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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 2

Abgabetermin: Do, 02.11.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen. Um am Ende des Semesters den Schein zu erhalten, müssen Sie die Klausur bestehen, sowie mindestens 50% der Punkte in den Übungen erreichen.

6. Seien z, z_{1}, z_{2} ∈ ℂ. Beweisen Sie die folgenden Rechenregeln:

(a) |z|^{2} = z · \overline{z};

(b) Re(z) = \frac{1}{2}(z + \overline{z});

(c) Im(z) = \frac{1}{2i}(z − \overline{z});

(d) \overline{z_{1} + z_{2}} = \overline{z_{1}} + \overline{z_{2}};

(e) \overline{z_{1} · z_{2}} = \overline{z_{1}} · \overline{z_{2}}.

7. Bestimmen Sie alle Lösungen z ∈ ℂ der folgenden Gleichungen:

(a) z^{3} − 1 = 0;

(b) z^{3} − i = 0;

(c) z^{4} + 4 = 0;

(d) z^{3} + 2z^{2} − 2iz − 4i = 0 (Tip: Raten Sie eine reelle Lösung und spalten Sie den entsprechenden Linearfaktor ab.).

8. (Die Genmutation)

Gegeben sei ein Genort mit den Allelen A_{1} und A_{2}. Pro Generation mutiert ein gewisser Anteil u ∈]0, 1[ von Gen A_{1} in Gen A_{2} und ein gewisser Anteil v ∈]0, 1[ von Gen A_{2} in Gen A_{1}. Hierbei gelte u + v < 1. Die Häufigkeit von A_{1} betrage zum Anfang p_{0} = 0.6.

(a) Zeigen Sie, dass die Häufigkeit p_{n} von A_{1} in der n-ten Generation der folgenden Rekursionsvorschrift genügt:

p_{n+1} = (1 − u)p_{n} + v(1 − p_{n}).

(b) Bestimmen Sie p^{∗} = lim_{n→∞} p_{n}.

9. Untersuchen Sie nachstehenden Folgen auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den Grenzwert:

(a) Folge (a_{n})_{n≥1} mit a_{n} = \frac{n(2n+1)(3n+2)}{n^{3}}

(b) Folge (b_{n})_{n∈ℕ} mit b_{n} = \sqrt{n + 1} − \sqrt{n}

(c) Folge (c_{n})_{n≥1} mit c_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{2}{n^{2}} + ... + \frac{n}{n^{2}}

(d) Folge (d_{n})_{n≥1} mit d_{n} = \frac{1}{n^{2}} + \frac{1}{(n+1)^{2}} + ... + \frac{1}{(2n)^{2}}

10. (Die Fibonacci - Zahlen) Im 13. Jahrhundert stellte der italienische Mathematiker Fibonacci folgende Aufgabe. Angenommen, ein Kaninchenpaar erzeugt jeden Monat ein neues Kaninchenpaar, welches im Alter von zwei Monaten selbst zeugungsfähig wird. Wenn wir mit einem neugeborenen Kaninchenpaar beginnen und annehmen, dass Kaninchen sehr lange leben, wie viele Kaninchenpaare p_{n} haben wir nach n Monaten?

(a) Finden Sie eine Rekursionsformel für die Zahlenfolge (p_{n})_{n∈ℕ}.

(b) Berechnen Sie den Grenzwert der Folge (q_{n})_{n∈ℕ}, die durch q_{n} = \frac{p_{n+1}}{p_{n}} gegeben ist.