ein d–dimensionaler linearer Teilraum von ℙ _{k}^{r} ist.

Beweis:

Ist V ein d–dimensionaler linearer Teilraum von ℙ _{k}^{r}, so ist R := Γ_{∗}(O_{V}) ein (d+1)–dimensionaler regulärer Ring, und folglich besitzt der endlich erzeugte graduierte R–Modul M := Γ_{∗}(E) eine endliche projektive Dimension. Nach (9.2) sind dann die Aussagen (a) und (b) äquivalent.

Umgekehrt seien jetzt (a) und (b) auf V für jedes E äquivalent. Dann gilt insbesondere für R := Γ_{∗}(O_{V}) = ⨁_{n≥0} H^{o}(V, O_{V} (n)) (vgl. [Ha1], III ex. (7.1)), 𝔐 := ⨁_{n>0} H^{o}(V, O_{V} (n))

und i = 2, …, d nach Bemerkung (7.2.f):

H_{𝔐}^{i}(R) ≅ ⨁_{n∈ ℤ} H^{i−1}(V, O_{V} (n)) = 0

Für i = 0, 1 folgt H_{𝔐}^{i}(R) = 0 daraus, daß die kanonische Abbildung R⟶Γ_{∗}(R̃) = Γ_{∗}(O_{V}) ein Isomorphismus ist. Wie die kohomologische Charakterisierung der Tiefe zeigt, ist R also ein (d + 1)–dimensionaler Cohen-Macaulay-Ring. Betrachte eine homogene minimale freie Auflösung von k als R–Modul

(∗)  … ⟶^{α_{2}} ⨁_{j=1}^{r_{2}} R(n_{2j}) ⟶^{α_{1}} ⨁_{j=1}^{r_{1}} R(n_{1j}) ⟶^{ε} k ⟶ 0

und setze M := im α_{d+1} . Nach [K3], VII § 1, Aufgabe 7 ist M ein endlich erzeugter graduierter R–Modul mit

Tiefe (M) = Tiefe (M_{𝔐}) = d + 1

d.h. für E := M̃ ist H^{i}(V, E(k)) = 0 für i = 1, …, d − 1 und k ∈ ℤ , und es gilt M = Γ_{∗}(E).

Sei x ∈ V ein abgeschlossener Punkt. Wegen V = Proj R gibt es ein homogenes Primideal 𝔭 ⊆ R mit O_{V,x} ≅ R_{(𝔭)} . Nun lokalisiert man die Sequenz (∗) homogen in 𝔭 und erhält eine exakte Sequenz

0 ⟶ M_{(𝔭)} ⟶ R_{(𝔭)}^{r_{d+1}} ⟶ … ⟶ R_{(𝔭)}^{r_{1}} ⟶ 0.

Also ist E_{x} ≅ M_{(𝔭)} ein freier O_{V,x} –Modul, d.h. E ist ein lokalfreier O_{V} –Modul endlichen Rangs. Nach Voraussetzung gibt es daher n_{1}, …, n_{s} ∈ ℤ mit E ≅ ⨁_{i=1}^{s} O_{V} (n_{i}), d.h. M ist

ein graduiert freier R–Modul. Somit ergibt sich aus (∗), daß k als R–Modul eine endliche projektive Dimension besitzt, und hieraus, daß R ein regulärer Ring ist (vgl. [K3], VII (2.3)).

Da 𝔐 von homogenen Elementen ersten Grades erzeugt wird, gibt es ein homogenes Parametersystem von R, das aus Elementen vom Grad eins besteht, und es gilt

R ≅ gr_{𝔐}(R) ≅ k[X_{o}, …, X_{d}]  (vgl. [K3], V (5.10)).

Also ist V ≅ ℙ _{k}^{d} und O_{V} ≅ O_{ℙ}_{d}(n) mit n ≥ 1. Da das Bild von O_{ℙ}_{d}(1) auf V die Eigenschaft (a) besitzt, kann nur n = 1 sein, d.h. V ist ein linearer Teilraum von ℙ _{k}^{r}.

q.e.d.

Im Fall V = ℙ _{k}^{2} läßt sich das Zerfällungskriterium für lokalfreie Modulgarben vom Rang zwei mit Hilfe 0–dimensionaler Nullstellenschemata umformulieren. Dazu benötigen wir zunächst ein Lemma.

(9.5) Lemma.

Sei ℙ := ℙ _{k}^{r}, und sei E ein kohärenter O_{ℙ} –Modul. Dann gilt für alle i ≥ 1 und alle n ∈ ℤ :

⋀^{i}(E(n)) ≅ (⋀^{i}E)(in)

Beweis:

Sei R := Γ_{∗}(O_{ℙ}) = k[ℙ], und sei M := Γ_{∗}(E). Dann ist M ein endlich erzeugter graduierter R–Modul mit E(n) ≅ M̃(n) für alle n ∈ ℤ . (Dabei ist M(n) der graduierte R–Modul mit M(n)_{i} = M_{i+n} für alle i ∈ ℤ .) Ist i ≥ 1 und x ∈ R homogen vom Grad eins, so hat man einen kanonischen Isomorphismus von R_{(x)} –Moduln

\begin{matrix}⋀^{i}(M_{(x)}) & ˜⟶ & (⋀^{i}M)_{(x)} \\ \frac{m_{1}}{x^{s_{1}}} ∧ ⋯ ∧ \frac{m_{i}}{x^{s_{i}}} & ⟼ & \frac{m_{1}∧···∧m_{i}}{x^{s_{1}+···+s_{i}}} \end{matrix}

Hieraus folgt ⋀^{i}E ≅ ˜⋀^{i}M für alle i ≥ 1. Schließlich liefert der kanonische Isomorphismus graduierter R–Moduln

\begin{matrix}⋀^{i}(M(n)) & ˜⟶ & (⋀^{i}M)(in) \\ m_{1} ∧ ⋯ ∧ m_{i} & ⟼ & m_{1} ∧ ⋯ ∧ m_{i} \end{matrix}

die Behauptung. q.e.d.

(9.6) Satz.

Sei ℙ := ℙ _{k}^{2} , sei E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang zwei, und sei e := deg(det E)−3. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) E zerfällt in eine direkte Summe zweier invertierbarer O_{ℙ} –Moduln.

(b) Es gibt ein n ∈ ℤ sowie einen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)), dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} ein 0–dimensionales arithmetisches Gorensteinschema ist, das nicht die CBE bzgl. O_{ℙ} (2n + e + 1) besitzt.

(c) Es gibt ein n ∈ ℤ sowie einen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)), dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} 0–dimensional ist, eine symmetrische Hilbertfunktion hat und a_{Y} = 2n + e erfüllt.

(d) Es gilt H^{1}(ℙ , E(k)) = 0 für alle k ∈ ℤ .

Beweis: “(a) ⟹ (b)” Sei E ≅ O_{ℙ} (a) ⊕ O_{ℙ} (b) mit a, b ∈ ℤ . Wähle n > max {−a, −b} und

s = (s_{1}, s_{2}) ∈ H^{o}(ℙ , E(n)) so, daß die beiden Kurven C_{1} = (s_{1})_{o} und C_{2} = (s_{2})_{o} keine Komponente gemeinsam haben. Dann ist Y = (s)_{o} = C_{1}∩C_{2} ein 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitt, und nach (8.8.b) somit ein arithmetisches Gorensteinschema. Nach Beispiel (7.11) gilt ferner a_{Y} = 2n + a + b − 3 = 2n + e, so daß Y nach (8.1.c) nicht die CBE bzgl. O_{ℙ} (2n + e + 1) hat.

“(b) ⟹ (c)” Nach Satz (8.9) hat jedes 0–dimensionale arithmetische Gorensteinschema eine symmetrische Hilbertfunktion und erfüllt a_{Y} = c_{Y} . Die Bemerkung (8.3.a) und die Voraussetzung zeigen c_{Y} = deg(det E(n)) − 3 = 2n + e.

“(c) ⟹ (d)” Der Koszulkomplex zu s liefert für jedes k ∈ ℤ eine kurze exakte Sequenz

(∗)  0 ⟶ (det E ˇ )(−2n + k) ⟶ E ˇ (−n + k) ⟶ J_{Y} (k) ⟶ 0

wenn man (E(n))ˇ ≅ E ˇ (−n) und det(E ˇ (−n)) ≅ (det E ˇ )(−2n) beachtet. Mit Hilfe der langen Kohomologiesequenz zu (∗) und der Tatsache h^{1}(det E ˇ )(−2n + k) = 0 berechnen wir nun für alle k ∈ ℤ

h^{1}E ˇ (−n + k) = h^{1}J_{Y} (k) − h^{2}(det E ˇ )(−2n + k) + h^{2}E ˇ (−n + k) − h^{2}J_{Y} (k)

was wir auf Grund der langen exakten Kohomologiesequenz zur kanonischen exakten Sequenz

(∗∗)  0 ⟶ J_{Y} ⟶ O_{ℙ} ⟶ O_{Y} ⟶ 0

und des von der nicht ausgearteten Paarung ⋀: E ⊗ E⟶ det E induzierten Isomorphismus E ≅ E ˇ ⊗ det E ≅ E ˇ (e + 3) (vgl. [Ha1], II ex. (5.16)) auch schreiben können als

h^{1}E ˇ (−n + k) = h^{1}J_{Y} (k) − h^{2}O_{ℙ} (−2n + k − e − 3) + h^{2}E(−n + k − e − 3) − h^{2}O_{ℙ} (k).

Jetzt verwenden wir den Serreschen Dualitätssatz (2.4.c) an und erhalten

h^{1}E ˇ (−n + k) = h^{1}J_{Y} (k) − h^{o}O_{ℙ} (2n + e − k) + h^{o}E ˇ (n − k + e) − h^{o}O_{ℙ} (−k − 3)

was sich mittels der langen exakten Kohomologiesequenzen zu (∗) und (∗∗) wie folgt vereinfachen läßt:

h^{1}E ˇ (−n + k) = h^{1}J_{Y} (k) − h^{o}O_{ℙ} (a_{Y} − k) + h^{o}(det E ˇ )(−k + e) + h^{o}J_{Y} (2n + e − k)
−h^{o}O_{ℙ} (−k − 3)
= h^{1}J_{Y} (k) − dim_{k} k[Y]_{a_{Y} −k}
= deg Y − dim_{k} k[Y]_{k} − dim_{k} k[Y]_{a_{Y} −k}

Da Y eine symmetrische Hilbertfunktion hat, folgt

h^{1}E(n − k − 3) = h^{1}E ˇ (−n + k) = 0  für alle k ∈ ℤ .

“(d) ⟹ (a)” Vgl. Satz (9.4). q.e.d.

Auch im Fall V = ℙ _{k}^{3} erhält man ein präziseres Zerfällungskriterium, wenn man in einem geeigneten “Twist” von E einen “guten” globalen Schnitt findet.

(9.7) Satz.

Sei ℙ := ℙ _{k}^{3} , sei E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang drei, und sei e := deg(det E)−4. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) E zerfällt in eine direkte Summe dreier invertierbarer O_{ℙ} –Moduln.

(b) Für alle k ∈ ℤ gilt H^{1}(ℙ , E(k)) = 0, und es gibt ein n ∈ ℤ sowie einen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)), dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} ein 0–dimensionales arithmetisches Gorensteinschema ist, das nicht die CBE bzgl. O_{ℙ} (3n + e + 1) besitzt.

(c) Für alle k ∈ ℤ gilt H^{1}(ℙ , E(k)) = 0, und es gibt ein n ∈ ℤ sowie einen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)), dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} 0–dimensional ist, eine symmetrische Hilbertfunktion hat und a_{Y} = 3n + e erfüllt.

(d) Für alle k ∈ ℤ gilt H^{1}(ℙ , E(k)) = H^{2}(ℙ , E(k)) = 0.

Beweis: “(a) ⟹ (b)”, “(b) ⟹ (c)” und “(d) ⟹ (a)” folgen wie in (9.6). “(c) ⟹ (d)” Aus dem Koszulkomplex zu s und den Isomorphismen ⋀^{2}(E ˇ (−n)) ≅

≅ (⋀^{2} E ˇ )(−2n) und det(E ˇ (−n)) ≅ (det E ˇ )(−3n) erhält man für jedes k ∈ ℤ exakte Sequenzen

(∗)  0 ⟶ (det E ˇ )(−3n + k) ⟶ (⋀^{2}E ˇ )(−2n + k) ⟶ K(k) ⟶ 0

und

(∗∗)  0 ⟶ K(k) ⟶ E ˇ (−n + k) ⟶ J_{Y} (k) ⟶ 0

wenn man K := ker sˇ setzt. Die nicht ausgeartete Paarung ⋀: E ⊗ ⋀^{2} E ⟶ det E induziert einen Isomorphismus ⋀^{2} E ≅ E ˇ ⊗ det E ≅ E ˇ (e + 4), und analog hat man einen Isomorphismus ⋀^{2} E ˇ ≅ E ⊗ det E ˇ ≅ E(−e − 4) (vgl. [Ha1], II ex. (5.16)). Unter Verwendung der langen exakten Kohomologiesequenzen zu (∗) und (∗∗) sowie der Verschwindungseigenschaften

(1) h^{1}(det E ˇ )(k) = h^{2}(det E ˇ )(k) = 0

(2) h^{2}J_{Y} (k) = 0, h^{3}J_{Y} (k) = h^{3}O_{ℙ} (k) (aus der langen Kohomologiesequenz zu 0 ⟶ J_{Y} (k) ⟶ O_{ℙ} (k) ⟶ O_{Y} (k) ⟶ 0)

(3) h^{1}(⋀^{2}E ˇ )(k) = h^{1}E(k − e − 4) = 0

(4) h^{1}K(k) = 0 (aus (∗∗)) und

(5) h^{2}E ˇ (k) = h^{1}E(−k − 4) = 0 für alle k ∈ ℤ berechnen wir nun:

h^{1}J_{Y} (k) = h^{1}E ˇ (−n + k) + h^{2}K(k)

= h^{1}E ˇ (−n+k)+h^{2}(⋀^{2}E ˇ )(−2n+k)+h^{3}(det E ˇ )(−3n+k)−h^{3}(⋀^{2}E ˇ )(−2n+k)

+h^{3}K(k)

= h^{1}E ˇ (−n+k)+h^{2}E(−2n+k−e−4)+h^{3}O_{ℙ} (−3n+k−e−4)−h^{3}E(−2n+k−e−4)

+h^{3}E ˇ (−n + k) − h^{3}J_{Y} (k)

Jetzt wenden wir den Serreschen Dualitätssatz (2.4.c), (2) und noch einmal die lange exakte Kohomologiesequenz zu (∗) an und erhalten:

h^{1}J_{Y} (k) = h^{1}E ˇ (−n + k) + h^{1}E ˇ (2n − k + e) + h^{o}O_{ℙ} (3n − k + e) − h^{o}E ˇ (2n − k + e)

+h^{o}E(n − k − 4) − h^{3}O_{ℙ} (k)

= h^{1}E ˇ (−n + k) + h^{1}E ˇ (2n − k + e) + h^{o}O_{ℙ} (3n − k + e) − h^{o}J_{Y} (3n − k + e) −h^{o}K(3n − k + e) + h^{o}E(n − k − 4) − h^{o}O_{ℙ} (−k − 4)

= h^{1}E ˇ (−n + k) + h^{1}E ˇ (2n − k + e) + dim_{k} k[Y]_{a_{Y} −k} − h^{o}(⋀^{2}E ˇ )(n − k + e)

+h^{o}(det E ˇ )(−k + e) + h^{o}E(n − k − 4) − h^{o}O_{ℙ} (−k − 4)

= h^{1}E ˇ (−n + k) + h^{1}E ˇ (2n − k + e) + dim_{k} k[Y]_{a_{Y} −k}

Also folgt für alle k ∈ ℤ wegen der Symmetrie der Hilbertfunktion von Y

h^{1}E ˇ (−n + k) + h^{1}E ˇ (2n − k + e) = h^{1}J_{Y} (k) − dim_{k} k[Y]_{a_{Y} −k}

= deg Y − dim_{k} k[Y]_{k} − dim_{k} k[Y]_{a_{Y} −k} = 0

und hieraus h^{2}E(n − k − 4) = h^{1}E ˇ (−n + k) = 0 für alle k ∈ ℤ . q.e.d. Wie der folgende Satz zeigt, ist die Voraussetzung “a_{Y} = 2n+e” bzw. “a_{Y} = 3n+e” in

(9.6.c) bzw. (9.7.c) für Nullstellenschemata Y = (s)_{o} regulärer Schnitte s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)) bei genügend großem n automatisch erfüllt.

(9.8) Satz.

Sei ℙ := ℙ _{k}^{r}, sei E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang r, und sei e := deg(det E)−r−1.

Definiere  M_{1} := sup{n ∈ ℤ : h^{1}E ˇ (n) ≠ 0}
M_{2} := sup{n ∈ ℤ : h^{2}(⋀^{2}E ˇ )(n) ≠ 0}
⋮
M_{r−1} := sup{n ∈ ℤ : h^{r−1}(⋀^{r−1}E ˇ )(n) ≠ 0}

Ist dann n ≥ max \{\frac{1}{r−1}(M_{1} − e), \frac{1}{r−2}(M_{2} − e), …, (M_{r−1} − e)\} und s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)) ein regulärer Schnitt, so hat das Nullstellenschema Y = (s)_{o} von s die Eigenschaft a_{Y} = c_{Y} = rn + e.

