Diffusionsprozesse (DFG)

Parabolische (partielle) Differentialgleichungen sind flexibel genug, um z.B. die Verbreitung von Spezies, das Räuber- Beuteverhalten in ökologischen Systemen, die Konzentration von Reagenzien in chemischen Reaktionen und andere Evolutionsphänomene zu beschreiben. Diese Gleichungen haben die Form , wo eine Diffusionskonstante und eine in der Regel nichtlineare Funktion, die eine Reaktion oder Interaktion zwischen Spezies oder Reagenzien beschreibt, ist. Man spricht deshalb von einer Reaktions-Diffusionsgleichung. Sie beschreiben ein oszillierendes Verhalten oder eine Ausbreitung in Wellenform, allerdings nur dann, wenn nichtlinear ist, im Gegensatz zu hyperbolischen Gleichungen, wo dies bereits bei linearem der Fall ist. Tritt im System eine zusätzliche Unsicherheit in der Form eines weißen Rauschens auf, so spricht man von einer stochastischen Reaktions-Diffusionsgleichung ; es handelt sich dabei um eine spezielle stochastische Differentialgleichung der Form mit einem Driftterm . Im Rahmen eines seit längerer Zeit bestehenden Projektes in Zusammenarbeit mit Prof. Dr. Gottlieb Leha, welches seit 6 Jahren von der DFG gefördert wird, wurde das Lösungsverhalten von stochastischen Differentialgleichungen studiert. Es zeigte sich, daß mit Hilfe einer von Lyapunov im deterministischen Fall eingeführten Methode viele der auftretenden Fragen behandelt werden können. So wurden in [1] und [2] einseitige Wachstumsbedingungen an die Drift angegeben um die unendliche Lebenszeit der Lösung zu sichern. In [7] wurden Existenz- und Eindeutigkeitsfragen von Gleichgewichten der Lösungen studiert. Die Arbeit [9] befaßt sich mit dem möglichen Wertebereich solcher Lösungen; in Spezialfällen kann man damit Regularitätsaussagen für die Lösungen gewinnen.