Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 1

Abgabetermin: Do, 3.5.2001

Aufgabe 1: (Was glänzt, ist noch lange nicht Gold.) Von drei Münzen hat eine zwei silberne Seiten, eine zwei goldene, und eine eine silberne und eine goldene. Die Münzen werden zufällig auf drei Fächer verteilt. Man öffnet ein Fach und erblickt eine goldene Seite. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die andere Seite dieser Münze ebenfalls golden?

Aufgabe 2: (Wechseln oder nicht wechseln, das ist hier die Frage.) Bei einem Fernsehquiz befindet sich hinter genau einer von drei Türen ein Preis, und der Showmaster weiß hinter welcher. Der Kandidat wählt eine Tür. Dann öffnet der Showmaster eine der beiden anderen Türen, hinter der sich kein Preis verbirgt. Der Kandidat kann nun die gewählte Tür öffnen oder die andere noch verschlossene Tür. Lohnt es sich für ihn zu wechseln?

Aufgabe 3: (Der Lottosechser) Ein Lottospieler beim Samstagslotto “6 aus 49” füllt jede Woche die 12 Kästchen seines Lottoscheins komplett aus und zahlt dafür 15 DM (bzw. bald 7,50 Euro). Wie lange muß er durchschnittlich spielen, bis er den ersehnten Lottosechser erzielt?

Aufgabe 4: (Der Unbesiegbare) Gewisse Würfel haben jeweils gleichwahrscheinliche Seiten mit Augenzahlen aus der Menge {1, 2, …, 6}, die sich zu 21 addieren. Wir sagen ein Würfel besiege den anderen, wenn er bei genügend vielen Würfen öfter eine höhere Augenzahl zeigt als der andere.

a) Gibt es einen unbesiegbaren Würfel?

b) Entscheiden Sie mit Hilfe eines Maple-Programms, ob es drei solcher Würfel gibt, die sich reihum besiegen.

Aufgabe 5: (Und er schlug sie mit Blindheit [2. Könige, 6.18]) Der Korrektor einer Klausur stellte in 10 % der Fälle einen Fehler in der Lösung einer Aufgabe fest. Ein Nachkorrektor fand heraus, dass dabei eine fehlerhafte Lösung mit 94 % Wahrscheinlichkeit als solche erkannt wurde und eine korrekte Lösung mit 4,2 % Wahrscheinlichkeit als falsch bezeichnet wurde.

a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist eine als falsch bezeichnete Lösung tatsächlich falsch?

b) Mit welcher Wahrscheinlichkeit kommt eine fehlerhafte Lösung unerkannt durch?

c) Arbeitet das Korrekturverfahren zufriedenstellend?

d) Wie ändern sich diese Ergebnisse, wenn es einen unabhängigen Zweitkorrektor gibt, der mit derselben (Un-) Zuverlässigkeit arbeitet, und wenn nur Lösungen verworfen werden, die von beiden Korrektoren bemängelt wurden?