Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 2

Abgabetermin: Do, 10.5.2001

Aufgabe 6: (Die Ü-Eier-Sammlung)

a) In einer bestimmten Ü-Eier-Saison gebe es n verschiedene Spielzeuginhalte. Ein Sammler besitze bereits m verschiedene Inhalte. Wieviele Ü-Eier muss er im Durchschnitt kaufen, bis er ein neues Spielzeug findet?

b) Zeigen Sie, dass der Sammler im Durchschnitt n(\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + ⋯ + \frac{1}{n}) Eier kaufen muss, bis seine Sammlung vollständig ist. Was ergibt sich im realistischen Fall n = 150?

Aufgabe 7: (Special High Intensity Teaching) Die Lösungszeit, die ein Student durchschnittlich für eine Übungsaufgabe benötigt, sei zwei Stunden. Die Standardabweichung liege dabei aber bei sechs Stunden. Wieviele Übungsaufgaben kann der Professor seinen Studenten jede Woche aufbrummen, wenn er wünscht, dass durchschnittlich mindestens 95% der Studenten alle Aufgaben lösen können?

Hinweis: Der Professor nimmt an, dass seine Studenten Tag und Nacht arbeiten, abzüglich täglich acht Stunden Schlaf, wöchtlich vier Stunden Vorlesung bzw. Übungen, sowie vier Stunden Biergarten nach der Vorlesung.

Aufgabe 8: (Die Dauer eines Elfmeterschießens) Bei einem Elfmeterschießen werden n Elfmeter ausgeführt. Die Dauer eines Elfmeters sei exponentialverteilt zum Parameter λ > 0. Bestimmen Sie den Erwartungswert und die Varianz der Zufallsvariablen, die die Dauer des Elfmeterschießens beschreibt.

Aufgabe 9: (Warten auf ein Golden Goal) Bei einem Spiel der Fußball-WM kommt es zur Verlängerung. Die Zeit, bis Spieler i ∈ {1, …, 22} ein Tor erzielt, sei exponentialverteilt zum Parameter λ_{i} > 0. Bestimmen Sie die durchschnittliche Dauer der Verlängerung sowie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass es zu einem Elfmeterschießen kommt.

Aufgabe 10: (Die Irrfahrt des Raumschiffs Voyager) Der Weltraum. Unendliche Weiten. Wir schreiben das 24. Jahrhundert. Dies sind die Abenteuer des Sternenschiffes U.S.S. Voyager, welches sich nach dem Zusammentreffen mit einer riesigen Strahlungswelle in einer fernen Galaxis wiederfindet, mehr als 70000 Lichtjahre von zu Hause entfernt.

a) Die Wissenschaftler an Bord der U.S.S. Voyager haben einen neuen Hyper-Warp-antrieb entdeckt, der das Schiff innerhalb einer Folge der Sendung an einen 10000 Lj. entfernten Ort beamt. Leider gibt es noch keinerlei Möglichkeit, die Richtung der Fortbewegung zu kontrollieren. Schreiben Sie eine Maple-Prozedur HyperWarp(P), die zufällig einen Ort auf der Sphäre mit Radius 10000 Lj. um P = [x, y, z] auswählt und ausgibt.

b) Finden Sie durch Simulation mittels einer Maple-Prozedur EThome(N) die Wahrscheinlichkeit dafür, dass die Serie nach höchstens N = 50 Folgen abgebrochen werden muss, weil das Raumschiff zufällig in die Nähe seiner Heimat gebeamt wird. (Am Anfang sei die U.S.S. Voyager am Nullpunkt. Die Umgebung des Sonnensystems bilde eine Kugel vom Radius 10000 Lj. um den Punkt [70000,0,0].

c) Sei D_{n} die Distanz der U.S.S. Voyager von ihrem Startpunkt nach n Folgen. Bestimmen Sie durch Simulation Näherungswerte für den Erwartungswert E(D_{n}) und die Standardabweichung σ(D_{n}) für einige n. Können Sie von n abhängige Formeln erraten?