Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 9 Abgabetermin: Do, 19.7.2001

Aufgabe 41: (Numb = devoid of sensation; number = comparative of numb) Aus Rohstoffen R_{1}, R_{2}, R_{2} werden zunächst Zwischenprodukte Z_{1}, Z_{2}, Z_{3}, Z_{4} produziert, wobei zur Herstellung einer Einheit von Z_{j} genau z_{jk} Einheiten von R_{k} benötigt werden. Dann werden die Zwischenprodukte zu Endprodukten E_{1}, E_{2}, E_{3} verarbeitet, wobei zur Produktion von E_{i} gerade e_{ij} Einheiten von Z_{j} benötigt werden.

Bestimmen Sie die Matrix C = (c_{ik}), deren Einträge c_{ik} angeben wieviele Einheiten von R_{k} zur Herstellung von E_{i} benötigt werden. Dabei seien die Zahlen e_{ij} und z_{jk} wie folgt definiert: e_{21} = e_{23} = e_{34} = z_{12} = z_{21} = z_{33} = z_{43} = 0 und e_{13} = e_{22} = e_{33} = z_{13} = z_{23} = z_{42} = 1, e_{11} = e_{14} = e_{24} = e_{31} = e_{32} = z_{11} = z_{22} = z_{31} = z_{41} = 2 und e_{12} = z_{32} = 3.

Aufgabe 42: (Invertible invertebrates are subverting subversives!) Sind die folgenden Matrizen invertierbar? Bestimmen Sie ggf. A_{i}^{−1}!

a) A_{1} = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 \\ −3 & 4 & 3 \\ −4 & 6 & 5 \end{matrix} )

b) A_{2} = ( \begin{matrix}2 & −1 & 0 \\ −1 & 2 & −1 \\ 0 & −1 & 2 \end{matrix} )

c) A_{3} = ( \begin{matrix}−1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & −1 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & −1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & −1 \end{matrix} )

Aufgabe 43: (Determined determination of determinants deters errors!) Berechnen Sie die Determinanten der folgenden Matrizen.

a) M_{1} = ( \begin{matrix}1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{matrix} )

b) M_{2} = ( \begin{matrix}2 & 3 & −2 & 4 \\ 3 & −2 & 1 & 2 \\ 3 & 2 & 3 & 4 \\ −2 & 4 & 0 & 5 \end{matrix} )

c) M_{3} = ( \begin{matrix}1 & 0 & 3 & 4 & 3 \\ 2 & 3 & 2 & 7 & 2 \\ −2 & 0 & −5 & −7 & −2 \\ 1 & −1 & 0 & 2 & 0 \\ 1 & 2 & 1 & 5 & 1 \end{matrix} )

Aufgabe 44: (Jim Cramer’s Rule: Wrong!) Lösen Sie die folgenden linearen Gleichungssysteme sowohl nach der Cramerschen Regel als auch durch Gaußsche Elimination.

a) \{ \begin{matrix}2x_{1} & −x_{2} & +3x_{3} & = & 4 \\ 5x_{1} & −4x_{2} & −x_{3} & = & 2 \\ & x_{2} & +6x_{3} & = & −8 \end{matrix}

b) \{ \begin{matrix}x_{1} & +2x_{2} & +4x_{3} & −3x_{4} & = & 5 \\ 3x_{1} & +5x_{2} & +10x_{3} & & = & 11 \\ & −2x_{2} & −x_{3} & +4x_{4} & = & −6 \\ −x_{1} & −2x_{2} & & −7x_{4} & = & 8 \end{matrix}

Aufgabe 45: (The Matrix is the world that has been pulled over your eyes to blind you from the truth.)

Sei 𝔐 die Menge der Matrizen ( \begin{matrix}1 & a & b \\ 0 & 1 & c \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix} ) mit a, b, c ∈ ℝ.

a) Beweisen Sie, dass 𝔐 multiplikativ abgeschlossen ist, d.h. aus A ∈ 𝔐 und B ∈ 𝔐 folgt AB ∈ 𝔐.

b) Für welche Matrizen A, B ∈ 𝔐 gilt AB = BA ?

c) Welche der Matrizen A ∈ 𝔐 erfüllen AB = BA für alle B ∈ 𝔐 ?

d) Finden Sie zu jeder Matrix A ∈ 𝔐 ihre inverse Matrix A^{−1}. Gilt stets A^{−1} ∈ 𝔐 ?