Prof. Dr. Martin Kreuzer WS 2000/2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung

Praktische Anwendungen der Computeralgebra

Blatt 5

Abgabetermin: Mi, 7.2.2001

Aufgabe 21: Sei Ω = {t_{1}, …, t_{n}} ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum, seien Zufallsvariable X_{1}, …, X_{n} : Ω ⟶ ℚ gegeben, und seien a_{1}, …, a_{n} ∈ ℚ. Beweisen Sie die folgenden Formeln:

a) Var(X_{1}) = Cov(X_{1}, X_{1}) = E(X_{1}^{2}) − E(X_{1})^{2}

b) Gilt σ(X_{1})σ(X_{2}) ≠ 0, so folgt −1 ≤ ϱ(X_{1}, X_{2}) ≤ 1.

c) E(a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}) = a_{1}E(X_{1}) + ⋯ + a_{n}E(X_{n})

d) Var(a_{1}X_{1} + ⋯ + a_{n}X_{n}) = ∑_{i,j=1}^{n} a_{i}a_{j}Cov(X_{i}, X_{j})

Aufgabe 22: Gegeben seien ein diskreter Wahrscheinlichkeitsraum Ω = {t_{1}, …, t_{n}} und Zufallsvariable X_{1}, …, X_{n} : Ω ⟶ ℚ.

a) Implementieren Sie CoCoA-Funktionen ExpRet(…), VarRet(…), SigRet(…) sowie CovRet(…), die aus der Liste der Werte [X_{i}(t_{1}), …, X_{i}(t_{N})] der Zufallsvariablen X_{i} den Erwartungswert E(X_{i}), die Varianz Var(X_{i}), die Standardabweichung σ(X_{i}) bzw. die Kovarianz Cov(X_{i}, X_{j}) berechnen.

b) Wenden Sie Ihre Funktionen aus a) auf die folgenden fünf Zufallsvariablen an, die jeweils durch die Liste [X_{i}(t_{1}), …, X_{i}(t_{20})] gegeben seien.

1) X_{1} : [0.935, 0.989, 1.132, 0.687, 0.648, 1.408, 1.083, 0.816, 0.902, 1.035, 1.429, 1.034, 1.229, 1.333, 1.144, 1.022, 0.907, 0.839, 1.208, 1.271]

2) X_{2} : [0.713, 1.067, 1.133, 0.739, 1.014, 1.402, 0.904, 1.079, 1.047, 0.865, 0.966, 1.02, 1.127, 1.4, 1.061, 1.664, 1.048, 0.698, 1.328, 1.348]

3) X_{3} : [1.078, 1.118, 1.609, 1.167, 0.702, 1.09, 1.046, 1.177, 1.181, 0.831, 1.461, 1.207, 1.032, 1.434, 1.331, 1.104, 1.43, 1.222, 1.53, 1.069]

4) X_{4} : [0.981, 1.058, 1.063, 0.99, 0.992, 1.094, 1.056, 1.154, 1.083, 0.998, 0.999, 0.947, 1.137, 1.094, 1.079, 1.081, 1.071, 1.08, 1.04, 1.001]

5) X_{5} : [0.992, 1.042, 1.456, 1.437, 1.532, 0.805, 0.872, 1.056, 1.161, 2.056, 1.445, 0.79, 1.164, 0.988, 0.933, 0.815, 0.953, 1.029, 0.954, 0.957]

Aufgabe 23: Gegeben sei die Situation von §15.B.

a) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion PfEqn(…), die das Ideal I der Portfoliogleichungen in ℚ[a_{1}, …, a_{n}, e, v, ℓ, m] berechnet.

b) Implementieren Sie eine CoCoA-Funktion AllParab(…), die für jede nichtleere Teilmenge S ⊆ {1, …, n} das quadratische Polynom v − q_{S}(e) berechnet und die Liste dieser 2^{n} − 1 Polynome ausgibt. Hinweis: Schreiben Sie zuerst eine Funktion AllSubsets(…), die die Menge aller nichtleeren Teilmengen S ⊆ {1, …, n} berechnet.

Aufgabe 24: Gegeben sei die Situation von §15.B. Ferner sei für jede nichtleere Teilmenge S ⊆ {1, …, n} ein quadratisches Polynom v − q_{S}(e) gegeben.

a) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion IntPoints(…), die die im (v, e)-Koordinaten-system oberen Hälften von je zwei Parabeln Z(v − q_{S}(e)) und Z(v − q_{S′}(e)) zum Schnitt bringt und die Matrix der Approximationen aller Schnittpunkte ausgibt. Hinweis: Verwenden Sie die Funktionen Round(…) und Sqrt(…) aus Anhang C.5 des Buches.

b) Implementieren Sie eine CoCoA-Funktion EffGrenze(…), die aus allen Parabelstückchen und Schnittpunkten diejenigen herausfindet, die die effiziente Grenze darstellen. Wenden Sie Ihre Funktion auf das Beispiel in Aufgabe 22.b an.

Aufgabe 25: Gegeben sei die Situation von §15.B.

a) Unter Anwendung der Ergebnisse der vorstehenden Aufgaben und des Algorithmus in §15.C, schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MELPf(…), die das Portfolio auf der effizienten Grenze berechnet, welches durch die MEL-Regel spezifiziert wird.

b) Wenden Sie diese Funktion auf das Beispiel in Aufgabe 22.b an.