Fakultät für Mathematik 10. Februar 1998 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung “Angewandte kommutative Algebra”

Tutorium 14: Effektive Radikalidealberechnung im nulldimensionalen Fall

In diesem Tutorium sei K ein berechenbarer vollkommener Körper, sei n ≥ 1, sei P = K[X_{1}, …, X_{n}], sei I ⊆ P ein Ideal, sei ≤_{σ} eine Termordnung auf 𝕋^{n}, und sei G = {g_{1}, …, g_{s}} eine Gröbner-Basis von I bzgl. ≤_{σ}.

a) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion Is ZeroDim(I), die den Nulldimensionalitätstest aus Satz 14.4 anwendet und TRUE oder FALSE ausgibt.

b) Sei i ∈ {1, …, n}. Betrachten Sie den folgenden Algorithmus.

1) Berechne N = min{ν ∈ ℕ | X_{i}^{ν} ∈ LT_{σ}(I)} − 1. Bilde den Polynomring Q = P [Y_{0}, …, Y_{N}] und das Polynom q = Y_{0} +X_{i}Y_{1} +⋯+X_{i}^{N}Y_{N} ∈ Q. Ferner setze t = X_{i}^{N}.

2) Ersetze t durch t·X_{i} und berechne h = NF_{G}(t) sowie p = h+q ∈ Q. Entwickle p = ∑_{ν∈ℕ^{n}} a_{ν}X_{1}^{ν_{1}} ⋯ X_{n}^{ν_{n}} mit a_{ν} ∈ K[Y_{0}, …, Y_{n}].

3) Besitzt das (in Y_{0}, …, Y_{N} lineare!) Gleichungssystem a_{ν} = 0 mit ν ∈ ℕ^{n} eine Lösung (c_{0}, …, c_{N}) ∈ K^{N+1}, so liefere das Polynom f_{i} = c_{0} + c_{1}X_{i} + ⋯ + c_{N}X_{i}^{N} +X_{i}^{N+1} als Ergebnis zurück. Andernfalls erhöhe N um eins, adjungiere eine neue Variable Y_{N} an Q, addiere Y_{N} · h zu q, und fahre bei Schritt 2) fort. Zeigen Sie, daß dieser Algorithmus nach endlich vielen Schritten stoppt und als

Ergebnis das normierte Polynom f_{i} ∈ K[X_{i}] liefert, das das Hauptideal I ∩ K[X_{i}] erzeugt.

c) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion ElimPolyList(I), das die Liste der normierten Polynome [f_{1}, …, f_{n}] mit f_{i} ∈ K[X_{i}] berechnet, die die Hauptideale I ∩K[X_{i}] erzeugen, indem es den Algorithmus aus b) anwendet. Hinweis: Zeigen Sie, daß die Polynome a_{ν} linear in den Variablen Y_{0}, …, Y_{N} sind und ersetzen Sie die Arithmetik in Q durch eine geeignete Arithmetik von Listen von Polynomen aus P.

d) Kombinieren Sie den Algorithmus aus Satz 13.9 mit Tutorium 13.a) und schreiben Sie eine CoCoA-Funktion SQFR(F), die zuerst die Charakteristik von K abfragt und dann den quadratfreien Teil eines Polynoms F ∈ K[X_{i}] berechnet, wobei 1 ≤ i ≤ n gelte.

e) Programmieren Sie den Algorithmus aus Satz 14.12 zur Berechnung des Radikals eines zuerst auf Nulldimensionalität zu testenden Ideals I ⊆ P in Form einer CoCoA-Funktion ZeroDimRad(I). Verwenden Sie dabei die Resultate von a), c) und d).

f) Berechnen Sie mittels ZeroDimRad(I) die Radikalideale der folgenden Ideale.

1) I_{1} = (X_{1}^{3}, X_{1}^{2}X_{2}^{2}, X_{2}^{3}) ⊆ ℚ[X_{1}, X_{2}],

2) I_{2} = (X_{1}^{2}X_{2}^{2}, X_{1}^{4} + X_{1}^{2}, X_{2}^{4} + X_{2}^{2}, X_{3}^{2}) ⊆ ℤ/(2)[X_{1}, X_{2}, X_{3}],

3) I_{3} = (X_{1}^{100}, (X_{2} − 1)^{100}) ∩ ((X_{1} − 1)^{100}, X_{2}^{100}) ⊆ ℤ/(101)[X_{1}, X_{2}].