Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 7 Abgabetermin: Do, 5.7.2001

Aufgabe 31: (Wohin auch der Vektor fällt, überall ein Integral.) Integrieren Sie die folgenden Vektorfelder f entlang den durch g parametrisierten Kurven.

a) Vektorfeld f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} mit f(x, y) = (2x^{3} + 4y, x + y) entlang Bild(g), wobei g : [1, 2] ⟶ ℝ^{2} mit g(t) = (t, t^{2}) gelte.

b) Vektorfeld f : ℝ^{3} ⟶ ℝ^{3} mit f(x, y, z) = (xy, xz, yz) entlang Bild(g), wobei g : [0, 2π] ⟶ ℝ^{3} mit g(t) = (cos(t), sin(t), sin(2t)) gelte.

c) Vektorfeld f : ℝ^{2} ⟶ ℝ^{2} mit f(x, y) = (y, x) entlang Bild(g), wobei g : [0, π] ⟶ ℝ^{2} mit g(t) = (exp(sin(t)) + \frac{e}{π} t exp(cos(t)), sin^{2}(t) cos(t)) gelte.

Aufgabe 32: (Achtung: Scharfe Kurven!) Berechnen Sie die folgenden Kurvenintegrale.

a) ∫_{K}(x^{2} − y^{2}) dx + 3z dy + 4xy dz entlang K = Bild(g) mit g : [0, 2π] ⟶ ℝ^{3} gegeben durch g(t) = (cos(t), sin(t), t).

b) ∫_{K} xy dx + x dy entlang K = Bild(g) mit g : [0, \frac{π}{2} ] ⟶ ℝ^{2} gegeben durch g(t) = (exp(sin^{2}(t)), exp(sin^{2}(t))).

Aufgabe 33: (Einszweidrei im Sauseschritt läuft die Zeit, wir laufen mit.) Ein Massenpunkt durchlaufe in den angegebenen Zeiten die nachfolgenden Kurven. Berechnen Sie jeweils die Länge des zurückgelegten Weges.

a) g : [0, 1] ⟶ ℝ^{2} mit g(t) = (2 + t, 1 + 3t) (Verbindungsstrecke zweier Punkte)

b) g : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} mit g(t) = (1 + 3 cos(t), 2 + 3 sin(t)) (Kreis mit Radius 3)

c) g : [0, 2π] ⟶ ℝ^{2} mit g(t) = (2+2 cos(2t), 2 sin(2t)) (Zweimal durchlaufener Kreis)

Aufgabe 34: (Man muss nur einen guten Draht zur Lösung haben.) Ein Draht habe die Form eines Halbkreises {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x^{2} + y^{2} = 1, y ≥ 0} und variable Dicke. Berechnen Sie seine Masse, wenn seine lineare Dichte wie folgt gegeben ist:

a) f(x, y) = k(1 − y) mit einer Konstanten k > 0

b) f(x, y) = 2 + x^{2}y

Aufgabe 35: (Ein Loch ist im Eimer, Karl-Otto!) Ein 80 kg schwerer Mann namens Karl-Otto trägt einen 15 kg schweren Farbeimer eine spiralförmige Treppe hoch, die sich um ein Silo mit Radius 20 m windet. Das Silo ist 90 m hoch und der Mann macht genau drei Umrundungen.

a) Wieviel Arbeit verrichtet der Mann gegen die Gravitationskraft, indem er nach ganz oben steigt?

b) Angenommen, es ist im Eimer ein Loch und im Laufe des Aufstiegs fließen gleichmäßig 3 kg Farbe aus. Wieviel Arbeit verrichtet der Mann nun?