Fakultät für Mathematik 3. Juli 1998 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

Blatt 9: Erwartungswerte stetiger Zufallsvariablen

Aufgabe 41: (Warten auf das “Golden Goal”)

Bei einem Spiel der Fußball-WM kommt es zur Verlängerung. Die Zeit, die es dauert, bis Spieler i ∈ {1, …, 22} ein Tor erzielt, sei exponentiell verteilt zum Parameter λ_{i} > 0. Bestimmen Sie die durchschnittliche Dauer der Verlängerung sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, daß es zu einem Elfmeterschießen kommt.

Aufgabe 42: Eine reellwertige Zufallsvariable X : Ω ⟶ ℝ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) besitze eine der folgenden Verteilungen. Entscheiden Sie jeweils, ob ihr Erwartungswert und ihre Varianz existieren, und berechnen Sie diese gegebenenfalls.

a) X ist Gamma-verteilt mit Parametern α, ν ∈ ℝ_{+}.

b) X ist χ_{n}^{2}-verteilt mit n ∈ ℕ_{+}.

c) X ist t-verteilt mit n ∈ ℕ_{+} Freiheitsgraden.

Aufgabe 43: Sei n ∈ ℕ_{+}, und seien X_{1}, …, X_{n} : Ω ⟶ ℝ unabhängige, standardnormalverteilte Zufallsvariable auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P). Berechnen Sie die Dichte der Zufallsvariablen X = X_{1}^{2} +⋯+X_{n}^{2} : Ω ⟶ ℝ. Um welche Verteilung handelt es sich bei P_{X}?

Aufgabe 44: Sei (Ω, A, P) ein Wahrscheinlichkeitsraum, und seien X, Y : Ω ⟶ ℝ zwei unabhängige Zufallsvariable, deren Erwartungswerte existieren. Beweisen Sie, daß dann auch E(XY) existiert, und es gilt E(XY) = E(X)E(Y).

(Hinweis: Betrachten Sie zunächst den Fall, daß es ein n ∈ ℕ_{+} gibt mit X(Ω) ∪ Y (Ω) ⊆ [1, n].)

Aufgabe 45: (Das Blitzschachmatch)

Beim Blitzschach erhält jeder Spieler eine Gesamtbedenkzeit von fünf Minuten pro Partie, so daß an einem Abend eine Reihe von Partien ausgetragen werden kann. Im direkten Vergleich zweier Schachspieler besitze Spieler A die Gewinnwahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ und Spieler B die Gewinnwahrscheinlichkeit 1−p, wobei Remisen (d.h. unentschiedene Partien) nicht mitgerechnet werden. Bestimmen Sie in den folgenden Fällen jeweils durch Simulation mit Hilfe geeigneter Maple-Prozeduren für möglichst viele Fälle p, m, n die gesuchten Wahrscheinlichkeiten.

a) (Das Standardmatch) Der Verlierer zahlt dem Gewinner einer Partie eine DM. Mit welcher Wahrscheinlichkeit P_{0} verliert Spieler A irgendwann sein ganzes Geld, wenn er m DM dabei hat und Spieler B hat n DM.

b) Beweisen Sie P_{0} = \frac{n}{m+n} im Fall p = \frac{1}{2} sowie P_{0} = \frac{(1−p)^{m+n}−(1−p)^{m}p^{n}}{(1−p)^{m+n}−p^{m+n}} im Fall p ≠ \frac{1}{2}.

c) (Das Zockermatch) Um den Umsatz und den Nervenkitzel zu erhöhen, beschließen die Spieler nach einer Weile, die Gesamtbedenkzeit pro Partie und Spieler auf zwei Minuten zu verkürzen und den Einsatz auf zwei DM zu erhöhen. Später spielen Sie sogar mit einer Minute Bedenkzeit um fünf DM Einsatz. Berechnen Sie wieder die Wahrscheinlichkeit dafür, daß sich Spieler A ruiniert. Bestimmen Sie auch das Grenzwertverhalten dieser Wahrscheinlichkeit bei weiteren Erhöhungen des Einsatzes.

d) (Raketenschach) Die beiden Spieler starten mit je fünf Minuten Bedenkzeit. Der Sieger erhält bei der nächsten Partie jeweils eine Minute Bedenkzeit weniger. Besitzt Spieler A irgendwann i Minuten Bedenkzeit und Spieler B hat j Minuten, so gewinnt Spieler A mit Wahrscheinlichkeit \frac{pi}{pi+(1−p)j}. Das Match ist beendet, sobald einer der Spieler auf fünf Siege kommt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Spieler A das Match?