Fakultät für Mathematik 17. Dezember 1997 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 11: Berechnung einiger Gröbner-Basen

Die Voraussetzungen und Notationen seien wie in Abschnitt 11 der Vorlesung. Zusätzlich nehmen wir an, daß K ein berechenbarer Körper ist.

a) Schreiben Sie ein CoCoA-Programm SVector(G, I, J), das zu einer Liste von Vektoren G = [G_{1}, …, G_{s}] und zu i, j ∈ {1, …, s} mit i ≠ j prüft, ob λ_{i} = λ_{j} gilt und in diesem Fall den S-Vektor S_{ij} = λ(σ_{ij}) der Vektoren G_{i}, G_{j} berechnet.

b) Implementieren Sie Buchbergers Algorithmus (vgl. Theorem 11.4) für den Fall ν = 1, d.h. für Polynomideale. Schreiben Sie dazu ein CoCoA-Programm FirstGB(G), das die Routine StdNormalform(V, G) aus Tutorium 8 verwendet und zu einer Liste vom Polynomen G die Gröbner-Basis des von G erzeugten Polynomideals bzgl. der aktuellen Termordnung auf P berechnet.

c) Berechnen Sie mittels FirstGB(G) die Gröbner-Basen der folgenden Ideale bzgl. der angegebenen Termordnungen.

1) I = (X_{2}^{2}, X_{1}X_{2}X_{3} + X_{3}^{3}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}] bzgl. ≤_{DegRevLex}

2) I = (X_{1}^{2}X_{2} − 1, X_{1}X_{2}^{2} − X_{1}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}] bzgl. ≤_{Lex} und ≤_{DegLex}

3) I = (X_{1} − X_{3}^{4}, X_{2} − X_{3}^{5}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}, X_{3}] bzgl. ≤_{Lex} und ≤_{DegRevLex}

d) Beweisen Sie, daß für jede Zahl m ≥ 1 die reduzierte Gröbner-Basis des Ideals

I_{m} = (X_{1}^{m+1} − X_{2}X_{3}^{m−1}X_{4}, X_{1}X_{2}^{m−1} − X_{3}^{m}, X_{1}^{m}X_{3} − X_{2}^{m}X_{4}) ⊆ K[X_{1}, X_{2}, X_{3}, X_{4}]

bzgl. ≤_{DegRevLex} das Polynom f_{m} = X_{3}^{m^{2}+1} − X_{2}^{m^{2}}X_{4} enthält.

e) Berechnen Sie die reduzierte Gröbner-Basis des Ideals I_{m} aus d) für jedes m ∈ {1, …, 100} und geben Sie ihre Länge an.

f) Zeigen Sie, daß das Ideal I_{3} aus d) bzgl. ≤_{Lex} und bzgl. ≤_{DegRevLex} dieselbe Gröbner-Basis besitzt. Stimmt dies für alle m?