Fakultät für Mathematik 27. Juli 1998 Universität Regensburg

Lösungshinweise zur Klausur zur Vorlesung Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

Aufgabe 1: Ja, z.B. \frac{30}{100} > \frac{30}{101} und \frac{20}{200} > \frac{10}{101}, aber \frac{50}{300} < \frac{40}{202}.

Aufgabe 2: Sei p_{2} Annas Gewinnwahrscheinlichkeit, und p_{1} ihre Gewinnwahrscheinlichkeit beim Spiel “Erstes Wappen gewinnt”. Dann gilt p_{1} = \frac{1}{2} + \frac{1}{8} + \frac{1}{32} + ⋯ = \frac{1}{3}, und je nachdem was Anna zuerst wirft, ergibt sich eines der beiden Spiele mit vertauschten Rollen, also p_{2} = \frac{1}{2}(1 − p_{1}) + \frac{1}{2}(1 − p_{2}). Es folgt p_{2} = \frac{4}{9}, d.h. Anna sollte 0,80 EU und Berta sollte 1 EU Einsatz zahlen.

Aufgabe 3: Vgl. Vorlesung, Beispiel 4.11. Er muß 276 Eier kaufen.

Aufgabe 4: (Vgl. ÜA 41) Ist X_{i} : Ω ⟶ ℝ die Lebensdauer der i-ten Leuchtröhre, so ist X = min{X_{1}, …, X_{30}} wieder exponentialverteilt, und zwar zum Parameter λ = λ_{1} + ⋯ + λ_{30} = 30, d.h. es gilt E(X) = \frac{1}{λ} = \frac{1}{30} Jahr = 12 T age 4 Stunden. Wegen der Gedächtnislosigkeit der Exponentialverteilung dauert es bis zum zweiten Defekt wieder genauso lange.

Aufgabe 5: (Vgl. ÜA 48) Sei X_{i} : Ω ⟶ ℝ der Inhalt des i-ten Maßkrugs, und sei S_{n} = X_{1} + ⋯ + X_{n} für n ∈ ℕ_{+}. Dann gilt E(X_{i}) = 0, 75 und σ(X_{i}) = 0, 25, also E(S_{n}) = 0, 75n und σ(S_{n}) = 0, 25\sqrt{n}. Nach dem ZGS folgt

P (S_{n} ≤ 1000) ≥ 0, 95 ⟺ P (S_{n}^{∗} ≤ \frac{1000−0,75n}{0,25\sqrt{n}}) ≥ 0, 95 ⟺ \frac{1000−0,75n}{0,25\sqrt{n}} ≥ 1, 65 woraus sich n ≤ 1313, 4 ergibt. Also rechnet der Wirt mit einem Gewinn von 1313 · 5, 40EU − 400EU = 6690, 2EU.

Aufgabe 6: (Vgl. ÜA 25 und 50) Sind X_{1}, X_{2} : Ω → ℝ die jährlichen Erträge des DAX bzw. REXP, so ist X = aX_{1} + bX_{2} mit a + b = 1 der Ertrag des Portfolios aus a Prozent DAX und b Prozent REXP. Nach Voraussetzung gilt e_{1} = E(X_{1}) = 1, 112 (!) und c_{11} = Var(X_{1}) = 0, 241^{2} ≈ 0, 05808 ebenso wie e_{2} = E(X_{2}) = 1, 077 und c_{22} = Var(X_{2}) = 0, 051^{2} ≈ 0, 0026. Die Kovarianz ist c_{12} = ϱ(X_{1}, X_{2})σ(X_{1})σ(X_{2}) ≈ 0, 0035643. Für das Portfolio folgt e = E(X) = ae_{1} + (1 − a)e_{2} sowie

v = Var(X) = a^{2}c_{11} + a(1 − a)c_{12} + (1 − a)^{2}c_{22}
= (\frac{e−e_{2}}{e_{1}−e_{2}} )^{2}c_{11} + 2 (\frac{e−e_{2}}{e_{1}−e_{2}} )(\frac{e_{1}−e}{e_{1}−e_{2}} )c_{12} + (\frac{e_{1}−e}{e_{1}−e_{2}} )^{2}c_{22}
≈ 43, 715e^{2} − 94, 108e + 50, 65

Auf dieser Parabel, die die effiziente Grenze beschreibt, ist nach der MEL-Regel derjenige Punkt zu wählen, für den E(ln X) ≈ ln(e) − \frac{1}{2} \frac{v}{e^{2}} maximal ist. Ableiten liefert \frac{1}{e} − 47, 0515\frac{1}{e^{2}} + 50, 649\frac{1}{e^{3}} = 0, also e ≈ 1, 102532 und damit a = 0, 7295, b = 0, 2705.

Es sind demnach stets 72, 95 Prozent in den DAX und 27, 05 Prozent in den REXP zu investieren. Das Portfolio ist jährlich zu rebalancieren. Der erwartete Gewinn beträgt 10, 25 Prozent pro Jahr bei einer Standardabweichung von 18, 8 Prozent. Nach 40 Jahren werden aus dem Erbe 1,488 Millionen Euro.