Fakultät für Mathematik 9. Juli 1998 Universität Regensburg

Übungen zur Vorlesung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie

Blatt 10: Grenzwertsätze

Aufgabe 46: Eine reellwertige Zufallsvariable X : Ω ⟶ ℝ auf einem Wahrscheinlichkeitsraum (Ω, A, P) sei Weibull-verteilt mit Parametern α, β ∈ ℝ_{+}. Zeigen Sie, daß die Zufallsvariable X^{β} : Ω ⟶ ℝ exponentialverteilt ist.

Aufgabe 47: Der Einstellungstest einer Firma besteht aus 99 Fragen, die nach aufsteigendem Schwierigkeitsgrad angeordnet sind. Die Wahrscheinlichkeit dafür, daß ein gewisser Kandidat die i-te Frage richtig beantwortet, sei 1 − \frac{i}{100}. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird er eingestellt, wenn dazu die korrekte Antwort auf mindestens 60 Fragen verlangt wird?

Aufgabe 48: (Bier ist Bier und Schnaps ist Schnaps)

Ein Bartender schenkt Schnaps aus einer großen 3-Liter-Flasche aus. Ein Drink (“Stamperl”) enthält durchschnittlich 5 cl Schnaps mit einer Standardabweichung von 0,5 cl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit reicht die Flasche für 65 Drinks?

Aufgabe 49: Ein Bernoulli-Versuch mit Erfolgswahrscheinlichkeit p ∈]0, 1[ werde unendlich oft wiederholt. Für n ∈ ℕ sei A_{n} das Ereignis, daß zwischen dem 2^{n}-ten Versuch (einschließlich) und dem 2^{n+1}-ten Versuch (ausschließlich) ein Run der Länge n auftritt. Mit welcher Wahrscheinlichkeit treten unendlich viele der Ereignisse A_{n} ein?

Aufgabe 50: (Die MEL-Regel)

In der Situation der modernen Portfoliotheorie (vgl. Übungsaufgabe 25) sei X : Ω ⟶ ℝ die Zufallsvariable, die für Ω = ℕ den Gesamtertrag des Portfolios im n-ten Anlagezeitraum beschreibt, und W : Ω ⟶ ℝ gebe den Wert des Portfolios nach n Anlagezeiträumen an.

a) Zeigen Sie, daß fast sicher

lim_{n→∞} \frac{1}{n} ln(\frac{W_{n}}{W_{0}} ) = E(ln(X))

gilt. Folgern Sie, daß ein Portfolio mit Ertrag X : Ω ⟶ ℝ ein anderes mit Ertrag Y : Ω ⟶ ℝ auf lange Sicht fast sicher übertrifft (d.h. sein Gesamtwert nach n >> 0 Anlageperioden ist höher), wenn E(ln(X)) > E(ln(Y)) gilt.

Die MEL-Regel (“Maximum Expected Log”) besagt, daß unter den optimalen Portfolios aus Aufgabe 25 dasjenige zu wählen ist, für das E(ln(X)) maximal ist. b) Beweisen Sie die Näherungsformel

E(ln(X)) ≈ ln E(X) − \frac{1}{2} \frac{Var(X)}{E(X)^{2}}

(Hinweis: Schreiben Sie X = 1 + Y und berechnen Sie die Taylor-Entwicklung an der Stelle E(X) = 1 + E(Y).)

c) Stellen Sie sich vor, Sie seien verantwortlich für die Verwaltung eines Aktienfonds, der nur in Indexzertifikate der folgenden Länder investieren darf:

1) Deutschland

2) Frankreich

3) Großbritannien

4) Japan

5) USA Die historischen Jahreserträge (von 1950 bis 1997, in DM) dieser Wertpapiere liegen

in der Datei “laender.mws” vor. Schreiben Sie eine Maple-Prozedur MELrule(L), die das optimale Portfolio berechnet, das die MEL-Regel erfüllt. Wie ist die Anlagesumme prozentual auf die einzelnen Indexzertifikate zu verteilen?