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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 12

Abgabetermin: Do, 25.01.2001 (zu Beginn der Vorlesung)

61. (Untervektorraum oder nicht Untervektorraum, das ist hier die Frage.) Prüfen Sie, ob die folgenden Teilmengen von ℝ^{n} Untervektorräume darstellen. Wenn ja, finden Sie jeweils eine Basis.

(a) U_{1} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≥ 0};

(b) U_{2} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x + y − 2z = 0};

(c) U_{3} = {(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | x^{2} + y^{2} + z^{2} = 1};

(d) U_{4} = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x = t und y = 2t für ein t ∈ ℝ}.

62. Sei A = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 3 & 4 & 5 \end{matrix} ) und B = ( \begin{matrix}1 & −1 \\ 2 & 0 \\ 3 & 1 \end{matrix} ).

(a) Berechnen Sie die Matrixprodukte A · B und B · A.

(b) Ist die Matrix A · B invertierbar? Wenn ja, berechnen Sie (A · B)^{−1}.

63. Sie ϕ : ℝ^{4} → ℝ^{4} die ℝ-lineare Abbildung, die durch die Matrix

M = ( \begin{matrix}1 & 3 & 4 & 8 \\ 2 & −1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 \\ −1 & 0 & −1 & −2 \end{matrix} )

gegeben ist.

(a) Finden Sie eine Basis des Kerns von ϕ.

(b) Bestimmen Sie eine Basis des Bildes von ϕ.

(c) Liegt der Vektor w = (17, 6, 4, −5) im Bild von ϕ? Wenn ja, finden Sie einen Vektor v ∈ ℝ^{4} mit ϕ(v) = w.

64. Sei U = \{( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + λ ( \begin{matrix}0 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + μ ( \begin{matrix}0 \\ 0 \\ 1 \end{matrix} ) | λ, μ ∈ ℝ\} ⊆ ℝ^{3}. Bestimmen Sie den

Durchschnitt von U mit den folgenden Teilmengen von ℝ^{3}.

(a) V_{1} = \{( \begin{matrix}0 \\ −2 \\ 1 \end{matrix} ) + λ ( \begin{matrix}1 \\ 0 \\ 0 \end{matrix} ) + μ ( \begin{matrix}1 \\ 3 \\ −2 \end{matrix} ) | λ, μ ∈ ℝ\};

(b) V_{2} = \{( \begin{matrix}1 \\ 1 \\ 1 \end{matrix} ) + λ ( \begin{matrix}1 \\ −2 \\ −2 \end{matrix} ) | λ ∈ ℝ\};

(c) V_{3} = \{( \begin{matrix}x \\ y \\ z \end{matrix} ) ∈ ℝ^{3} | x − y + 2z = −3\}.

65. (Mein Hut, der hat drei Ecken.)

(a) Geben Sie die Koordinaten der Eckpunkte eines achsenparallelen Würfels an, dessen Volumen 2 m^{3} ist und dessen Mittelpunkt im Ursprung liegt.

(b) Auf wieviele Arten kann man drei Vektoren aus diesen acht so auswählen, dass sie eine Basis des ℝ^{3} bilden?