Insbesondere besitzt Y die CBE bzgl. O_{ℙ} (a_{Y}).

Beweis:

Man spaltet die durch den Koszulkomplex zu s induzierte exakte Sequenz

0 ⟶ (⋀^{r}E ˇ )(−rn) ⟶ (⋀^{r−1}E ˇ )(−(r − 1)n) ⟶ … ⟶ E ˇ (−n) ⟶ J_{Y} ⟶ 0

auf und erhält für jedes k ∈ ℤ kurze exakte Sequenzen:

(∗)  \begin{matrix}0 ⟶ K_{1}(k) ⟶ E \\ ˇ (−n + k) ⟶ J_{Y} (k) ⟶ 0 \end{matrix} ; 0 ⟶ K_{2}(k) ⟶ (⋀^{2}E ˇ )(−2n + k) ⟶ K_{1}(k) ⟶ 0 ; ⋮ ; 0 ⟶ (det E ˇ )(−rn + k) ⟶ (⋀^{r−1}E ˇ )(−(r − 1)n + k) ⟶ K_{r−2}(k) ⟶ 0

Für k > rn + e gilt dann

h^{1}E ˇ (−n + k) = 0 wegen −n + k > (r − 1)n + e ≥ M_{1}, h^{2}(⋀^{2}E ˇ )(−2n + k) = 0 wegen −2n + k > (r − 2)n + e ≥ M_{2},

⋮

h^{r−1}(⋀^{r−1}E ˇ )(−(r − 1)n + k) = 0 wegen −(r − 1)n + k > n + e ≥ M_{r−1}.

Aus den langen exakten Kohomologiesequenzen zu (∗) folgt nun h^{1}J_{Y} (k) = 0 für alle k > rn + e. Mit Bemerkung (8.3.a) und Satz (7.9.e) erhalten wir also die folgende Ungleichungskette:

rn + e = deg(det E(n)) − r − 1 ≤ c_{Y} ≤ a_{Y} = max {k ∈ ℕ : h^{1}J_{Y} (k) ≠ 0} ≤ rn + e

Somit gilt a_{Y} = c_{Y} = rn + e wie behauptet. q.e.d.

(9.9) Satz.

Sei ℙ := ℙ _{k}^{r}. Für einen lokalfreien O_{ℙ} –Modul E vom Rang r sei a_{1} ≥ ⋯ ≥ a_{r} der generische Spaltungstyp von E (d.h. E |_{L}≅ O_{ℙ}^{1}(a_{1})⊕⋯⊕O_{ℙ}^{1}(a_{r}) für eine allgemeine Gerade L ⊆ ℙ , vgl. [Ha1], V ex. (2.6) und [OSS], I (2.2.3)), und sei d(E) := a_{1} − a_{r}. Dann gibt es ein Polynom P_{r} ∈ ℤ [X, Y, Z] mit

max \{\frac{1}{r−1}(M_{1} − e), \frac{1}{r−2}(M_{2} − e), …, (M_{r−1} − e)\} ≤ P_{r}(c_{1}(E), c_{2}(E), d(E))

für jeden lokalfreien O_{ℙ} –Modul E vom Rang r, wenn man M_{1}, …, M_{r} und e wie in (9.8) definiert.

Beweis:

Bekanntlich gibt es ein Polynom

Q̃_{1}(X, Y, Z) = ∑_{λ,μ,ν} q_{λ,μ,ν}X^{λ}Y^{μ}Z^{ν} ∈ ℤ [X, Y, Z]

mit max {n ∈ ℤ : h^{i}(E ˇ (n)) ≠ 0} ≤ Q̃_{1}(c_{1}(E ˇ ), c_{2}(E ˇ ), d(E ˇ )) für jeden lokalfreien O_{ℙ} –Modul E vom Rang r und alle i ≥ 1 (vgl. [EF], (3.3.b) im komplex-analytischen Fall; der allgemeine Fall folgt ebenso, wenn man [Bro], § 4 beachtet). Setze

Q_{1}(X, Y, Z) := ∑_{λ,μ,ν} q_{λ,μ,ν}^{2}X^{2λ}Y^{2μ}Z^{2ν} ∈ ℤ [X, Y, Z].

Berücksichtigt man c_{1}(E ˇ ) = −c_{1}(E), c_{2}(E ˇ ) = c_{2}(E) (vgl. [Ha1], App. A, § 3 (C5)), d(E ˇ ) = d(E) (da E ˇ den generischen Spaltungstyp −a_{r} ≥ ⋯ ≥ −a_{1} hat) und

Q_{1}(x, y, z) ≥ ∑_{λ,μ,ν} |q_{λ,μ,ν}x^{λ}y^{μ}z^{ν} |

≥ | ∑_{λ,μ,ν} q_{λ,μ,ν}(−x)^{λ}y^{μ}z^{ν} |

≥ Q̃_{1}(−x, y, z)  für alle x, y, z ∈ ℤ ,

so folgt max {n ∈ ℤ : h^{i}(E ˇ (n)) ≠ 0} ≤ Q_{1}(c_{1}(E), c_{2}(E), d(E)) für alle lokalfreien O_{ℙ} –Moduln E vom Rang r und alle i ≥ 1, also insbesondere M_{1} ≤ Q_{1}(c_{1}(E), c_{2}(E), d(E)). Offensichtlich nimmt die Funktion z ⟼ Q_{1}(x, y, z) für z ∈ ℕ und feste x, y ∈ ℤ monoton zu.

Nach [OSS], S. 16 gibt es für i ≥ 1 Polynome R_{i}(X) ∈ ℤ [X] und S_{i}(X, Y) ∈ ℤ [X, Y] mit c_{1}(⋀^{i}E) = R_{i}(c_{1}(E)) und c_{2}(⋀^{i}E) = S_{i}(c_{1}(E), c_{2}(E)) für alle lokalfreien O_{ℙ} –Moduln E vom Rang r.

Wegen (⋀^{i}E)|_{L}≅ ⨁_{1≤j_{1}<···<j_{i}≤r} O_{ℙ}^{1}(a_{j_{1}} + ⋯ + a_{j_{i}}) und ia_{r} ≤ a_{j_{1}} + ⋯ + a_{j_{i}} ≤ ia_{1} gilt

d(⋀^{i}E) ≤ i · d(E). Definiert man Q_{i}(X, Y, Z) := Q_{1}(R_{i}(X), S_{i}(X, Y), iZ), so folgt nun für alle lokalfreien O_{ℙ} –Moduln E vom Rang r:

Q_{i}(c_{1}(E), c_{2}(E), d(E)) = Q_{1}(R_{i}(c_{1}(E)), S_{i}(c_{1}(E), c_{2}(E)), i · d(E))
= Q_{1}(c_{1}(⋀^{i}E), c_{2}(⋀^{i}E), i · d(E))
≥ Q_{1}(c_{1}(⋀^{i}E), c_{2}(⋀^{i}E), d(⋀^{i}E))
≥ M_{i}

Hieraus ergibt sich die Behauptung. q.e.d.

Mit Hilfe dieser beiden Resultate kann man jetzt leicht in (9.6) und (9.7) eine weitere äquivalente Bedingung angeben:

(9.10) Korollar.

In der Situation von Satz (9.6) definiere P_{2} ∈ ℤ [X, Y, Z] und d(E) gemäß (9.9). Dann sind die Bedingungen (a) – (d) auch äquivalent mit:

(e) Es gibt ein n ≥ P_{2}(c_{1}(E), c_{2}(E), d(E)) und einen regulären Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)), dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} eine symmetrische Hilbertfunktion besitzt.

(9.11) Korollar.

In der Situation von Satz (9.7) definiere P_{3} ∈ ℤ [X, Y, Z] und d(E) gemäß (9.9). Dann sind die Bedingungen (a) – (d) auch äquivalent mit:

(e) Für alle k ∈ ℤ gilt H^{1}(ℙ , E(k)) = 0, und es gibt ein n ≥ P_{3}(c_{1}(E), c_{2}(E), d(E)) sowie einen regulären Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E(n)), dessen Nullstellenschema Y = (s)_{o} eine symmetrische Hilbertfunktion besitzt.

§ 10 Punkte im Raum

Dieser abschließende Paragraph behandelt die Charakterisierung 0–dimensionaler Nullstellenschemata im Raum. Das Hauptresultat (10.3) besagt, daß ein 0–dimensionales Schema Y ⊆ ℙ _{k}^{3} genau dann das Nullstellenschema eines globalen Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten ist, wenn Y auf einer Gorensteinkurve C einen subkanonischen Divisor definiert und die CBE bzgl. ω_{C} hat. Man beachte, daß Gorensteinkurven in ℙ^{3} dasselbe sind wie lokal vollständige Durchschnitte. Einige Beispiele demonstrieren die Anwendbarkeit dieser Charakterisierung.

Am Ende geben wir noch eine Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitte im Raum, die man durch Anwendung des Zerfällungskriteriums (9.7) auf die Charakterisierung 0–dimensionaler Nullstellenschemata erhält, und veranschaulichen auch diese mit Beispielen.

Sei k ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ℙ := ℙ _{k}^{3} , und sei Y ein 0–dimensionales Unterschema von ℙ . Eine Definition und Charakterisierung lokalfreier O_{ℙ} –Moduln vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten findet der Leser in Anhang C.

Die Frage der Charakterisierung 0–dimensionaler Nullstellenschemata im Raum wurde erstmals in [Ha3], S. 1030 aufgeworfen. Der hier angewandte Lösungsansatz stammt aus [GH2], Appendix III und verwendet die Konstruktionen [Ha4], (4.1) sowie [C], (1.1). (10.1) Definition:

Für jeden torsionsfreien kohärenten O_{ℙ} –Modul F sei die Determinante det F von F wie folgt definiert (vgl. [Ha4], § 1):

Es gibt eine abgeschlossene Teilmenge V ⊆ ℙ mit codim (V, ℙ) ≥ 2, so daß F auf U := ℙ \ V lokalfrei ist. Sei det F der eindeutig bestimmte invertierbare O_{ℙ} –Modul, der det(F|_{U}) auf ganz ℙ fortsetzt. (10.2) Bemerkung:

(a) Ist F ein torsionsfreier kohärenter O_{ℙ} –Modul vom Rang r, so ist det F ≅ (⋀^{r}F)ˇ ˇ .

(b) Ist 0 ⟶ F′ ⟶ F ⟶ F′′ ⟶ 0 eine kurze exakte Sequenz torsionsfreier kohärenter O_{ℙ} –Moduln, so gilt det F ≅ det F′ ⊗ det F′′.

(c) Ist F ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang zwei, so hat man kanonische Isomorphismen F ≅ F ˇ ⊗ det F und F ˇ ≅ F ⊗ det F ˇ .

Beweis: “(a)” Die Garbe (⋀^{r}F)ˇ ˇ ist ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang eins, also invertierbar

nach [Ha4], (1.9). Sie setzt det(F|_{U}) auf ganz ℙ fort. “(b)” Seien U bzw. U′ bzw. U′′ zu F bzw. F′ bzw. F′′ wie in (10.1) gegeben. Setze

Ũ := U ∩ U′ ∩ U′′. Dann ist auch codim (ℙ \ Ũ, ℙ) ≥ 2, und die Behauptung folgt aus der für lokalfreie O_{U} –Moduln bekannten Regel det(F|_{U}) ≅ det(F′|_{U}) ⊗ det(F′′|_{U}).

“(c)” Vgl. [Ha4], (1.10). q.e.d.

(10.3) Lemma.

Sei F ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang zwei, und sei s ∈ H^{o}(ℙ , F) ein globaler Schnitt mit rein 1–dimensionalem Nullstellenschema C := (s)_{o}, so daß die Sequenz

(∗)  0 ⟶ det F ˇ ⟶^{(∧s)}ˇ F ˇ ⟶^{s}ˇ J_{C} ⟶ 0

exakt ist. Wendet man auf (∗) den Funktor Hom_{O_{ℙ}} (—, det F ˇ ) sowie die Isomorphismen Hom_{O_{ℙ}} (J_{C}, det F ˇ ) ≅ Hom_{O_{ℙ}} (J_{C}, O_{ℙ}) ⊗ det F ˇ ≅ det F ˇ und Hom_{O_{ℙ}} (F ˇ , det F ˇ ) ≅ ≅ Hom_{O_{ℙ}} (F ˇ , O_{ℙ}) ⊗ det F ˇ ≅ F ⊗ det F ˇ an, so erhält man eine exakte Sequenz

(∗∗)  0 ⟶ det F ˇ ⟶^{φ} F ⊗ det F ˇ ⟶ O_{ℙ} .

Dann gilt:

Unter dem Isomorphismus ψ: F ⊗ det F ˇ ˜ ⟶ F ˇ aus (10.2.c) identifiziert sich φ mit der Abbildung (∧s)ˇ in (∗).

Beweis:

Da F auf einer offenen Menge U ⊆ ℙ mit codim (ℙ \ U, ℙ) ≥ 2 lokalfrei ist, und da die Restriktionsabbildung H^{o}(V, F ˇ ) ⟶ H^{o}(V ∩ U, F ˇ ) für jede offene Teilmenge V ⊆ ℙ einen Isomorphismus darstellt (vgl. [Ha4], (1.6)), genügt es, die Behauptung auf U zu beweisen. Wir zeigen, daß für jeden Punkt P ∈ U die Gleichung ψ_{P} ∘ φ_{P} = (∧s)_{P̌} gilt.

Sei {e_{1}, e_{2}} eine O_{ℙ,P} –Basis von F_{P} , sei {e_{1}ˇ , e_{2}ˇ } die dazu duale Basis von F_{P̌} , und sei s_{P} = t_{1}e_{1} + t_{2}e_{2} mit t_{1}, t_{2} ∈ O_{ℙ,P} . Dann ist die Abbildung (∧s)_{P̌} : det F_{P̌} ⟶ F_{P̌} durch

(∧s)_{P̌} (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ ) = −t_{2}e_{1}ˇ + t_{1}e_{2}ˇ

eindeutig festgelegt. Die zu s_{P̌} : det F_{P̌} ⟶ J_{C,P} duale Abbildung ist s_{P} : O_{ℙ,P} ⟶ F_{P} (1 ↦ t_{1}e_{1} + t_{2}e_{2} ). Da φ_{P} aus s_{P} nach Konstruktion durch Tensorieren mit det F_{P̌} entsteht, wird φ_{P} durch

φ_{P} (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ ) = t_{1}e_{1} ⊗ (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ ) + t_{2}e_{2} ⊗ (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ ) ∈ F_{P} ⊗ det F_{P̌}

beschrieben. Der Isomorphismus ψ_{P} : F_{P} ⊗det F_{P̌} ⟶ F_{P̌} wird von der nicht ausgearteten

Paarung F_{P} ⊗ F_{P} ⟶ det F_{P} (e_{i} ⊗ e_{j} ↦ e_{i} ∧ e_{j}) induziert und erfüllt daher

ψ_{P} (e_{1} ⊗ (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ )) = e_{2}ˇ  sowie  ψ_{P} (e_{2} ⊗ (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ )) = −e_{1}ˇ .

Insgesamt folgt ψ_{P} ∘ φ_{P} (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ ) = t_{1}e_{2}ˇ − t_{2}e_{1}ˇ = (∧s)_{P̌} (e_{1}ˇ ∧ e_{2}ˇ ), also die Behauptung. q.e.d.

(10.4) Satz.

Sei e ∈ ℤ . Die folgenden Bedingungen sind äquivalent:

(a) Y ist das Nullstellenschema eines globalen Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten und mit deg(det E) = e + 4.

(b) Es gibt eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , die Y umfaßt, so daß Y das Nullstellenschema eines globalen Schnitts u von ω_{C}(−e) ist, und es gibt einen globalen Schnitt v ∈ H^{o}(C, ω_{C}(−e)), der ω_{C}(−e) in den Punkten von Y erzeugt.

Beweis: “(a) ⟹ (b)” Sei Y = (s)_{o} mit s ∈ H^{o}(ℙ , E) und F := ker sˇ . Dann hat man eine

exakte Sequenz

(1)  0 ⟶ F ⟶^{i} E ˇ ⟶^{s}ˇ J_{Y} ⟶ 0

und nach Lemma (C8.a) ist F ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang zwei mit Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ≅ O_{Y} . Nach Satz (C11) gibt es einen weiteren regulären globalen Schnitt s′ ∈ H^{o}(ℙ , E), so daß C := (s ∧ s′)_{o} eine Gorensteinkurve ist, die nach Lemma (C9.c) das Schema Y umfaßt. Setzt man t := H^{o}(iˇ )(s′) ∈ H^{o}(ℙ , F), so ist C nach Lemma (C8.b) auch das Nullstellenschema von t. Wir schließen jetzt mit der Methode von [Ha4], (4.1), daß Y das Nullstellenschema eines globalen Schnitts von ω_{C}(−e) ist. Betrachte L := ker tˇ . Nach [Ha4], (1.5) ist L ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang eins, nach [Ha4], (1.9) ist L damit ein invertierbarer O_{ℙ} –Modul, und nach (1) und (10.2.b) folgt

L ≅ det F ≅ det E ˇ ≅ O_{ℙ} (−e − 4).

