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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 1 Abgabetermin: Do, 26.10.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen. Um am Ende des Semesters den Schein zu erhalten, müssen Sie die Klausur bestehen, sowie mindestens 50% der Punkte in den Übungen erreichen.

1. Bei einer Fernsehsendung ergibt sich die folgende Situation:

(a) Falls Alida Walter liebt, so lieben sich Ebru und Karim.

(b) Falls Alida jedoch Karim liebt, so lieben sich Frank und Ebru.

(c) Falls Ebru Walter nicht liebt, so ist Daniela in Karim verknallt.

(d) Sind Daniela und Frank ein Paar, so liebt Alida Karim. Zeigen Sie, dass es genau eine Art gibt, die Gruppe so in drei Pärchen aufzuteilen, dass alle Bedingungen erfüllt sind.

2. Verneinen Sie die folgenden Aussagen:

(a) Die gesuchte Frau wurde gestern oder vorgestern in Bayreuth gesehen.

(b) Die Zahl 32 ist gerade, und sie ist eine Quadratzahl.

(c) Für alle natürlichen Zahlen n gilt: Wenn n eine ungerade Zahl ist, dann ist n eine Primzahl.

(d) Hunde, die bellen, beißen nicht.

3. Bestimmen Sie die folgenden Mengen:

(a) M_{1} = {n ∈ ℕ| es gibt ein m ∈ ℕ_{+} mit 17 ≤ m^{2} + n^{2} ≤ 20}.

(b) M_{2} = {n^{3}| n ∈ ℕ und 15 < n^{2} < 37}.

(c) M_{3} = {x ∈ ℤ| x^{2} + x − 12 = 0 und 4x + 6 ≤ 0}.

(d) M_{4} = {x ∈ ℤ| 1 + |x| ≤ 2 und x^{3} − x^{2} − x + 1 = 0}.

4. Beweisen Sie, dass \sqrt{2} keine rationale Zahl ist, d.h. dass es keine rationale Zahl \frac{a}{b} gibt mit (\frac{a}{b})^{2} = 2.

5. Bestimmen Sie die Lösungsintervalle (in ℝ) der folgenden Ungleichungen: (a) \frac{x−4}{x−5} ≥ x − 6.

(b) \frac{2x−1}{x+3} < \frac{1}{3}.

(c) \frac{1+|x|}{|x−2|} ≤ 2.