Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 6 Abgabetermin: Do, 28.6.2001

Aufgabe 26: (Lieber Blech blasen als Blech reden.) Ein langer Blechstreifen der Breite b soll durch Hochbiegen der seitlichen Teile zu einer Rinne mit trapezförmigem Querschnitt verformt werden. Dazu soll auf jeder Seite ein Teilstreifen der Breite x < \frac{b}{2} um den Winkel α hochgebogen werden.

Skizze:

a) Geben Sie eine Funktion f : ]0, \frac{b}{2}[×]0, \frac{π}{2} [⟶ ℝ an, die die Querschnittsfläche der Rinne beschreibt.

b) Berechnen Sie das Maximum von f.

Aufgabe 27: (Lokales Extremum = extrem billiges oder teures Lokal) Bestimmen und klassifizieren Sie sämtliche lokalen Extrema der folgenden Funktionen.

a) f_{1}(x, y) = (x − y)^{3} + 12xy

b) f_{2}(x, y) = e^{x^{2}−y^{2}}

c) f_{3}(x, y) = (x^{2} + y^{2})^{2} + 8xy

d) f_{4}(x, y, z) = x^{2} − e^{−y^{2}−z^{2}}

Aufgabe 28: (“Wie spät ist es?” – “Donnerstag!” – “Sommersemester oder Wintersemester?”) Finden Sie die Extrema der folgenden Funktionen unter den angegebenen Nebenbedingungen. Skizzieren Sie einige Höhenlinien von f_{i} und die durch die Nebenbedingung definierte Kurve. Bestimmen Sie dann die Art der Extrema.

a) f_{1}(x, y) = x^{3} + 4y^{3}, Nebenbedingung x + y = 6

b) f_{2}(x, y) = x^{2} − y^{2}, Nebenbedingung (x − 2)^{2} + y^{2} = 2

Aufgabe 29: (Wie man eine Bierdose in eine Bauchkugel einbeschreibt!) Einer Kugel vom Radius R ist ein gerader Kreiszylinder einzubeschreiben. Wie müssen dessen Radius r und Höhe h gewählt werden, damit sein Volumen V = πr^{2}h möglichst groß wird? Hinweis: Erstellen Sie zuerst eine Skizze des Querschnitts der Kugel. Wenden Sie dann die Methode der Lagrangeschen Multiplikatoren an.

Aufgabe 30: (Was ist klein, grün und dreieckig?) Beweisen Sie, dass unter allen Dreiecken mit festem Umfang U = a+b+c das gleichseitige Dreieck a = b = c den größten Flächeninhalt F = \frac{1}{2}ab sin(γ) besitzt. Hinweis: Verwenden Sie den Kosinussatz c^{2} = a^{2} + b^{2} − 2ab cos(γ). Antwort: (.kceierD senürg senielk niE)