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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 5

Abgabetermin: Do, 23.11.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen.

21. Beweisen Sie die folgenden Formeln mit Hilfe der Definitionen cos x = Re(e^{ix}) und sin x = Im(e^{ix}):

(a) cos^{2} x + sin^{2} x = 1;

(b) cos (x + y) = cos x cos y − sin x sin y;

(c) sin (x + y) = sin x cos y + cos x sin y;

(d) 2 sin x cos y = sin (x − y) + sin (x + y);

(e) 2 cos x cos y = cos (x − y) + cos (x + y).

22. Ein 34 Meter hoher Turm steht auf horizontalem Grund.

(a) Wie lange ist der Schatten, den er bei 30^{o} Sonnenhöhe wirft?

(b) Wie lautet die Antwort, wenn der Turm auf einem um 10^{o} geneigten Südhang steht?

23. Als wie groß ein Objekt gesehen wird, hängt nicht nur von seiner Größe, sondern auch von seiner Entfernung ab. Entscheidend ist der Sehwinkel, der die Größe des auf der Netzhaut wahrgenommenen Bildes bestimmt. Zeigen Sie, dass einem irdischen Beobachter Sonne und Mond etwa gleich groß erscheinen. (Mondradius ≈ 1.73·10^{3} km; Entfernung des Mondes ≈ 3.84·10^{5} km; Sonnenradius ≈ 6.95·10^{5} km; Entfernung der Sonne ≈ 1.49 · 10^{8} km.)

24. (a) Zeigen Sie, dass cosh : ℝ → ℝ eine gerade und sinh : ℝ → ℝ eine ungerade Funktion ist.

(b) Beweisen Sie den hyperbolischen Pythagoras:

cosh^{2} x − sinh^{2} x = 1.

(c) Zeigen Sie die hyperbolischen Additionstheoreme:

i. sinh (x + y) = sinh x cosh y + cosh x sinh y; ii. cosh (x + y) = cosh x cosh y + sinh x sinh y.

25. Die Gleichung y = A · cos (2πf(t − \frac{x}{c})) beschreibt eine ebene, in x-Richtung fortschreitende harmonische Welle. Dabei ist t die Zeit, A die Schwingungsamplitude und f, c sind Konstanten.

(a) Skizzieren Sie Momentaufnahmen der Welle für t = 0, 1, 2.

(b) Zeichnen Sie in ein (t,y)-Koordinatensystem die Funktion, die den zeitlichen Ablauf der Schwingung an der Stelle x = 0 angibt.

(c) Folgern Sie aus (a), dass c die Phasengeschwindigkeit ist, d.h. die Geschwindigkeit, mit der sich die Schwingungsmaxima in x-Richtung fortbewegen.

(d) Zeigen Sie mit Hilfe von (b), dass f die Frequenz der Schwingung an einer festen Stelle ist.

(e) Beweisen Sie, dass \frac{c}{f} die Wellenlänge ist, d.h. der Abstand zweier benachbarter Schwingungsmaxima zu einem festen Zeitpunkt.