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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 11

Abgabetermin: Do, 18.01.2001 (zu Beginn der Vorlesung)

56. (Aus einem alten chinesischen Rechenbuch)

Ein Bauer besitzt Hasen, Hühner und Schweine. Seine 60 Tiere haben zusammen doppelt so viele Beine wie Flügel. Wie viele Tiere von jeder Art hat er, wenn die Zahl der Schweine und Hühner dreimal so groß ist wie die der Hasen?

57. Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme mit Hilfe des Gaußschen Eliminationsverfahrens. Prüfen Sie Ihre Ergebnisse mittels eines geeigneten \underline{Maple}-Befehls nach.

(a) 2x_{1} - x_{2} + 3x_{3} = 4
5x_{1} - 4x_{2}  - x_{3} = 2
x_{2} + 6x_{3} = -8
(b) x_{1} + 2x_{2} + 4x_{3} - 3x_{4} = 5
3x_{1} + 5x_{2} + 10x_{3}  = 11
-2x_{2}  - x_{3} + 4x_{4} = -6
-x_{1} - 2x_{2}  - 7x_{4} = 8

58. Bestimmen Sie \underline{alle} Lösungen der folgenden linearen Gleichungssysteme.

(a) x_{1} + x_{2} + x_{3} = 0
-x_{1} - 2x_{2} + 3x_{3} = 0
x_{1} + 4x_{2} + 9x_{3} = 0
(b) x_{1} + 6x_{2}  - 4x_{3} = 0
-x_{1} + 21x_{2} - 14x_{3} = 0
x_{1} - 15x_{2} + 10x_{3} = 0
(c) x_{1} - 3x_{2} + 2x_{3} = 0
-x_{1} + 3x_{2} - 2x_{3} = 0
3x_{1} - 9x_{2} + 6x_{3} = 0

59. (Alea iacta est.)

Ein Satz Bauklötzchen enthalte 120 Würfel mit vier verschiedenen Kantenlängen a, b, c und d. Die Gesamtlänge aller ihrer Kanten sei 40.8 m, ihre gesamte Oberfläche sei 0.648 m^{2} und ihr Gesamtvolumen sei 3.82 Liter.

(a) Bestimmen Sie die Anzahl der Würfel jeder Sorte in Abhängigkeit von a, b, c und d.

(b) Finden Sie eine ganzzahlige Lösung mit a, b, c, d ∈ {1, 2, 3, 4, 5}.

60. (I don’t know what to say. Oh, not another word.) Joey ist so alt wie Tracey sein wird, wenn Joey doppelt so alt ist, wie Tracey war, als das Alter von Joey halb so viel betrug wie die Summe ihrer beiden jetzigen Alter.

(a) Finden Sie alle Lösungen dieses Rätsels.

(b) Beide haben das gleiche Sternzeichen. Wer von ihnen feiert gerade seinen 18. Geburtstag?