Fakultät für Mathematik 2. Dezember 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 8: Reduktion auf Standardnormalform

Sei K ein Körper, sei n ≥ 1, sei P = K[X_{1}, …, X_{n}], sei ν ≥ 1, und sei M = P^{ν}. Betrachtet man ein festes Erzeugendensystem G = {g_{1}, …, g_{s}} ⊆ M \ {(0, …, 0)} eines Untermoduls U ⊆ M, so kann man das folgende Standardverfahren für die Reduktion bzgl. ⟶^{G} verwenden:

Sei m ∈ M vorgegeben, und sei t · LT_{σ}(g_{i}) der bzgl. ≤_{σ} größte Term in Supp (m), der durch eine der Leitformen LT_{σ}(g_{1}), …, LT_{σ}(g_{s}) teilbar ist. Wähle i ∈ {1, …, s} minimal und wende die Reduktion m ⟶^{g_{i}} m−ctg_{i} an. Ist keiner der Terme aus Supp (m) mehr durch irgendeinen Leitterm aus {LT_{σ}(g_{1}), …, LT_{σ}(g_{s})} teilbar, so ist m bzgl. ⟶^{G} nicht weiter reduzierbar.

Wendet man dieses Standardverfahren auf ein gegebenes m ∈ M so oft wie möglich an, so erhält man eine Standardnormalform SNF_{G}(m) von m bzgl. G.

a) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm StdNormalform(V, L), das bei gegebenem Grundring P = ℚ[X_{1}, …, X_{n}] die eben definierte Standardnormalform eines Vektors V ∈ P^{ν} bzgl. des durch die Liste von Vektoren L = [G_{1}, …, G_{s}] mit G_{i} ∈ P^{ν} erzeugten Untermoduls von P^{ν} berechnet. Verwenden Sie dabei nicht die Funktion NF(…) von CoCoA.

b) Wenden Sie die Funktion StdNormalform(V, L) in folgenden Fällen an, wobei ≤_{σ} die Termordnung ≤_{Pos−Lex} sei.

1 ) n = 3, ν = 1, V = (X_{1}^{4}X_{2} + X_{2}^{4}X_{3} + X_{3}^{4}X_{1}), s = 3, G_{1} = (X_{1}^{2}X_{2}),

G_{2} = (X_{2}^{2}X_{3}), G_{3} = (X_{3}^{2}X_{1}). 2 ) n = 3, ν = 3, V = (X_{1}^{3} + 1, X_{2}^{3} + 1, X_{3}^{3} + 1), s = 2, G_{1} = (X_{1}, X_{3}, X_{2}),

G_{2} = (0, X_{2}, X_{1}). 3 ) n = 4, ν = 2, V = (X_{1}X_{2} + X_{3}X_{4}, X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}), s = 4, G_{1} = (X_{1}, 0),

G_{2} = (X_{2}, 0), G_{3} = (0, X_{3}), G_{4} = (0, X_{4}).

c) Zeigen Sie an Hand eines Beispiels, daß die Standardnormalform von der Reihenfolge der g_{i} abhängt.

d) Geben Sie ein Beispiel an, in dem ein Element m ∈ U eine Standardnormalform SNF_{G}(m) ≠ 0 besitzt. Beweisen Sie, daß für m ∈ M aus SNF_{G}(m) = 0 aber m ∈ U folgt.

e) Vergleichen Sie das Standardverfahren mit dem Divisionsalgorithmus für Moduln. Zeigen Sie, daß SNF_{G}(m) gerade der beim Divisionsalgorithmus auftretende Rest ist.

Tutorium 9: Syzygien monomialer Moduln

Sei K ein Körper und U ⊆ K[X_{1}, …, X_{n}]^{ν} ein monomialer Modul, der von Monomen {t_{1}e_{μ_{1}}, …, t_{s}e_{μ_{s}}} mit t_{1}, …, t_{s} ∈ 𝕋^{n} und μ_{1}, …, μ_{s} ∈ {1, …, ν} erzeugt wird. Wir betrachten die Abbildung

\begin{aligned}λ : & K[X_{1}, …, X_{n}]^{s} & ⟶ & U \\ & e_{j} & ⟼ & t_{j}e_{μ_{j}} \end{aligned}

a) Zeigen Sie, daß ker(λ) erzeugt wird von den Elementen σ_{ij} = t_{ij}e_{i} − t_{ji}e_{j}, wobei i, j ∈ {1, …, s} mit e_{μ_{i}} = e_{μ_{j}} und t_{ij} = t_{j}/ ggT(t_{i}, t_{j}) = kgV(t_{i}, t_{j})/t_{i} ist.

b) Beweisen Sie, daß jedes Element von ker(λ) eine eindeutige Darstellung als Summe von Elementen der Form ∑_{i=1}^{s} c_{i}m_{i}e_{i} besitzt, wobei c_{i} ∈ K \ {0} und m_{i} · t_{i} für i = 1, …, s ein festes Monom aus 𝕋^{n} ist.

c) Zeigen Sie, daß jedes Element ∑_{i=1}^{s} c_{i}m_{i}e_{i} der in b) beschriebenen Art dargestellt werden kann als Summe ∑_{i<j} m_{ij}σ_{ij}, wobei m_{ij} ein skalares Vielfaches von m_{i}/t_{ij} ist.

d) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm MonomialSyz(U), welches das in a) angegebene Erzeugendensystem von ker(λ) berechnet. Hierbei sei U vom Typ MODULE und das berechnete Ergebnis ebenso.

e) Wenden Sie MonomialSyz(U) auf die folgenden Ideale und Moduln an. 1 ) (X_{1}^{34}X_{2}^{7}, X_{1}^{23}X_{2}^{19}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}] 2 ) (X_{1}, X_{2}, X_{3}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}] 3 ) (X_{1}X_{2}, X_{2}X_{3}, X_{3}X_{1}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}] 4 ) ⟨X_{1}e_{1}, X_{2}e_{1}, X_{2}e_{2}, X_{3}e_{2}, X_{3}e_{3}, X_{1}e_{3}⟩ ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}]^{3}

Folgern Sie, daß das in a) gegebene Erzeugendensystem i.a. nicht minimal ist.