Fakultät für Mathematik 27. November 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 7: Der Divisionsalgorithmus für Moduln

Sei K ein Körper, sei n ≥ 1, sei P = K[X_{1}, …, X_{n}], sei ν ≥ 1 und M = P^{ν} ein endlich erzeugter freier P -Modul, auf dem eine Modultermordnung ≤_{σ} gegeben ist.

a) Beweisen Sie Satz 6.7:

Zu m, g_{1}, …, g_{s} ∈ M gibt es eine Darstellung

m = q_{1}g_{1} + … + q_{s}g_{s} + r

mit q_{1}, …, q_{s} ∈ P und r ∈ M, so daß die folgenden Bedingungen erfüllt sind:

1) Kein t ∈ Supp (r) liegt in dem monomialen Modul ⟨LT_{σ}(g_{1}), …, LT_{σ}(g_{s})⟩.

2) Ist q_{i}g_{i} ≠ 0 für ein i ∈ {1, …, s}, so gilt LT_{σ}(q_{i}g_{i}) ≤_{σ} LT_{σ}(m).

b) Programmieren Sie eine CoCoA-Funktion ModuleDivision(V, L), die zu einem gegebenem Vektor V ∈ ℚ[X_{1}, …, X_{n}]^{ν} und einer Liste L = [G_{1}, …, G_{s}] mit G_{i} ∈ ℚ[X_{1}, …, X_{n}]^{ν} als Resultat die einer Darstellung V = Q_{1}G_{1} + … + Q_{s}G_{s} + R entsprechende Liste [[Q_{1}, …, Q_{s}], R] berechnet.

c) Bestimmen Sie in den folgenden Fällen eine Darstellung gemäß a). Verwenden Sie dabei jeweils die Modultermordnungen ≤_{Pos−Lex} und ≤_{DegRevLex−Pos}.

1) n = 3, ν = 2, m = (X_{1}^{2} + X_{2}^{2} + X_{3}^{2}, X_{1}X_{2}X_{3}), g_{1} = (X_{1}, X_{2}), g_{2} = (X_{2}, X_{3}),

g_{3} = (X_{3}, X_{1}).

2) n = 4, ν = 4, m = (X_{1}^{4}, X_{2}^{4}, X_{3}^{4}, X_{4}^{4}), g_{1} = (X_{1}+1, 0, 0, 0), g_{2} = (0, X_{2}+1, 0, 0),

g_{3} = (0, 0, X_{3} + 1, 0), g_{4} = (0, 0, 0, X_{4} + 1).

3) n = 2, ν = 5, m = (X_{1}^{4}, X_{1}^{3}X_{2}, X_{1}^{2}X_{2}^{2}, X_{1}X_{2}^{3}, X_{2}^{4}), g_{1} = (X_{1}^{4}, X_{1}^{3}, X_{1}^{2}, X_{1}, 1),

g_{2} = (1, X_{2}, X_{2}^{2}, X_{2}^{3}, X_{2}^{4}).