Prof. Dr. Martin Kreuzer WS 2000/2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung

Praktische Anwendungen der Computeralgebra

Blatt 1

Abgabetermin: Mi, 22.11.2000

Aufgabe 1: Sei P = K[x_{1}, …, x_{n}] der Polynomring über einem Körper K und sei I = (f) das von einem Polynom f ∈ P \ {0} erzeugte Hauptideal. Zeigen Sie, daß {f} bzgl. jeder Termordnung eine Gröbner-Basis von I ist.

Aufgabe 2: Sei K ein Körper, sei P = K[x_{1}, x_{2}, x_{3}] und seien g_{1} = x_{2} − x_{1}^{2} sowie g_{2} = x_{3} − x_{1}^{3}. Finden Sie eine Termordnung σ, so daß G = {g_{1}, g_{2}} eine σ-Gröbner-Basis von I = (g_{1}, g_{2}) ist und eine Termordnung τ, so daß dies nicht der Fall ist.

Aufgabe 3: Sei K ein Körper, sei P = K[x_{1}, x_{2}, x_{3}], sei G = (x_{1}^{2} − x_{2}, x_{1}x_{2} − x_{3}) ∈ P^{2} und sei σ = DegRevLex. Berechnen Sie von Hand mit Hilfe des Buchberger-Algorithmus eine σ-Gröbner-Basis von I = (x_{1}^{2} − x_{2}, x_{1}x_{2} − x_{3}).

Aufgabe 4: Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion Division(…), die als Eingabe Polynome f, g_{1}, …, g_{s} erwartet und den Divisionsalgorithmus anwendet. Das Ergebnis soll das Tupel (p, q_{1}, …, q_{s}) sein, so daß f = q_{1}g_{1} + ⋯ + q_{s}g_{s} + p die gesuchte Darstellung ist.

Aufgabe 5: Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion Groebner(…), die als Eingabe ein Polynomideal I erwartet und die mit Hilfe des Buchberger-Algorithmus eine Gröbner-Basis von I bzgl. der aktuellen Termordnung berechnet.