Fakultät für Mathematik 11. Dezember 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 10: Liftung von Syzygien

In diesem Tutorium wollen wir die in Abschnitt 8 besprochene Liftung von Syzygien explizit programmieren. Dazu sei K ein (berechenbarer) Körper, sei P = K[X_{1}, …, X_{n}], sei M = P^{ν}, sei ≤_{σ} eine Modultermordnung auf M, und sei U ⊆ M ein P -Untermodul mit Erzeugendensystem G = {g_{1}, …, g_{s}} ⊆ U \ {(0, …, 0)}.

a) Für Monome te_{i}, t′e_{j} ∈ 𝕋(P^{s}) setzen wir te_{i} ≤_{τ} t′e_{j} genau dann, wenn LT_{σ}(tg_{i}) <_{σ} LT_{σ}(t′g_{j}) ist, oder wenn LT_{σ}(tg_{i}) = LT_{σ}(t′g_{j}) und i ≥ j gilt. Zeigen Sie, daß hierdurch eine Modultermordnung ≤_{τ} auf P^{s} definiert wird.

Im folgenden setzen wir zusätzlich voraus, daß die Bedingungen D_{1}), D_{2}) aus Satz 8.8 erfüllt sind. Für i = 1, …, s schreiben wir LT_{σ}(g_{i}) = t_{i}e_{μ_{i}} mit t_{i} ∈ 𝕋^{n} und μ_{i} ∈ {1, …, s}. Dann bilden die in Tutorium 9 definierten Elemente σ_{ij} ∈ P^{s} mit 1 ≤ i < j ≤ s und μ_{i} = μ_{j} ein Erzeugendensystem von ker(Λ).

b) Beweisen Sie, daß es Darstellungen LC_{σ}(g_{j})t_{ij}g_{i} − LC_{σ}(g_{i})t_{ji}g_{j} = ∑_{k=1}^{s} f_{ijk}g_{k} gibt, so daß für k = 1, …, s gilt LT_{σ}(f_{ijk}g_{k}) <_{σ} LT_{σ}(t_{ij}g_{i}).

c) Zeigen Sie, daß die Elemente τ_{ij} = σ_{ij} − ∑_{k=1}^{s} f_{ijk}e_{k} den Leitterm LT_{τ} (τ_{ij}) = t_{ij}e_{i} besitzen.

d) Beweisen Sie, daß die Elemente τ_{ij} Syzygien aus ker(λ) sind, die die Syzygien σ_{ij} liften und die bzgl. ≤_{τ} die Eigenschaften B_{1}), B_{2}) haben.

e) Benützen Sie das Programm ModuleDivision(V, L) aus Tutorium 7, um eine CoCoA-Funktion StdRepr(G, I, J) zu schreiben, die die Liste [f_{ij1}, …, f_{ijs}] der in b) definierten Darstellung berechnet.

f) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm LiftSyz(G), das die Liste der Syzygien τ_{ij} ausgibt.

g) Unter Verwendung der Termordnung ≤_{DegRevLex} bzw. ≤_{DegRevLex−Pos} berechnen Sie die Syzygien σ_{ij} und ihre Liftungen τ_{ij} in den folgenden Fällen:

1) G = {X_{1}^{2} − X_{2}, X_{2}^{2} − X_{3}, X_{3}^{2} − X_{1}} ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}]

2) G = {X_{1}e_{1}, X_{2}e_{1}, X_{2}e_{2}, X_{3}e_{2}, X_{3}e_{3}, X_{1}e_{3}} ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}]^{3}

3) G = {X_{1}X_{4}−X_{2}X_{3}, X_{1}X_{3}^{2}−X_{2}^{2}X_{4}, X_{1}^{2}X_{3}−X_{2}^{3}, X_{2}X_{4}^{2}−X_{3}^{3}} ⊆ ℚ[X_{1}, …, X_{4}]