[figure]

UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 10

Abgabetermin: Do, 11.01.2001 (zu Beginn der Vorlesung)

46. Berechnen Sie die folgenden Integrale.

(a) ∫_{−2}^{1}(|x|^{5} − 3x^{4} + x^{2} + 1) dx;

(b) ∫_{0}^{k \frac{π}{2}} sin (x) dx, mit k ∈ ℤ;

(c) ∫_{0}^{\frac{π}{2}} sin (x) cos (x) dx;

(d) ∫_{0}^{1} \frac{1}{x^{3}+x^{2}} dx.

47. Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels partieller Integration.

{(a) ∫_{0}^{1} x^{2}e^{x} dx; \atop (b) ∫_{0}^{x} sin^{2} (t) dt;}  (c) ∫ x ln (x) dx; ; (d) ∫ x^{2} sin (x) dx.

48. Berechnen Sie die folgenden Integrale mittels Substitution.

(a) ∫_{0}^{x} cos (at) dt, mit a ∈ ℝ;

(b) ∫_{0}^{x} te^{t^{2}} dt;

(c) ∫ \frac{1}{cos^{4} (x)} dx;
(d) ∫ tan (x) ln (cos (x)) dx.

49. (C’ è anche rosso?)

Michael S. fährt mit seinem nagelneuen roten Fiat bei Milano auf die Autostrada. Als er nach 3 Stunden in Rom ankommt, wird er von der Polizei verhaftet. Sie werden gebeten für das Gerichtsverfahren ein mathematisch fundiertes Gutachten zu erstellen.

50. Berechnen Sie jeweils die Fläche zwischen den Graphen der folgenden Funktionen.

(a) f(x) = x^{2} und g(x) = \frac{1}{2}x^{2} + 2.

(b) f(x) = x^{4} − 10x^{2} + 9 und g(x) = −5x^{2} + 5.

51. (Ja, ist denn heut’ schon Weihnachten?)

Der Weihnachtsmann stellt heuer alle Geschenke innerhalb der neuen Eisenbahn auf, die die Form einer Ellipse \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 mit Halbachsen a und b hat. Wieviel Platz steht ihm zur Verfügung?

52. (Schießt den Mathe-Prof zum Mond!)

Eine zweistufige Rakete hat die folgenden Kenndaten:

Leermasse Treibstoff Verbrauch Schubkraft F
1. Stufe 5000 kg 125000 kg 1000 \frac{kg}{s}  2.45·10^{6} N
2. Stufe 2000 kg 16000 kg  80 \frac{kg}{s}  2.48·10^{5} N

Die Rakete wird vertikal gestartet. Ist der Treibstoff der 1. Stufe verbraucht, wird deren Hülle abgestoßen und die 2. Stufe gezündet. Setzt man vereinfachend g = 9.81\frac{m}{s^{2}} (unabhängig von der Höhe), so gilt für die Beschleunigung a(t) der Rakete:

h′′(t) = v′(t) = a(t) = \frac{F}{m(t)} − g.

(a) Bestimmen Sie die Gesamtmasse m(t) zur Zeit t.

(b) Welche Geschwindigkeit v(t) hat die Rakete 125 s bzw. 325 s nach dem Start?

(c) Welche Höhe h(t) erreicht sie nach 125 s bzw. 325 s?

(d) Skizzieren Sie m(t), a(t), v(t) und h(t) für 0 ≤ t ≤ 325 s.

53. (Dann schießt ihn doch wenigstens ins Weltall!) Newton’s Gravitationsgesetz besagt, dass sich zwei Körper mit den Massen m_{1} und m_{2} mit der Kraft F = G · \frac{m_{1}m_{2}}{r^{2}} anziehen, wobei r ihr Abstand und G = 6.67 · 10^{−11} \frac{Nm^{2}}{kg^{2}} ist.

(a) Wenn ein Körper fest ist, wieviel Arbeit W = ∫_{a}^{b} F (x) dx muss man verrich-

ten, um den anderen von r = a bis r = b zu bewegen?

(b) Wieviel Arbeit muss man verrichten, um einen 1000 kg schweren Satelliten 1000 km hoch zu schießen? (Erdmasse 5.98 · 10^{24} kg; Erdradius 6.37 · 10^{6} m)

(c) Wieviel Arbeit ist es, ihn ganz aus dem Erdanziehungsfeld zu bringen?

54. (Jetzt geht mir langsam die Luft aus!)

Atmen ist zyklisch und ein voller Zyklus dauert etwa 5 s. Die maximale Inhalationsrate ist etwa 0.5 \frac{l}{s}. Deswegen wird die Luftströmung oft mit der Funktion f(t) = \frac{1}{2} sin (\frac{2πt}{5}) modelliert. Wieviel Luft hat die Lunge zur Zeit t eingeatmet?

55. (Meine letzten Reaktionen ...)

Zwei Moleküle der Stoffe A und B reagieren und bilden ein Molekül des Stoffes C, also A + B → C. Für die Reaktionsrate gilt \frac{d[C]}{dt} = k · [A] · [B] mit einer Konstanten k ∈ ℝ.

(a) Seien a und b die Anfangskonzentrationen [A] und [B] in \frac{mol}{l}. Folgern Sie x′(t) = k(a − x(t))(b − x(t)) für x = [C].

(b) Finden Sie x(t) im Fall a ≠ b.

(c) Finden Sie x(t) im Fall a = b. Wie vereinfacht sich dieser Ausdruck, wenn wir wissen, dass [C] = \frac{c}{2} nach 20 s gilt?