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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Klausur zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

1. Wie entwickelt sich eine Infektion in einer anfangs gesunden Population, wenn pro Jahr 500 Neuerkrankungen auftreten und jährlich 25% der Erkankten gesunden?

2. Eine Schnecke befindet sich an einem Ende eines 100 m langen Gummibandes. Sie kriecht das Gummiband entlang und legt jede Nacht 1 m zurück. Während sie sich am folgenden Tag ausruht, wird das Gummiband um 2% ausgedehnt. Kommt die Schnecke jemals an ihr Ziel am anderen Ende des Gummibandes?

3. Kann man die Konstante c ∈ ℝ so wählen, dass die Funktion

f : ℝ → ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2} sin (\frac{1}{x}), & für x > 0 \\ (x + c)^{3}, & für x ≤ 0 \end{matrix}

(a) stetig

(b) differenzierbar

(c) stetig differenzierbar

ist?

4. Ein acidophiler Bakterienstamm wurde in eine Nährlösung eingesetzt. In Abhängigkeit vom pH-Wert x der Nährlösung stelle sich nach der Vermehrung ein Endwert für die Anzahl a(x) der Bakterien ein, der gegeben sei durch a(x) = 10^{10} · [exp (x) − exp (2x − 7)] für 3 ≤ x ≤ 7. Berechnen Sie den pH-Wert, für den a(x) maximal wird. Hinweis: ln (2) ≈ 0.70.

5. Eine 10 m lange Leiter lehnt an einer vertikalen Wand. Das untere Ende der Leiter bewegt sich mit 1 \frac{m}{s} von der Wand weg. Wie schnell gleitet das obere Ende der Leiter die Wand hinab, wenn das untere Ende gerade 6 m von der Wand entfernt ist.

6. Die Quellstärke Q einer Quelle werde in \frac{l}{min} angegeben. Mit der Zeit nehme die Quellstärke exponentiell nach der Formel Q(t) = 22 · exp (−at) ab, wobei a > 0 konstant ist. Innerhalb von 10 Tagen gehe die Quellstärke von 32 \frac{l}{min} auf 2 \frac{l}{min} zurück. Wieviele Kubikmeter Wasser hat die Quelle in dieser Zeit ausgeschüttet? Hinweis: ln (11) ≈ 2.40.

7. Finden Sie \underline{alle} Lösungen des folgenden linearen Gleichungssystems:

\begin{aligned}x_{1} & − & x_{2} & + & x_{3} & − & x_{4} & = & 0 \\ x_{1} & − & 2x_{2} & + & 3x_{3} & − & 4x_{4} & = & 0 \\ 2x_{1} & − & 3x_{2} & + & 5x_{3} & − & 8x_{4} & = & 0 \\ 2x_{1} & − & 2x_{2} & + & 3x_{3} & − & 5x_{4} & = & 0 \end{aligned}

8. Welcher der Punkte (1, 2, 3), (−1, 2, 1) und (0, 4, 1) liegt am wenigsten weit von (1, 4, −4) entfernt?

9. Ein Prüfer hat 10 Standardfragen, von denen er bei jeder Prüfung 3 zufällig auswählt. Ein Student kennt die Antwort auf 6 Fragen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er die Prüfung besteht, wenn er dazu mindestens zwei Fragen richtig beantworten muss?