M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra I” für Lehramt

Blatt 10 Abgabe bis 25.6.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Sei V ein euklidischer ℝ-Vektorraum, und sei f : V ⟶ V eine ℝ-lineare Abbildung.

a) Zeigen Sie, dass ϕ : V × V ⟶ ℝ mit ϕ(v, w) :=< f(v), w > eine Bilinearform von V definiert.

b) Bestimmen Sie f im Fall V = ℝ^{4} so, dass ϕ ein Skalarprodukt ist, dessen Gram’sche Matrix nur positive Einträge hat.

Aufgabe 2

Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und ϕ : V × V ⟶ K eine Bilinearform.

a) Zeigen Sie, dass R := {v ∈ V | v^{⊥} = V } ein K-Untervektorraum von V ist. Er heißt das Radikal von ϕ.

b) Sei A := (v_{1}, ..., v_{n}) eine Basis von V. Bestimmen Sie das Radikal der Bilinearform

ϕ : V × V ⟶ K mit G_{A}(ϕ) = ( \begin{matrix}1 & & & & & 0 \\ & . & . & . \\ & & & & 1 \\ 0 & & & & & −1 \end{matrix} )

Aufgabe 3

Sei S ⊆ Mat_{n}(K) die Menge der symmetrischen Matrizen.

a) Beweisen Sie, dass S ein K-Vektorraum von Mat_{n}(K) ist.

b) Bestimmen Sie eine K-Basis und die Dimension von S.

Aufgabe 4

Sei V ein euklidischer Vektorraum mit Basis A := (v_{1}, ..., v_{n}) und sei ϕ : V × V ⟶ ℝ ein Skalarprodukt. Dann heißt det G_{A}(ϕ) die Gram’sche Determinante von ϕ bzgl. A. Zeigen Sie, dass det G_{A}(ϕ) > 0 gilt.

bitte wenden

**Aufgabe 5**

Sei M ∈ Mat_{n}(ℝ) eine symmetrische Matrix und sei f : ℝ^{n} ⟶ ℝ^{n} die ℝ-lineare Abbildung mit Matrix M_{f} = M.

a) Zeigen Sie, dass man wie folgt eine Orthonormalbasis (kurz: ONB) von ℝ^{n} (bzgl. des Standardskalarprodukts) berechnen kann, die aus Eigenvektoren von f besteht, indem Sie die Punkte (1) und (4) begründen:

(1) Berechne χ_{f}(x) und faktorisiere χ_{f}(x) = (x − λ_{1})^{k_{1}} · ... · (x − λ_{m})^{k_{m}}.

(2) Für i = 1, ..., m bestimme eine ℝ-Basis von Eig(f, λ_{i}).

(3) Für i = 1, ..., m orthonormalisiere die Basis von Eig(f, λ_{i}) mit Hilfe des Schmidt’schen Orthonormalisierungsverfahrens.

(4) Die m ONB zusammen bilden die gesuchte ONB von ℝ^{n}.

b) Implementieren Sie den Algorithmus aus a) in einer Maple-Prozedur EWONB(M).

c) Wenden Sie Ihre Funktion an für:

(1) M_{1} := ( \begin{matrix}2/3 & 1/3 & 2/3 \\ 1/3 & −14/15 & 2/15 \\ 2/3 & 2/15 & −11/15 \end{matrix} ).

(2) M_{2} := ( \begin{matrix}2 & −1 & 1 \\ −1 & 2 & 1 \\ 1 & 1 & 2 \end{matrix} ).