Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung

Praktische Anwendungen der Computeralgebra 2

Blatt 2

Abgabetermin: Mi, 13.6.2001

Aufgabe 6: Sei K ein Körper und der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] sei graduiert durch W ∈ Mat_{m,n}(ℤ).

a) Zeigen Sie, dass es im Fall m = 2, n = 3, W = \binom{1 −1 0}{2 −3 1} keine Termordnung auf 𝕋^{n} gibt, die mit deg_{W} kompatibel ist.

b) Finden Sie eine Matrix W ∈ Mat_{m,n}(ℤ), so dass es eine deg_{W} -kompatible Termordnung auf 𝕋^{n} gibt, aber keine Termordnung vom x_{i}-DegRev-Typ mit i ∈ {1, …, n}.

Aufgabe 7: In der Situation von Satz 3.5 sei ℓ ≥ 1 und β_{j} = max{0, α_{j} − ℓ} für j = 1, …, s.

a) Beweisen Sie, dass {x_{0}^{β_{1}}g_{1}, …, x_{0}^{β_{s}}g_{s}} eine σ-Gröbner Basis von M :_{P} (x_{0}^{ℓ}) ist.

b) Zeigen Sie, dass für alle ℓ ≥ max{α_{1}, …, α_{s}} gilt:

M :_{P} (x_{0})^{∞} = M :_{P} (x_{0}^{ℓ})

Aufgabe 8: Der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] über einem Körper K sei standardgraduiert. Beschreiben Sie die homogenen Ideale I ⊆ P, für die die Hilbert-Funktion HF_{P/I}(i) für i ≥ 0 konstant ist.

Aufgabe 9: Der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] über einem Körper K sei standardgraduiert, und I, J seien zwei homogene Ideale in P. Beweisen Sie:

a) N_{P/I}(t) + N_{P/J}(t) = N_{P/(I+J)}(t) + N_{P/(I∩J)}(t)

b) N_{I}(t) + N_{J}(t) = N_{I+J}(t) + N_{I∩J}(t), wobei die auftretenden Ideale als graduierte P -Moduln betrachtet werden.

Aufgabe 10: Der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] über einem Körper K sei standardgraduiert.

a) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion MonHS(…), die die Hilbert-Reihe von P/I als Element in ℚ(t) nach der in der Vorlesung angegebenen Methode berechnet, wenn I ⊆ P ein monomiales Ideal ist.

b) Implementieren Sie eine CoCoA-Funktion IdealHS(…), die mit a) und GBasis(…) die Hilbert-Reihe von P/I für ein homogenes Ideal I ⊆ P berechnet.

c) Berechnen Sie mittels IdealHS(…) die Hilbert-Reihen der Ringe P/I_{i} in den folgenden Fällen:

1) I_{1} = (x^{3}, y^{4}, z^{5}) ⊆ P = ℚ[x, y, z]

2) I_{2} = (x_{0}x_{3} − x_{1}x_{2}, x_{0}x_{2} − x_{1}^{2}, x_{2}^{2} − x_{1}x_{3}) ⊆ ℚ[x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}]

3) I_{3} = (xz − z^{2}, y^{2}z − yz^{2}, x^{2}y − 3/2xy^{2} + 1/2y^{3}) ⊆ ℚ[x, y, z]