M. Kreuzer Sommersemester 02 A. Fischer

Übungsaufgaben zur Vorlesung “Lineare Algebra II” für Lehramt

Blatt 12 Abgabe bis 9.7.02 um 10.00 Uhr

Aufgabe 1

Sei C der binäre[7, 4]-Hamming Code.

a) Geben Sie eine Parity-Check-Matrix von C an.

b) Finden Sie die 7 Codewörter c ∈ C mit δ(c, 0) = 3.

c) Beweisen Sie, dass die Codewörter c ∈ C mit geradem δ(c, 0) einen Code mit Minimalabstand 4 bilden.

d) Beweisen Sie, dass C̄ ein selbstdualer Code ist (d.h. C̄^{⊥} = C̄).

Aufgabe 2

Sei C ⊆ 𝔽_{q}^{n} ein linearer [n, k, d]-Code. Der Code C heißt systematisch in k Positionen, wenn es für jede mögliche Koordinatenwahl in diesen k Positionen genau ein Codewort mit diesen Koordinaten gibt.

a) Zeigen Sie, dass es mindestens eine Menge von k Positionen gibt, in denen C systematisch ist.

b) Beweisen Sie, dass jeder Code, der bzgl. allen Mengen von k Positionen systematisch ist, einen MDS-Code darstellt.

Aufgabe 3

Zeigen Sie, dass sich die Seitenhalbierenden in einem Dreieck im Verhältnis 2:1 schneiden.

Aufgabe 4

Sei s_{g} die Spiegelung an der Geraden g im affinen Raum 𝔸_{2} und sei t_{p} die Verschiebung um Vektor p ∈ ℝ^{2}. Stellen Sie die Verknüpfung s_{g} ∘ t_{p} der beiden Abbbildungen als Verknüpfung einer Geradenspiegelung s_{h} an einer Geraden h mit einer Verschiebung t_{q} eines Vektors q ∈ ℝ^{2}, der parallel zu h ist, dar.