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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 9

Abgabetermin: Do, 21.12.2000 (zu Beginn der Vorlesung)

41. Bestimmen Sie die Monotoniebereiche, lokalen Extrema, Krümmungen, Wendepunkte und Asymptoten der folgenden Funktionen:

(a) f : ℝ → ℝ mit f(x) = \frac{1}{10}x^{5} − x^{3};

(b) g : ℝ \ \{±1\} → ℝ mit g(x) = \frac{x^{3}}{x^{2}−1};

(c) h : ]1, ∞[ → ℝ mit h(x) = (x + 1)^{2} ln (x + 1);

(d) k : ℝ \ \{0\} → ℝ mit k(x) = \frac{exp (x)}{x^{2}}.

Verwenden Sie Ihre Resultate, um die Graphen der Funktionen zu skizzieren.

42. (Nachhilfe für Pentium Prozessoren)

In einem Computer soll die Inversion von Floating-Point-Zahlen mit 10 Nachkommastellen Genauigkeit implementiert werden.

(a) Erklären Sie, wie man mit Hilfe des Newton-Verfahrens die Gleichung \frac{1}{x} − a = 0 lösen kann, ohne wirklich zu dividieren.

(b) Berechnen Sie mit Hilfe von (a) die Zahl \frac{1}{1.6984} bis auf 10 Nachkommastellen genau.

43. (Was haben Michael Schumacher und Mike Tyson gemeinsam? Beide sind nach einer Runde fertig.) Bei einem Formel 1 Rennen teilen sich zwei Fahrer den ersten Platz. Beweisen Sie, dass die beiden zu einem gewissen Zeitpunkt genau gleich schnell gefahren sind.

44. (DDT ist das famose Zartgemüse aus der Dose.)

Wie müssen die Abmessungen eines Zylinders sein, damit für ein vorgegebenes Volumen die Oberfläche minimal wird? Vergleichen Sie Ihr Ergebnis mit den Abmessungen einer Konservendose Ihrer Wahl.

45. (Platz da, oder ich differenziere dich. Macht nichts, ich bin exp (x). Und ich bin \frac{d}{dy}.) Bei einer Zeit t = 0 beginnen chemische Reaktionen. Sei die zur Zeit t umgesetzte Stoffmenge f(t) gegeben durch

f(t) = 1 − \frac{k_{1}k_{2}}{k_{2} − k_{1}} (\frac{exp (−k_{1}t)}{k_{1}} − \frac{exp (−k_{2}t)}{k_{2}})

mit Konstanten k_{2} > k_{1} > 0.

(a) Zu welchem Zeitpunkt ist die Reaktionsgeschwindigkeit f′(t) am größten?

(b) Skizzieren Sie den Verlauf von f(t) für k_{1} = 1, k_{2} = 2.