Ich betreibe mathematische Grundlagenforschung in den Bereichen Algebra und Geometrie. Stellvertretend für andere Forschungsvorhaben soll hier ein sehr langfristig angelegtes Projekt aus dem Gebiet der semi-algebraischen Geometrie vorgestellt werden. In diesem Gebiet befaßt man sich mit geometrischen Objekten, die als semi-algebraische Mengen bezeichnet werden. Einfache Beispiele solcher Gebilde sind Geraden, Kreise, Hyperbeln und viele andere Kurven in der Ebene. Solche Kurven teilen die Ebene stets in verschiedene Bereiche auf. Auch diese einzelnen Bereiche sind semi-algebraisch. Legt man in der Ebene ein Koordinatenkreuz fest, so lassen sich diese Kurven alle als Gesamtheit der Lösungen einer Gleichung zwischen den Koordinaten verstehen. Umgekehrt liefern die Lösungen jeder Gleichung, wenn man sie in ein Koordinatenkreuz einträgt, ein geometrisches Gebilde.
Beispielsweise ergibt die Gleichung
eine Hyperbel,
ein dreiblättriges Kleeblatt. Auf diese Weise kann man allerdings nur
die Kurven selbst beschreiben, die Beschreibung der einzelnen durch
eine Kurve festgelegten Bereiche der Ebene erfordert die Verwendung
von Ungleichungen. Die Lösungen der Ungleichung
etwa bilden
das Innere eines Kreises.
Allgemein versteht man unter einer semi-algebraischen Menge ein geometrisches Gebilde, das sich mittels Gleichungen und Ungleichungen zwischen - häufig auch mehr als zwei - Koordinaten beschreiben läßt.
Geometrische Formen werden also mittels Gleichungen und Ungleichungen auf rechnerischem (= algebraischem) Wege beschrieben. Umgekehrt werden rechnerische Beziehungen zwischen Koordinaten als geometrische Gebilde interpretiert. Es ergibt sich dadurch ein Wechselspiel zwischen Geometrie und Algebra, das auf beide Gebiete außerordentlich befruchtend gewirkt hat: Mit algebraischen Methoden lassen sich sehr komplizierte geometrische Gebilde beschreiben und analysieren. Andererseits haben formal rechnerische Vorgänge eine geometrische Interpretation, die wesentlich zum Verständnis algebraischer Strukturen beitragen kann. Geometrische Methoden, die der bildlichen Vorstellung zugänglich sind, werden in a priori vollkommen abstrakten algebraischen Zusammenhängen anwendbar.
Die Untersuchung von geometrischen Gebilden, die allein durch Gleichungen beschreibbar sind, ist Gegenstand der algebraischen Geometrie. Angeregt durch viele praktische Anwendungen in Wissenschaft und Technik beschäftigen sich Mathematiker damit seit über 2000 Jahren. Insbesondere ist eine den speziellen Gegebenheiten des Gebietes angepaßte Sprache entwickelt worden, in der Probleme formuliert und Techniken zu ihrer Lösung ausgedrückt werden. Die systematische Einbeziehung von Ungleichungen, d. h. die Entwicklung der semi-algebraischen Geometrie, wird dagegen erst seit etwa 15 Jahren betrieben, obwohl semi-algebraische Mengen in zahllosen Anwendungen eine große Rolle spielen.
Zu den ersten und wichtigsten Aufgaben bei der Entwicklung dieses Gebietes gehörte die Bereitstellung sprachlicher Mittel, mit deren Hilfe sich die Phänomene der semi-algebraischen Geometrie adäquat beschreiben lassen und die gleichzeitig dem modernen Standard in der algebraischen Geometrie genügen. Dies ist in den beiden Schriften [][] geleistet worden. Daß dabei der in der algebraischen Geometrie übliche Standard eingehalten wird, ermöglicht die Übertragung von Erkenntnissen aus der algebraischen Geometrie in die semi-algebraische Geometrie und umgekehrt. Gleichzeitig eröffnet sich eine Fülle neuer Möglichkeiten in der semi-algebraischen Geometrie: Es lassen sich in wesentlich größerem Umfang als vorher algebraische Techniken zum Studium der Geometrie verwenden. Von großer Bedeutung hierbei ist natürlich die Untersuchung der speziellen, in diesem Kontext auftretenden algebraischen Strukturen. Schritte in dieser Richtung sind in einer Reihe von Publikationen unternommen worden. Andererseits lassen sich auch geometrische Methoden in einem sehr abstrakten algebraischen Rahmen anwenden. In einem anderen Teilgebiet der Geometrie, der algebraischen Topologie gibt es sehr hoch entwickelte Techniken zur Klassifizierung geometrischer Gebilde. Diese Methoden können, wie H. Delfs und M. Knebusch gezeigt haben, auf semi-algebraische Mengen angewendet werden. Ein sehr umfangreiches Vorhaben, welches zur Zeit verfolgt wird, ist die Ausweitung dieser Methoden in einen a priori völlig abstrakten algebraischen Bereich. Unerläßliche Voraussetzung hierfür ist die Verfügbarkeit der oben erwähnten, für die Zwecke der semi-algebraischen Geometrie angemessenen Sprache. Bereits jetzt - lange vor Abschluß des Projektes - ist erkennbar, daß diese geometrischen Methoden zur Lösung rein algebraischer Probleme beitragen können.
