Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung Mathematik für Naturwissenschaftler II

Blatt 10 (Freiwillige Bearbeitung bis Do, 26.7.2001)

Aufgabe 46: (Wohin soll ich mich wenden, wenn x und \frac{∂}{∂x} mich drücken?) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen und skizzieren Sie die Richtungsfelder.

a) y′ − 2xy = 0

b) y y′ + x = 0

c) y′ − 2xy − x^{3} = 0

d) y′ − x^{2} − 4 = 0

Aufgabe 47: (Don’t drink and derive!) Gegeben sei die Differentialgleichung y′ = x + y.

a) Zeichnen Sie das zugehörige Richtungsfeld.

b) Fügen Sie die durch (0, 0) gehende Lösungskurve nach Augenmaß ein.

c) Beweisen Sie, dass y = c e^{x} − x − 1 für jedes c ∈ ℝ eine Lösung dieser Differentialgleichung darstellt.

Aufgabe 48: (Das Negative von Epsilon ist die Zunahme des Wegseins.) Gegeben sei die Differentialgleichung y′ cos(x) + y sin(x) − 1 = 0.

a) Finden Sie eine möglichst große Teilmenge D ⊆ ℝ^{3}, auf der die zugehörige Funktion f(x, y, y′) definiert ist.

b) Lösen Sie die Gleichung auf zu y′ = g(x, y) und finden Sie eine möglichst große Teilmenge E ⊆ ℝ^{2}, auf der die Funktion g definiert ist.

c) Zeigen Sie, dass y = sin(x) + c cos(x) für c ∈ ℝ die Differentialgleichung löst.

Aufgabe 49: (“bar” hat “atü” ersetzt. Also heißt es jetzt “Tbartata”.) Betrachten Sie die Differentialgleichung y′ = −λ y mit einem festen λ ∈ ℝ.

a) Lösen Sie diese Differentialgleichung.

b) In der barometrischen Höhenformel für die Temperatur 0^{o}C gilt λ = 0, 125·10^{−3} \frac{1}{m}. Wie hoch ist der Druck in x m Höhe, wenn in Höhe 0 ein Druck von 1 bar herrscht?

c) Betrachten Sie nun allgemeiner die Differentialgleichung y′ = −ay + b mit a, b ∈ ℝ. Finden Sie eine Lösung y mit y(0) = 10.

Aufgabe 50: (Bei Nebenwirkungen jagen Sie Ihren Arzt zum Apotheker.) Bei einer chemischen Reaktion verbindet sich jeweils ein Mol eines Stoffes A mit einem Mol eines Stoffes B. Sind anfangs a Mol von A sowie b Mol von B vorhanden und haben nach x Sekunden y(x) Mol miteinander reagiert, so erfüllt die Reaktionsgeschwindigkeit y′(x) die Differentialgleichung

y′ = k(a − y)(b − y)

mit y(0) = 0 und einer Stoffkonstanten k ∈ ℝ. a) Stellen Sie y als Funktion von x dar und wählen Sie dabei ein möglichst großes

Definitionsintervall.

b) Bestimmen Sie lim_{x→∞} y(x).

c) Skizzieren Sie y(x) für a = 1 und b = k = 3.

d) Finden Sie eine Lösung φ(x) der Differentialgleichung für die φ(0) = 2 gilt. Tragen Sie auch φ(x) in Ihre Skizze ein.

Aufgabe 51: (Grünzeug ist keine Nahrung, sondern das, wovon sich Nahrung ernährt.) Das Wachstum eine Pflanze werde durch die zeitliche Änderung ihrer Höhe gemessen. Es sei in jedem Augenblick proportional zu ihrer Höhe y und umgekehrt proportional zu der dritten Potenz ihrer Alters t. Der Proportionalitätsfaktor sei k ∈ ℝ.

a) Stellen Sie die Differentialgleichung für y(t) auf.

b) Lösen Sie diese Gleichung unter der Anfangsbedingung y(a) = b mit a, b > 0.

c) Welche Höhe erreicht die Pflanze für t → ∞ ?

Aufgabe 52: (Errare humanum est - quod errat demonstrandum.) Lösen Sie die folgenden Differentialgleichungen zweiter Ordnung.

a) y′′ + y′ − 6y = 0 mit Anfangsbedingungen y(0) = 1, y′(0) = −3.

b) y′′ − 4y′ − 4y = 0

c) y′′ − 2y′ − 3y = 2x

d) y′′ + 2y′ + 2y = e^{3x}

Aufgabe 53: (Don’t be cool, just be cool!) Kühlt sich ein Körper der Masse m und konstanter spezifischer Wärme c von einer Anfangstemperatur ϑ_{2} auf die Umgebungstemperatur ϑ_{1} ab, so wird der Temperaturverlauf ϑ(t) in Äbhängigkeit von der Zeit t beschrieben durch

\frac{∂Q(t)}{∂t} = m c \frac{∂ϑ(t)}{∂t}  sowie  \frac{∂Q(t)}{∂t} = −k (ϑ(t) − ϑ_{1})

wobei k > 0 eine Konstante und Q(t) die im Körper enthaltene Wärmemenge ist. Bestimmen Sie den Temperaturverlauf.

Aufgabe 54: (System going down in 60 seconds!) Ein Fallschirmspringer der Masse m fällt aus der Ruhelage z(0) = 0. Der Reibungswiderstand der Luft ist proportional zum Quadrat seiner Geschwindigkeit z′(t).

a) Schreiben Sie die zugehörige Newtonsche Bewegungsgleichung m z′′(t) = −mg + c (z′(t))^{2} um in eine Differentialgleichung für die Geschwindigkeit v(t) = z′(t).

b) Bestimmen Sie v(t).

c) Wie verhält sich v(t) für große Zeiten?

Aufgabe 55: (Swinging ohne Widerstand) Gegeben sei ein elektrischer Schwingkreis mit Kapazität C und Induktivität L, wobei der Widerstand vernachlässigt werde. Die Stromstärke J(t) erfüllt dann J′′(t) = −\frac{1}{LC} J(t).

a) Zu vorgegebenen J_{0}, V_{o} > 0 setzen Sie U(y) = ∫_{J_{0}}^{y} −\frac{1}{LC} s ds und finden Sie eine Lösung ψ der Differentialgleichung y′ = \sqrt{V_{0}^{2} − 2U(y)} mit ψ(0) = J_{0}.

b) Setzen Sie ψ auf ein möglichst großes Intervall zu einer Funktion φ fort. Wählen Sie diese Fortsetzung so, daß die Funktion φ auch die ursprüngliche Differentialgleichung zu den Anfangsbedingungen φ(0) = J_{0}, φ′(0) = V_{0} löst.