Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 5 Abgabetermin: Do, 21.6.2001

Aufgabe 21: (Taylorreihe = Reihe der Ehemänner von Liz Taylor) Entwickeln Sie die Taylorreihen der folgenden Funktionen f : ℝ^{2} ⟶ ℝ and der Stelle (0, 0) bis zum zweiten Grad.

a) f(x, y) = x e^{y}

b) f(x, y) = tan(xy) + e^{x}

c) f(x, y) = e^{xy} − cos(x) sin(y)

Aufgabe 22: (Einen kleinen Fehler in Ehren...) Bei der Untersuchung einer Probe eines idealen Gases ergaben sich die Stoffmenge ν = 1 ± 0, 05 mol, das Volumen V = 21 ± 1 Liter und die Temperatur T = 310 ± 3 Kelvin.

a) Bestimmen Sie aus der Zustandsgleichung idealer Gase p = \frac{νRT}{V} mit R = 8, 314\frac{J}{mol·K} den dort herrschenden Druck.

b) Schätzen Sie den Fehler in a) ab, indem Sie die Taylorreihe bis zum ersten Grad entwickeln.

Aufgabe 23: (Man muss immer generalisieren. [C.G. Jacobi]) Betrachten Sie die Polarkoordinaten Φ : {(r, φ) ∈ ℝ^{2} | r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π} ⟶ ℝ^{2} mit Φ(r, φ) = (r cos(φ), r sin(φ)) sowie die Kugelkoordinaten Ψ : {(r, φ, ϑ) ∈ ℝ^{3} | r ≥ 0, 0 ≤ φ < 2π, −π ≤ ϑ ≤ π} ⟶ ℝ^{3} mit Ψ(r, φ, ϑ) = (r cos(φ) cos(ϑ), r sin(φ) cos(ϑ), r sin(ϑ)).

a) Berechnen Sie die Jacobi-Matrix der partiellen Ableitungen ( \begin{matrix}\frac{∂Φ_{1}}{∂r} & \frac{∂Φ_{1}}{∂φ} \\ \frac{∂Φ_{2}}{∂r} & \frac{∂Φ_{2}}{∂φ} \end{matrix} ), wobei

Φ_{1} und Φ_{2} die Komponenten von Φ seien.

b) Berechnen Sie ebenso die Jacobi-Matrix ( \begin{matrix}\frac{∂Ψ_{1}}{∂r} & \frac{∂Ψ_{1}}{∂φ} & \frac{∂Ψ_{1}}{∂ϑ} \\ \frac{∂Ψ_{2}}{∂r} & \frac{∂Ψ_{2}}{∂φ} & \frac{∂Ψ_{2}}{∂ϑ} \\ \frac{∂Ψ_{3}}{∂r} & \frac{∂Ψ_{3}}{∂φ} & \frac{∂Ψ_{3}}{∂ϑ} \end{matrix} )

Aufgabe 24: (Die potentielle Potenz des Potentials) Die Funktion f : \{(x, y) ∈ ℝ^{2} | y ≠ 0\} ⟶ ℝ sei gegeben durch f(x, y) = (\frac{2x}{y}, \frac{−x^{2}−1}{y^{2}}).

a) Beweisen Sie, dass f ein Potential besitzt, indem Sie \frac{∂f_{1}}{∂y} = \frac{∂f_{2}}{∂x} nachweisen.

b) Berechnen Sie ein Potential von f.

Aufgabe 25: (Murphy’s Law: Je aufwendiger die Vermessung, desto unrichtiger ist das Ergebnis) In einem Experiment wurden Messwerte (x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), …, (x_{n}, y_{n}) ermittelt. Nun soll eine Gerade y = ax + b gefunden werden, die diese Messwerte möglichst gut approximiert. Dazu soll für die vertikalen Abweichungen z_{i} = ax_{i} + b − y_{i} die Summe der Abweichungsquadrate z_{1}^{2}+⋯+z_{n}^{2} den kleinstmöglichen Wert annehmen. Finden Sie die optimale Gerade, indem Sie das Minimum von f(a, b) = ∑_{i=1}^{n}(ax_{i} + b − y_{i})^{2} bestimmen.