Also hat man eine exakte Sequenz

(2)  0 ⟶ O_{ℙ} (−e − 4) ⟶^{j} F ⟶^{t}ˇ J_{C} ⟶ 0.

Dualisieren liefert die exakte Sequenz

(3) 0 ⟶ O_{ℙ} ⟶^{t} F ˇ ⟶^{j}ˇ O_{ℙ} (e + 4) ⟶ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ}) ⟶ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F, O_{ℙ}) ⟶ 0.

Mit Hilfe der kanonischen Sequenz 0 ⟶ J_{C} ⟶ O_{ℙ} ⟶ O_{C} ⟶ 0 berechnet man

Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ}) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{2} (O_{C}, O_{ℙ}) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{2} (O_{C}, ω_{ℙ}) ⊗ ω_{ℙ} ˇ ≅ ω_{C}(4).

Indem man die exakte Sequenz (1) von dem Koszulkomplex (C8)(7) zu sˇ abspaltet, erhält man eine exakte Sequenz

0 ⟶ det E ˇ ⟶^{(∧s)}ˇ ⋀^{2}E ˇ \underrightarrow{ı}ˇ F ⟶ 0.

Hiermit und mit Hilfe des Koszulkomplexes (C8)(4) zu s berechnet man:

Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F, O_{ℙ}) ≅ coker (∧s) ≅ det E ⊗ O_{Y} ≅ O_{Y} (e + 4)

Also folgt aus (3) durch Tensorieren mit O_{ℙ} (−e − 4) die Exaktheit der Sequenz

(4)  0 ⟶ O_{ℙ} (−e − 4) \underrightarrow{_{ȷ}} F ˇ (−e − 4) ⟶ O_{ℙ} \underrightarrow{_{u}} ω_{C}(−e) ⟶ O_{Y} ⟶ 0.

Wendet man die Isomorphismen F ˇ (−e − 4) ≅ F ˇ ⊗ det F ≅ F an, so folgt nach (10.3) die Gleichheit j̃= j, also coker j̃≅ J_{C}, und durch Abspalten von (2) und 0 ⟶ J_{C} ⟶ O_{ℙ} ⟶ O_{C} ⟶ 0 von (4) erhält man eine exakte Sequenz

0 ⟶ O_{C} ⟶^{u} ω_{C}(−e) ⟶^{φ} O_{Y} ⟶ 0.

Wenn man diese um einen Isomorphismus O_{Y} ≅ ω_{C}(−e) ⊗ O_{Y} so abändert, daß φ der kanonische Epimorphismus ω_{C}(−e) − ↠ ω_{C}(−e) ⊗ O_{Y} wird, so ergibt sich, daß Y das Nullstellenschema des globalen Schnitts u ∈ H^{o}(C, ω_{C}(−e)) ist. Schließlich ist noch der globale Schnitt v ∈ H^{o}(C, ω_{C}(−e)) zu konstruieren. Dazu betrachten wir das 0–dimensionale Unterschema Y′ := (s′)_{o} von ℙ . Nach Lemma (C9.b) ist Y ∩ Y′ = ∅. Analog wie eben konstruieren wir einen globalen Schnitt v von ω_{C}(−e), der Y′ zum Nullstellenschema hat. Insbesondere erzeugt v die Garbe ω_{C}(−e) in den Punkten von Y .

“(b) ⟹ (a)” Wegen H^{o}(C, ω_{C}(−e)) ≅ H^{1}(C, O_{C}(e))^{∗} ≅ H^{1}(ℙ , O_{C}(e))^{∗} ≅ ≅ Ext_{O_{ℙ}}^{2} (O_{C}(e), ω_{ℙ}) ≅ Ext_{O_{ℙ}}^{2} (O_{C}, O_{ℙ} (−e − 4)) ≅ Ext_{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4)) kann man u durch eine Erweiterung

(5)  0 ⟶ O_{ℙ} (−e − 4) ⟶^{j} F ⟶^{t}ˇ J_{C} ⟶ 0

mit einem torsionsfreien kohärenten O_{ℙ} –Modul F und t ∈ H^{o}(ℙ , F ˇ ) repräsentieren. Wie in [Ha4], (4.1) zeigen wir, daß F ein reflexiver und außerhalb von Y lokalfreier O_{ℙ} –Modul ist.

Wir wenden den Funktor Hom_{O_{ℙ}} (—, O_{ℙ} (−e − 4)) auf die Sequenz (5) an und beachten O_{ℙ} (−e − 4) ≅ det F (vgl. (5) sowie (10.2.c)). Es ergibt sich die exakte Sequenz

(6) 0 ⟶ O_{ℙ} (−e − 4) ⟶ F ˇ ⊗ det F ⟶ O_{ℙ} \underrightarrow{_{u}} Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))

⟶^{ε} Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F, O_{ℙ} (−e − 4)) ⟶ 0.

Für jeden Punkt P ∈ ℙ folgt nun durch Halmbildung die exakte Sequenz

0 ⟶ O_{ℙ} (−e − 4)_{P} ⟶ F_{P̌} ⊗ det F_{P} ⟶ O_{ℙ,P} \underrightarrow{_{u_{P}}} Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (J_{C,P} , O_{ℙ} (−e − 4)_{P})

⟶^{ε_{P}} Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (F_{P} , O_{ℙ} (−e − 4)_{P}) ⟶ 0.

Nach Konstruktion repräsentiert ũ_{P} (1) die in P lokalisierte Sequenz (5), das heißt ũ_{P} (1) = u_{P} . Für Punkte P ∉ Y erzeugt u_{P} den O_{ℙ,P} –Modul ω_{C}(−e)_{P} ≅ ≅ Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (J_{C,P} , O_{ℙ} (−e − 4)_{P}). Aus der obigen exakten Sequenz folgt in diesem Fall Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (F_{P} , O_{ℙ,P}) ≅ Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (F_{P} , O_{ℙ} (−e − 4)_{P}) = 0. Da C eine Gorensteinkurve ist, gilt Tiefe _{O_{ℙ,P}} (F_{P}) ≥ 2 für alle P ∈ ℙ (vgl. (5)). Also ist F lokalfrei außerhalb Y, und nach [Ha4], (1.3) ist F_{P} für P ∈ Y ein reflexiver O_{ℙ,P} –Modul. Insgesamt ist F ein reflexiver und außerhalb Y lokalfreier O_{ℙ} –Modul. Wie in [C], (1.1) konstruieren wir jetzt eine Erweiterung

(7)  0 ⟶ F ⟶ E ˇ ⟶^{s}ˇ J_{Y} ⟶ 0

mit einem lokalfreien O_{ℙ} –Modul E vom Rang drei mit deg(det E) = e + 4 und s ∈ H^{o}(ℙ , E). Dazu verwende die Isomorphismen (vgl. (5) und (10.2.c))

Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F, O_{ℙ} (−e − 4)) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ⊗ det F ˇ , O_{ℙ}) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ})

und schreibe den Epimorphismus ε aus (6) als

ε: Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4)) − ↠ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}).

Der Morphismus Hom_{O_{ℙ}} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4)) ⟶^{Hom(tˇ )} Hom_{O_{ℙ}} (F, O_{ℙ} (−e − 4)) ˜⟶

˜⟶ Hom_{O_{ℙ}} (F ⊗ det F ˇ , O_{ℙ}) ˜⟶ Hom_{O_{ℙ}} (F ˇ , O_{ℙ}) (vgl. (5) und (10.2.c)) induziert

einen Morphismus von Spektralsequenzen (E_{r}^{pq}, E^{n}) ⟶ (Ẽ_{r}^{pq}, Ẽ^{n}) mit

E_{2}^{pq} = H^{p}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{q} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))) ⟹ E^{n} = Ext_{O_{ℙ}}^{n} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))

und

Ẽ_{2}^{pq} = H^{p}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{q} (F ˇ , O_{ℙ}) ⟹ Ẽ^{n} = Ext_{O_{ℙ}}^{n} (F ˇ , O_{ℙ}).

Nach Konstruktion stimmen hierbei die Abbildungen E_{2}^{p1} ⟶ Ẽ_{2}^{p1} mit den Abbildungen H^{p}(ε) überein (p ≥ 0).

Auf Grund der Funktorialität der zugehörigen Eckenmorphismen erhalten wir ein kommutatives Diagramm:

H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))) ⟶^{H^{o}(ε)} H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}))
↓  ↓^{∂}
H^{2}(ℙ , Hom_{O_{ℙ}} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))) ⟶ H^{2}(ℙ , Hom_{O_{ℙ}} (F ˇ , O_{ℙ}))

Wegen H^{2}(ℙ , Hom_{O_{ℙ}} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))) ≅ H^{2}(ℙ , J_{C}ˇ ⊗ O_{ℙ} (−e − 4)) ≅ ≅ H^{2}(ℙ , O_{ℙ} (−e − 4)) = 0 liegt das Bild von v ∈ H^{o}(C, ω_{C}(−e)) ≅ H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{2} (O_{C}, ω_{ℙ})(−e) ≅ H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4))) unter H^{o}(ε) im Kern von ∂. Betrachte den folgenden Ausschnitt aus der exakten Sequenz der Terme niedrigen Grades zu (Ẽ_{r}^{pq}, Ẽ^{n}):

Ext_{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ⟶^{δ} H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ})) ⟶^{∂} H^{2}(ℙ , Hom_{O_{ℙ}} (F ˇ , O_{ℙ}))

Wegen ∂ (H^{o}(ε)(v)) = 0 gibt es ein e ∈ Ext_{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) mit δ(e) = H^{o}(ε)(v). Repräsentiere e durch eine Erweiterung

(8)  0 ⟶ O_{ℙ} ⟶^{s} E ⟶ F ˇ ⟶ 0

mit einem kohärenten O_{ℙ} –Modul E. Dualisieren von (8) liefert die exakte Sequenz

(9)  0 ⟶ F ⟶ E ˇ ⟶^{s}ˇ O_{ℙ} ⟶^{η} Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ⟶ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (E, O_{ℙ}) ⟶ 0.

Für jeden Punkt P ∈ ℙ ist die lokalisierte Erweiterung e_{P} :

0 ⟶ O_{ℙ,P} ⟶^{s_{P}} E_{P} ⟶ F_{P̌} ⟶ 0

offenbar das Bild von 1 ∈ O_{ℙ,P} unter η_{P} : O_{ℙ,P} ⟶ Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (F_{P̌} , O_{ℙ,P}). Wegen

Supp (Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ})) ⊆ Y ist also (e_{P})_{P ∈Y} ∈ ⨁_{P ∈Y} Ext _{O_{ℙ,P}}^{1} (F_{P̌} , O_{ℙ,P}) ≅

≅ H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ})) das Bild von 1 unter η. Der kanonische Eckenmorphismus δ: Ext_{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ⟶ H^{o}(ℙ , Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ})) bildet e bekanntlich in (e_{P})_{P ∈Y} ab, das heißt es gilt (e_{P})_{P ∈Y} = H^{o}(ε)(v). Nach Voraussetzung erzeugt v die Garbe ω_{C}(−e) in den Punkten von Y .Also erzeugt H^{o}(ε)(v) die Garbe Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}), das heißt aus (9) folgt Ext _{O_{ℙ}}^{1} (E, O_{ℙ}) = 0. Wegen

Ext _{O_{ℙ}}^{i} (E, O_{ℙ}) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{i} (F ˇ , O_{ℙ}) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{i} (J_{C}, O_{ℙ}) = 0

für i ≥ 2 (vgl. (8) und (5)) ist E damit ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang drei, und es gilt det E ≅ det F ˇ ≅ O_{ℙ} (e + 4) (vgl. (8) und (5)). Erneut verwenden wir den Isomorphismus F ˇ ⊗det F ≅ F aus (10.2.c). Nach (10.3) identifiziert er die Abbildung O_{ℙ} (−e−4) ⟶ F ˇ ⊗det F aus (6) mit j: O_{ℙ} (−e−4) ⟶ F aus (5). Also können wir die Sequenz (5) sowie die kanonische exakte Sequenz 0 ⟶ J_{C} ⟶ O_{ℙ} ⟶ O_{C} ⟶ 0 von (6) abspalten und erhalten eine exakte Sequenz

0 ⟶ O_{C} \underrightarrow{_{u}} Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4)) ⟶^{ε} Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F, O_{ℙ} (−e − 4)) ⟶ 0.

Wegen Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{C}, O_{ℙ} (−e − 4)) ≅ ω_{C}(−e) (ũ ↦ u) und Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F, O_{ℙ} (−e − 4)) ≅ ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ⊗ det F ˇ , O_{ℙ}) ≅ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ergibt sich dann die exakte Sequenz

0 ⟶ O_{C} ⟶^{u} ω_{C}(−e) ⟶ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ⟶ 0.

Da Y nach Voraussetzung das Nullstellenschema von u auf C ist, und da der Koszulkomplex zu u

0 ⟶ O_{C} ⟶^{u} ω_{C}(−e) ⟶ ω_{C}(−e) ⊗ O_{Y} ⟶ 0

exakt ist, folgt Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ≅ O_{Y} . Nachdem wir η: O_{ℙ} ⟶ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ≅ O_{Y} um einen geeigneten Automorphismus von O_{Y} abgeändert haben, können wir die Sequenz (9) also folgendermaßen schreiben

0 ⟶ F ⟶ E ˇ ⟶^{s}ˇ O_{ℙ} ⟶^{kan.} O_{Y} ⟶ 0

und Abspalten der kanonischen Sequenz 0 ⟶ J_{Y} ⟶ O_{ℙ} ⟶ O_{Y} ⟶ 0 von (9) liefert (7).

Schließlich ist noch zu zeigen, daß E sehr gute globale Schnitte hat. Mittels (8) finde ein Urbild s′ ∈ H^{o}(ℙ , E) von t ∈ H^{o}(ℙ , F ˇ ). Da der zu s gehörige Koszulkomplex (C8)(4) wegen (8) wie in (C8)(5) aufspaltet, stellt s ∧ s′ ∈ H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E) das Bild von t in H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E) dar. Analog wie in (C8) konstruieren wir hieraus das kommutative Dreieck (C8)(6) und folgern J_{C} = im tˇ = im (s ∧ s′)ˇ , d.h. C ist das Nullstellenschema von s ∧ s′ ∈ H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E). Nach Satz (C11) hat C dann sehr gute globale Schnitte. q.e.d.

(10.5) Definition:

Sei C ⊆ ℙ eine Gorensteinkurve. Ein Cartier-Divisor D ∈ Div(C) heißt subkanonisch, wenn es ein n ∈ ℤ gibt, so daß O_{C}(D) ≅ ω_{C}(n) ist.

Im folgenden verwenden wir wie in § 5 die Sprechweisen und Ergebnisse von [Ha2], § 1 über Divisoren auf Gorensteinkurven.

(10.6) Korollar. (Die Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler

Nullstellenschemata im Raum)

Für ein 0–dimensionales Unterschema Y ⊆ ℙ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) Y ist das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten.

(b) Es gibt eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , die Y umfaßt, so daß Y das zu einem subkanonischen effektiven Cartier-Divisor D ∈ Div(C) assoziierte abgeschlossene Unterschema ist und D ein fixpunktfreies vollständiges lineares System |D | definiert.

(c) Es gibt eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , die Y umfaßt, so daß Y das zu einem subkanonischen effektiven Cartier-Divisor D ∈ Div(C) assoziierte abgeschlossene Unterschema ist und O_{C}(D) von zwei globalen Schnitten erzeugt wird.

(d) Es gibt eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , die Y umfaßt, so daß Y das zu einem subkanonischen effektiven Cartier-Divisor assoziierte abgeschlossene Unterschema ist und die CBE bzgl. ω_{C} hat.

Schreibt man O_{C}(D) ≅ ω_{C}(−e) mit e ∈ ℤ , so hat Y in diesem Fall auch die CBE bzgl. O_{ℙ} (e), und für die Chernklassen von E gilt c_{1}(E) = e + 4, c_{2}(E) = deg C sowie c_{3}(E) = deg Y .

Beweis: “(a) ⟹ (b)” Nach (10.4) gibt es eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , so daß Y das Nullstellen-

schema eines globalen Schnitts von ω_{C}(−e) mit e := deg(det E)−4 ist, d.h. Y ist das zu einem effektiven Cartier-Divisor D ∈ Div(C) mit O_{C}(D) ≅ ω_{C}(−e) assoziierte abgeschlossene Unterschema. Insbesondere ist D subkanonisch. Weiter ist Y′ := (v)_{o} (mit v wie in (10.4.b)) ein zu Y disjunktes abgeschlossenes Unterschema von C, das zu einem effektiven Cartier-Divisor D′ ∈ Div(C) mit D′ ∼ D assoziiert ist. Mithin hat |D | keinen Fixpunkt.

“(b) ⟹ (c)” Sei Y = (u)_{o} mit u ∈ H^{o}(C, O_{C}(D)) und O_{C}(D) ≅ ω_{C}(−e) mit e ∈ ℤ . Da | D | fixpunktfrei ist, gibt es einen weiteren globalen Schnitt v ∈ H^{o}(C, ω_{C}(−e)) mit (u)_{o} ∩ (v)_{o} = ∅. Offenbar erzeugen u und v die Garbe ω_{C}(−e) in jedem Punkt.

