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UNIVERSITÄT BAYREUTH

Professor Dr. M. Kreuzer

WS 2000/01

Übungen zur Mathematik für Naturwissenschaftler I

Blatt 13

Abgabetermin: Do, 01.02.2001 (zu Beginn der Vorlesung)

66. Bestimmen Sie den Abstand der folgenden Punktepaare im ℝ^{3}.

(a) (1, 0, 3) und (-3, 2, 4);

(b) (0, 0, 1) und (\frac{1}{2} cos (ϕ), \frac{1}{2} sin (ϕ), \frac{\sqrt{3}}{2});

(c) (t, -t, 3+2t) und (1, t, -t) mit t ∈ ℝ. Für welches t ∈ ℝ ist dieser Abstand minimal?

67. Zeigen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts, dass für Vektoren v, w ∈ ℝ^{n} die folgende Gleichung gilt:

||v + w||^{2} + ||v − w||^{2} = 2||v||^{2} + 2||w||^{2}.

68. Gegeben seien die beiden Geraden G_{1} = {(t, t, t) | t ∈ ℝ} und G_{2} = {(1, t, 0) | t ∈ ℝ} im ℝ^{3}.

(a) Bestimmen Sie die beiden Punkte P_{1} ∈ G_{1} und P_{2} ∈ G_{2}, die den kleinsten Abstand voneinander haben.

(b) Zeigen Sie, dass der Vektor P_{1}P_{2}^{⟶} senkrecht auf beiden Geraden steht.

69. Seien a, b, c, d ∈ ℝ mit a ≠ 0. Durch die Gleichung ax + by + cz = d werden die Punkte (x, y, z) einer Ebene E in ℝ^{3} beschrieben. Zeigen Sie, dass der Vektor

( \begin{matrix}a \\ b \\ c \end{matrix} ) auf E senkrecht steht.

70. (Der Satz von Thales)

Gegeben Sei der Halbkreis über der Strecke \overline{AB}. Zeigen Sie mit Hilfe des Skalarprodukts, dass für jeden Punkt C des Halbkreises das Dreieck ΔABC rechtwinklig ist.