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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 3

Abgabetermin: Do, 09.11.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen.

11. Untersuchen Sie die folgenden Reihen auf Konvergenz bzw. Divergenz:

(a) ∑_{n=1}^{∞} \frac{1}{n^{2}} = 1 + \frac{1}{4} + \frac{1}{9} + \frac{1}{16} + ... ;

(b) ∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n+1}}{n} = 1 − \frac{1}{2} + \frac{1}{3} − \frac{1}{4} ± ... ;

(c) ∑_{n=0}^{∞} \frac{2^{n}}{n!} = 1 + 2 + \frac{4}{2!} + \frac{8}{3!} + ... ;

(d) ∑_{n=1}^{∞} \frac{n^{n}}{n!} = 1 + \frac{2^{2}}{2!} + \frac{3^{3}}{3!} + \frac{4^{4}}{4!} + ... .

Berechnen Sie mit \underline{Maple} oder mit Ihrem Taschenrechner die Summe der ersten zehn Terme und versuchen Sie ggf. eine Formel für die Summe der Reihe zu erraten.

12. (Die Energiekrise)

Die Erdgasreserven der Welt betragen ca. 6 · 10^{13} m^{3}. Derzeit liegt der Weltjahresverbrauch bei 2.4 · 10^{12} m^{3}. Nehmen Sie an, dass die Umwelt- und Wirtschaftspolitik radikal umgestellt wird und dass der Erdgasverbrauch jährlich um 4% zurückgeht. Hält dann der Vorrat für alle Zeiten?

13. (Der Gummiball)

Ein Gummiball fällt aus vier Meter Höhe auf den Boden und springt nach jedem Fall bis zur halben Höhe zurck. Welche Distanz hat er zurückgelegt, wenn er zur Ruhe kommt?

14. (Der wilde Hund Puschkin)

Förster Schnurrbart geht mit seinem Hund Puschkin nach Hause. Seine Gehgeschwindigkeit sei konstant v. Er ist noch 444 m von seinem Haus entfernt, als der Hund anfängt, mit der doppelten Geschwindigkeit auf dieses zuzulaufen. Dort angekommen, läuft der Hund wieder zu seinem Herrn zurück, kehrt um, läuft wieder in Richtung Haus, u.s.w.. Welche Strecke legt der Hund zurück bis beide daheim sind?

15. (Die Schnecke auf dem Gummiband) Eine Schnecke befindet sich an einem Ende eines 100 m langen Gummibands. Sie kriecht das Gummiband entlang und legt jede Nacht 1 m zurück. Während sie sich am folgenden Tag ausruht, wird das Gummiband gleichmäßig um 1 m ausgedehnt.

(a) Kommt die Schnecke jemals an ihr Ziel am anderen Ende des Gummibands?

(b) Wie lautet die Antwort, wenn das Gummiband jeden Tag um 1% ausgedehnt wird?