Prof. Dr. Martin Kreuzer SS 2001 Fachbereich Mathematik Universität Bayreuth

Übungen zur Vorlesung

Praktische Anwendungen der Computeralgebra 2

Blatt 3: Photogrammetrie

Abgabetermin: Do, 5.7.2001

Aufgabe 11: Der Polynomring P = K[x_{1}, …, x_{n}] über einem Körper K sei standardgraduiert und

0 ⟶ M′ ⟶ M ⟶ M′′ ⟶ 0

sei eine homogene exakte Sequenz graduierter P -Moduln. Beweisen Sie die folgenden Formeln.

a) dim(M) = max{dim(M′), dim(M′′)}

b) dim(M′) = dim(M′′) ⇒ mult(M) = mult(M′) + mult(M′′)

c) dim(M′) > dim(M′′) ⇒ mult(M) = mult(M′)

d) dim(M′) < dim(M′′) ⇒ mult(M) = mult(M′′)

Aufgabe 12: Sei E eine essentielle Matrix. Zeigen Sie:

a) Für alle λ ∈ ℝ ist λ · E eine essentielle Matrix.

b) Für alle U, V ∈ SO_{3}(ℝ) ist UEV eine essentielle Matrix.

c) Auch E^{tr} ist eine essentielle Matrix.

d) Schreibt man E = RT_{a} mit R ∈ SO_{3}(ℝ) und a ∈ ℝ^{3} und ist b = Ra, so gilt E = T_{b}R.

Aufgabe 13: Sei E ∈ Mat_{3,3}(ℚ).

a) Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion IsEssential(E), die mit Hilfe von Theorem 6.19 prüft, ob E eine essentielle Matrix ist und den entsprechenden Boolschen Wert ausgibt.

b) Sei E eine essentielle Matrix. Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion Decompose(E), die die möglichen Zerlegungen E = RT_{a} mit R ∈ SO_{3}(ℝ) und a ∈ ℝ^{3} berechnet. Hinweis: Betrachten Sie die Einträge von R und a als Unbestimmte und lösen Sie das sich ergebende algebraische Gleichungssystem.

Aufgabe 14: Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion EssentialIdeal(), die das in Bemerkung 6.22.a beschriebene Ideal I ⊆ ℚ[x_{0}, …, x_{8}] berechnet, welches die essentielle Varietät 𝔼 definiert. Beweisen oder widerlegen Sie dann mit Hilfe von CoCoA die folgenden Aussagen.

a) Das Ideal I ist ein homogenes Radikalideal, d.h. es ist das größte Ideal, das die essentielle Varietät 𝔼 definiert.

b) Das Ideal I ist ein Primideal, d.h. die essentielle Varietät 𝔼 ist eine irreduzible projektive Varietät in ℙ^{8}. c) Es gilt dim(𝔼) = 5 und deg(𝔼) = 10. Berechnen Sie allgemeiner die Hilbert-Reihe

und das Hilbert-Polynom von ℚ[x_{0}, …, x_{8}]/I.

d) Schneidet man 𝔼 mit einem generisch gewählten linearen Unterraum L ⊆ ℙ^{8} der Dimension 3, so erhält man 10 Punkte.

Aufgabe 15: Schreiben Sie eine CoCoA-Funktion Reconstruct(M), die zu einer vorgegebenen endlichen Menge von Korrespondenzpaaren M = {q_{i} ↔ q′_{i}}_{i=1,...,n} die möglichen Rekonstruktionen (R, T_{a}) berechnet. Gehen Sie dazu wie folgt vor:

1) Bestimmen Sie die zu den Gleichungen (q′_{i})^{tr} E q_{i} = 0 gehörigen Hyperebenen in ℙ^{8}.

2) Schneiden Sie die essentielle Varietät 𝔼 mit diesen Hyperebenen.

3) Prüfen Sie, ob es endlich viele Rekonstruktionen gibt. Falls nicht, geben Sie eine Fehlermeldung aus.

4) Für jede passende essentielle Matrix E berechnen Sie die zugehörigen Rekonstruktionen mit Hilfe der Funktion Decompose(E) aus Aufgabe 13.

Wenden Sie Ihre Funktion Reconstruct(M) an einigen selbstgewählten Beispielen an.