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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 7

Abgabetermin: Do, 07.12.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen.

31. Berechnen Sie die Ableitungen der folgenden Funktionen:

(a) tan : ℝ \ \{\frac{π}{2} + kπ | k ∈ ℤ\} ⟶ ℝ;

(b) cot : ℝ \ {kπ | k ∈ ℤ} ⟶ ℝ;

(c) cosh : ℝ → ℝ;

(d) sinh : ℝ → ℝ.

Zeichnen Sie die Graphen dieser Funktionen mit Hilfe von Maple und verifizieren Sie Ihre Antworten mit Hilfe des Maple-Befehls diff(...).

32. (a) Verwenden Sie die Gleichung x = exp (ln x) um die Ableitung der Funktion

ln : ℝ_{+} → ℝ zu berechnen.

(b) Berechnen Sie analog die Ableitungen der folgenden Funktionen: i. arcsin : [−1, 1] → ℝ mit arcsin (sin x) = x für x ∈ [−\frac{π}{2} , \frac{π}{2} ]; ii. arccos : [−1, 1] → ℝ mit arccos (cos x) = x für x ∈ [0, π]; iii. arctan : ℝ → ℝ mit arctan (tan x) = x für x ∈ ] − \frac{π}{2} , \frac{π}{2} [; iv. arccot : ℝ → ℝ mit arccot (cot x) = x für x ∈ ]0, π[.

Zeichnen Sie die Graphen dieser Funktionen mit Hilfe von Maple und verifizieren Sie Ihre Antworten mit Hilfe des Maple-Befehls diff(...).

33. Wie oft sind die folgenden Funktionen differenzierbar bzw. stetig differenzierbar?

(a) f : ℝ → ℝ mit f(x) = \{ \begin{matrix}x^{2}, & für x ≥ 0 \\ x^{3}, & für x < 0; \end{matrix}

(b) g : ℝ → ℝ mit g(x) = |x^{3} + 3x^{2} + 3x + 1|;

(c) h : ℝ → ℝ mit h(x) = \{ \begin{matrix}cosh x, & für x ≥ 0 \\ \frac{1}{2}x^{2} + 1, & für x < 0. \end{matrix}

34. (Ein Loch ist im Eimer, Karl-Otto, ein Loch.)

Ein Wassertank hat die Form eines auf die Spitze gestellten Kreiskegels (Volumenformel V=\frac{π}{3} r^{2}h). Unten wird das Wasser mit einer Rate von 10000 \frac{cm^{3}}{min} abgelassen, während gleichzeitig von oben nachgefüllt wird. Der Tank ist 6 Meter hoch und hat oben einen Durchmesser von 4 Meter. Zu einem gewissen Zeitpunkt steht das Wasser 2 Meter hoch und steigt mit einer Geschwindigkeit von 20 \frac{cm}{min}. Bestimmen Sie die Rate, mit der der Tank nachgefüllt wird.

35. (Z’nachst hat mir mei Deandl a Briaferl zua gschriebn, warum i denn bei da Nacht gar nimma kimm.) Ein beliebter bayerischer Brauch ist das Fensterln. Ein Freier hat das obere Ende seiner 10 Meter langen Leiter soeben erreicht, als ihm ein Konkurrent das untere Ende der Leiter mit einer Geschwindigkeit von 2 \frac{m}{s} vom Haus wegzieht.

(a) Wie schnell geht es abwärts mit ihm, wenn das untere Ende der Leiter 4 Meter vom Haus entfernt ist?

(b) Wie schnell ändert sich der Winkel zwischen dem oberen Ende der Leiter und dem Haus, wenn dieser gerade 45^{o} beträgt?