Fakultät für Mathematik 5. November 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 1: Quadratische Zahlkörper

Sei d ∈ ℤ keine Quadratzahl, und sei K = ℚ[\sqrt{d}], wobei wir im Fall d < 0 die Vereinbarung \sqrt{d} = i · \sqrt{−d} verwenden.

a) Zeigen Sie, daß K ein Körper ist, und daß jedes Element x ∈ K eine eindeutige Darstellung x = a + b\sqrt{d} mit a, b ∈ ℚ besitzt. Der Körper K heißt der von \sqrt{d} erzeugte quadratische Zahlkörper.

b) Zu vorgegebenem D ∈ ℤ und Elementen X, Y ∈ K, schreiben Sie CoCoA-Funktionen Add(X, Y, D), Neg(X, D), Mult(X, Y, D) sowie Inv(X, D), die die Operationen X + Y, −X, X · Y sowie \frac{1}{X} explizit ausführen. Ein Element x = a + b\sqrt{d} ∈ K werde dabei durch das Paar [a, b] repräsentiert.

Es folgt, daß quadratische Zahlkörper stets berechenbar sind.

Tutorium 2: Polynomdarstellung

Gegeben sei der Grundring R = ℚ[X_{1}, X_{2}].

a) Schreiben Sie ein CoCoA -Programm ReprPoly(F), das ein Polynom F ∈ R wie in Bemerkung 1.10 in eine Liste von Listen von rationalen Zahlen umwandelt.

b) Wenden Sie dieses Programm auf die Polynome F_{1} = X_{1}^{2} + 2X_{1}X_{2} + 3X_{2}^{2}, F_{2} = X_{2}^{2} − X_{1}^{4} und F_{3} = 1 + X_{1} + X_{2} + X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{1}^{4} + X_{2}^{4} + X_{1}^{8} + X_{2}^{8} an.

c) Schreiben Sie CoCoA-Programme AddPoly(L_{1}, L_{2}) und MultPoly(L_{1}, L_{2}), die zu zwei Polynome aus R repräsentierenden Listen L_{1}, L_{2} die die Summe bzw. das Produkt repräsentierende Liste berechnet.

d) Überprüfen Sie die Korrektheit dieses Programmes, indem Sie F_{1} + F_{2}, F_{1} · F_{2} und F_{2}F_{3} + F_{1}^{3} auf jeweils zwei Arten in Listen umwandeln.