“(c) ⟹ (d)” Vgl. Satz (5.7). “(d) ⟹ (a)” Sei Y = (u)_{o} mit u ∈ H^{o}(C, O_{C}(D)), wobei D ∈ Div(C) ein effektiver

Cartier-Divisor ist mit O_{C}(D) ≅ ω_{C}(−e) und e ∈ ℤ . Nach Satz (5.7) erhalten wir einen weiteren globalen Schnitt v ∈ H^{o}(C, O_{C}(D)), der die Garbe O_{C}(D) in den Punkten von Y erzeugt. Nach (10.4) folgt dann die Behauptung.

Nach Satz (4.15) hat Y die CBE bzgl. ω_{ℙ} ⊗ det E ≅ O_{ℙ} (e). Die Formeln für die Chernklassen von E sind wohlbekannt (vgl. etwa [C], S. 67 oder [Ha4], (2.6) und (4.1)).

q.e.d.

An Hand einiger Beispiele wollen wir nun die Aussagekraft dieses Korollars erkunden. Mittels (10.6) werden einige nicht zerfallende Bündel auf ℙ^{3} konstruiert. (10.7) Beispiel:

Das 0–dimensionale Unterschema Y von ℙ bestehe aus n ≥ 1 kollinearen reduzierten abgeschlossenen Punkten. Wir wählen eine Ebene H ⊆ ℙ , die Y umfaßt, und eine integre ebene Kurve C ⊆ H vom Grad n, so daß Y das Nullstellenschema eines globalen Schnitts von O_{C}(1) ist. Es folgt ω_{C} ≅ O_{C}(n − 3) und O_{C}(Y) ≅ ω_{C}(−e) mit e = n − 4. Da O_{C}(1) von globalen Schnitten erzeugt wird, ist Y nach (10.3) das Nullstellenschema eines globalen Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten und mit c_{1}(E) = n, c_{2}(E) = n sowie c_{3}(E) = n.

Wir zeigen noch, daß E kein Geradenbündel abspaltet. Insbesondere zerfällt E also nicht in die direkte Summe dreier Geradenbündel. Angenommen, es gibt ein a ∈ ℤ und einen lokalfreien O_{ℙ} –Modul F vom Rang zwei mit E ≅ O_{ℙ} (a)⊕F. Da E einen regulären Schnitt s mit einem nichtleeren Nullstellenschema besitzt, muß a > 0 sein. Für die Chernklassen errechnet sich n = c_{1}(E) = c_{1}(F) + a, n = c_{2}(E) = a · c_{1}(F) + c_{2}(F) sowie n = c_{3}(E) = a · c_{2}(F). Hieraus folgt die Beziehung

n(a^{2} − a + 1) = a^{3}.

Da a^{3} und a^{2} − a + 1 teilerfremd sind, folgt leicht, daß n = 1, a = 1 die einzige Lösung dieser Gleichung in natürlichen Zahlen ist. Im diesem Fall wäre c_{1}(F) = 0 und c_{2}(F) = 1. Schreibe s = (s_{1}, s_{2}) ∈ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (a)) ⊕ H^{o}(ℙ , F). Dann ist s_{2} ein regulärer Schnitt von F, und für das Nullstellenschema D := (s_{2})_{o} gilt deg D = c_{2}(F) = 1 sowie p_{a}(D) = \frac{1}{2}c_{2}(F)(c_{1}(F) − 4) + 1 = −1 (vgl. [Ha5], (2.1)). Dies ist unmöglich, denn für jede Kurve D gilt p_{a}(D) = 1 − h^{o}O_{D} + h^{1}O_{D} ≥ 1 − deg D. Also zerfällt E nicht in der angegebenen Weise.

Offensichtlich können wir Y auch als Nullstellenschema eines zerfallenden lokalfreien O_{ℙ} –Moduls, d.h. als 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitt darstellen (vgl. auch Beispiel (10.12)). Es folgt, daß das Paar (E, s) durch Y nicht eindeutig bestimmt ist. (Man vergleiche dies mit Korollar (6.4).) (10.8) Beispiel:

Y bestehe aus vier nicht komplanaren, reduzierten Punkten. Dann gibt es eine “twisted cubic” in ℙ , die Y umfaßt. Denn eine solche Kurve ist definiert als das Bild einer Einbettung ı: ℙ _{k}^{1}⟶ℙ _{k}^{3} mittels H^{o}(ℙ^{1}, O_{ℙ}^{1}(3)), und wählt man auf ihr vier nicht komplanare Punkte, so gibt es einen Automorphismus von ℙ , der diese in die Punkte von Y überführt.

Ist L der invertierbare O_{C} –Modul mit ı^{−1}L = O_{ℙ}^{1}(1), so ist ω_{C} ≅ L^{⊗−2} und O_{C}(1) ≅ L^{⊗3} , also O_{C}(Y) ≅ ω_{C}(−e) mit e = −2. Nach Bemerkung (4.6.c) hat Y die CBE bzgl. ω_{C}.

Es folgt, daß Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten darstellt, wobei c_{1}(E) = 2, c_{2}(E) = 3 und c_{3}(E) = 4 ist. Wieder kann E nicht in der Form E ≅ O_{ℙ} (a)⊕F mit a ∈ ℤ und einem Rang-2-Bündel F zerfallen, weil sonst c_{1}(F) + a = 2, a · c_{1}(F) + c_{2}(F) = 3 und a · c_{2}(F) = 4 wäre, was auf die in positiven ganzen Zahlen unlösbare Gleichung a(3 − 2a + a^{2}) = 4 führt.

Auf Grund der Hilbertfunktion H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (n) = 4 für n ≥ 1 ist klar, daß Y überhaupt nicht als Nullstellenschema eines zerfallenden Rang-3-Bündels dargestellt werden kann (vgl. (8.8.b) und (8.9)). (10.9) Beispiel:

Sei C ⊆ ℙ der vollständige Durchschnitt der beiden Quadriken Q_{1} := V(x_{o}^{2} − x_{1}x_{3}) und Q_{2} := V(x_{o}x_{1} − x_{2}x_{3}) in ℙ . Bekanntlich besteht C aus einer Geraden L und einer “twisted cubic” T, die sich in einem Punkt P schneiden (vgl. [Ha1], I ex. (2.16.a)).

(a) Y bestehe aus vier komplanaren Punkten, von denen keine drei kollinear sind. Der Durchschnitt von C mit einer Ebene von ℙ , die P nicht enthält, besteht aus ebenfalls vier komplanaren Punkten, von denen keine drei kollinear sind, und von denen einer auf L und drei auf T liegen. Dann gibt es einen Automorphismus von ℙ , der diesen Ebenenschnitt in die Punkte von Y überführt, d.h. wir können annehmen, daß Y ein Ebenenschnitt von C ist.

Nach [Ha1], II ex. (8.4.e) gilt ω_{C} ≅ O_{C}, also O_{C}(Y) ≅ O_{C}(1) ≅ ω_{C}(−e) mit e = −1. Nach (8.1.d) hat Y die CBE bzgl. ω_{C}. Daher ist Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten und mit den Chernklassen c_{1}(E) = 3, c_{2}(E) = 4 sowie c_{3}(E) = 4. Spaltet E in der Form E ≅ O_{ℙ} (a) ⊕ F mit a ∈ ℤ und einem Rang-2-Vektorbündel F auf, so folgt wie in (10.8), daß a(a^{2} − 3a + 4) = 4 ist, was auf a = 2 führt. Schreibt man s = (s_{1}, s_{2}) ∈ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (a)) ⊕ H^{o}(ℙ , F), so ist s_{2} dann ein regulärer Schnitt von F, dessen Nullstellenschema D := (s_{2})_{o} eine Kurve von Grad deg D = 2 und Geschlecht p_{a}(D) = −2 ist. Da dies nicht möglich ist, zerfällt E nicht wie angegeben.

(b) Sei Y jetzt allgemeiner der vollständige Durchschnitt von C mit einer Fläche vom Grad n ≥ 1, die P nicht enthält. Wieder ist O_{C}(Y) ≅ O_{C}(n) ≅ ω_{C}(−e) mit e = −n, und Y hat die CBE bzgl. ω_{C}. Daher ist Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit sehr guten globalen Schnitten und mit den Chernklassen c_{1}(E) = −n + 4, c_{2}(E) = 4 sowie c_{3}(E) = 4n. Wie zeigen wieder, daß E keinen invertierbaren direkten Summanden besitzt. Andernfalls wäre E ≅ O_{ℙ} (a) ⊕ F mit a > 0 und einem Rang-2-Vektorbündel F, und folglich c_{1}(F) + a = −n + 4, a · c_{1}(F) + c_{2}(F) = 4 sowie a · c_{2}(F) = 4n. Hieraus erhalten wir die Gleichung

n(a + 2)(a − 2) = −a(a − 2)^{2}.

Für a = 1 ist diese in positiven ganzen Zahlen n unlösbar, und für a ≥ 3 wegen 0 < n(a + 2) = −a(a − 2) < 0 ebenfalls. Im Fall a = 2 folgt c_{1}(F) = −n + 2 und c_{2}(F) = 2n. Wie in (a) ergeben sich für das 1–dimensionale Nullstellenschema D der zweiten Komponente von s die Beziehungen deg D = 2n und p_{a}(D) = −n^{2} − 2n + 1 < −2n, die nicht zugleich erfüllbar sind.

Schließlich geben wir eine Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitte, die wir durch Anwendung des Zerfällungskriteriums (9.7) auf Korollar (10.6) erhalten.

(10.10) Satz. (Die Cayley-Bacharach-Charakterisierung 0–dimensionaler

vollständiger Durchschnitte im Raum)

Für ein 0–dimensionales Unterschema Y ⊆ ℙ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) Y ist ein 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitt.

(b) Es gibt eine projektiv normale Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , die Y umfaßt, so daß gilt:

(1) Es gibt ein e ∈ ℤ , so daß Y das Nullstellenschema eines globalen Schnitts von ω_{C}(−e) ist, d.h. Y definiert einen subkanonischen Cartier-Divisor auf C.

(2) Y hat die CBE bzgl. ω_{C}.

(3) Y hat eine symmetrische Hilbertfunktion.

(4) Es ist a_{Y} = e. Insbesondere hat Y dann die CBE bzgl. O_{ℙ} (e), aber nicht die CBE bzgl. O_{ℙ} (e + 1),

das heißt c_{Y} = e.

Mittels Satz (9.7) und Korollar (10.6) kann der Leser leicht selbst weitere äquivalente Bedingungen aufstellen. Beweis: “(a) ⟹ (b)” Sei Y = (s)_{o} mit s ∈ H^{o}(ℙ , E) und E ≅ O_{ℙ} (a) ⊕ O_{ℙ} (b) ⊕ O_{ℙ} (c)

sowie a, b, c > 0. Nach dem Beweis von (10.4) können wir einen weiteren Schnitt s′ ∈ H^{o}(ℙ , E) so wählen, daß C := (s ∧ s′)_{o} eine Gorensteinkurve ist, auf der Y das zu einem subkanonischen effektiven Cartier-Divisor assoziierte Unterschema bildet. Nach (10.6) hat Y die CBE bzgl. ω_{C}, nach (8.9) hat Y eine symmetrische Hilbertfunktion, und nach (7.11) ist a_{Y} = e = a + b + c − 4. Es bleibt noch zu zeigen, daß C projektiv normal ist.

Dazu betrachte die durch die Aufspaltung des Koszulkomplexes gegebene exakte Sequenz (vgl. (C8)(5))

(∗)  0 ⟶ det E ˇ ⟶ ⋀^{2}E ˇ ⟶ F ⟶ 0

und den kanonischen Isomorphismus ⋀^{2}E ˇ ≅ E ⊗ det E ˇ (vgl. [Ha1], II ex. (5.16)). Die lange exakte Kohomologiesequenz hierzu zeigt H^{1}(ℙ , F(n)) = 0 für alle n ∈ ℤ . Aus der exakten Sequenz

(∗∗)  0 ⟶ O_{ℙ} (−e − 4) ⟶ F ⟶ J_{C} ⟶ 0

(vgl. (10.4)(5)) folgt dann H^{1}(ℙ , J_{C}(n)) = 0 für alle n ∈ ℤ , d.h. C ist projektiv normal (vgl. [Ha1], II ex. (5.14.d)).

“(b) ⟹ (a)” Wegen (1) und (2) zeigt Korollar (10.6), daß es einen regulären Schnitt eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei gibt, der Y zum Nullstellenschema hat. Mittels Satz (9.7) zeigen wir jetzt, daß E in die direkte Summe dreier invertierbarer O_{ℙ} –Moduln zerfällt. Wegen (3) und (4) ist dazu nur noch H^{1}(ℙ , E(n)) = 0 für alle n ∈ ℤ zu beweisen. Nach (∗) und (∗∗) gilt

H^{1}(ℙ , E(n)) ≅ H^{1}(ℙ , F ⊗ (det E)(n)) ≅ H^{1}(ℙ , J_{C}(n + e + 4)) für alle n ∈ ℤ ,

und letztere Kohomologiegruppe verschwindet wegen der vorausgesetzten projektiven Normalität von C. q.e.d.

Auch dieses Resultat wollen wir mit Beispielen illustrieren. Wir beginnen mit einem sehr einfachen Beispiel, an dem wir erklären, wie man zu einem gegebenen 0–dimensionalen Schema Y eine Kurve C findet, die die Bedingungen (1) – (4) in (10.10.b) erfüllt. (10.11) Beispiel:

Sei Y ⊆ ℙ ein reduzierter Punkt. Wir wollen Y als 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitt darstellen, was natürlich in offensichtlicher Weise möglich ist.

Auf Grund des Grades von Y kommt nur eine Darstellung als Nullstellenschema von E = O_{ℙ} (1)^{3} in Frage. Dann ist c_{2}(E) = 3, d.h. wir brauchen eine projektiv normale Gorensteinkurve C ⊆ ℙ vom Grad drei durch Y . Versuchen wir es mit der “twisted cubic” C, die definiert ist als das Bild einer Einbettung ı: ℙ _{k}^{1}⟶ℙ _{k}^{3} mittels H^{o}(ℙ _{k}^{1}, O_{ℙ}^{1}(3)). Nach [Ha1], II (6.6.3) und [Ha1], III ex. (5.6.b.3) ist C projektiv normal, und durch Anwendung eines Automorphismus von ℙ können wir annehmen, daß C unseren Punkt Y enthält. Wir prüfen jetzt die Bedingungen (1) – (4): “(1)” Sei L der invertierbare O_{C} –Modul mit ı^{∗}L ≅ O_{ℙ}^{1}(1). Dann ist ω_{C} ≅ L^{⊗−2} ,

O_{C}(1) ≅ L^{⊗3} und O_{C}(Y) ≅ L ≅ ω_{C}(1), das heißt Y definiert einen subkanonischen Divisor auf C und e = −1.

“(2)” Nach (4.6.c) hat Y die CBE bzgl. ω_{C}. “(3)” Die Hilbertfunktion von Y lautet H_{Y} (n) = 0 für n < 0 bzw. H_{Y} (n) = 1 für n ≥ 0.

Sie ist symmetrisch bzgl. a_{Y} = −1. “(4)” Es gilt a_{Y} = −1 = e.

Also ist Y das Nullstellenschema eines zerfallenden Rang-3-Bündels E mit c_{1}(E) = 3, c_{2}(E) = 3 und c_{3}(E) = 1. Auf Grund der Chernklassen von E ist klar, daß es sich um E = O_{ℙ} (1)^{3} handelt.

Wenn wir ein komplizierteres 0–dimensionales Schema Y wählen, müssen wir uns schon etwas mehr anstrengen, um eine passende Kurve C zu finden. Die nächsten beiden Beispiele zeigen zusammen mit den Beispielen (10.7), (10.8) und (10.9.a), daß wir bei der Konstruktion von Rang-3-Bündeln mittels Korollar (10.6) im allgemeinen keine zerfallenden Bündel erhalten, weil die in (10.10.b) gestellten Zusatzbedingungen sehr einschränkend sind.

(10.12) Beispiel:

In Verallgemeinerung des letzten Beispiels sei Y jetzt durch n ≥ 1 kollineare reduzierte Punkte gegeben. Wieder wollen wir die offensichtlich mögliche Darstellung von Y als 0–dimensionalen vollständigen Durchschnitt mittels Satz (10.10) erhalten.

Wir beginnen damit, daß wir die Hilbertfunktion von Y berechnen: H_{Y} (m) = m + 1 für 0 ≤ m ≤ n − 2 und H_{Y} (m) = n für m ≥ n − 1. Also ist a_{Y} = n − 2 und H_{Y} ist symmetrisch. Stellt Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines zerfallenden Rang-3-Bündels E dar, so ist c_{1}(E) = e + 4 = a_{Y} + 4 = n + 2 und c_{3}(E) = deg Y = n. Daher kommt nur E = O_{ℙ} (1)^{2} ⊕ O_{ℙ} (n) in Betracht, so daß wir eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ mit deg C = c_{2}(E) = 2n + 1 suchen müssen. Auf dieser Kurve soll O_{C}(Y) ≅ ω_{C}(−e) ≅ ω_{C}(−n + 2) sein, das heißt es muß 2p_{a}(C) − 2 = deg ω_{C} = = deg Y +deg O_{C}(n+2) = deg Y +(n+2) deg C = 2n^{2}−2n−2 gelten, also p_{a}(C) = n(n−1).

