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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 6

Abgabetermin: Do, 30.11.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen.

26. (Du strebst mit aller Mühe Deinem Limes zu; und Du sollst ihm begegnen.) Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

(a) lim_{x→1} \frac{x^{2}+3x+1}{x+2};

(b) lim_{x→0} \frac{1+e^{x}}{\sqrt{1+x^{2}}} ;

(c) lim_{x→0} ln x;

(d) lim_{x→2} cos (x^{2} − 3).

27. (Stetig oder unstetig, das ist hier die Frage.)

Kann man die Konstante c ∈ ℝ so wählen, dass die folgenden Funktionen stetig sind?

(a) f_{1} : ℝ → ℝ mit f_{1}(x) = \{ \begin{matrix}cx + 1, für x < 0 \\ x^{2} − c, für x ≥ 0 \end{matrix}

(b) f_{2} : ℝ → ℝ mit f_{2}(x) = \{ \begin{matrix}e^{cx^{2}+4}, für x ≤ −2 \\ \frac{1}{x+2}, für x > −2 \end{matrix}

(c) f_{3} : ℝ_{+} → ℝ mit f_{3}(x) = \{ \begin{matrix}ln (cx), für 0 < x < 1 \\ ln (x^{2} + 2cx − 1), für x ≥ 1 \end{matrix}

(d) f_{4} : [0, 1] → ℝ mit f_{4}(x) = \{ \begin{matrix}tan (πx), für 0 ≤ x < \frac{1}{2} \\ cx^{2}, für x ≥ \frac{1}{2} \end{matrix}

28. (Auf und nieder immer wieder.)

Zeigen Sie, dass die Funktion f : ℝ → ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}sin (\frac{1}{x}), falls x ≠ 0 \\ c, falls x = 0 \end{matrix}

für jedes c ∈ ℝ im Punkt x_{0} = 0 unstetig ist. Zeichnen Sie diese Funktion für c = 0. (Hinweis: Betrachten Sie x_{n} = \frac{1}{ϕ_{0}+2nπ} mit geeignetem ϕ_{0}.)

29. (Wer suchet, der findet - eine Nullstelle.)

(a) Finden Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen mit Hilfe des Zwischenwertsatzes mit einer Genauigkeit von mindestens drei Nachkommastellen.

i. f_{1} : ℝ → ℝ mit f_{1}(x) = cos (x) − x; ii. f_{2} : ℝ → ℝ mit f_{2}(x) = x^{4} − 2x^{2} − 1; iii. f_{3} : ℝ → ℝ mit f_{3}(x) = sin (2x) − cos (2x) − 1; iv. f_{4} : ℝ → ℝ mit f_{4}(x) = sin (x) + sin (2x) + sin (3x).

(b) Zeichnen Sie diese Funktionen mit Hilfe von Maple.

(c) Finden Sie die exakten Nullstellen (d.h. mit einer Genauigkeit von mindestens 10 Nachkommastellen) mit Hilfe von Maple.

30. (So a Kaas!)

(a) Eine kreisförmige Scheibe Brot ist mit einer Scheibe Schweizer Emmentaler (mit Löchern) beliebig belegt. Ist es möglich, mit einem geraden Schnitt Brot und Käse gleichzeitig zu halbieren?

(b) Wie lautet die Antwort, wenn die Scheibe Brot eine beliebige Form hat?