Fakultät für Mathematik 11. November 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 3: Minimale Erzeugendensysteme monomialer Ideale

Sei K ein berechenbarer Körper, sei n ≥ 1, sei P = K[X_{1}, …, X_{n}] und sei I ⊆ P ein Ideal.

a) Zeigen Sie, daß I genau dann ein monomiales Ideal ist, wenn für jedes f ∈ I und jedes t ∈ Supp (f) gilt, daß auch t ∈ I ist.

b) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm Is Monomial(I), das zu einem gegebenen Ideal I ⊆ P nachprüft, ob es monomial ist, und den entsprechenden boolschen Wert zurückliefert.

c) Beweisen Sie, daß jedes monomiale Ideal ein eindeutiges minimales Erzeugendensystem besitzt, das aus Monomen besteht.

d) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm MinMonomials(I), das zu gegebenem I = (f_{1}, …, f_{m}) ⊆ P mit Polynomen f_{1}, …, f_{m} ∈ P nachprüft, ob I monomial ist und in diesem Fall das minimale Erzeugendensystem aus Monomen zurückliefert. Ist I nicht monomial, soll die Antwort eine entsprechende Fehlermeldung sein. Benützen Sie nicht die Funktion Minimalize(I) von CoCoA, sondern programmieren Sie eine direkte Methode. Beweisen Sie die Korrektheit Ihres Algorithmus.

Tutorium 4: Grundlegende Operationen mit monomialen Moduln

Sei K ein berechenbarer Körper, sei n ≥ 1 sowie ν ≥ 1, und seien M, N ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}]^{ν} monomiale Untermoduln, die durch Listen von Vektoren von Polynomen gegeben sind.

a) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm MonGens(M), das eine Liste von Vektoren berechnet, die Elemente von 𝕋(M) sind und M erzeugen.

b) Ohne die eingebauten Routinen von CoCoA zu verwenden, programmieren Sie direkte Algorithmen zur Berechnung der folgenden Objekte bzw. Funktionen:

1) M + N ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}]^{ν}

2) M ∩ N ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}]^{ν}

3) M : N = {f ∈ K[X_{1}, …, X_{n}] | f · N ⊆ M} ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}] (Zeigen Sie zunächst, daß dies ein monomiales Ideal ist!)

4) M ∩ K[X_{1}, …, X_{m}]^{ν} für m < n

5) I · M ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}]^{ν}, wobei I ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}] ein monomiales Ideal ist.

c) Beweisen Sie die Richtigkeit Ihrer Algorithmen in b) und demonstrieren Sie sie jeweils an Hand einiger Beispiele.