Fakultät für Mathematik 18. November 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 5: Gewichtete Termordnungen

Seien u_{1}, …, u_{n} ∈ ℤ^{n} linear unabhängig über ℚ, und in der Matrix mit den Zeilen u_{1}, …, u_{n} sei das erste von Null verschiedene Element jeder Spalte positiv. Für t_{1}, t_{2} ∈ 𝕋^{n} setzen wir t_{1} ≤_{Ord(u_{1},...,u_{n})} t_{2} genau dann, wenn

(⟨log(t_{1}), u_{1}⟩, …, ⟨log(t_{1}), u_{n}⟩) ≤_{Lex} (⟨log(t_{2}), u_{1}⟩, …, ⟨log(t_{2}), u_{n}⟩)

gilt. Hierbei ist ⟨ , ⟩ das Standardskalarprodukt auf ℚ^{n}.

a) Zeigen Sie, daß durch ≤_{Ord(u_{1},...,u_{n})} eine Termordnung auf 𝕋^{n} gegeben ist. Sie heißt die durch (u_{1}, …, u_{n}) gewichtete Termordnung.

b) Finden Sie jeweils Vektoren u_{1}, …, u_{n} ∈ ℤ^{n}, so daß ≤_{Lex}, ≤_{DegLex}, ≤_{DegRevLex} und ≤_{Elim(X_{i+1},...,X_{n})} mit ≤_{Ord(u_{1},...,u_{n})} übereinstimmen.

c) Definieren Sie in CoCoA diese Termordnungen auf ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}] jeweils auf beide Arten und berechnen Sie LT_{σ}(I) für jedes der folgenden Ideale I und jede der Termordnungen ≤_{Lex}, ≤_{Deglex} sowie ≤_{DegRevLex} auf zwei Arten:

1) I = (X_{2}^{2} − X_{1}X_{3}, X_{3}^{2} − X_{1}X_{2})

2) I = (X_{1}^{2}X_{2} − X_{3}, X_{1}X_{2} − 1)

3) I = (X_{1}X_{2}^{2} − X_{1}X_{3} + X_{2}, X_{1}X_{2} − X_{3}^{2}, X_{1} − X_{2}X_{3}^{4})

d) Beweisen Sie, daß die in b) gegebenen Darstellungen nicht eindeutig sind, indem Sie für ≤_{DegRevLex} eine zweite Darstellung angeben.

e) Schreiben Sie ein CoCoA -Programm CheckEquality(N, D, L_{1}, L_{2}), das zu vorgegebenen N, D ∈ ℕ_{+} nachprüft, ob die durch die Listen L_{1} = [u_{n}, …, u_{N}] und L_{2} = [u′_{1}, …, u′_{N}] gegebenen Termordnungen ≤_{Ord(u_{1},...,u_{N})} und ≤_{Ord(u′_{1},...,u′_{N})} für alle Monome vom Grad ≤ D in 𝕋^{N} übereinstimmen.

Tutorium 6: Klassifikation von Termordnungen

In diesem Tutorium wollen wir in den Fällen n = 2, 3 einen möglichst guten Überblick über alle denkbaren Termordnungen auf 𝕋^{n} gewinnen. Wir nennen eine Termordnung ≤_{σ} gradkompatibel, wenn aus t_{1} ≤_{σ} t_{2} für t_{1}, t_{2} ∈ 𝕋^{n} schon deg(t_{1}) ≤ deg(t_{2}) folgt. Im folgenden sei R ein Ring. a) Beweisen Sie, daß es auf R[X_{1}] nur die durch ≤_{deg} gegebene Termordnung gibt.

b) Zeigen Sie, daß es auf R[X_{1}, X_{2}] genau zwei gradkompatible Termordnungen gibt, die durch X_{1} >_{σ} X_{2} bzw. X_{2} >_{σ} X_{1} charakterisiert sind.

c) Klassifizieren Sie alle möglichen Termordnungen auf 𝕋^{2}, für die X_{1} >_{σ} X_{2} ist. Unterscheiden Sie dabei die Fälle X_{1} <_{σ} X_{2}^{n} für ein n ≥ 2 und X_{1} >_{σ} X_{2}^{n} für alle n ≥ 2.

d) Geben Sie für die Monome in R[X_{1}, X_{2}, X_{3}] vom Grad ≤ 2 alle bei gradkompatiblen Termordnungen möglichen Anordnungen an. Gehen Sie dabei davon aus, daß die Variablen so numeriert sind, daß X_{1} >_{σ} X_{2} >_{σ} X_{3} ist.

e) Finden Sie alle möglichen Anordnungen der Monome vom Grad ≤ 3 bei gradkompatiblen Termordnungen auf 𝕋^{3} mit X_{1} >_{σ} X_{2} >_{σ} X_{3}.

f) Zeigen Sie, daß es auf 𝕋^{3} unendlich viele verschiedene gradkompatible Termordnungen gibt.

g) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm TermOrderList(N, D), das zu jedem N > 0 eine gradkompatible Termordnung ≤_{To(N)} auf 𝕋^{3} definiert, so daß die ≤_{To(N)} paarweise verschieden sind, und das die gemäß ≤_{To(N)} geordnete Liste aller Monome vom Grad ≤ D in 𝕋^{3} ausgibt.