COMPUTERALGEBRA

eine Vorlesung von MARTIN KREUZER Fakultät für Mathematik Universität Regensburg D-93040 Regensburg

Wintersemester 1995 / 1996

Computeralgebra

Inhalt

Einleitung

Kapitel I: Grundlagen

1. Ringe und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Einführung in die Tutorien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tutorium 1: Kreisteilungskörper . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Tutorium 2: Polynomdarstellung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

2. Dicksons Lemma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Tutorium 3: Minimale Erzeugendensysteme monomialer Ideale . . . . . . . 6 Tutorium 4: Grundlegende Operationen mit monomialen Moduln . . . . . . 7

3. Termordnungen und Modultermordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Tutorium 5: Gewichtete Termordnungen . . . . . . . . . . . . . . . . 10 Tutorium 6: Klassifikation von Termordnungen . . . . . . . . . . . . . 10

4. Leittermideale und -moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Tutorium 7: Polynomdarstellung (2) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 Tutorium 8: Symmetrische Polynome . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

5. Der Divisionsalgorithmus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Tutorium 9: Der eindeutige Divisionsalgorithmus . . . . . . . . . . . . 17 Tutorium 10: Der Divisionsalgorithmus für Moduln . . . . . . . . . . . 18

Kapitel II: Gröbner-Basen

6. Ersetzungsregeln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Tutorium 11: Reduktion auf Normalform . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Tutorium 12: Algebraische Zahlen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

7. Syzygien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Tutorium 13: Syzygien monomialer Moduln . . . . . . . . . . . . . . 27 Tutorium 14: Liftung von Syzygien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

8. Gröbner-Basen von Idealen und Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . 28 Tutorium 15: Lineare Algebra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 Tutorium 16: Reduzierte Gröbner-Basen . . . . . . . . . . . . . . . . 31

9. Gröbner-Basen bezüglich DegRevLex . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Tutorium 17: Reguläre Folgen von Monomen . . . . . . . . . . . . . . 37 Tutorium 18: Saturierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

10. Gröbner-Basen und flache Familien . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Tutorium 19: Gewichtungen des Polynomrings . . . . . . . . . . . . . 43 Tutorium 20: Alle Leittermideale eines Ideals . . . . . . . . . . . . . . 44 Kapitel III: Buchbergers Algorithmus

11. Eine erste Version . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 Tutorium 21: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 22: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

12. Optimierungen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Tutorium 23: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 24: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

13. Optimierung im homogenen Fall . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 25: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 26: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Kapitel IV: Erste Anwendungen

14. Syzygien und minimale Erzeugendensysteme . . . . . . . . . . . . . . 54 Tutorium 27: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 28: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

15. Elimination von Variablen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 Tutorium 29: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 30: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

16. Elementare Operationen mit Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 A. Inklusionen von Moduln . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 B. Summen, Produkte und Durchschnitte . . . . . . . . . . . . . . . 69 C. Annullatoren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 D. Colonmoduln und Saturierung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 E. Abbildungen zwischen Ringen und Moduln . . . . . . . . . . . . . . 77 Tutorium 31: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 32: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

17. Hilbert-Funktionen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82 Tutorium 33: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 34: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

18. Hilbert-Polynome und -Reihen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88 Tutorium 35: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Tutorium 36: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Literatur

Für die Grundlagen aus der Algebra wird der Inhalt des folgenden Buches als bekannt vorausgesetzt.

E. Kunz, Algebra, F. Vieweg & Sohn, Braunschweig 1991 Als vorlesungsbegleitender Text mit vielen Beispielen und einer anschaulichen Dar-

stellung eignet sich das nächste Buch.

D. Cox, J. Little, und D. O’Shea, Ideals, Varieties and Algorithms, Springer, New York 1992

Die allgemeine Beschreibung der Theorie der Gröbner-Basen von Untermoduln freier Moduln findet der Leser in Kapitel 15 des Buchs

D. Eisenbud, Commutative Algebra with a View Toward Algebraic Geometry, Springer, New York 1995

Einige spezielle Themen stammen aus T. Becker und V. Weispfenning, Gröbner Bases, A Computational Approach to

Commutative Algebra, Springer, New York 1993