Mathematik für Naturwissenschaftler 1

Nachklausur

Aufgabe 1: An einem Genort befinden sich ein Allel A_{1} mit 60% Häufigkeit und ein Allel A_{2} mit 40% Häufigkeit. Pro Generation mutieren 40% von Gen A_{1} in Gen A_{2} und 60% von Gen A_{2} in Gen A_{1}. Wie entwickeln sich die Häufigkeiten van A_{1} und A_{2} nach vielen Generationen?

Aufgabe 2: Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz.

a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{2}}{3^{n}} = \frac{1}{3} + \frac{4}{9} + \frac{9}{27} + \frac{16}{81} + ⋯

b) ∑_{n=0}^{∞} \frac{n+1}{n^{2}+1} = 1 + \frac{2}{2} + \frac{3}{5} + \frac{4}{10} + \frac{5}{17} + ⋯

c) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} + − ⋯

Aufgabe 3: An welchem Punkt der Kurve y = x\sqrt{x} ist die Tangente parallel zur Geraden 3x − y + 6 = 0 ?

Aufgabe 4: In einen Halbkreis vom Radius 1m soll ein Rechteck mit möglichst großer Fläche einbeschrieben werden. (Dies bedeutet, dass die Ecken des Rechtecks auf dem Rand des Halbkreises liegen.) Finden Sie die Kantenlängen dieses Rechtecks.

Aufgabe 5: Zwei Autos starten gleichzeitig vom selben Punkt. Eines fährt mit 60 km/h nach Süden und das andere mit 25 km/h nach Westen. Wie schnell vergrößert sich ihre Distanz zwei Stunden später?

Aufgabe 6: Berechnen Sie die folgenden Integrale.

a) ∫_{0}^{π} sin^{2}(x) dx

b) ∫_{0}^{1} x\sqrt{x^{2} + 1} dx

c) ∫_{0}^{1} \frac{x^{3}}{x^{2}+1} dx

Aufgabe 7: Bestimmen Sie eine Basis des Lösungsraums des folgenden linearen Gleichungssystems.

\begin{aligned}x_{1} & −x_{2} & +x_{3} & −x_{4} & = 0 \\ x_{1} & +2x_{2} & −x_{3} & +3x_{4} & = 0 \\ −x_{1} & −5x_{2} & +3x_{3} & −7x_{4} & = 0 \end{aligned}

Aufgabe 8: Gegeben seien die beiden Geraden G_{1} = {(t, 2t, 3t) | t ∈ ℝ} und G_{2} = {(0, t, 1) | t ∈ ℝ} in ℝ^{3}.

a) Finden Sie die beiden Punkte P_{1} ∈ G_{1} und P_{2} ∈ G_{2}, die den kleinsten Abstand voneinander haben.

b) Berechnen Sie den Abstand von P_{1} und P_{2}.

Aufgabe 9: Beim Schafkopf hat jeder der vier Spieler sechs Karten. Einer der Spieler besitze genau zwei Ober. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die beiden anderen Ober zusammenstehen, d.h. dass ein anderer Spieler die restlichen beiden Ober besitzt?