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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 8

Abgabetermin: Do, 14.12.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

Bei jeder Aufgabe können Sie 4 Punkte erreichen.

36. Geben Sie für die folgenden Funktionen den größtmöglichen Definitionsbereich an. Bestimmen Sie, wo diese differenzierbar sind und berechnen Sie die Ableitung.

(a) f(x) = exp (sin (3x));

(b) g(x) = sin^{7} (x) ∗ exp (−(x + 3)^{2});

(c) h(x) = \frac{x}{sin^{2} (x)} + cos |x|;

(d) k(x) = sin (ln (1 − x)).

37. Berechnen Sie die folgenden Grenzwerte:

(a) lim_{x→0} \frac{tan (x)}{x};

(b) lim_{x→0} \begin{matrix}sin & (x) \\ ln & (1+x) \end{matrix};

(c) lim_{x→∞} \frac{ln (\sqrt{x})}{x^{2}};

(d) lim_{x→0} \sqrt{\frac{x^{3}+x}{exp (x)−1}}.

38. Berechnen Sie die dritten Taylorpolynome der folgenden Funktionen um den angegebenen Entwicklungspunkt:

(a) f : ℝ → ℝ mit f(x) = \frac{1}{1−x^{2}} um x_{0} = 2;

(b) g : ℝ → ℝ mit g(x) = arctan x um x_{0} = 0.

Stellen Sie eine Vermutung auf, wie die Taylorreihe dieser Funktionen lautet und bestimmen Sie den Konvergenzradius der Reihe.

39. (Hab’ Erdöl im Garten, ob’s stürmt oder schneit, und mit dem Ersparten üb’ Treu und Redlichkeit.) Durch die Wüste von Scheich Hadschi Halef Omar Ben Hadschi Abbul Abas ibn Hadschi Dawuhd al Gossarah läuft eine 1000 km lange schnurgerade Autobahn, unter der ein neues Ölfeld entdeckt wurde. Seine Ingenieure sollen mit möglichst wenigen Bohrungen bis auf 1 km genau den Punkt an der Autobahn finden, unter dem das Ölfeld am dicksten ist. Bei jeder Bohrung kann man den Wert, die Steigung und die Krümmung der Dickefunktion an dieser Stelle ermitteln.

(a) Wie sollten die Ingenieure vorgehen?

(b) Zeigen Sie, wie Ihr Verfahren abläuft, wenn die Dickefunktion f : [0, 1000] → ℝ durch f(x) = 10 ∗ exp (−(x − 200)^{2}) gegeben ist.

40. (Zicke Zacke Hühnerkacke)

Ein Bauer möchte seine Hühner vor fremden Federdieben schützen. Dazu will er ein möglichst großes, rechteckiges Gehege einzäunen. Aus Kostengründen darf die Zaunlänge 200 Meter nicht überschreiten. Wieviel Platz kann der Bauer seinen Hühnern verschaffen?