Fakultät für Mathematik 8. Januar 1998 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 12: Homomorphismen von Ringen und Moduln

Im folgenden sei P = K[X_{1}, …, X_{n}] der Polynomring über einem Körper, U = ⟨u_{1}, …, u_{s}⟩ ⊆ M = P^{μ} und V = ⟨v_{1}, …, v_{t}⟩ ⊆ N = P^{ν}. Eine P -lineare Abbildung φ : M/U ⟶ N/V sei durch φ(e_{i} + U) = f_{i1}ẽ_{1} + ⋯ + f_{iν} ẽ_{ν} + V gegeben, wobei {ẽ_{1}, …, ẽ_{ν}} die Standardbasis von N bezeichne und f_{ij} ∈ P gelte.

a) Beweisen Sie Satz 12.15 der Vorlesung.

b) Wie kann man aus Satz 12.15.a eine Präsentation des endlich erzeugten P - Moduls ker φ gewinnen?

c) Schreiben Sie CoCoA-Funktionen LinKernel(P hi, U, V) und LinImage(P hi, U, V), die aus der zu φ : M/U ⟶ N/V gehörigen Matrix P hi = (f_{ij}) Präsentationsmatrizen der P -Modulen ker φ bzw. im φ berechnen.

Nun sei P′ = K[Y_{1}, …, Y_{m}] ein weiterer Polynomring, und seien I ⊆ P sowie I′ ⊆ P′ zwei Ideale. Ein K-Algebrenhomomorphismus ψ : P/I ⟶ P′/I′ sei durch ψ(X_{i} + I) = f_{i} + I′ mit f_{1}, …, f_{n} ∈ P′ gegeben.

d) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion RingKernel(P si, I, I′), die aus der ψ definierenden Liste P si = [f_{1}, …, f_{n}] das ker ψ repräsentierende Ideal von P berechnet.

e) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion IsIn RingImage(F, P si, I, I′), die zu F ∈ P′ prüft, ob F + I′ ∈ im ψ gilt und den entsprechenden Wahrheitswert ausgibt.

Hinweis: Nehmen Sie für d) und e) an, daß der Grundring K[X_{1}, …, X_{n}, Y_{1}, …, Y_{m}] ist.

f) Sei nun P/I als K-Vektorraum endlichdimensional. Schreiben Sie ein CoCoA-Programm MinPoly(F, I), das das Minimalpolynom der Restklasse F + I ∈ P/I eines Polynoms F ∈ P berechnet. Der Grundring sei dabei P [T], und das Minimalpolynom werde als Element von K[T] ausgegeben.