Tutorium 5

Sei p eine Primzahl, e ∈ �_{+}, q = p^{e} und K der Körper mit q Elementen. Unser Ziel ist es die (im wesentlichen eindeutige) Primfaktorzerlegung eines nichtkonstantes, normiertes Polynom f ∈ K[x]\K vom Grad d = deg(f) zu berechnen. Sei R = K[x]/(f) und X die Restklasse von x in R. a. Beweisen Sie, dass der Ring R ein d-dimensionaler K-Vektorraum mit Basis

B := (1, X, X^{2}, …, X^{d−1}) ist. Beweis: Dass R ein K-Vektorraum ist, ist klar. Ebenso hat jede Linearkombination l von Elementen aus {1, …, x^{d−1}} einen Grad≤ d. Ist die zugehörige Restklasse 0, heißt dies dass sie von f geteilt wird. Dies ist wegen deg(f) = d nur möglich falls l = 0. Damit ist gezeigt, dass die Vektoren aus B linear unabhängig sind. Ist andererseits g + (f) ∈ R beliebig mit g ∈ K[x], so schreibe g = qf + r mit q, r ∈ K[x] und deg(r) < deg(f) = d. Hieraus folgt g − r ∈ (f), d.h. g + (f) = r + (f). Wegen deg(r) ≤ d − 1, ist nun gezeigt, dass B ein Erzeugendensystem von R ist. �

b. Sei Q = (q_{ij}) ∈ M(d, K), deren i-ter Zeilenvektor der Vektor von Koordinaten von X^{q(i−1)} bzgl. der Basis B ist. Weiterhin sei g ∈ K[x] beliebig und γ_{0}, …, γ_{d−1} ∈ K d.d. g + (f) = γ_{0} + … + γ_{d−1}X^{d−1}. Behauptung: \overline{g}^{q} = (γ_{0}, …, γ_{d−1}) · Q · (1, X, …, X^{d−1})^{transp.}. Beweis: Vorbemerkungen: p|\binom{p^{e}}{i} für 1 ≤ i < p^{e}, denn für ein derartiges i gilt \binom{p^{e}}{i} = \frac{p^{e}}{i} \binom{p^{e}−1}{i−1} und p|\frac{p^{e}}{i}. Deshalb folgt weil CharK = p für a, b ∈ K: (a+b)^{q} = ∑_{i=0}^{q} \binom{q}{i}a^{i}b^{q−i} = a^{q} +b^{q}. Induktiv folgt für a_{0}, …, a_{n} ∈ K: (a_{0} + … a_{n})^{q} = a_{0}^{q} + … a_{n}^{q}. Dies gilt sogar falls a_{i} ∈ R und von der Form b_{i}X^{i} mit b_{i} ∈ K für i = 0, …, n, da die Koeffizienten b_{i} für i = 1, …, n − 1 verschwinden. Nun zum eigentlichen Beweis: \overline{g}^{q} = (γ_{0} + … + γ_{d−1}X^{d−1})^{q} = ∑_{i=1}^{d} γ_{i−1}^{q}X^{q(i−1)} ∑_{i=1}^{d} γ_{i−1}X^{q(i−1)} = ∑_{i=1}^{d} γ_{i−1} ∑_{j=1}^{d} q_{ij}X^{j−1} = ∑_{i=1}^{d} ∑_{j=1}^{d} γ_{i−1}q_{ij}X^{j−1} = (γ_{0}, …, γ_{d−1}) · (∑_{j=1}^{d} q_{1j}X^{j−1}, …, ∑_{j=1}^{d} q_{dj}X^{j−1})^{transp.} = (γ_{0}, …, γ_{d−1}) · Q · (1, X, …, X^{d−1})^{transp.} � Sei nun β := (β_{0}, …, β_{d−1}) := (γ_{0}, …, γ_{d−1}) · (Q − E_{d}). Offensichtlich gilt \overline{g} = (γ_{0}, …, γ_{d−1}) · (1, X, …, X^{d−1})^{transp.}, folglich \overline{g}^{q} − \overline{g} = β · (1, X, …, X^{d−1})^{transp.}, wobei E_{d} d × d-Einheitsmatrix. Gilt β = 0, so folgt \overline{g}^{q} − \overline{g} = 0. Gilt andererseits \overline{g}^{q} − \overline{g} = 0, so folgt β_{0} + β_{1}X + β_{d−1}X^{d−1} = 0 und somit β = 0, weil B Basis von R. Insgesamt gilt also β = 0 ⇔ \overline{g}^{q} − \overline{g} = 0.

