Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 8 Abgabetermin: Do, 12.7.2001

Aufgabe 36: (Nun wird ganz ungeniert über ein Dreieck integriert.) Berechnen Sie für den Dreiecksbereich B = {(x, y) ∈ ℝ^{2} | x + y ≤ 1, x ≥ 0, y ≥ 0} die folgenden Bereichsintegrale. Lassen sich diese Integrale als Rauminhalte deuten?

a) ∫∫_{B}(y − 3x^{2}) dx dy

b) ∫∫_{B} \frac{x}{1+y} dx dy

Aufgabe 37: (Wieviel paßt in den Öltank?) Finden Sie den Rauminhalt eines Ellipsoids \{(x, y, z) ∈ ℝ^{3} | (\frac{x}{a})^{2} + (\frac{y}{b})^{2} + (\frac{z}{c})^{2} ≤ 1\} bei vorgegebenen a, b, c ∈ ℝ_{+}.

Du bist kein Unsichtbarer, Nicht Unendlich bist du! Sondern sieben Meter hoch. In dir ist kein Geheimnis Sondern Öl. Und du verfährst mit uns Nicht nach Gutdünken, noch unerforschlich Sondern nach Berechnung. (aus: Bertolt Brecht: Siebenhundert Intellektuelle beten einen Öltank an.)

Aufgabe 38: (Sitzt der Schwerpunkt tief genug, besteht man den Elchtest.) Finden Sie den Schwerpunkt der angegebenen Körper konstanter Dichte.

a) K_{1} liegt unter der Ebene z = x + 2y und oberhalb des Bereichs in der (x, y)-Ebene, der von y = x^{2}, y = 0 und x = 1 begrenzt wird.

b) K_{2} liegt zwischen dem parabolischen Zylinder z = 1−y^{2} und den Ebenen x+z = 1, x = 0 und z = 0.

Aufgabe 39: (Flächeninhalt eines Kugeldreiecks = sphärischer Exzess) Berechnen Sie den Flächeninhalt der folgenden Flächenstücke.

a) S_{1} ist der Teil der Ebene x + 2y + z = 4, der innerhalb des Zylinders x^{2} + y^{2} = 4 liegt.

b) S_{2} ist der Teil der Fläche z = x + y^{2}, der oberhalb des Dreiecks mit den Ecken (0, 0), (1, 1) und (0, 1) liegt.

Aufgabe 40: (Die Sphäre hat das Geschlecht 0, der Torus das Geschlecht 1!) Der Kreis in der (x, z)-Ebene mit Mittelpunkt (b, 0, 0) und Radius a ∈]0, b[ werde um die z-Achse rotiert. Es entsteht ein Torus.

a) Finden Sie eine parametrische Darstellung des Torus.

b) Verwenden Sie a), um die Fläche des Torus zu berechnen.