Solche Gorensteinkurven findet man bekanntlich, indem man einen Divisor vom Typ (n, n + 1) auf einer nichtsingulären Quadrik Q wählt. Wir verwenden im folgenden die Ergebnisse von [Ha1], III ex. (5.6) über Kurven auf Q. O.E. sei L := V(x_{o}, x_{2}) die Gerade, auf der Y liegt. Diese ist in der nichtsingulären Quadrik Q := V(x_{o}x_{1}−x_{2}x_{3}) ⊆ ℙ enthalten. O.E. sei O_{Q}(L) ≅ O_{Q}(0, 1).

Wir zeigen jetzt, daß Y auf einer Gorensteinkurve C ⊆ Q vom Typ (n, n + 1) liegt. Nach (4.2.a) genügt es dazu h^{o}(O_{Q}(n, n + 1) > n zu beweisen. Wegen h^{1}O_{Q}(n, n + 1) = 0 und h^{2}O_{Q}(n, n + 1) = h^{o}O_{Q}(−n − 2, −n − 3) = 0 nach (2.4) und [Ha1], II (8.20.3) liefert der Satz von Riemann-Roch für Flächen (vgl. [Ha1], V (1.6))

h^{o}O_{Q}(n, n + 1) = \frac{1}{2}D_{1}.D_{2} + 1 + p_{a}
= \frac{1}{2}[n(n + 3) + (n + 1)(n + 2)] + 1 + (n^{2} − n)
= 2n^{2} + 2n + 2
> n

wobei O_{Q}(D_{1}) ≅ O_{Q}(n, n + 1), O_{Q}(D_{2}) ≅ O_{Q}(n, n + 1) ⊗ ω_{Q} ˇ ≅ O_{Q}(n + 2, n + 3) und p_{a} = n(n + 1) − n − (n + 1) + 1 = n^{2} − n ist.

Für diese Kurve C weisen wir nun die Bedingungen von Satz (10.10.b) nach. Wegen ihres Typs ist C projektiv normal. “(1)” Wegen ω_{C} ≅ ω_{Q} ⊗ O_{Q}(n, n + 1) ⊗ O_{C} ≅ O_{Q}(n − 2, n − 1) ⊗ O_{C}, wegen

O_{C}(1) ≅ O_{Q}(1, 1)⊗O_{C}, und wegen O_{C}(Y) ≅ O_{Q}(0, 1)⊗O_{C} gilt O_{C}(Y) ≅ ω_{C}(−n+2), das heißt e = n − 2 und Y definiert einen subkanonischen effektiven Cartier-Divisor auf C. Man beachte dabei, daß Y auf Grund des Typs von C bereits der vollständige Durchschnitt von C mit L sein muß.

“(2)” Um zu zeigen, daß Y die CBE bzgl. ω_{C} hat, genügt es nach (5.7) zu beweisen, daß O_{C}(Y) von globalen Schnitten erzeugt wird, d.h. daß die Divisoren des von Y auf C definierten vollständigen linearen Systems |Y | keinen Punkt gemeinsam haben. Wegen h^{1}J_{C/Q} ⊗ O_{Q}(L) = h^{1}O_{Q}(−n, −n) = 0 ist die kanonische Abbildung H^{o}(Q, O_{Q}(L))⟶H^{o}(C, O_{C}(Y)) surjektiv, so daß die Divisoren aus |Y | als vollständige Durchschnitte der paarweise disjunkten Geraden aus | L | mit C ebenfalls paarweise disjunkt sind.

“(3)” Die Symmetrie von H_{Y} wurde weiter oben schon gezeigt. “(4)” Es gilt a_{Y} = n − 2 = e.

Aus alledem folgt, daß Y das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines zerfallenden O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit den Chernklassen c_{1}(E) = e + 4 = n + 2, c_{2}(E) = deg C = 2n + 1 und c_{3}(E) = deg Y = n darstellt. Wie man an Hand dieser Chernklassen erkennt, ist E ≅ O_{ℙ} (1) ⊕ O_{ℙ} (1) ⊕ O_{ℙ} (n), was dem erwarteten Ergebnis entspricht.

(10.13) Beispiel:

Y bestehe aus vier komplanaren reduzierten Punkten, von denen keine drei kollinear sind. Unser Ziel ist es wieder, Y mit Hilfe von Satz (10.10) als vollständigen Durchschnitt darzustellen. Mittels a priori Überlegungen wollen wir dazu zunächst die gesuchte Kurve C näher bestimmen.

Wir betrachten die Hilbertfunktion von Y . Es ist H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3 und H_{Y} (n) = 4 für n ≥ 2. Also ist a_{Y} = 1 und H_{Y} ist symmetrisch. Das zerfallende Bündel E, das Y als Nullstellenschema haben soll, muß infolgedessen die Chernklassen c_{1}(E) = a_{Y} + 4 = 5 und c_{3}(E) = deg Y = 4 besitzen. Somit muß es sich um E = O_{ℙ} (1) ⊕ O_{ℙ} (2)^{2} handeln, und es folgt c_{2}(E) = 8. Also brauchen wir eine Gorensteinkurve C ⊆ ℙ mit deg C = c_{2}(E) = 8 und 2p_{a}(C)−2 = deg ω_{C} = deg O_{C}(Y)⊗O_{C}(e) = deg Y + deg C = 12, also p_{a}(C) = 7. Auf Grund dieses Grades und Geschlechts ist klar, daß C weder eine ebene Kurve ist noch auf einer Quadrik liegen kann (vgl. [Ha1], IV (6.4.1)). Also müssen wir auf einer kubischen Fläche suchen, und tatsächlich gelingt es uns mittels [Ha1], V (4.8) einen geeigneten Divisor aufzutreiben.

Betrachte eine nichtsinguläre kubische Fläche S ⊆ ℙ . Im folgenden verwenden wir die Notationen und Ergebnisse von [Ha1], V § 4 über kubische Flächen im Raum. Sei C ⊆ S eine nichtsinguläre irreduzible Kurve, die einen Divisor aus dem zu der amplen

invertierbaren Garbe O_{S}(8l − 3 ∑_{i=1}^{4} e_{i} − 2e_{5} − 2e_{6}) gehörigen vollständigen Linearsystem

repräsentiert (vgl. loc. cit. (4.13)). Dann ist deg C = 8, g = 7, und es gilt:

ω_{C}(−1) ≅ ω_{S} ⊗ O_{S}(C) ⊗ O_{S}(−1) ⊗ O_{C} ≅ O_{S}(2l − ∑_{i=1}^{4} e_{i}) ⊗ O_{C} =: O_{C}(2l − ∑_{i=1}^{4} e_{1})

Hieraus folgt deg ω_{C}(−1) = 2g − 2 − deg C = 4. Nach der langen exakten Kohomologiesequenz zur kurzen exakten Sequenz

0 ⟶ O_{S}(−6l + 2 ∑_{i=1}^{6} e_{i}) ⟶ O_{S}(2l − ∑_{i=1}^{4} e_{i}) ⟶^{ε} O_{C}(2l − ∑_{i=1}^{4} e_{i}) ⟶ 0

sowie wegen h^{i}O_{S}(−6l+2 ∑_{j=1}^{6} e_{j}) = 0 für i = 0, 1 (vgl. [Ha1], III ex. (7.1) und V ex. (4.12))

ist

h^{o}ω_{C}(−1) = h^{o}O_{S}(2l − ∑_{i=1}^{4} e_{i}) = 2,

denn das zu letzterer Kohomologiegruppe gehörige Linearsystem entspricht nach [Ha1], V (4.8.1) dem Linearsystem der ebenen quadratischen Kurven, die durch P_{1}, …, P_{4} gehen, welches wiederum nach [Ha1], V (4.2.a) 2–dimensional ist.

Sei Y′ ⊆ C das Nullstellenschema eines regulären globalen Schnitts von ω_{C}(−1), wobei wir wegen h^{o}ω_{C}(−1) = 2 annehmen können, daß Y′ reduziert ist. Wir beweisen zunächst, daß Y′ aus vier komplanaren reduzierten Punkten besteht, von denen keine drei kollinear sind. Damit folgt dann, daß es einen Automorphismus von ℙ gibt, der die Punkte von Y′ in die Punkte von Y überführt, so daß wir o.E. Y′ = Y annehmen können.

Für die Komplanarität der Punkte von Y′ ist h^{1}J_{Y′}(1) = 1 zu zeigen. Betrachte die kurze exakte Sequenz

(∗)  0 ⟶ J_{C} ⟶ J_{Y′} ⟶ J_{Y′/C} ⟶ 0

wobei J_{Y′/C} die Idealgarbe von Y in C bezeichnet, d.h. J_{Y′/C} ≅ O_{C}(−Y) ≅ ω_{C}ˇ (1). Da die Kurve C auf Grund ihres Grades und Geschlechts keine ebene Kurve ist, gilt h^{o}J_{C}(1) = 0, woraus sich

h^{1}J_{C}(1) = h^{o}O_{C}(1) − h^{o}O_{ℙ} (1) = deg C + 1 − g + h^{o}ω_{C}(−1) − 4 = 0

ergibt. Mit anderen Worten ist C linear normal und nach (∗) folgt

h^{o}J_{Y′}(1) = h^{o}J_{Y′/C}(1) = h^{o}ω_{C}ˇ (2) = h^{o}O_{C}(l − e_{5} − e_{6}).

Aus der kanonischen exakten Sequenz

0 ⟶ O_{S}(−7l + 3 ∑_{i=1}^{4} e_{i} + e_{5} + e_{6}) ⟶ O_{S}(l − e_{5} − e_{6}) ⟶ O_{C}(l − e_{5} − e_{6}) ⟶ 0

und weil O_{S}(7l − 3 ∑_{i=1}^{4} e_{i} − e_{5} − e_{6}) ampel ist, schließen wir

h^{o}O_{C}(l − e_{5} − e_{6}) = h^{o}O_{S}(l − e_{5} − e_{6}) = 1,

denn das zu letzterer Kohomologiegruppe gehörige Linearsystem entspricht der Geraden in ℙ^{2} durch P_{5} und P_{6} (vgl. [Ha1], V (4.8.1)).

Insgesamt ist also h^{1}J_{Y′}(1) = 1, das heißt H_{Y′}(0) = 1, H_{Y′}(1) = 3 und H_{Y′}(i) = 4 für i ≥ 2. Somit ist a_{Y′} = 1 und H_{Y′} ist symmetrisch. Daß keine drei Punkte von Y′ kollinear sind, folgt, wenn wir gezeigt haben, daß Y′ das Nullstellenschema eines regulären Schnitts eines lokalfreien O_{ℙ} –Moduls E vom Rang drei mit deg(det E) = 5 ist, weil Y′ nach (4.15) dann die CBE bzgl. O_{ℙ} (1) hat. Hierzu ist nach (10.6) nur noch zu zeigen, daß O_{C}(Y′) von globalen Schnitten erzeugt wird. Wegen der Isomorphie der kanonischen Abbildung

H^{o}(ε): H^{o}(S, O_{S}(2l − ∑_{i=1}^{4} e_{i})) ⟶ H^{o}(C, O_{C}(Y′))

(siehe oben) folgt dies daraus, daß das vollständige Linearsystem der ebenen quadratischen Kurven durch P_{1}, …, P_{4} keine nicht vorgeschriebenen Fixpunkte hat (vgl. loc. cit. (4.1)).

Um zu zeigen, daß E zerfällt, ist schließlich zu beweisen, daß C projektiv normal ist. Wegen h^{1}O_{C}(2) = h^{o}ω_{C}(−2) = 0 (aus Gradgründen) und h^{1}J_{C}(1) = 0 (siehe oben) ist dazu gemäß [ACGH] III ex. D-5 noch h^{1}J_{C}(2) = h^{1}J_{C}(3) = 0 zu zeigen. Wegen ihres Grades und Geschlechts ist die Kurve C in keiner (singulären oder nichtsingulären) Quadrik enthalten (vgl. [Ha1], IV (6.4.1)), so daß sich

h^{1}J_{C}(2) = h^{o}O_{C}(2) − h^{o}O_{ℙ} (2) = deg O_{C}(2) + 1 − g − 10 = 0

ergibt. Mittels der exakten Sequenz

0 ⟶ J_{S} ⟶ J_{C} ⟶ J_{C/S} ⟶ 0

mit J_{S} ≅ O_{ℙ} (−3) und J_{C/S} ≅ O_{S}(−8l + 3 ∑_{i=1}^{4} e_{i} + 2e_{5} + 2e_{6}) berechnen wir

h^{o}J_{C}(3) = h^{o}J_{S}(3) + h^{o}J_{C/S}(3) = 1 + h^{o}O_{S}(l − e_{5} − e_{6}) = 2

und hieraus h^{1}J_{C}(3) = h^{o}O_{C}(3)−h^{o}O_{ℙ} (3)+h^{o}J_{C}(3) = deg O_{C}(3)+1−g−20+2 = 0. Also ist C projektiv normal und E ein zerfallendes Bündel mit den Chernklassen c_{1}(E) = 5, c_{2}(E) = deg C = 8 sowie c_{3}(E) = deg Y = 4, das heißt E ≅ O_{ℙ} (1) ⊕ O_{ℙ} (2) ⊕ O_{ℙ} (2) wie erwartet.

In der Praxis ist es also meist leichter, die Bedingungen von Korollar (10.6) nachzuweisen als die von Satz (10.10.b). Oftmals können wir unsere Ergebnisse daher auch benützen, um zu zeigen, daß ein vorgegebenes 0–dimensionales Schema Y kein vollständiger Durchschnitt ist, oder etwas über die Existenz bzw. Nicht-Existenz gewisser Raumkurven auszusagen. Dazu betrachten wir zwei abschließende Beispiele. (10.14) Beispiel:

Y bestehe aus vier komplanaren Punkten, von denen drei auf einer Geraden und einer außerhalb dieser Geraden liegen. Die Hilbertfunktion von Y lautet H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 3 und H_{Y} (n) = 4 für n ≥ 2. Damit ist a_{Y} = 1 und H_{Y} ist symmetrisch.

(a) Wäre Y ein 0–dimensionaler vollständiger Durchschnitt, d. h. das Nullstellenschema eines globalen Schnitts eines zerfallenden Rang-3-Bündel E, so müßte c_{3}(E) = 4 und c_{1}(E) = a_{Y} + 4 = 5 sein. Also käme nur E = O_{ℙ} (1) ⊕ O_{ℙ} (2)^{2} in Betracht. Dann aber hätte Y nach Satz (4.15) die CBE bzgl. ω_{ℙ} ⊗ det E ≅ O_{ℙ} (1), was nicht der Fall ist. (Man vergleiche hierzu auch Beispiel (8.11.j).)

(b) Jedoch ist Y das Nullstellenschema eines Vektorbündels vom Rang drei. Wählen wir nämlich vier paarweise disjunkte Geraden durch die Punkte von Y , und ist C die von diesen gebildete Raumkurve, so ist deg C = 4, O_{C}(Y) ≅ ω_{C}(3) und O_{C}(Y) wird von globalen Schnitten erzeugt. Also gibt es ein Rang-3-Bündel E mit c_{1}(E) = 1, c_{2}(E) = 4 und c_{3}(E) = 4, so daß Y das Nullstellenschema eines globalen Schnitts von E ist.

Wir zeigen noch wie oben, daß E keinen invertierbaren direkten Summanden abspaltet. Angenommen, E ≅ O_{ℙ} (a) ⊕ F mit a > 0 und einem Rang-2-Bündel F. Aus c_{1}(F) + a = 1, a · c_{1}(F) + c_{2}(F) = 4 und a · c_{2}(F) = 4 folgt dann a = 1, c_{1}(F) = 0 und c_{2}(F) = 4. Also hätte die zweite Komponente des Y definierenden Schnitts s eine Gorensteinkurve D zum Nullstellenschema mit deg D = c_{2}(F) = 4 und p_{a}(D) = \frac{1}{2}c_{2}(F)(c_{1}(F) − 4) + 1 = −7. Dies ist offenbar unmöglich. Folglich zerfällt E nicht wie angenommen.

(10.15) Beispiel:

Y bestehe aus acht reduzierten Punkten in ℙ . Angenommen, wir wollen Y als den vollständigen Durchschnitt dreier Quadriken darstellen. Dann muß Y die folgende Hilbertfunktion haben: H_{Y} (0) = 1, H_{Y} (1) = 4, H_{Y} (2) = 7 und H_{Y} (n) = 8 für n ≥ 3. Wie man sieht, ist H_{Y} symmetrisch und a_{Y} = 2. Für E = O_{ℙ} (2)^{3} ist c_{1}(E) = 6 = a_{Y} + 4, c_{2}(E) = 12 und c_{3}(E) = deg Y = 8. Also ist das Schema Y , wenn es ein derartiger vollständiger Durchschnitt ist, in einer Gorensteinkurve C enthalten mit deg C = 12 und 2p_{a}(C) − 2 = deg ω_{C} = deg Y + deg O_{C}(a_{Y}) = 8 + 2 · deg C = 30, also p_{a}(C) = 17.