c. Sei g ∈ K[x] ein Polynom mit \overline{g}^{q} − \overline{g} = 0 in R, so gilt f = ∏_{κ∈K} ggT(f, g − κ). Beweis: Beh. 1: ∏_{κ∈K} ggT(f, g − κ)|f (mit ggT ist der normierte ggT gemeint) Trivialerweise teilt jeder Faktor rechten Seite f. Es genügt folglich zu zeigen, dass die Faktoren der rechten Seite teilerfremd sind. Dies ist klar, denn gäbe es ein Primelement p ∈ R mit p|g − κ_{1} und p|g − κ_{2} (κ_{1}, κ_{2} ∈ K, κ_{1} ≠ κ_{2}), so würde p auch das konstante Polynom κ_{1} − κ_{2} ≠ 0 teilen. Widerspruch ! Beh. 2: f| ∏_{κ∈K} ggT(f, g − κ) Sei f = ∏_{i=1}^{r} p_{i}^{α_{i}} die Primfaktorzerlegung von f, wobei α_{i} > 0 für i = 1, …, r und p_{1}, …, p_{r} die verschiedenen irreduziblen Faktoren von f sind. Aus \overline{g}^{q} − \overline{g} = 0 folgt f|g^{q} − g = g(g^{q−1} − 1) = g(g − 1)(g^{q−2} + g^{q−3} + … + 1) (*). Sei i ∈ {1, …, r} beliebig. Wir müssen nun zeigen, daß p_{i}^{α_{i}} ein Polynom der Form g − κ mit κ ∈ K teilt. Aus (*) folgt p_{i}|g oder p_{i}|(g − 1) oder p_{i}|(g^{q−2} + g^{q−3} + … + 1). Desweiteren sind die drei Polynome g, g − 1 und (g^{q−2} +g^{q−3} +…+1) paarweise teilerfremd, denn jeder Primteiler von g würde jede Potenz von g teilen und damit auch die 1 bzw. die -1 teilen. Gilt p_{i}|g bzw. p_{i}|(g − 1) folgt also p_{i}^{α_{i}}|g bzw. p_{i}^{α_{i}}|(g − 1) und wir sind fertig. Folglich müssen wir uns nur noch auf den Fall p_{i}^{α_{i}}|(g^{q−2} + g^{q−3} + … + 1), p_{i} ∤ g, p_{i} ∤ (g − 1) konzentrieren.

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d. Beweis des folgenden Spezialfalls des chinesischen Restsatzes:

Beweis: Die kanonische Abbildung ϵ : R → K[x]/(p_{1}^{α_{1}}) × … × K[x]/(p_{r}^{α_{r}}) ist ein K-Algebrenisomorphismus.

Nach Konstruktion gilt offensichtlich, dass ϵ ein K-Algebrenhomomorphismus ist. Auch die Injektivität ist sofort klar, weil offensichtlich ker ϵ = {0} gilt. Zu zeigen bleibt lediglich die Surjektivität. Sei dazu (g_{1} + (p_{1}^{α_{1}}), …, g_{r} + (p_{r}^{α_{r}})) ∈ K[x]/(p_{1}^{α_{1}}) × … × K[x]/(p_{r}^{α_{r}}) beliebig. Setze q_{l} := ∏_{i≠l} p_{i}^{α_{i}} für l = 1, …, r. Die q_{l} sind paarweise teilerfremd, folglich gibt es nach Euklid a_{1}, …, a_{r} ∈ K[x] mit a_{1}q_{1} + … + a_{r}q_{r} = 1. Hieraus folgt a_{i}q_{i} + (p_{i}^{α_{i}}) = 1 + (p_{i}^{α_{i}}) für i = 1, …, r.

Setze x := ∑_{i=1}^{r} g_{i}a_{i}q_{i}.

ϵ(x) = (x + (p_{1}^{α_{1}}), x + (p_{r}^{α_{r}})) = (g_{1}a_{1}q_{1} + (p_{1}^{α_{1}}), …, g_{r}a_{r}q_{r} + (p_{r}^{α_{r}})) = (g_{1} + (p_{1}^{α_{1}}), …, g_{r} + (p_{r}^{α_{r}})). Damit ist auch die Surjektivität gezeigt. � Sei nun V definiert durch V := \{\overline{g} ∈ R | \overline{g}^{q} − \overline{g} = 0\}. Es ist leicht nachzurechnen, dass V ein Untervektorraum des Vektorraums R ist. In c) wurde gezeigt, dass es zu jedem i ∈ \{1, …, r\} ein κ_{i} ∈ K und ein g ∈ K[x] mit \overline{g} ∈ V gibt, mit p_{i}^{α_{i}}|(g − κ). Folglich gilt g + (p_{i}) = κ_{i} + (p_{i}). ϵ induziert folglich einen Vektorraummonomorphismus φ : V → K^{r}. Seien andererseits κ_{1}, …, κ_{r} ∈ K vorgeben. Finde wie im Beweis des chin. Restsatzes a_{i} und q_{i} mit den entsprechenden Eigenschaften. Bemerkung: Die a_{i} und q_{i} stammen dann auch aus K. Setze wieder x := ∑_{i=1}^{r} κ_{i}a_{i}q_{i}. Nun gilt x ∈ κ ∈ K ⊆ V. Damit ist gezeigt, dass φ sogar ein Vektorraumisomorphismus ist. Nun zurück zu Teilaufgabe b). Die Menge W aller Elemente (γ_{0}, …, γ_{d−1}) ∈ K^{d} mit (γ_{0}, …, γ_{d−1}) · (Q − E_{d}) ist offensichtlich ein K-Vektorraum. Nach b) gilt V ≅ ker(Q−E_{d}) und nach d) K^{r} ≅ V. Folglich gilt dim_{K}(ker(Q−E_{d})) = r. Die Anzahl r der irreduziblen Faktoren von f wird folglich durch dim_{K}(ker(Q− E_{d})) gegeben.