Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 4

Abgabetermin: Do, 7.6.2001

Aufgabe 16: (Wir sterben nicht, wir verlieren nur einige Funktionen.) Berechnen Sie alle partiellen Ableitungen der folgenden Funktionen.

a) f(x, y, z) = sin^{2}(x) ln(y + z) − cos(y^{2})

b) g(x, y, z) = y^{2} · e^{x^{2}+y^{2}}

c) h(x, y, z) = y^{2}z^{3} sin^{2}(x)

Aufgabe 17: (“Ich habe den Beweis, allerdings ist auf diesem Rand nicht genug Platz für ihn!”)

a) Zeigen Sie, dass die Funktion f(x, y) = ln(\sqrt{x^{2} + y^{2}}) eine Lösung der partiellen Differentialgleichung \frac{∂^{2}f}{(∂x)^{2}} + \frac{∂^{2}f}{(∂y)^{2}} = 0 darstellt.

b) Beweisen Sie, dass die Funktion g(x, y, z) = 1/\sqrt{x^{2} + y^{2} + z^{2}} der partiellen Differentialgleichung \frac{∂^{2}g}{(∂x)^{2}} + \frac{∂^{2}g}{(∂y)^{2}} + \frac{∂^{2}g}{(∂z)^{2}} = 0 genügt.

c) Zeigen Sie, dass jede Funktion h(x, y) der Form h(x, y) = h_{1}(x)+h_{2}(y) mit differenzierbaren Funktionen h_{1}, h_{2} : ℝ ⟶ ℝ die partielle Differentialgleichung \frac{∂^{2}h}{∂x∂y} = 0 löst.

Aufgabe 18: (Kettenbrief, Kettenwitz oder Kettenregel?) Berechnen Sie die erste und zweite Ableitung der Funktion F (t) = f(g(t), h(t)), wenn f(x, y) eine der Funktionen

a) e^{x^{2}+y} b) cos(xy) c) 1/(1 + x^{2} + y^{2}) und (g(t), h(t)) eines der folgenden Funktionenpaare ist:

d) (t^{2}, t^{3})  e) (cos(t), sin(t))  f) (e^{t}, e^{−t})

Aufgabe 19: (Was ist ein Polarbär? Ein rechteckiger Bär nach einer Koordinatentransformation.) Sei f : ℝ^{2} ⟶ ℝ eine zweimal partiell nach x und y differenzierbare Funktion und g : {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x ≠ 0} ⟶ ℝ^{2} die Umkehrung der Polarkoordinaten, d.h. es gelte g(x, y) = (\sqrt{x^{2} + y^{2}}, arctan(\frac{y}{x})). Berechnen Sie mit Hilfe der Kettenregel alle partiellen Ableitungen von f ∘ g bis zur zweiten Ordnung.

Aufgabe 20: (rot bringt Studenten zum rotieren!) Sei f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} mit f(x_{1}, x_{2}, x_{3}) = (f_{1}(x_{1}, x_{2}, x_{3}), f_{2}(x_{1}, x_{2}, x_{3}), f_{3}(x_{1}, x_{2}, x_{3})) eine stetig differenzierbare Funktion. Dann heißt die Funktion div(f) = \frac{∂f_{1}}{∂x_{1}} + \frac{∂f_{2}}{∂x_{2}} + \frac{∂f_{3}}{∂x_{3}} die Divergenz von f und die Funktion rot(f) : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} mit

rot(f) = (\frac{∂f_{3}}{∂x_{2}} − \frac{∂f_{2}}{∂x_{3}} , \frac{∂f_{1}}{∂x_{3}} − \frac{∂f_{3}}{∂x_{1}} , \frac{∂f_{2}}{∂x_{1}} − \frac{∂f_{1}}{∂x_{2}} )

heißt die Rotation von f.

a) Zeigen Sie, dass für eine zweimal stetig differenzierbare Funktion g : ℝ^{3} ⟶ ℝ gilt rot (grad(g)) = 0.

b)^{∗} Beweisen Sie, das es im Fall rot(f) = 0 eine zweimal stetig differenzierbaren Funk-

tion g : ℝ^{3} ⟶ ℝ gibt mit f = grad(g).

c) Beweisen Sie div (rot(f)) = 0.