(a) Besteht Y aus den in Beispiel (8.14) untersuchten acht Punkten auf der “twisted cubic”, so ist Y zwar ein arithmetisches Gorensteinschema (d.h. H_{Y} und a_{Y} stimmen), aber kein vollständiger Durchschnitt. Somit gibt es keine projektiv normale Gorensteinkurve C ⊆ ℙ , die Y umfaßt und die Bedingungen von Satz (10.10.b) erfüllt.

(b) Besteht Y aus den acht Eckpunkten eines Quaders, so gibt es eine projektiv normale Gorensteinkurve C durch diese mit deg C = 12 und p_{a}(C) = 17. Das Ideal von C wird von den 2 × 2–Unterdeterminanten einer 3 × 2–Matrix quadratischer Formen erzeugt.

Anhang A: Spuren auf Moduln über endlichdimensionalen Algebren

Dieser Anhang verallgemeinert die in [K2], E.15-17 gewonnenen Ergebnisse. Sei A eine endlichdimensionale Algebra über einem Körper k. Dann ist A ein semilokaler artinscher Ring. Bezeichne seine Primideale mit 𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}. Offensichtlich ist A ≅ ⨁_{i=1}^{r} A_{𝔭_{i}}.

Sei M ein endlich erzeugter A–Modul. Insbesondere ist M ein endlichdimensionaler k –Vektorraum. Wie üblich sei die A–Modulstruktur auf Hom_{k}(M, k) definiert durch

\begin{matrix}A × Hom_{k}(M, k) & ⟶ & Hom_{k}(M, k) \\ (a, l) & ⟼ & (m ↦ l(a · m)). \end{matrix}

(A1) Definition:

Gibt es einen A–Isomorphismus Hom_{k}(M, k) ≅ A, so heißt jede A–Basis σ: M ⟶ k von Hom_{k}(M, k) eine Spur auf M. (A2) Beispiel:

Der Dualmodul M := Hom_{k}(A, k) hat eine kanonische Spur σ , nämlich die Auswertung bei Eins

\begin{matrix}σ: M & ⟶ & k \\ l & ⟼ & l(1) \end{matrix}

Dies folgt aus der Isomorphie der kanonischen Abbildung

\begin{matrix}A & ⟶ & Hom_{k}(M, k) \\ a & ⟼ & a · σ = (l ↦ l(a)) \end{matrix}

von A in sein k –Bidual.

(A3) Satz.

Für jedes Ideal I von A besteht der Modul I · Hom_{k}(M, k) aus genau denjenigen Linearformen l: M ⟶ k, die auf 0 :_{M} I := {m ∈ M: I · m = 0} verschwinden. Insbesondere hat man die Formel:

dim_{k}(I · Hom_{k}(M, k)) = dim_{k}(M/ 0 :_{M} I)

Beweis:

Da jede Linearform aus I · Hom_{k}(M, k) auf 0 :_{M} I verschwindet, hat man eine wohldefinierte k –lineare Abbildung

\begin{matrix}I · Hom_{k}(M, k) & ⟶ & Hom_{k}(M/ 0 :_{M} I, k) \\ l & ⟼ & (m + 0 :_{M} I ↦ l(m)) \end{matrix}

und diese ist offensichtlich injektiv. Daher genügt es, die Behauptung

dim_{k}(I · Hom_{k}(M, k)) ≥ dim_{k}(M/ 0 :_{M} I)

zu beweisen. Dazu wenden wir vollständige Induktion nach der minimalen Erzeugendenzahl μ(I) an.

Für I = (0) ist die Behauptung klar. Sei die Behauptung jetzt für ein Ideal I ⊆ A bereits bewiesen und sei J = (I, a) mit einem Element a ∈ A \ I. Schreibe M = V ⊕ ( 0 :_{M} I) mit einem k –Untervektorraum V ⊆ M, und setze s := dim_{k} V = dim_{k}(M/ 0 :_{M} I). Nach Voraussetzung gibt es dann linear unabhängige k –Linearformen l_{1}, …, l_{s} ∈ I · Hom_{k}(M, k). Wegen I ⊆ J gilt 0 :_{M} J ⊆ 0 :_{M} I. Also gibt es k –linear unabhängige Elemente

m_{1}, …, m_{t} ∈ 0 :_{M} I mit 0 :_{M} I = k · m_{1} ⊕ ⋯ ⊕ k · m_{t} ⊕ 0 :_{M} J. Nun sind die El-

emente a · m_{1}, …, a · m_{t} ∈ M ebenfalls linear unabhängig über k, denn hat man eine

Relation ∑_{i=1}^{t} λ_{i}am_{i} = 0 (λ_{i} ∈ k), so folgt a · (∑_{i=1}^{t} λ_{i}m_{i}) = 0 und I · (∑_{i=1}^{t} λ_{i}m_{i}) = 0,

also ∑_{i=1}^{t}λ_{i}m_{i} ∈ 0 :_{M} J, und somit λ_{1} = ⋯ = λ_{t} = 0. Wähle jetzt Linearformen

l′_{1}, …, l′_{t} ∈ Hom_{k}(M, k), so daß gilt: l′_{i}(am_{j}) = δ_{ij} für i, j = 1, …, t.

Insgesamt ergibt sich, daß die Linearformen l_{1}, …, l_{s}, al′_{1}, …, al′_{t} k –linear unabhängig sind, da aus einer Relation

(λ_{i}, μ_{j} ∈ k )  l := ∑_{i=1}^{s} λ_{i}l_{i} + ∑_{j=1}^{t} μ_{j}al′_{j} = 0

zuerst μ_{j} = l(m_{j}) = 0 für j = 1, …, t und dann λ_{i} = 0 für i = 1, …, s folgt, wenn man die lineare Unabhängigkeit der Formen l_{1}, …, l_{s} benützt. Also gilt:

dim_{k}(J · Hom_{k}(M, k)) ≥ s + t = dim_{k}(M/ 0 :_{M} J)  q.e.d.

(A4) Satz.

Die folgenden Aussagen sind äquivalent:

(a) Es gibt eine Spur auf M.

(b) Für alle 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} gibt es eine Spur auf M_{𝔭}.

(c) Für alle 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} ist M_{𝔭} ein Cohen-Macaulay-Modul über A_{𝔭} vom Typ 1, das heißt der Sockel

𝔖(M_{𝔭}) := {m ∈ M_{𝔭}: 𝔭A_{𝔭} · m = 0}

von M_{𝔭} ist 1–dimensional über k.

Beweis: “(a) ⟺ (b)” Dies folgt, weil der durch M ≅ ⨁_{i=1}^{r} M_{𝔭_{i}} induzierte A–Homomorphismus

Hom_{k}(M, k) ⟶ ⨁_{i=1}^{r} Hom_{k}(M_{𝔭_{i}}, k)

ein Isomorphismus ist.

“(b) ⟹ (c)” Wende Satz (A3) mit A := A_{𝔭} und I := 𝔭A_{𝔭} an und erhalte die Gleichung:

dim_{k} M_{𝔭} − dim_{k} 𝔖(M_{𝔭}) = dim_{k} 𝔭A_{𝔭} = dim_{k} A_{𝔭} − 1
Wegen dim_{k} M_{𝔭} = dim_{k} Hom_{k}(M_{𝔭}, k) = dim_{k} A_{𝔭} folgt hieraus die Behauptung.

“(c) ⟹ (b)” Eine analoge Anwendung von Satz (A3) liefert:

μ(Hom_{k}(M_{𝔭}, k)) = dim_{k}(Hom_{k}(M_{𝔭}, k)/𝔭 · Hom_{k}(M_{𝔭}, k))
= dim_{k} M_{𝔭} − dim_{k}(M_{𝔭}/𝔖(M_{𝔭})) = 1

Sei σ: M ⟶ k also eine k –lineare Abbildung, die Hom_{k}(M, k) als A–Modul erzeugt, und sei a · σ = 0 für ein Element a ∈ A. Dann folgt:

a′ · σ(a) = σ(a · a′) = (a · σ)(a′) = 0

für alle a′ ∈ A, also τ(a) = 0 für alle Abbildungen τ ∈ Hom_{k}(M, k). Dies ist nur für a = 0 möglich, und somit ist σ sogar eine A–Basis von Hom_{k}(M, k). q.e.d.

(A5) Satz.

Es gebe eine Spur auf M. Sei σ: M ⟶ k eine k –lineare Abbildung, und für alle

Primideale 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} sei σ_{𝔭}: M_{𝔭} ⟶ k die Einschränkung von σ auf M_{𝔭}. Dann sind die folgenden Aussagen äquivalent:

(a) σ ist eine Spur auf M.

(b) Für alle 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} ist σ_{𝔭} eine Spur auf M_{𝔭}.

(c) Für kein 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} annulliert σ_{𝔭} den Sockel von M_{𝔭}, das heißt für alle 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} gilt: σ_{𝔭}(𝔖(M_{𝔭})) ≠ 0

Beweis: “(a) ⟺ (b)” Dies folgt, weil der kanonische A–Isomorphismus

Hom_{k}(M, k) ˜⟶ ⨁_{i=1}^{r} Hom_{k}(M_{𝔭_{i}}, k)

offensichtlich σ auf das Tupel (σ_{𝔭_{i}})_{i=1,...,r} abbildet.

“(b) ⟹ (c)” Ist σ_{𝔭}: M_{𝔭} ⟶ k für ein 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} eine Spur von M_{𝔭}, so liegt σ_{𝔭}

nicht in 𝔭 · Hom_{k}(M_{𝔭}, k) und annulliert nach Satz (A3) daher 𝔖(M_{𝔭}) nicht. “(c) ⟹ (b)” Nach Satz (A3) liegt σ_{𝔭} für 𝔭 ∈ {𝔭_{1}, …, 𝔭_{r}} nicht in 𝔭 · Hom_{k}(M_{𝔭}, k)

und bildet nach dem Lemma von Nakayama somit ein A_{𝔭} –Erzeugendensystem von Hom_{k}(M_{𝔭}, k). Wie oben schließt man hieraus, daß σ_{𝔭} sogar eine Spur auf M_{𝔭} darstellt. q.e.d.

Anhang B: Aufsteigend filtrierte Algebren

Nachfolgend beschreiben wir, wie die Ergebnisse von [KK], § 1 abzuändern sind, wenn man von aufsteigend filtrierten Algebren ausgeht. Da wir es nur mit Gradfiltrierungen zu tun haben, ist diese Abänderung zweckmäßig. Sei S/R eine Algebra und F = (F_{i})_{i∈ ℤ} eine Familie von R–Moduln F_{i} ⊆ S (i ∈ ℤ). (B1) Definition:

(S/R, F) heißt eine aufsteigend filtrierte Algebra, wenn gilt:

(a) ∀ i ∈ ℤ : F_{i} ⊆ F_{i+1}

(b) ∀ i, j ∈ ℤ : F_{i} · F_{j} ⊆ F_{i+j}

(c) 1 ∈ F_{o}

(d) ⋃_{i∈ ℤ} F_{i} = S

Im folgenden sei (S/R, F) eine aufsteigend filtrierte Algebra und F sei separierend, das heißt ⋂_{i∈ ℤ} F_{i} = 0.

(B2) Definition:

(a) Die graduierte R[T]–Algebra

R_{F}(S) := ⨁_{i∈ ℤ} F_{i} · T^{i} ⊆ S[T]_{T}

heißt die Rees-Algebra von (S/R, F).

(b) Die graduierte R–Algebra

gr_{F}(S) := ⨁_{i∈ ℤ} F_{i}/F_{i−1}

heißt der graduierte Ring von (S/R, F). (B3) Bemerkung:

Das Element T ist ein homogener Nichtnullteiler von R_{F}(S) vom Grad eins, und T − 1 ist ebenfalls ein Nichtnullteiler von R_{F}(S). (B4) Definition:

Für f ∈ S \ {0} heißt

(a) ord_{F} f := min{i ∈ ℤ : f ∈ F_{i}} die Ordnung von f,

(b) f^{∗} := f · T^{ord_{F} f} ∈ R_{F}(S) die Homogenisierung von f, und

(c) L_{F}f := f + F_{ord_{F} f−1} ∈ gr_{F}(S) die Leitform von f.

Für f = 0 setzen wir ord_{F} f := −∞, f^{∗} := 0 und L_{F}f := 0.

(B5) Bemerkung:

(a) Es gelten folgende Rechenregeln für die Ordnung:

(1)  ∀ f, g ∈ S: ord_{F}(f + g) ≤ max {ord_{F} f, ord_{F} g}
(2)  ∀ f, g ∈ S: ord_{F}(f · g) ≤ ord_{F} f + ord_{F} g

(b) Die R[T]–Algebra R_{F}(S) wird von den Homogenisierungen f^{∗} (f ∈ S) erzeugt. Jedes homogene Element von R_{F}(S) schreibt sich eindeutig in der Form f^{∗} · T^{n} mit f ∈ S und n ∈ ℕ .

(c) Die R–Algebra gr_{F}(S) wird von den Leitformen L_{F}f (f ∈ S) erzeugt. Jedes homogene Element von gr_{F}(S) ist eine Leitform L_{F}f mit f ∈ S.

(B6) Beispiel:

Sei S := R[X_{1}, …, X_{r}] der in der üblichen Weise graduierte Polynomring über R. Dann ist S/R aufsteigend filtriert durch die Gradfiltrierung F = (F_{i})_{i∈ ℤ} mit

F_{i} = {f ∈ S: deg f ≤ i}.

Für f = ∑_{(ν)} a_{ν}X^{ν} ∈ S gilt dann: ord_{F} f = deg f,

f^{∗} = f · T^{deg f} = ∑_{(ν)} a_{ν}T^{deg f−|ν|}(X_{1}T)^{ν_{1}} ⋯ (X_{r}T)^{ν_{r}}

= ∑_{(ν)} a_{ν}T^{deg f−|ν|}(X_{1}^{∗})^{ν_{1}} ⋯ (X_{r}^{∗})^{ν_{r}}

und L_{F}f = ∑_{|ν|=deg f} a_{ν}(X_{1}^{∗})^{ν_{1}} ⋯ (X_{r}^{∗})^{ν_{r}}.

Insbesondere erhält man einen Isomorphismus

R_{F}(S) ≅ R[T, X_{1}^{∗}, …, X_{r}^{∗}].

Identifiziert man wie üblich die Variablen T, X_{1}^{∗}, …, X_{r}^{∗} wieder mit X_{o}, X_{1}, …, X_{r},so ist

f^{∗}(X_{o}, …, X_{r}) = X_{o}^{deg f} · f(\frac{X_{1}}{X_{o}} , …, \frac{X_{r}}{X_{o}})

die gewöhnliche Homogenisierung von f, und L_{F}f ist die gewöhnliche Gradform, d.h. der homogene Bestandteil höchsten Grades von f.

Die nächsten Aussagen kann man mit diesen Definitionen jetzt analog wie in [KK], § 1 beweisen. (B7) Bemerkung:

Für f_{1}, …, f_{n} ∈ S sind die folgenden Behauptungen äquivalent:

(a) ord_{F}(f_{1} ⋯ f_{n}) = ∑_{i=1}^{n} ord_{F} f_{i}

(b) L_{F}(f_{1} … f_{n}) = L_{F}f_{1} ⋯ L_{F}f_{n} in gr_{F}(S)

(c) L_{F}(f_{1} ⋯ f_{n}) ≠ 0 in gr_{F}(S)

(d) (f_{1} ⋯ f_{n})^{∗} = f_{1}^{∗} ⋯ f_{n}^{∗} in R_{F}(S)

(B8) Satz.

Man hat einen Isomorphismus graduierter R–Algebren

\begin{matrix}R_{F}(S)/T · R_{F}(S) & ˜⟶ & gr_{F}(S) \\ ∑_{i∈ ℤ} a_{i}T^{i} + T · R_{F}(S) & ⟼ & ∑_{i∈ ℤ} (a_{i} + F_{i−1}) \end{matrix}

und einen Isomorphismus von R–Algebren

\begin{matrix}R_{F}(S)/(T − 1) · R_{F}(S) & ˜⟶ & S \\ ∑_{i∈ ℤ} a_{i}T^{i} + (T − 1) · R_{F}(S) & ⟼ & ∑_{i∈ ℤ} a_{i} \end{matrix}

(B9) Satz.

Sei I ⊆ S ein Ideal, I^{∗}:= (f^{∗})_{f∈I} die Homogenisierung von I und gr_{F}(I) := (L_{F}f)_{f∈I} das Leitformenideal von I. Dann ist F̄ := (F̄_{i})_{i∈ ℤ} := (F_{i}/F_{i} ∩ I)_{i∈ ℤ} eine aufsteigende Filtrierung der R–Algebra S/I, genannt die Restklassenfiltrierung von F, und man hat einen Isomorphismus graduierter R[T]–Algebren

RF̄(S/I) ≅ R_{F}(S)/I^{∗}

sowie einen Isomorphismus graduierter R–Algebren

gr_{F}(S/I) ≅ gr_{F}(S)/ gr_{F}(I).

(B10) Satz.

Seien b_{1}, …, b_{m} ∈ S. Dann gilt:

(a) Erzeugen die Leitformen L_{F}b_{1}, …, L_{F}b_{m} den R–Modul gr_{F}(S), so erzeugen die Homogenisierungen b_{1}^{∗}, …, b_{m}^{∗} den R[T]–Modul R_{F}(S), und die Elemente b_{1}, …, b_{m} erzeugen den R–Modul S.

