Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 3

Abgabetermin: Do, 31.5.2001

Hinweis: Die in den folgenden Aufgaben verlangten Skizzen können Sie auch mit Maple erzeugen!

Aufgabe 11: (Niveaulos ist nur Jenny Jones!) Veranschaulichen Sie die folgenden Funktionen f_{i} : ℝ^{2} ⟶ ℝ, indem Sie einige ihrer Niveaulinien zeichnen.

a) f_{1}(x, y) = x^{2} + y^{2}

b) f_{2}(x, y) = (x − y)^{2}

c) f_{3}(x, y) = e^{−x^{2}−y^{2}}

d) f_{4}(x, y) = y^{2} − x^{3} + 3x^{2} − 2

Aufgabe 12: (Insekt des Jahres 2001: Plattbauch-Segellibelle) Ein Insekt segelt in einer Schraubenlinie auf eine Blüte herab. Diese Bewegung werde durch eine Funktion f : I ⟶ ℝ^{3} mit f(t) = (sin(t), cos(t), −\frac{1}{2}gt^{2}) beschrieben, wobei g die Gravitationskonstante sei.

a) Legen Sie ein sinnvolles Intervall I ⊆ ℝ und den Standort der Blüte fest.

b) Skizzieren Sie den Verlauf der Bewegung.

c) Berechnen Sie den Geschwindigkeitsvektor und die absolute Geschwindigkeit des Insekts zu jedem Zeitpunkt t ∈ I.

Aufgabe 13: (Alles Quark?) Die Bewegungsgleichung eines Teilchens in der Ebene sei gegeben durch die Funktion g : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} mit g(t) = (2 sin(t), cos(t)). Bestimmen Sie, wann die absolute Geschwindigkeit des Teilchens maximal wird.

Aufgabe 14: (Die Stimmung ist am Nullpunkt!) Gegeben sei die Funktion f : ℝ^{2} ⟶ ℝ mit f(x, y) = −x^{2} + 8x − y^{2} + 9.

a) Skizzieren Sie die Fläche im ℝ^{3}, die durch den Graphen von f gegeben ist.

b) Welcher Punkt dieser Fläche hat den minimalen Abstand zum Nullpunkt?

Aufgabe 15: (Die Kleeblattschlinge auf dem Torus) Die Fläche T = \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (\sqrt{x^{2} + y^{2}} − 3)^{2} + z^{2} = 1 heißt ein Torus.

a) Skizzieren Sie die Fläche T.

b) Die parametrische Raumkurve C : [0, 2π] ⟶ ℝ^{3}, die gegeben ist durch

C(t) = ((3 + sin(3t)) cos(2t), (3 + sin(3t)) sin(2t), cos(3t))

heißt die Kleeblattschlinge. Zeigen Sie, dass das Bild von C in T enthalten ist.

c) Skizzieren Sie den Verlauf von C auf T.

d) Bestimmen Sie die Zeitpunkte t ∈ [0, 2π], an denen die absolute Geschwindigkeit || C′(t) || maximal wird.