Prof. Dr. Martin Kreuzer WS 2000/2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung

Praktische Anwendungen der Computeralgebra

Blatt 2

Abgabetermin: Mi, 6.12.2000

Aufgabe 6: Sei P = K[x_{1}, …, x_{n}] ein Polynomring über einem Körper K und seien f_{1}, f_{1} ∈ P \{0}. Der Syzygienmodul Syz(f_{1}, f_{2}) werde von einem Vektor (g_{1}, g_{2}) erzeugt. Zeigen Sie g_{1} | f_{2} und ggT(f_{1}, f_{2}) = f_{2}/g_{1}.

Aufgabe 7: Sei K eine Körper, sei P = K[x_{1}, …, x_{n}], sei f ∈ P, seien g_{1}, …, g_{s} ∈ P \ {0}, und sei I = (fg_{1}, …, fg_{s}).

a) Beweisen Sie I : (f) = (g_{1}, …, g_{s}).

b) Für i = 1, …, s sei g′_{i} = g_{i}/ggT(g_{1}, …, g_{s}). Zeigen Sie

(g_{1}, …, g_{s}) : (ggT(g_{1}, …, g_{s})) = (g′_{1}, …, g′_{s})

Aufgabe 8: Sei P = K[x, y_{1}, …, y_{n}] ein Polynomring über einem Körper K, sei I ⊆ P ein Ideal mit I ∩ K[x] ≠ (0), sei σ eine Eliminationsordnung für y_{1}, …, y_{n}, und sei G die reduzierte σ-Gröbner-Basis von I.

a) Zeigen Sie, daß G ∩ K[x] aus genau einem Polynom f besteht.

b) Ist I ein Primideal (d.h. aus gh ∈ I folgt g ∈ I oder h ∈ I), so ist f irreduzibel (d.h. jeder Faktor von f ist konstant).

Aufgabe 9: Seien f_{1}, …, f_{s} ∈ ℚ[x_{1}, …, x_{n}] \ {0} und sei I = (f_{1}, …, f_{s}).

a) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion IsFinite(I), die prüft, ob das algebraische Gleichungssystem f_{1} = ⋯ = f_{s} = 0 nur endlich viele Lösungen in ℂ^{n} hat und den entsprechenden Boolschen Wert ausgibt.

b) Implementieren Sie eine CoCoA-Funktion SolveEq(I), die mit Hilfe der Sätze 10.3 und 10.4 das algebraische Gleichungssystem löst. Nehmen Sie dazu an, daß es nur endlich viele Lösungen gibt und daß deren letzte Koordinaten paarweise verschieden sind.

c) Lösen Sie mit der Funktion SolveEq(…) folgendes algebraische Gleichungssystem:

\begin{aligned}x^{2} + 2x + y + z − 1 & = 0 \\ 3x + y^{2} + z − 1 & = 0 \\ 4x^{2} + 4xz + x + y + z^{2} − 1 & = 0 \end{aligned}

Aufgabe 10: Implementieren Sie den Buchberger-Möller-Algorithmus in einer CoCoA-Funktion BuMo(…), die als Eingabe die Matrix (p_{ij}) der Punktkoordinaten erwartet und die das Paar [G, Q] wie in Satz 11.9 berechnet.

Wenden Sie diese Funktion in einigen selbstgewählten Fällen an und vergleichen Sie die Ergebnisse mit der eingebauten Funktion IdealOfPoints(…).