(b) Bildet {L_{F}b_{1}, …, L_{F}b_{n}} eine R–Basis von gr_{F}(S), so bildet {b_{1}^{∗}, …, b_{m}^{∗}} eine R[T]–Basis von R_{F}(S), und {b_{1}, …, b_{m}} bildet eine R–Basis von S.

Unser letztes Resultat befaßt sich mit der Liftung filtrierender Abbildungen.

(B11) Satz.

Sei σ: S ⟶ R eine filtrierende R–lineare Abbildung vom Grad −ρ, das heißt es sei σ(F_{ρ−1}) = 0 und σ(F_{ρ}) ≠ 0 (ρ ∈ ℕ). Außerdem gelte F_{ρ} = S.

(a) Die R–lineare Abbildung σ^{o}: gr_{F}(S) ⟶ R (L_{F}f ⟼ σ(f) für f ∈ S) und die R[T]–lineare Abbildung σ^{∗}: R_{F}(S) ⟶ R[T] (f^{∗} ·T^{n} ⟼ σ(f)·T^{n} für f ∈ S, n ∈ ℕ) sind wohldefiniert und homogen vom Grad −ρ.

(b) Bei den kanonischen Homomorphismen

φ: Hom_{R[T]}(R_{F}(S), R[T]) ⟶ Hom_{R}(S, R)  und
ψ: Hom_{R[T]}(R_{F}(S), R[T]) ⟶ Hom_{R}(gr_{F}(S), R)

(vgl. [KK], § 3) gilt φ(σ^{∗}) = σ und ψ(σ^{∗}) = σ^{o}.

Beweis: “(a)” Vgl. (B5.b) und (B5.c). “(b)” Dies ist klar, da φ (bzw. ψ) die Abbildung σ^{∗} auf ihre Reduktion modulo (T −1)·S^{∗}

(bzw. T · S^{∗}) abbildet. q.e.d.

Anhang C: Vektorbündel mit guten globalen Schnitten

In diesem Anhang definieren wir allgemein, wann ein Vektorbündel “gute” globale Schnitte hat, und untersuchen diesen Begriff für Bündel vom Rang drei auf ℙ _{k}^{3} näher. Sei also k ein algebraisch abgeschlossener Körper, sei ℙ = ℙ^{d} := ℙ _{k}^{d}, und sei E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang r. Bezeichne H := H^{o}(ℙ , E)^{∗} das k –Dual des Vektorraums der globalen Schnitte von E, n := dim_{k} H = h^{o}(E) seine Dimension und 𝕍(H) := Spec Sym_{k}(H) den assoziierten affinen Raum. Dann kann man die globalen Schnitte von E als die abgeschlossenen Punkte von 𝕍(H) auffassen, denn

(𝕍(H))_{abg.} ≅ Mor_{k}(Spec k, 𝕍(H)) ≅ Hom_{k−Alg.}(Sym_{k}(H), k) ≅ Hom_{k}(H, k) ≅ H^{o}(ℙ , E).

Für einen kohärenten O_{ℙ} –Modul F bezeichne 𝕍(F) := Spec Sym(F). Insbesondere ist also 𝕍(E ˇ ) das zu E assoziierte Vektorbündel. (C1) Definition:

Für i = 1, …, r − 1 heißt

S_{i} := {s ∈ H^{o}(ℙ , E): dim (s)_{o} ≥ d − r + i}

die Menge der i-fach ausgearteten globalen Schnitte von E.

Für s ∈ H^{o}(ℙ , E) und λ ∈ k \{0} haben s und λs dasselbe Nullstellenschema. Deshalb stellt S_{i} eine kegelförmige Teilmenge von H^{o}(ℙ , E) dar. Das Komplement von S_{1} in H^{o}(ℙ , E) besteht entweder nur aus regulären Schnitten von E oder nur aus Schnitten mit leerem Nullstellenschema. (C2) Bemerkung: (Das Schema der Nullstellen globaler Schnitte von E)

(a) Bekanntlich gibt es ein abgeschlossenes Unterschema 𝕊 (E) ⊆ 𝕍(H) × ℙ^{d}, so daß für

π: 𝕊 (E) ⊆ 𝕍(H) × ℙ^{d} ⟶^{pr_{1}} 𝕍(H)

und jeden globalen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E) gilt:

π^{−1}(s) = {s} × (s)_{o} ≅ (s)_{o}

Das Schema 𝕊 (E) ist dabei sowohl als das Faserprodukt des Nullschnitts ℙ ⟶𝕍(E ˇ ) mit dem Auswertungshomomorphismus δ: 𝕍(H) × ℙ ⟶𝕍(E ˇ ) als auch als das Nullstellenschema des globalen Schnitts Δ := (pr_{1}, δ): 𝕍(H) × ℙ ⟶𝕍(pr_{2}^{∗} E ˇ ) gegeben. Hierbei bezeichnet pr_{i} (i = 1, 2) die Projektion auf den i-ten Faktor von 𝕍(H) × ℙ . Das Schema 𝕊 (E) hat die abgeschlossenen Punkte

{(s, P) ∈ 𝕍(H) × ℙ : P ∈ (s)_{o}}.

(b) Ebenso erhält man ein projektives Schema \overline{𝕊} (E) ⊆ ℙ (H)×ℙ^{d} mit den abgeschlosse-

nen Punkten

{([s], P) ∈ ℙ (H) × ℙ^{d}: P ∈ (s)_{o}}

und einen Morphismus \overline{π}: \overline{𝕊} (E) ⊆ ℙ (H)×ℙ^{d} ⟶^{pr_{1}} ℙ (H) mit \overline{π}^{−1}([s]) ≅ (s)_{o} für alle s ∈ H^{o}(ℙ , E).

(c) Wendet man den Halbstetigkeitssatz von Chevalley auf \overline{π} an, so folgt, daß S_{i} für i = 1, …, r−1 die Menge der abgeschlossenen Punkte einer abgeschlossenen Teilmenge von 𝕍(H) darstellt, die wir wieder mit S_{i} bezeichnen.

(d) Wird E von globalen Schnitten erzeugt, so ist 𝕊 (E) bzgl. 𝕊 (E) ⊆ 𝕍(H)×ℙ^{d} ⟶^{pr_{2}} ℙ^{d} ein Vektorbündel vom Rang n − r.

(C3) Definition:

(a) E hat gute globale Schnitte, wenn E einen regulären globalen Schnitt besitzt und

für alle i = 1, …, r − 1 gilt:

codim (S_{i}, 𝕍(H)) ≥ i

(b) E hat sehr gute globale Schnitte, wenn E gute globale Schnitte hat und es für

jeden Punkt P ∈ ℙ ein s ∈ H^{o}(ℙ , E) gibt mit s_{P} ∉ 𝔪_{P} E_{P} . Mit Hilfe des folgenden Satzes erhalten wir eine große Klasse von Beispielen für diese

beiden Begriffe.

(C4) Satz.

Besitzt E einen regulären globalen Schnitt, und ist dim 𝕊 (E) = d + n − r, so hat E gute globale Schnitte.

Beweis:

Angenommen es gibt ein i ∈ {1, …, r − 1} mit codim (S_{i}, 𝕍(H)) ≤ i − 1, das heißt mit dim S_{i} ≥ n − i + 1. Sei A eine irreduzible Komponente maximaler Dimension von S_{i}, sei η der generische Punkt von A, sei B eine irreduzible Komponente maximaler Dimension von π^{−1}(η), und sei C eine irreduzible Komponente von π^{−1}(A), die B umfaßt.

Versehe A und C mit der induzierten reduzierten Unterschemastruktur von 𝕍(H) bzw. 𝕊 (E). Dann ist π|_{C}: C⟶A ein dominanter Morphismus integrer projektiver Varietäten, denn η ∈ π(B) ⊆ π(C). Es folgt:

dim C = dim A + dim (π|_{C})^{−1}(η)
≥ dim A + dim B
= dim S_{i} + dim π^{−1}(η)

Wähle einen abgeschlossenen Punkt s ∈ A mit dim π^{−1}(s) = dim π^{−1}(η). Wegen s ∈ S_{i} ist dann dim π^{−1}(s) = dim (s)_{o} ≥ d − r + i, also

dim C ≥ dim S_{i} + dim (s)_{o} ≥ (n − i + 1) + (d − r + i) = dim 𝕊 (E) + 1,

was wegen C ⊆ 𝕊 (E) unmöglich ist. q.e.d.

(C5) Korollar.

Wird E von globalen Schnitten erzeugt, und besitzt E einen regulären globalen Schnitt, so hat E sehr gute globale Schnitte.

Beweis:

Nach Bemerkung (C2.d) ist 𝕊 (E) ein Vektorbündel vom Rang n − r über ℙ^{d}. Also gilt insbesondere dim 𝕊 (E) = d + n − r. Wie der Satz zeigt, hat E dann gute globale Schnitte. Die Zusatzbedingung dafür, daß E sogar sehr gute globale Schnitte hat, ist offensichtlich erfüllt. q.e.d. (C6) Beispiel:

Für E = O_{ℙ} (n_{1}) ⊕ ⋯ ⊕ O_{ℙ} (n_{r}) mit n_{1}, …, n_{r} ∈ ℤ sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) E hat gute globale Schnitte.

(b) E hat sehr gute globale Schnitte.

(c) Es gilt r ≤ d und n_{1}, …, n_{r} > 0. Beweis: “(a) ⟹ (c)” Wäre r > d oder ein n_{i} ≤ 0, so besäße E keinen regulären globalen Schnitt. “(c) ⟹ (b)” In diesem Fall wird E von globalen Schnitten erzeugt und besitzt den

regulären globalen Schnitt (X_{1}^{n_{1}}, …, X_{r}^{n_{r}}). “(b) ⟹ (a)” Dies ist klar. q.e.d. (C7) Bemerkung:

(a) Für jedes m ≥ 1 gibt es eine kanonische k –lineare Abbildung

\begin{matrix}Φ_{m}: ⋀_{k}^{m}H^{o}(ℙ , E) & ⟶ & H^{o}(ℙ , ⋀^{m}E) \\ s_{1} ∧_{k} ⋯ ∧_{k} s_{m} & ⟼ & s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m}. \end{matrix}

Insbesondere sind globale Schnitte s_{1}, …, s_{m} ∈ H^{o}(ℙ , E) mit 1 ≤ m ≤ n k –linear unabhängig, wenn s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m} ≠ 0 ist in H^{o}(ℙ , ⋀^{m}E).

(b) Sind s_{1}, …, s_{m} ∈ H^{o}(ℙ , E) k –linear unabhängige Schnitte mit dim (s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m−1})_{o} ≤ d − 2, so ist s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m} ≠ 0 in H^{o}(ℙ , ⋀^{m}E).

(c) Die Funktion ℤ ⟶ℕ (m ↦ h^{o}E(m)) ist monoton zunehmend.

(d) Ist h^{o}E(−1) ≠ 0, so ist h^{o}E ≥ d + 1. Beweis: “(a)” Die Abbildung H^{o}(ℙ , E)^{m} ⟶ H^{o}(ℙ , ⋀^{m}E) ((s_{1}, …, s_{m}) ↦ s_{1}∧⋯∧s_{m}) ist offenbar

k –multilinear und alternierend. Wende jetzt die universelle Eigenschaft der äußeren Potenz an.

“(b)” Angenommen s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m} = 0. Sei η der generische Punkt von ℙ . Dann ist (s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m})_{η} = 0. Also gibt es φ_{1}, .., φ_{m} ∈ O_{ℙ ,η} mit φ_{1}(s_{1})_{η} + ⋯ + φ_{m}(s_{m})_{η} = 0. Wegen (s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m−1})_{η} ≠ 0 muß dabei φ_{m} ≠ 0 sein. Finde eine offene affine Teilmenge U ⊆ ℙ der Form U = D_{+}(F) mit einem homog. Polynom F ∈ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (δ)) vom Grad δ und Funktionen f_{1}, …, f_{m} ∈ H^{o}(U, O_{U}), so daß φ_{i} für i = 1, …, m der Keim von f_{i} in η ist und f_{1}(s_{1}|_{U}) + ⋯ + f_{m}(s_{m}|_{U}) = 0. Nach [Ha1], II (5.14) gibt es ein N ∈ ℕ , so daß sich F^{N}f_{1}, …, F^{N}f_{m} zu globalen Schnitten g_{1}, …, g_{m} von O_{ℙ} (δN) fortsetzen. Aus (g_{1}s_{1} + ⋯ + g_{m}s_{m})|_{U}= 0 folgt dann g_{1}s_{1} +⋯+g_{m}s_{m} = 0 in H^{o}(ℙ , E(δN)). O. E. kann man hierbei annehmen, daß g_{1}, …, g_{m} keinen gemeinsamen Teiler haben. Auf Grund der linearen Unabhängigkeit von {s_{1}, …, s_{m}} kann g_{m} nicht konstant sein. Auf der Hyperfläche H := V(g_{m}) gilt dann (g_{1}s_{1})|_{H}+ ⋯ + (g_{m−1}s_{m−1})|_{H}= 0, also

(∗)  (g_{i}|_{H})(s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m−1})|_{H}= 0

für i = 1, …, m − 1. Wegen der Teilerfremdheit von g_{1}, …, g_{m} gibt es eine irreduzible Komponente H′ ⊆ H und ein i ∈ {1, …, m − 1} mit g_{i}|_{H′}≠ 0. Also ist U′ := D_{+}(g_{i})∩H′ eine nichtleere offene Teilmenge von H′ mit U′ ⊆ (s_{1}∧⋯∧s_{m−1})_{o}. Dies widerspricht der Voraussetzung dim (s_{1} ∧ ⋯ ∧ s_{m−1})_{o} ≤ d − 2.

“(c)” Die Multiplikation μ_{X_{o}}: H^{o}(ℙ , E(m−1))⟶H^{o}(ℙ , E(m)) ist für alle m ∈ ℤ injektiv. “(d)” Für s ∈ H^{o}(ℙ , E(−1)) \ {0} ist die Multiplikation μ_{s}: H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (1))⟶H^{o}(ℙ , E)

injektiv. q.e.d. Im folgenden spezialisieren wir auf den Fall d = r = 3 und geben Kriterien dafür an,

daß E gute bzw. sehr gute globale Schnitte hat. Sei also ℙ := ℙ _{k}^{3} , und E sei ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang drei. Dann ist auch ⋀^{2}E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang drei.

(C8) Lemma.

Sei s ∈ H^{o}(ℙ , E) ein regulärer Schnitt von E und Y := (s)_{o}. Definiert man F := ker sˇ , so hat man eine exakte Sequenz

(1)  0 ⟶ F ⟶^{i} E ˇ ⟶^{s}ˇ J_{Y} ⟶ 0.

Es gilt:

(a) F ist ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang zwei, der außerhalb von Y lokalfrei ist, und Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ≅ O_{Y} .

(b) Ist s′ ∈ H^{o}(ℙ , E) ein weiterer globaler Schnitt von E und setzt man t := H^{o}(iˇ )(s′) ∈ H^{o}(ℙ , F ˇ ), so ist (t)_{o} = (s ∧ s′)_{o}.

Beweis: “(a)” Aus codim (Y, ℙ) = 3 und der kohomologischen Charakterisierung der Tiefe folgt

Ext _{O_{ℙ}}^{1} (J_{Y} , O_{ℙ}) = 0, weshalb Dualisieren von (1) die exakte Sequenz

(2)  0 ⟶ O_{ℙ} ⟶^{s} E ⟶^{i}ˇ F ˇ ⟶ 0

und nochmaliges Dualisieren die exakte Sequenz

(3)  0 ⟶ F ˇ ˇ ⟶^{iˇ} ˇ E ˇ ⟶^{s}ˇ O_{ℙ} ⟶ Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ⟶ 0

liefert. Mithin ist Ext _{O_{ℙ}}^{1} (F ˇ , O_{ℙ}) ≅ O_{Y} und F ˇ ˇ ≅ F, d.h. F ist ein reflexiver O_{ℙ} –Modul vom Rang zwei, der außerhalb von Y lokalfrei ist.

“(b)” Sei

(4)  0 ⟶ O_{ℙ} ⟶^{s} E ⟶^{∧s} ⋀^{2}E ⟶^{∧s} det E ⟶ det E ⊗ O_{Y} ⟶ 0

der Koszulkomplex zu s (vgl. [K1], (4.5) und (4.6)). Nach (2) spaltet (4) wie folgt auf:

(5)  \begin{aligned}O_{ℙ} ⟶^{s} & E & ⟶^{∧s} & ⋀^{2}E & ⟶^{∧s} det E \\ ^{i}ˇ ↘ & ↗^{ı} \\ & F \\ ˇ ↗ & ↘ \\ 0 & 0 \end{aligned}

Wegen t = H^{o}(iˇ )(s′) gilt dann H^{o}(ı)(t) = s ∧ s′. Durch Dualisieren von ı ergibt sich ein kommutatives Dreieck:

(6)  ^{(s∧s′)}ˇ ↘ ↙_{t}_{ˇ O_{ℙ}}^{(⋀^{2}E)ˇ \begin{matrix}ı &  \\ ˇ −↠ \end{matrix} F}

Hierbei ist ıˇ auf Grund der Exaktheit des Koszulkomplexes

(7)  0 ⟶ det E ˇ ⟶ ⋀^{2}E ˇ ⟶ E ˇ ⟶^{s}ˇ J_{Y} ⟶ 0

und wegen F = ker sˇ surjektiv. Wie man an Hand von (6) erkennt, ist im tˇ = im (s∧s′)ˇ , d.h. (t)_{o} ist auch das Nullstellenschema von s∧s′ ∈ H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E).

q.e.d.

