Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung

Praktische Anwendungen der Computeralgebra 2

Blatt 1

Abgabetermin: Mi, 23.5.2001

Aufgabe 1: Sei Γ eine kommutatives Monoid, in dem die Kürzungsregel gilt, und sei R ein Γ-graduierter Ring. Beweisen Sie 1 ∈ R_{0}.

Aufgabe 2: Sei R ein Ring.

a) Versehen Sie die Menge Γ = {0, ∞} mit der “natürlichen” Addition und beweisen Sie, dass sie dadurch zu einem kommutativen Monoid wird, in dem die Kürzungsregel nicht gilt.

b) Setzen Sie deg(r) = ∞ für alle r ∈ R. Zeigen Sie, dass R dadurch zu einem Γgraduierten Ring wird, in dem das Element 1 homogen von einem Grad ungleich Null ist.

c) Versehen Sie die Menge S = R ⊕ R mit komponentenweiser Addition und Multiplikation und definieren Sie S_{0} = R ⊕ 0 sowie S_{∞} = 0 ⊕ R. Beweisen Sie, dass S dadurch ein Γ-graduierter Ring wird, in dem das Einselement 1 = (1, 1) nicht homogen ist.

Aufgabe 3: Sei Γ ein kommutatives Monoid, in dem die Kürzungsregel gilt. Ein Γgraduierter Ring R heißt ein Γ-graduierter Körper, wenn jedes homogene Element von R \ {0} eine Einheit ist. Sei R ein solcher Γ-graduierter Körper.

a) Zeigen Sie, dass R_{0} ein Körper ist und dass für jedes γ ∈ Γ die Menge R_{γ} ein R_{0}-Vektorraum der Dimension ≤ 1 ist.

b) Verwenden Sie den Ring K[x, x^{−1}] um zu zeigen, dass es Γ-graduierte Körper gibt, die keine Körper sind.

c) Beweisen Sie, dass die Menge {γ ∈ Γ | R_{γ} ≠ 0} eine Gruppe ist.

d) Sei M ein endlich erzeugter Γ-graduierter R-Modul. Zeigen Sie, dass M eine R-Basis aus homogenen Elementen besitzt.

Aufgabe 4: Der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] über einem Körper K sei standardgraduiert.

a) Sei i ∈ \{1, …, n\} und seien f, g ∈ P. Zeigen Sie \frac{∂(f+g)}{∂x_{i}} = \frac{∂f}{∂x_{i}} + \frac{∂g}{∂x_{i}}.

b) Sei d ≥ 0 und sei f ∈ P ein homogenes Polynom vom Grad d. Beweisen Sie mit Hilfe von a) Euler’s Formel d f = ∑_{i=1}^{n} x_{i} · \frac{∂f}{∂x_{i}}.

Aufgabe 5: Der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] über einem Körper K sei standardgraduiert. Sei {f_{1}, …, f_{s}} eine Menge von homogenen Polynomen und I = (f_{1}, …, f_{s}). Ferner sei eine Termordnung σ gegeben.

a) Implementieren Sie die homogene Version von Buchberger’s Algorithmus mit Minimalisierung in einer CoCoA-Funktion HomBuchberger(…). Verwenden Sie dabei die eingebaute Funktion NR(…).

b) Berechnen Sie mit Hilfe dieser Funktion die Gröbner-Basen und minimalen Erzeugendensysteme der folgenden Ideale bzgl. der angegebenen Termordnungen.

1) I_{1} = (x_{1}^{2} − x_{1}x_{2}, x_{1}^{2} − x_{2}x_{3}, x_{1}^{3} − x_{2}x_{3}^{2}, x_{2}^{5} − x_{3}^{5}) ⊆ ℚ[x_{1}, x_{2}, x_{3}]

        bzgl. σ = DegRevLex

2) I_{2} = (x_{1}x_{4}^{3} − x_{3}^{4}, x_{2}x_{4}^{4} − x_{3}^{5}) ⊆ ℚ[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}] bzgl. σ = Lex

3) I_{3} = (x_{1}^{6} − x_{2}x_{3}^{4}x_{4}, x_{1}x_{2}^{4} − x_{3}^{5}, x_{1}^{5}x_{3} − x_{2}^{5}x_{4}) ⊆ ℚ[x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}]

        bzgl. σ = DegRevLex