(C9) Lemma.

Seien s, s′ ∈ H^{o}(ℙ , E) zwei Schnitte von E, so daß dim (s ∧ s′)_{o} ≤ 1 ist. Dann gilt:

(a) Das Nullstellenschema von s ∧ s′ ∈ H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E) ist rein 1–dimensional.

(b) Genau dann ist C := (s ∧ s′)_{o} eine Gorensteinkurve, wenn (s)_{o} ∩ (s′)_{o} = ∅ ist.

(c) Es gilt (s)_{o} ⊆ (s ∧ s′)_{o} und (s′)_{o} ⊆ (s ∧ s′)_{o}.

Beweis:

Für einen Punkt P ∈ C := (s ∧ s′)_{o} sei {e_{1}, e_{2}, e_{3}} eine Basis von E_{ P̌} , sei s_{P} = t_{1}e_{1} + t_{2}e_{2} + t_{3}e_{3} mit t_{1}, t_{2}, t_{3} ∈ O_{ℙ,P} , und sei s′_{P} = t′_{1}e_{1} + t′_{2}e_{2} + t′_{3}e_{3} mit t′_{1}, t′_{2}, t′_{3} ∈ O_{ℙ,P} . Dann ist das Ideal J_{C,P} von C in O_{ℙ,P} gegeben durch

J_{C,P} = (t_{1}t′_{2} − t_{2}t′_{1}, t_{2}t′_{3} − t_{3}t′_{2}, t_{3}t′_{1} − t_{1}t′_{3}).

“(a)” Für derartige Determinantenideale gilt bekanntlich ht (J_{C,P}) ≤ 2 (vgl. [BV], (2.1)), also dim O_{C,P} ≥ 1. Nach [BV], (2.7) ist O_{C,P} ein Cohen-Macaulay Ring. Folglich ist C = (s ∧ s′)_{o} rein 1–dimensional.

“(b)” “⟹” Angenommen, es gibt einen Punkt P ∈ (s)_{o} ∩ (s′)_{o}. Nach Voraussetzung ist J_{C,P} ein Gorensteinideal der Höhe zwei und damit ein vollständiger Durchschnitt. Auf Grund des Lemmas von Nakayama können wir annehmen, daß {t_{1}t′_{2} −t_{2}t′_{1}, t_{2}t′_{3} −t_{3}t′_{2}} eine reguläre Folge in O_{ℙ,P} ist, die J_{C,P} erzeugt. Wegen (t_{1}t′_{2} − t_{2}t′_{1}, t_{2}t′_{3} − t_{3}t′_{2}) ⊆ (t_{2}, t′_{2}) ist auch {t_{2}, t′_{2}} eine reguläre Folge in O_{ℙ,P} . Wir wenden nun [He2], (3.3) mit R = O_{ℙ,P} , (x_{1}, x_{2}) = (t_{2}, t′_{2}), 𝔄 = ( \begin{matrix}−t′_{1} & t_{1} \\ t′_{3} & −t_{3} \end{matrix} ), (a_{1}, a_{2}) = (t_{1}t′_{2} − t_{2}t′_{1}, t_{2}t′_{3} − t_{3}t′_{2}) und Δ = t_{3}t′_{1} − t_{1}t′_{3} an und erhalten, daß der Komplex

0 ⟶ O_{ℙ,P}^{2} \underrightarrow{( \begin{matrix}t_{3} & t′_{3} \\ t_{1} & t′_{1} \\ t_{2} & t′_{2} \end{matrix} )} O_{ℙ,P}^{3} ⟶^{(a_{1},a_{2},Δ)} O_{ℙ,P} ⟶ O_{C,P} ⟶ 0

exakt ist. Da alle Koeffizienten in 𝔪_{P} liegen, haben wir eine minimale freie Auflösung von O_{C,P} , und es folgt μ(J_{C,P}) = 3 im Widerspruch zur Voraussetzung.

“⟸” Für jeden Punkt P ∈ C enthält nach Voraussetzung entweder {t_{1}, t_{2}, t_{3}} oder {t′_{1}, t′_{2}, t′_{3}} eine Einheit von O_{ℙ,P} . Ist etwa t_{1} ∈ O_{ℙ,P}^{×} , so ergibt sich

J_{C,P} = (t′_{2} − t_{1}^{−1}t_{2}t′_{1}, t′_{3} − t_{1}^{−1}t_{3}t′_{1}),

was wegen ht (J_{C,P}) = 2 zeigt, daß C ein lokal vollständiger Durchschnitt in P ist. “(c)” Für jeden Punkt P ∈ (s)_{o} ist (t_{1}, t_{2}, t_{3}) das Ideal von (s)_{o} in O_{ℙ,P} , und dieses

umfaßt J_{C,P} . q.e.d.

(C10) Satz.

Sei E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang drei auf ℙ := ℙ _{k}^{3} mit n := h^{o}(E) ≥ 2. Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) E hat gute globale Schnitte.

(b) E besitzt einen regulären globalen Schnitt und dim 𝕊 (E) = max {3, n}.

(c) Es gibt zwei reguläre globale Schnitte s_{1}, s_{2} ∈ H^{o}(ℙ , E) mit dim (s_{1} ∧ s_{2})_{o} = 1.

(d) E besitzt einen regulären globalen Schnitt, und für jeden regulären globalen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E) gibt es eine offene Teilmenge V ⊆ 𝕍(H) mit dim (s ∧ s′)_{o} = 1 für alle globalen Schnitte s′ ∈ V_{abg.} .

Beweis: “(a) ⟹ (d)” Wähle einen regulären globalen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E) und einen zu

{λs: λ ∈ k} in 𝕍(H) komplementären linearen Unterraum K ⊆ 𝕍(H). Nach Voraussetzung ist codim (S_{2}, 𝕍(H)) ≥ 2. Also hat der Abschluß des Bildes von S_{2} unter der Projektion längs {λs: λ ∈ k} auf K mindestens die Kodimension eins. Folglich gibt es eine offene Teilmenge V ⊆ 𝕍(H), so daß die Gerade 𝔤_{s′} := {s′ + λs: λ ∈ k} für kein s′ ∈ V die Menge S_{2} trifft. Sei s′ ∈ V . Dann sind insbesondere s und s′ k –linear unabhängig, d.h. nach Bemerkung (C7.b) ist s ∧ s′ ∈ H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E) \ {0} und dim (s ∧ s′)_{o} ≤ 2. Angenommen es gibt eine Fläche H ⊆ ℙ mit H ⊆ (s ∧ s′)_{o}. Bezeichnen m den Grad und f ∈ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (m)) die Gleichung von H, so liegt s ∧ s′ also im Bild der Multiplikationsabbildung μ_{f}: H^{o}(ℙ , (⋀^{2}E)(−m))⟶H^{o}(ℙ , ⋀^{2}E). Betrachte das gemäß (C8)(5) konstruierte kommutative Diagramm mit exakten Zeilen:

0 ⟶ F ˇ (−m) \underrightarrow{ı} ⋀^{2}E(−m) ⟶^{∧s} (det E)(−m)
↓^{f}  ↓^{f}  ↓^{f}
0 ⟶  F ˇ  \underrightarrow{ı}  ⋀^{2}E  ⟶^{∧s}  det E
t  ⟼  s ∧ s′

Es zeigt, daß t im Bild der Multiplikationsabbildung μ̃_{f}: H^{o}(ℙ , F ˇ (−m))⟶H^{o}(ℙ , F ˇ ) liegt. Mit Hilfe der exakten Sequenz (C8)(2) bilden wir nun das folgende kommutative Diagramm mit exakten Zeilen und Spalten:

0  0
↓  ↓
0 ⟶ O_{ℙ} (−m) ⟶^{s} E(−m) ⟶^{i}ˇ  F ˇ (−m) ⟶ 0
f↓  ^{f}↓  ^{f}↓
0 ⟶ O_{ℙ}  ⟶^{s} E ⟶^{i}ˇ  F ˇ  ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0 ⟶ K ⟶ O_{H}  ⟶^{s|_{H}} E |_{H} ⟶^{(iˇ )|_{H}} F ˇ |_{H} ⟶ 0
↓  ↓  ↓
0  0  0

Hierbei wurde K := ker s|_{H} gesetzt, so daß für P ∉ (s)_{o} gemäß (C8.a) gilt:

K_{P} ≅ Tor_{O_{ℙ,P}}^{1} (F_{P̌} , O_{H,P}) ≅ Tor_{O_{ℙ,P}}^{1} (O_{ℙ,P}^{2} , O_{H,P}) = 0

Nach (C8.b) ist H ⊆ (s ∧ s′)_{o} = (t)_{o}, so daß das Bild von t in H^{o}(H, F ˇ |_{H}) verschwindet. Weil die Sequenz

0 ⟶ s · O_{H} ⟶ E |_{H} ⟶^{iˇ |_{H}} F ˇ |_{H}⟶ 0

exakt und t|_{H}= iˇ |_{H} (s′|_{H}) ist, liegt der Schnitt s′|_{H} also in H^{o}(H, s·O_{H}). Betrachte nun die exakte Sequenz

0 ⟶ K ⟶ O_{H} ⟶^{s|_{H}} s · O_{H} ⟶ 0.

Auf Grund des oben Gezeigten ist Supp K ⊆ (s)_{o} 0–dimensional, und daher ist

die Abbildung H^{o}(H, O_{H}) ⟶^{H^{o}(s|_{H})} H^{o}(H, s · O_{H}) surjektiv. Da H^{o}(H, O_{H}) ≅ k ist, gibt es ein λ ∈ k mit s′ |_{H}= λ · s |_{H}. Dann liegt aber s′ − λs im Bild von μ_{f} und somit in S_{2} , was der Voraussetzung 𝔤_{s′} ∩ S_{2} = ∅ widerspricht. Insgesamt ergibt sich dim (s ∧ s′)_{o} ≤ 1, und nach (C9.a) ist C = (s ∧ s′)_{o} rein 1–dimensional.

“(d) ⟹ (c)” Wegen S_{1} ⊊ H^{o}(ℙ , E), und weil E einen regulären globalen Schnitt besitzt,

gibt es einen regulären Schnitt s_{2} ∈ V (vgl. (C1)). “(c) ⟹ (b)” Nach Voraussetzung ist s_{1} ∧ s_{2} ≠ 0. Nach Bemerkung (C7.a) folgt,

daß s_{1} und s_{2} k –linear unabhängig sind. Ergänze s_{1} und s_{2} zu einer k –Basis {s_{1}, …, s_{n}} von H^{o}(ℙ , E). Wähle eine offene affine Teilmenge U ⊆ ℙ , über der E eine Trivialisierung E|_{U}= O_{U}e_{1} ⊕ O_{U}e_{2} ⊕ O_{U}e_{3} hat. Da ℙ von solchen Mengen U überdeckt wird, genügt es zu zeigen, daß 𝕊_{U}(E) := 𝕊 (E) ∩ (𝕍(H) × U) die Dimension max {3, n} hat. Schreibe s_{i} = t_{1i}e_{1} + t_{2i}e_{2} + t_{3i}e_{3} für i = 1, …, n. Bekanntlich ist

𝕊_{U}(E) ≅ Spec H^{o}(U, O_{U})[Λ_{1}, …, Λ_{n}]/(t_{1Λ}, t_{2Λ}, t_{3Λ})

mit Unbestimmten Λ_{1}, …, Λ_{n} und mit t_{iΛ} := t_{i1}Λ_{1} + ⋯ + t_{in}Λ_{n} für i = 1, 2, 3 (vgl. Bemerkung (C2)). Für m = 1, 2, 3 sei I_{m} das von den m × m–Minoren der Matrix 𝔄 := (t_{ij}) ∈ M_{3×n}(H^{o}(U, O_{U})) erzeugte Ideal von H^{o}(U, O_{U}). Für den H^{o}(U, O_{U})–Modul

M := coker (H^{o}(U, O_{U})^{3} ⟶^{𝔄^{T}} H^{o}(U, O_{U})^{n})

gilt rk M = n−rk 𝔄. Wegen 𝕊_{U}(E) ≅ Spec Sym M können wir den Satz von A. Simis und W. V. Vasconcelos über die Dimension symmetrischer Algebren (vgl. [SV], (2.2)) anwenden. Wir prüfen seine Voraussetzungen:

(1) Auf Grund der Regularität von s_{1} ist dim ((s_{1})_{o} ∩ U) ≤ 0, also ht (t_{11}, t_{21}, t_{31}) ≥ 3. Insbesondere ist Tiefe (I_{1}) = ht (I_{1}) ≥ 3.

(2) Wegen dim ((s_{1} ∧ s_{2})_{o} ∩ U) ≤ 1 ist Tiefe (I_{2}) = ht (I_{2}) ≥ 2.

(3) Im Fall n ≥ 3 folgt aus der linearen Unabhängigkeit von {s_{1}, s_{2}, s_{3}} und wegen dim (s_{1} ∧ s_{2})_{o} = 1 nach Bemerkung (C7.b), daß s_{1} ∧ s_{2} ∧ s_{3} ≠ 0 ist. Also ist (s_{1} ∧ s_{2} ∧ s_{3})_{o} ∩ U = V(det(t_{ij})_{i,j=1,2,3}) ⊊ U und somit I_{3} ≠ (0), das heißt Tiefe (I_{3}) ≥ 1.

Im Fall n = 2 folgt aus (1) und (2), daß rk M = 0 und nach dem Satz von Simis-Vasconcelos also dim 𝕊_{U}(E) = 3 ist. Im Fall n ≥ 3 folgt rk M = n − 3 und somit dim 𝕊_{U}(E) = n. Insgesamt erhalten wir die Behauptung.

“(b) ⟹ (a)” Im Fall n ≥ 3 folgt die Behauptung aus Satz (C4). Im Fall n = 2 ist S_{1} ⊊ H^{o}(ℙ , E), da E einen regulären globalen Schnitt besitzt. Wir zeigen noch S_{2} = {0}. Gäbe es einen Schnitt s ∈ S_{2} \ {0}, so wäre s von der Form s = f · s̃ mit f ∈ H^{o}(ℙ , O_{ℙ} (m)) für ein m ≥ 1 und mit s̃ ∈ H^{o}(ℙ , E(−m)) \ {0}. Nach (C7.c) folgt h^{o}E(−1) ≠ 0, und nach (C7.d) hieraus n = h^{o}E ≥ 4, was der Voraussetzung widerspricht. q.e.d.

(C11) Satz.

Sei E ein lokalfreier O_{ℙ} –Modul vom Rang drei auf ℙ := ℙ _{k}^{3} . Dann sind die folgenden Bedingungen äquivalent:

(a) E hat sehr gute globale Schnitte.

(b) Es gibt zwei reguläre globale Schnitte s_{1}, s_{2} ∈ H^{o}(ℙ , E), so daß (s_{1} ∧ s_{2})_{o} eine Gorensteinkurve ist.

(c) E besitzt einen regulären globalen Schnitt, und zu jedem regulären globalen Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E) gibt es eine offene Teilmenge V ⊆ 𝕍(H), so daß (s ∧ s′)_{o} für alle globalen Schnitte s′ ∈ V_{abg.} eine Gorensteinkurve ist.

Beweis: “(a) ⟹ (c)” Nach Satz (C10) gibt es für jeden regulären Schnitt s ∈ H^{o}(ℙ , E) eine offene

Menge Ṽ ⊆ 𝕍(H), so daß für alle s′ ∈ Ṽ_{abg.} gilt: dim (s ∧ s′)_{o} = 1. Für jeden Punkt P ∈ (s)_{o} ist {s̃ ∈ H^{o}(ℙ , E): s̃_{P} ∈ 𝔪_{P} E_{P} } ein linearer Unterraum von H^{o}(ℙ , E), der nach Voraussetzung echt in H^{o}(ℙ , E) enthalten ist. Folglich gibt es eine offene Teilmenge W ⊆ 𝕍(H), so daß W_{abg.} keinen dieser endlich vielen Untervektorräume trifft. Setze V := Ṽ ∩ W. Für jedes s′ ∈ V_{abg.} ist (s ∧ s′)_{o} nach (C9.b) dann eine Gorensteinkurve.

“(c) ⟹ (b)” Wähle einen regulären Schnitt s_{2} ∈ V_{abg.} . “(b) ⟹ (a)” Nach Satz (C10) hat E gute globale Schnitte. Nach Lemma (C9.b) ist

für jeden Punkt P ∈ ℙ entweder P ∉ (s_{1})_{o} oder P ∉ (s_{2})_{o}, das heißt entweder (s_{1})_{P} ∉ 𝔪_{P} E_{P} oder (s_{2})_{P} ∉ 𝔪_{P} E_{P} . q.e.d.

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